福建省福州市五校2015-2016学年高二数学下学期期中联考试题 理

2015-2016学年福建福州八中高二（下）期中考试数学（理）试题一、选择题 1．定积分dx ⎰-2)3(等于（ ）A ．－3B ．3C ．－6D ．6 【答案】C【解析】试题分析：因dx ⎰-2)3(623-=⨯=,故选C ．【考点】定积分及运算．2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果()00f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数()3f x x =在0x =处的导数值()00f '=(0)0f '=，所以，0x =是函数()3f x x =的极值点．以上推理中（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 【答案】A【解析】试题分析：因导数函数的零点不一定都是极值点,故大前提错位,应选A ． 【考点】三段论及运用．3．设O 是原点，向量,OA OB对应的复数分别为23,32,i i --+那么向量BA 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i - 【答案】D【解析】试题分析：因55BA OA OB i =-=-,故应选D ．【考点】复数的向量表示及运算． 4．下列求导运算正确的是（ ） A ．（x+x 1）′=1+21xB ．（log 2x ）′=2ln 1xC ．（3x）′=3x·log 3e D ．（x 2cosx ）′=－2xsinx【答案】B【解析】试题分析：因ax x a ln 1)(log /=,故正确,应选B ． 【考点】求导运算法则． 5．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121n -＜n （n ∈N，n ＞1），第一步应验证不等式（ ）A ．1＋12＜2 B ．1＋12＋13＜3C ．1＋12＋13＋14＜3 D ．1＋12＋13＜2【答案】D【解析】试题分析：因2≥n ,故应验证2=n ,应选D ． 【考点】数学归纳法及运用．6．若p =q =，0a ≥，则p 、q 的大小关系是（ ） A ．p q > B ．p q = C ．p q < D ．由a 的取值确定【答案】C【解析】试题分析：因0≥a ,故4523+++<+++a a a a ,则451231+++>+++a a a a ,即4523+-+>+-+a a a a ,也即4352+++<+++a a a a ,故q p <,应选C ．【考点】分析法及运用．7．设函数y ＝f （x ）在（a ，b ）上可导，则f （x ）在（a ，b ）上为增函数是f′（x ）＞0的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：因若0)(/>x f ,则)(x f 单调递增;反之,若)(x f 单调递增,则0)(/≥x f ．如3x y =,故应选A ．【考点】充分必要条件．8．甲、乙速度v 与时间t 的关系如下图，)(b a 是b t =时的加速度，)(b S 是从0=t 到b t =的路程，则()a b 甲与)(b a 乙，)(b S 甲与)(b S 乙的大小关系是（ ）A ．)()(b a b a 乙甲>，)()(b S b S 乙甲>B ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲<C ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲>D ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲< 【答案】C【解析】试题分析：因图中的甲的速度大于乙的速度,且函数类似于幂函数αx y =,甲中的10<<α，乙中的1>α；又因为a v =/,所以)()(b a b a 乙甲<,)()(b S b S 乙甲>,故应选C ．【考点】函数与导函数的图象的识读及运用． 9．设a 、b 、c 都为正数，那么三个数ac c b b a 1,1,1+++（ ） A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 【答案】D【解析】试题分析：首先答案D 是正确的．反设每个都小于2,则a c cb b a 111+++++6<,而12a a +≥，12b b +≥，12c c +≥,故6111≥+++++ac c b b a 因反设矛盾,故假设不正确,即D 是正确的,应选D ． 【考点】反证法及运用．【易错点晴】反证法是间接证明中的很重要的证明和推断命题真伪的方法之一．反证法推理步骤是先反设再运用反设和已知进行分析推证,逐步寻找出与已知或已证的事实矛盾的结论,最后再肯定原有结论的正确．本题要求在所给的四个选择支,选出一个能正确运用反证法的结论,就是考查用反证法证明命题的思路和步骤及语言的表述．因此要解答好本题须对反证法的思路步骤要扎实掌握和熟练运用． 10．下面给出了四个类比推理：（1）由“若,,a b c R ∈则()()ab c a bc =”类比推出“若a ,b ,c 为三个向量则(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)”； （2）“a,b 为实数，220a b +=若则a=b=0”类比推出“12,z z 为复数，若22121200z z z z +===则”（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积” （4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”． 上述四个推理中，结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】试题分析：容易验证结论是错误的．事实上,若三个向量都是单位向量,其夹角不同则（1）不成立;若取i z z ==21,1,显然满足题设,即（2）不成立．其中（3）（4）是正确的证明过程略．故应选B ．【考点】类比推理及命题真假的判定．【易错点晴】类比推理是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的结论的推理方法．本题是一道合情推理中的类比推理题,问题中给出了几个类比的结论,要求判断其真伪的问题．