曲线的极坐标方程

1
附录1 曲线的极坐标方程
一. 极坐标
我们知道，单元实函数()y f x =(x ∈()f D )的图形一般是平面上的
一条曲线（段）L , 而()y f x =(x ∈
()f D )就是L 的方程. 由给定曲线建
立其方程是平面解析几何的基本任务之一，也是本课程所必须的. 但是，在直角坐标系中，对于许多曲线来说，要建立其方程是比较困难的，即使是常用曲线（如等速螺线）也是这样. 然而在极坐标系中，有些问题可以迎刃而解.
极坐标也是人们确定平面上点的位置的常用方法. 例如，炮兵射击时，以大炮为基点，利用目标的方位角及目标到大炮的距离来确定目标的位置的. 在航海中也经常使用类似的方法.下面给出利用角和距离建立的坐标系——极坐标系.
在平面内取定一点O ，称之为极点，引一条射线Ox ，称之为极轴. 再选定单位长度和角的正向（通常取逆时针方向）（见图F-1）.
图 F —1
对于平面内任意一点M ，用ρ表示M 到O 的距离，即线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度. 其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角，当M 为极点O 时，其极径0ρ=，其极角可取任意值. 于是平面上的任意一点就用一对有序实数表示出来了，有序对实数(, )ρθ称为点M 的极坐标.
反过来，给定一对有序实数,ρθ（假定0ρ≥），以极点为顶点、极轴为始边作大小等于θ的角，在其终边上截取长为ρ的线段OM ，则M 是平面上极坐标为(, )ρθ的唯一的点
.
2
极坐标为(, )ρθ的点M 也可表示为(,)M ρθ. 这样建立起来的坐标系称为极坐标系.
例1 在极坐标系中画出下列各点：
.
()()()()()
π5π4π5π2π1,,(2,0), 1.5,,3,,2,,3,.
4
6333A B C D E F −
解
图 F —2
注意：()(
)
4π2π3,3,33
D F −与是同一点.
上例表明，平面上点的极坐标不是唯一的. 事实上，一个点的极坐标有无穷多，因为始边为Ox 、终边为OM 的角有无穷多个. 例如，
()()()πππ2,,2,2π,2,2π444+−，以及()π2,2π()4
k k +∀∈Z 等，都是同一点A 的极坐标.
不仅如此， 在某些情况下，允许ρ取负值，是方便的. 当0ρ<时，点.(, )M ρθ可按下列规则确定：作射线OP ，在OP 的反向延长线上取一点M ，使得OM ρ=
，则点M 就是极坐标为(, )ρθ的点（见图F —3 ）.
例如，上例中的点()
π2,4A 也可以表示为(
)
π2,(21)π()4
M k k −++∀∈Z .
3
图F —3
如果限定0, 02πρθ≥≤<（或πθπ−<≤），则除极点外，平面上的点与其极坐标就是一一对应的了.
二. 曲线的极坐标方程
在极坐标系中，曲线L 可以用含有极坐标ρ和θ这两个变量的方程
(,)0F ρθ=来表示. 这种方程叫做曲线L 的极坐标方程. 此时，以这个方
程的每一组解为坐标的点都在曲线L 上，然而曲线L 上每个点的极坐标有无穷多个，故可能不全满足这个方程，但其中至少有一个坐标能满足这个方程. 这一点是曲线的极坐标方程与直角坐标方程的不同之处.
求曲线的极坐标方程的方法与步骤，同直角坐标方程类似，即视曲线为满足某种条件的点的集合（或动点的轨迹），将已知条件用曲线上点的即坐标ρ和θ的关系式表示出来，就得到曲线的极坐标方程.
例2 （1）求从极点出发、倾角为π4
的射线的极坐标方程；
（2）求过极点且倾角为π4
解 （1）设(,)M ρθ（图F —4），由条件得
π4
θ= （0ρ≥）.
图F —4
这就是所求射线的方程，因为对于任意0ρ≥，坐标为
()
π,4ρ的点均在此射线上，另一方面，在此射线上的每一点都可用坐标()π,4ρ（0ρ∀≥）来
4
表示，故其至少有一个坐标满足方程
π4
θ= （0ρ≥）.
（2）易知所求直线的极坐标方程为
π4
θ= （ρ∀∈R ）
（见图F —4 ）.
图F —5
例 3 求中心在极点、半径为 (0)a a >的圆的极坐标方程.
