高中数学人教a版必修二课件：4.1.1《圆的标准方程》
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第四章圆的方程
4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程
本节课主要学习圆的标准方程和点与圆的位置关系。
本课件在复习直线的倾斜角、斜率的概念、斜率公式和直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程和直线的一般式方程的基础上，以苏轼的著名诗词，《水调歌头 明月几时有》引入新课，场景处处刻画出圆，激起学生们对圆的研究热情。
以学生探究为主，运用对直线的研究思路，从圆的定义入手推导出圆的标准方程，并用方程研究点与圆的位置关系。
通过例1熟悉圆的标准方程和点与圆的位置关系，通过例2、例3探究圆的标准方程的求法，让学生体会待定系数法和代入法求圆方程。
自古以来人们期盼花好
月圆，祈求万事圆圆满
满，圆是怎么定义的？
直线的方程有五种不同
的表示形式，那么如何
求圆的方程呢？http://../edu/ppt/ppt_playVideo.action?me diaVo.resId=55e1201aaf508f0099b1c879
《水调歌头》(苏轼
)
圆的标准方程
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
定点定长
圆心半径
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
x
y |MC |= r
则P = { M | |MC | = r }
圆上所有点的集合
O C M (x ,y )
如图，在直角坐标系中，圆心C 的位置用坐标(a ,b ) 表示，半径r 的大小等于圆上任意点M (x , y )与圆心C (a ,b ) 的距离．
圆的标准方程
把称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程.
说明：
1.特点：明确给出了圆心和半径。
2.三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
点与圆的位置关系
在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？O |OM|<r |OM|=r O M O |OM|>r
M M
点M 0(x 0,y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上、内、外的条件是什么？点M 0在圆上点
M 0在圆内(x 0-a )2+(y 0-b )2=r
2
(x 0-a )2+(y 0-b )2<r
2
(x 0-a )2+(y 0-b )2>r
2点M 0在圆外
典例展示
例1.写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并
判断点 ， 是否在这个圆上．
解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：
把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个
圆上；
把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，
点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上．
解：由P 1P 2为直径可知圆心的坐标为(4,6)，半径为 ，∴圆方程为(x －4)2＋(y －6)2＝5，
把M 、Q 两点坐标代入圆的方程(6－4)2＋(3－6)2＝13＞5,
(8－4)2＋(1－6)2＝41＞5，
∴M 、Q 两点均在圆外．
例2.的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
分析：不在同一条直线上的
三个点可以确定一个圆，三
角形有唯一的外接圆．
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程。
x y
O
D
A(5,1)
B(7,-3) C(2,-8)
解：设圆方程为则
所以
得 所以，所求圆的方程为
关键：确定圆心和半径x
y
O D A (5,1)
B (7,-3)
C (2,-8)
用待定系数法求圆方程的基本步骤：（1）设圆方程 ；
（2）列方程组；
（3）求系数；
（4）代入系数写出方程。
几何法
圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点
x y
O
D
A(5,1)
B(7,-3) C(2,-8)
例3: 已知圆心为C的圆经过点A(1，1)，B(2，-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.
解：因为A(1,1),B(2，-2),所以AB的中点
所以AB的垂直平分线的方程为
即
由得
所以C(-3,-2)
所以所求圆的标准方程为
练习2.根据下列条件，求圆的方程。
（1）圆心在点C（-2,1），并过点A（2，-2）；（2）圆心在点C（1，3），并与直线3x-4y-6=0相切;（3）过点 (0,1) 和点 (2,1) , 半径为。
解：(1) (x+2)2+(y-1)2 = 25
(2) (x-1)2+(y-3)2 = 9
(3) (x-1)2+(y+1)2 = 5或 (x-1)2+(y-3)2 = 5
求圆的标准方程可分为两种：几何法和待定系数法．
1.几何法
它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程．常用的几何性质有：圆心与切点的连线垂直于切线；圆心到切点的距离等于圆的半径；圆的弦垂直平分线过圆心；两条弦的垂直平分线的交点为圆心等．
2.待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：先设方程，再列式，后求解．
1.圆的标准方程.
2.点与圆的位置关系的判定.
3.求圆的标准方程的方法：
①待定系数法；②代入法（几何法）.
课后练习
课后习题。