解答时,综合运用所学知识逐一加以验证和推断,当然本题的解答要求对所学知识扎实掌握,只有这样才能做出正确的判断．二、填空题11．复数z ＝i （i ＋1）（i 为虚数单位）的共轭复数Z = ． 【答案】1i --【解析】试题分析：因i z +-=1,故其共轭复数i z --=1． 【考点】复数的有关概念及运算．12．曲线y =2y x =所围成的封闭图形的面积S= ．【答案】13【解析】试题分析：由定积分公式可得31)01(31)01(32)(23102=---=-=⎰dx x x S ．【考点】定积分的运算公式．13．已知函数32()f x mx nx =+的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线30x y +=平行，若()[,1]f x t t +在区间上单调递减，则实数t 的取值范围是_______． 【答案】]1,2[--【解析】试题分析：因nx mx x f 23)(2/+=,则⎩⎨⎧=+--=-2323n m n m ,解之得⎩⎨⎧==31n m ,所以233)(x x x f +=,所以)2(363)(2/+=+=x x x x x f ,所以⎩⎨⎧≤+-≥012t t ,即12-≤≤-t ,应填答案]1,2[--．【考点】导数的几何意义及运用．【易错点晴】导数是解答函数问题是重要工具,也是研究函数的单调性和最值的重要方法．本题是一道将函数的单调性与参数的取值范围相融合的综合问题．解答时充分利用题设条件,建立方程组⎩⎨⎧=+--=-2323n m n m ,求出函数解析式32()f x mx nx =+中的未知数n m ,的值,再依据题设中的函数32()f x mx nx =+在区间]1,[+t t 上单调,建立不等式组,通过解不等式组从而使得问题获解．14．凸函数的性质定理为：如果函数f （x ）在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1,x 2,…,x n ,有1212()()()()n nf x f x f x x x x f n n++++++≤ ，已知函数y=sinx 在区间（0,π）上是凸函数，则在△ABC 中，sin A+sin B+sin C 的最大值为 ．【解析】试题分析：因为233sin 3sin 3sin sin sin ==++≤++πC B A C B A ,所以233sin sin sin ≤++C B A ． 【考点】三角变换及运用． 【易错点晴】解答本题的关键是一定要深刻理解题设中心定义的凸函数这一新的概念和信息．解答本题时除了要扎实掌握所的三角函数的知识之外,还要学会借助和运用类比思维的推理模式,将所求问题域新定义的凸函数的所满足的数量关系式进行类比,从而求出函数C B A y sin sin sin ++=的最大值为233max =y ,在这一问题的求解过程中,类比的思维方法起到了至关重要作用．15．已知复数12,Z Z 在复平面内对应的点分别为(2,1),(,3)A B a -．（1）若12Z Z a -=的值；（2）复数12z Z Z =⋅对应的点在二、四象限的角平分线上，求a 的值． 【答案】（1）3-=a 或1-=a ；（2）9-=a ．【解析】试题分析：（1）先将复数21,z z 的坐标形式化为代数形式,再运用复数的模建立方程求解；（2）借助题设条件求21z z 的积,然后运用题设建立方程求解． 试题解析:（1）由复数的几何意义可知：122,3z i z a i =-+=+1222z z a i -=---==31a a ∴=-=-或（2）12(2)(3)(23)(6)z z z i a i a a i =⋅=-+⋅+=--+- 依题意可知点(23,6)a a ---在直线y x =-上 ∴6(23)9a a a -=---⇒=-【考点】复数的有关概念和几何意义的综合运用．16．已知n x x )(3-的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512． （1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；（2）求n x x x )1()1()1(43-++-+- 展开式中2x 项的系数．【答案】（1）550101x x C T ==，446107210x x C T ==；（2）233+． 【解析】试题分析：（1）运用二项式展开式的通项公式待定求解；（2）借助题设条件运用组合数的性质求解． 试题解析:（1）912025122===++-n n n C C∴91=-n ，10=n6510321*********)1()1()()(rrrrr r rr rr r xC xC x x C T -+--+-=-=-= （ r =0, 1, …，10 ）∵∈-65rZ ，∴0=r ，6有理项为550101x x C T ==，446107210x x C T == （2）∵r n r n r n C C C 11+-=+，∴r n r n r n C C C -=+-112x 项的系数为)()()(310311343533342102423C C C C C C C C C -++-+-=+++ 16433311=-=C C【考点】二项式定理及通项公式的综合运用．17．已知三次函数()()32,,f x x bx cx d a b c R =+++∈过点（3,0），且函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线恰好是直线y=0． （1）求函数()f x 的 解析式；（2）设函数g （x ）=9x+m-1，若函数y=f （x ）-g （x ）在区间［-2，1］上有两个零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()323f x x x =-；（2）)6,1[-．【解析】试题分析：（1）依据题设运用导数的几何意义建立方程组求解；（2）借助题设条件运用化归转化的思想构造函数,再运用导数求函数的值域即可获解． 试题解析: （1）(),232fx x bx c =++函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线恰好是y=0，所以有⎪⎩⎪⎨⎧=='=0)3(0)0(0)0(f f f即⎪⎩⎪⎨⎧=+++==0392700d c b c d ∴b=-3 ∴()323f x x x =-（2）依题意得：原命题等价于方程0)()(=-x g x f 在区间[-2,1]上有两个不同的解。

