【数学】 2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)(2)

写出圆的标准方程．
3．点到圆的位置关系的判断 给出点M(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，通 过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得到： (1)点M在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点M在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点M在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
∴点 A 在圆内．
∵|BM|＝
1－02＋8－12＝ 50＝r，
∴点 B 在圆上． ∵|CM|＝ 6－02＋5－12＝ 52>r，
∴点 C 在圆外．
[一点通]
求圆的方程，只需确定圆心和半径就可
以写出其标准方程；判定点与圆的位置关系，可以判定 该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将该点 坐标代入圆的方程判断．
[例1]
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)． (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径． (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，
B(0，－2).
[思路点拨] 首先确定圆心坐标和半径大小，然后再
写出圆的标准方程．
[精解详析](1)由两点间距离公式，得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29，
1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是

1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋ (y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
a2＋b2－4a＋6b＝r2－13， 2 2 2 即a ＋b ＋4a＋10b＝r －29， a－2b－3＝0. a＝－1， ∴b＝－2， r2＝10. ∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：设圆心C为(2b＋3，b)， 因为有|AC|＝|BC|， 所以 2b＋3－22＋b＋32 ＝ 2b＋3＋22＋b＋52. 解得b＝－2，所以圆心为(－1，－2)， 半径r＝|AC|＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
条件
与x轴相切 与y轴相切
方程形式
(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2
与两坐标轴都相切 (|a|＝|b|≠0) 直径的两端点为 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)·
(x1，y1)，(x2，y2)
(y－y2)＝0
2.对于特殊位置的圆的方程
条件 过原点，圆心为(a，b) 圆心在x轴上 圆心在y轴上 方程形式 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
(a2＋b2≠0)
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0) x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点

解：(1)由两点间距离公式， 得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29， ∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29. (3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
2
x2＋y2＝r2
.
[小问题·大思维] 1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆 心坐标是什么？半径呢？
提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.
2．由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？ 提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和 半径．
[研一题] [例[例2] 已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)， Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？
[自主解答] 由已知得圆心坐标为C(1,4)，圆的半径r＝ 1 |P1P2|＝ 2 3＋12＋6－22＝2 2. 1 2
若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2； 若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
[通一类] 2．已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，
求实数a的取值范围．
解：∵点A在圆内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2， ∴2a＋5＜0， 5 ∴a＜－ ， 2 5 ∴a的取值范围是{a|a＜－ }． 2
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.

北师大版高中数学必修2第二章2.1圆 的标准 方程完 美课件 【精品 】
北师大版高中数学必修2第二章2.1圆 的标准 方程完 美课件 【精品 】
同学们, 今天的课就上到这里， 提醒大家：课后别忘了复习巩固并及时完成 作业！
北师大版高中数学必修2第二章2.1圆 的标准 方程完 美课件 【精品 】
思考7:在平面几何中，初中学过：点与 圆有哪几种位置关系？
点在圆内，点在圆上，点在圆外
思考8:在初中平面几何中，如何确定点
与圆的位置关系？
A A
O
O
A几 O何
法
北师大版高中数学必修2第二章2.1圆 的标准 方程完 美课件 【精品 】
OA<r
OA=r
OA>r
北师大版高中数学必修2第二章2.1圆 的标准 方程完 美课件 【精品 】
思考9:在直角坐标系中,已知点M(x0，y0)
和圆C：x a2 y b2 r2 ,如何判断点
M在圆外、圆上、圆内？
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
代数法
北师大版高中数学必修2第二章2.1圆 的标准 方程完 美课件 【精品 】
圆的标准方程
生活中的圆
圆的标准方程
【三维目标】 知识与技能：掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟
练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心 坐标和半径。
过程与方法：通过圆的标准方程的推导过程，培养学生数 形结合及把几何问题转化为代数问题的转化思想
情感、态度与价值观：培养学生主动探究知识、合作交 流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。 【教学重点】