指数函数讲义经典整理（含答案）
一、同步知识梳理
知识点1：指数函数
函数
(01)x
y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R
知识点2：指数函数的图像和性质
知识点3：指数函数的底数与图像的关系
指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如
图所示，则01c d a b <<<<<，
在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大
在第一象限内，“底大图高”
知识点4：指数式、指数函数的理解
① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算
② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视
③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值
④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像
1
2
23,,21x
x y y x y y =⋅===- 等
函数均不符合形式
()
01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数
⑤ 画指数函数x
y a =的图像，应抓住三个关键点：
()()11,,0,1,1,
a a ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
二、同步题型分析
题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域
例1：已知函数，且． （1）求m 的值；
（2）判定f （x ）的奇偶性；
（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析：
（1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可；
（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为
，所以
，所以m=1．
（2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又，
所以f （x ）是奇函数． （3）任
取x1＞x2＞0，则
，
因为x1＞x2＞0，所以
，所以f （x1）＞f （x2），
所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．
点评：
本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．
例2：已知函数，
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）证明：f（x）＞0．
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．
专题：
计算题．
分析：
（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．
（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而
．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明
f（x）＞0在定义域上恒成立．
解答：
解：（1）该函数为偶函数．
由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）
f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x
=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）
故该函数为偶函数．…（7分）
（2）证明：任取x∈{x|x≠0}
当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，
∴2x﹣1＞0，
故
从而…（11分）
当x＜0时，﹣x＞0，
∴f（﹣x）＞0，…（12分）
又因为函数为偶函数，
∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）
∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）
点评：
本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．
例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；
（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；
（3）求的值．
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
专题：
综合题；函数的性质及应用．
分析：
（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；
（2）写出f（x），代入运算可得；
（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；
解答：
解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，
∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；
（2）由（1）知，
∴=
===1；
（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得
n为奇数时，=×1=；
n为偶数时，=+f（）==；
综上，=．
点评：
本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．
题型2：指数函数的图像变换．
例1：已知函数y=|2x﹣2|
（1）作出其图象；
（2）由图象指出函数的单调区间；
（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．
考点：
指数函数的图像变换．
专题：
综合题；函数的性质及应用．
分析：
（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．
（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．
（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．
解答：
解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：
（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．
（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．
点评：
本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