2015-2016学年福建省福州市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有4个命题：①O，A，B，C为空间四点，且不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面②若与共线，与共线，则与共线③若与共面，则④若，则P，M，A，B共面其中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．若k∈R，则“k≤﹣5”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN，用基底向量表示向量应是（）A．B．C．D．4．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定5．如果椭圆的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（）A．x+4y=0 B．x+4y﹣10=0 C．x+4y﹣6=0 D．x﹣4y﹣10=06．当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线的离心率e的取值范围是（）A．[]B．[]C．[]D．[]7．与y轴相切且和曲线x2+y2=4（0≤x≤2）内切的动圆的圆心的轨迹方程是（）A．y2=﹣4（x﹣1）（0＜x≤1） B．y2=4（x﹣1）（0＜x≤1）C．y2=4（x+1）（0＜x≤1）D．y2=﹣2（x﹣1）（0＜x≤1）8．若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是（）A．B．C．D．9．已知定点N（0，1），动点A，B分别在抛物线及曲线上，若B在A的上方，且AB∥y轴，则△ABN的周长l的取值范围是（）A．（，2）B．（）C．（）D．（）10．已知点P是椭圆上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是（）A．（0，2]B．C．[2）D．[0，4]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上. 11．若向量=（2，2，﹣1），=（3，λ，4），、的夹角的余弦值为，则λ=．12．已知平面α的一个法向量，点A（﹣1，3，0）在α内，则点P （﹣2，1，2）到α的距离为．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于．14．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为2π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值为．15．已知双曲线的实轴为A1A2，虚轴为B1B2，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F2折至点F，若点F在平面A1B1B2内的射影恰好是该双曲线的左顶点A1，且直线B1F与平面A1B1B2所成角的正切值为，则a=．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答赢写出文字说明，证明过程或演算步骤16．如图所示，设A为△ABC所在平面外一点，HD=2CH，G为BH的中点（1）试用表示（2）若∠BAC=60°，∠CAD=∠DAB=45°，||=||=2，||=3，求||17．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为4，E为面A1D1DA的中心，CF=3FC1，AH=3HD，（1）求异面直线EB1与HF之间的距离（2）求二面角H﹣B1E﹣A1的平面角的余弦值．18．已知椭圆C：的左右焦点为F1，F2，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，且（1）计算椭圆的离心率e（2）若直线l向右平移一个单位后得到l′，l′被椭圆C截得的弦长为，则求椭圆C的方程．19．已知中心在原点的双曲线C的离心率为，一条准线方程为x=（1）求双曲线C的标准方程（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O 为原点），求k的取值范围．20．如图，已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）．（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；（Ⅱ）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．21．椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求过点O，F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（Ⅲ）求的最值2015-2016学年福建省福州市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有4个命题：①O，A，B，C为空间四点，且不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面②若与共线，与共线，则与共线③若与共面，则④若，则P，M，A，B共面其中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间点、线、面的位置；向量的共线定理．【专题】证明题．【分析】本题综合考查了共线向量与向量共线定理，以及向量共面定理与点共面的共线，我们要根据向量共线、共面的定义和性质对四个命题逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：①O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．②如果=，则与不一定共线，所以②错误；③不正确，如都是零向量，而为非零向量时，此等式不成立．④若=x +y，则共面，故四点P、M、A、B共面，故④正确．所以①④正确．故选B．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，注意特殊情况，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．