解 设(,)M ρθ为圆上动点，由轨迹条件OM a =，得所求圆的方程为
a ρ= （θ∀∈R ）.
如果限制02πθ≤<，则此圆上的点的极坐标与方程
a ρ=（02πθ≤<）
的解是一一对应的.
图F —6
5
例4 求圆心在点(,0) (0)a a >其中、半径为a 的圆的极坐标方程. 解 由条件知，圆心在极轴上，且圆经过极点O . 设圆与极轴的另一交点为A （见图F —7），则2OA a =.
设(,)M ρθ是圆上任意一点，则OM MA ⊥，于是有 cos OM OA θ=. 所以此圆的极坐标方程为
2cos a ρθ= （ππ2
2
θ−≤≤）.
图F —6 例5 阿基米德螺线
由极坐标方程
a ρθ= （0a >为常数）
确定的曲线，通常称为阿基米德螺线（或等速螺线）.请画出基米德螺线. 解 在极坐标系中作图的方法和步骤，同直角坐标系中是一样的. 给出
θ的一系列允许值，通过()ρρθ=算出ρ的对应值（可列成表格），再根
据得到的有序数对在极坐标系中描出相应的点，然后依次将这些点连成平滑的曲线，便得到()ρρθ=的图形.
对于a ρθ=（0a >为常数）有：
O
6
图F —7
如果允许ρ取负值，则当,ρθ是方程a ρθ=的解时，,ρθ−−也是
a ρθ=的解. 因为在极坐标系中，点(,)ρθ−−与点(,)ρθ关于过极点且垂
直于极轴的直线对称，故a ρθ=的图形也关于该直线对称. 同济P360(10)图中的实线表示,ρθ取正值时的螺线部分，而虚线表示,ρθ取负值时的螺线部分.
阿基米德螺线可以看作按以下条件运动的动点M 的轨迹：以点O 为端点的射线l ，绕点O 作等角速度的转动，而l 上的点M 从O 出发沿l 作等速直线运动. 因此，阿基米德螺线也叫做等速螺线或等进螺线. 在机械传动的凸轮装置中，将绕定轴旋转的凸轮的轮廓设计为阿基米德螺线，以使从动杆作等速直线运动.
例6 心脏线
用同样的方法，可画出由极坐标方程
(1cos )a ρθ=+ （0a >为常数）
确定的曲线（见图F —8），称为心脏线 （或心形线），它是外摆线的一种.
更多曲线的极坐标方程请见同济附录II
7
三. 直角坐标与极坐标的转换关系
为了研究的方便，有时需将要曲线在一种坐标系下方程转化为另一种坐标系下的方程. 如图F —9所示，把直角坐标系 的原点为极点，Ox 轴的正半轴作为极 轴，并在两种坐标系中取相同的单位 长度.
设M 为平面上任意一点，其直角 坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ. 则有
“极—直”关系转换式：
cos sin (0)x y ρθ
ρθρ⎧≥⎨
⎩
==. 图F —9 由此也有关系转换式：
,tan (0)
y
x x ρθ⎧=⎪
⎨=≠⎪⎩
在一般情况下，由tan θ确定θ时，可根据点M 所在的象限取最小正角. 例7 （1） 将点M 的极坐标()
π5,6化为直角坐标； （2）将点P 的直角坐标()
1−化为极坐标.
解 （1）x = π55sin ,62
y ==
即点M 的直角坐标为)
52
.
（2）2, tan ρθ=
===
因为点P 在第三象限，而20,ρ=> 故最小正角为7π6
θ=. 因此，P 的极坐标为(
)
7π2,6
.
例8 化圆的直角坐标方程22
20
(0)x y ay a +−=>为极坐标方程.
8
解 将cos (0)sin x y ρθ
ρρθ
=⎧≥⎨
=⎩
2222cos sin 2sin a ρθρθρθ+−即 2sin a ρθ=（0θπ≤≤）.
图F —10
*
例9 广义极坐标变换
co s n s i x a y b ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
将椭圆22221y x a b
+=变换成极坐标系中的单位圆 1 (02π)ρθ=≤≤.
习题F-1
1． 极坐标方程
22cos 2 (0)a a ρθ=>
的图形称为双纽线. 请描绘出双纽线.
2． 指出下列极坐标方程表示什么曲线，并画图：
（1）3ρ=； （2）π ()3
θρ=−∞<
<+∞；
（3）cos 2ρθ=； （4）10sin ρθ=； （5）10(1cos )ρθ=+.。