2．若k∈R，则“k≤﹣5”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】先求出方程表示双曲线时k的取值范围，然后根据根据若p⇒q与q⇒p的真假命题，进行判定即可．【解答】解：∵方程表示双曲线∴（k﹣4）（k+4）＞0解得：k＞4或k＜﹣4∵k≤﹣5⇒k＞4或k＜﹣4是真命题，反之是假命题∴p是q的充分非必要条件故选A【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程以及充要条件的判定，判断充要条件的方法是：判断命题p与命题q所表示的范围大小，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN，用基底向量表示向量应是（）A．B．C．D．【考点】向量的几何表示；向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，绕着图形的棱到P，根据图形中线段的长度整理，把不是基底中的向量再用是基地的向量来表示，做出结果．【解答】解：∵======故选A．【点评】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．4．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．【专题】计算题．【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解：=﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选B【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．5．如果椭圆的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（）A．x+4y=0 B．x+4y﹣10=0 C．x+4y﹣6=0 D．x﹣4y﹣10=0【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题．【分析】设这条弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式知x1+x2=4，y1+y2=4，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入x2+4y2=36，得，4（x1﹣x2）+16（y1﹣y2）=0，，由此能求出这条弦所在的直线的方程．【解答】解：设这条弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式知x1+x2=4，y1+y2=4，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入x2+4y2=36，得，①﹣②，得4（x1﹣x2）+16（y1﹣y2）=0，∴，∴这条弦所在的直线的方程，即x+4y﹣10=0．故选B．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．6．当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线的离心率e的取值范围是（）A．[]B．[]C．[]D．[]【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先确定曲线为双曲线，再确定几何量，利用离心率的公式可求．【解答】解：二次曲线为双曲线，则，∴，故选C．【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，关键找出几何量之间的关系．7．与y轴相切且和曲线x2+y2=4（0≤x≤2）内切的动圆的圆心的轨迹方程是（）A．y2=﹣4（x﹣1）（0＜x≤1） B．y2=4（x﹣1）（0＜x≤1）C．y2=4（x+1）（0＜x≤1）D．y2=﹣2（x﹣1）（0＜x≤1）【考点】轨迹方程．【专题】计算题．【分析】设圆心为（x，y），则动圆的半径为x，因为与已知圆内切，还要与y轴相切，所以可知x的范围为0＜x≤1．再根据动圆与已知圆内切可的等式，从而可求轨迹方程．【解答】解：设动圆圆心为P（x，y），由动圆切于y轴，故r=|x|．又由动圆与已知圆内切可知=2﹣|x|，整理得y2=﹣4|x|+4．由于半圆需满足0≤x≤2的条件，∴y2=﹣4（x﹣1）（0＜x≤1）．故选A．【点评】本题考查轨迹方程的求法，关键是利用好相切的条件．8．若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】若方程表示双曲线则﹣pq＜0即pq＞0，①当p＞0，q＞0时，曲线表示焦点在y轴的双曲线，②当p＜0，q＜0时，曲线表示焦点在x 轴的双曲线，结合选项可判定【解答】解：若方程表示双曲线则﹣pq＜0即pq＞0①当p＞0，q＞0时，曲线表示焦点在y轴的双曲线，A，C的方程没有意义B：由于2q+p＞q＞0，表示焦点在x轴上的椭圆，D：由于2p+q＞p＞0，表示焦点在x轴上的椭圆则此情况不符合题意，舍去②当p＜0，q＜0时，曲线表示焦点在x轴的双曲线A：由于﹣（2q+p）＞﹣p＞0，表示曲线是焦点在x轴上的椭圆B：由于2q+p＜q＜0，方程没有意义C：由于﹣2p﹣q＞﹣p＞0，表示焦点在x轴上上的椭圆D：由于2p+q＜p＜0，方程没有意义综合可得C符合题意故选C【点评】本题主要考查了二次方程表示椭圆及双曲线的条件，及椭圆与双曲线的焦点位置的判定，属于基础方法应用的考查9．已知定点N（0，1），动点A，B分别在抛物线及曲线上，若B在A的上方，且AB∥y轴，则△ABN的周长l的取值范围是（）A．（，2）B．（）C．（）D．（）【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出A，B点的纵坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B点的纵坐标为参数的式子，再根据前面求出的B点纵坐标范围计算即可．【解答】解：由得，抛物线及曲线在第二象限的交点纵坐标为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则0≤y1≤，≤y2≤2，由可得，三角形ABN的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=y1++y2﹣y1+a﹣ey2=+a+y2=3+y2，∵，≤y2≤2，∴≤3+y2≤4故选C．【点评】本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知．10．已知点P是椭圆上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是（）A．（0，2]B．C．[2）D．[0，4]【考点】椭圆的简单性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】结合椭圆的图象，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合，此时|OM|取最小值0；当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|取最大值2，由此能够得到|OM|的取值范围．【解答】解：由题意得c=2，当P在椭圆的短轴顶点处时，M与O重合，|OM|取得最小值等于0．当P在椭圆的长轴顶点处时，M与F1重合，|OM|取得最大值等于c=2．由于xy≠0，故|OM|的取值范围是，故选B．【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.11．若向量=（2，2，﹣1），=（3，λ，4），、的夹角的余弦值为，则λ=0．【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；空间向量及应用．【分析】根据向量的夹角公式即可求出答案．【解答】解：向量=（2，2，﹣1），=（3，λ，4），∴=2×3+2λ﹣1×4=2+2λ，||==3，||==，∵、的夹角的余弦值为，∴==，解得λ=0，故答案为：0．【点评】考查空间向量的数量积和模的运算，和利用数量积求向量的夹角，属基础题．12．已知平面α的一个法向量，点A（﹣1，3，0）在α内，则点P（﹣2，1，2）到α的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】先求出的坐标，利用向量的知识，点P（﹣2，1，2）到α的距离等于在法向量方向上的投影的绝对值．【解答】解：=（﹣1，﹣2，2），在法向量方向上的投影等于=，∴则点P（﹣2，1，2）到α的距离为故答案为：【点评】本题考查点面距离的计算．利用向量的方法降低思维难度，使问题更容易解决．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程得它的准线为l：x=﹣1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设线段AB的中点为M（3，y0），则M到准线的距离为：|MN|=3﹣（﹣1）=4，过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．故答案为：8【点评】本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．14．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为2π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值为3．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆方程求得a和c，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆面积求得内切圆半径，进而根据△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积求得△ABF2的面积=3|y2﹣y1|进而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得|y2﹣y1|的值．【解答】解：椭圆：，a=3，b=，∴c=2，左、右焦点F1（﹣2，0）、F2（2，0），△ABF2的内切圆周长为2π，则内切圆的半径为r=1，而△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积=×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|=×（|y1|+|y2|）×|F1F2|=2|y2﹣y1|（A、B在x轴的上下两侧）又△ABF2的面积═×|r（|AB|+|BF2|+|F2A|=×1×（2a+2a）=2a=6．所以2|y2﹣y1|=6，|y2﹣y1|=3．故答案为3．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆性质，本题的关键是求出△ABF2的面积，属于中档题．15．已知双曲线的实轴为A1A2，虚轴为B1B2，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F2折至点F，若点F在平面A1B1B2内的射影恰好是该双曲线的左顶点A1，且直线B1F与平面A1B1B2所成角的正切值为，则a=1．【考点】双曲线的简单性质；直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】由题意可得直线B1F与平面A1B1B2所成角为∠FB1A1，可得==，求得FA1的值，直角三角形FA1O 中，由勾股定理可得FO2=A1O2+FA12，由此求出a 的值．【解答】解：如图所示：由题意可得实轴A1A2 =4，B1B2，=2，FA1⊥面A1B1B2，直线B1F与平面A1B1B2所成角为∠FB1A1．∴==，∴FA1=．又FO=c=，A1O=2．直角三角形FA1O 中，由勾股定理可得FO2=A1O2+FA12，即4+a=4+，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，直线和平面所成的角，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答赢写出文字说明，证明过程或演算步骤16．如图所示，设A为△ABC所在平面外一点，HD=2CH，G为BH的中点（1）试用表示（2）若∠BAC=60°，∠CAD=∠DAB=45°，||=||=2，||=3，求||【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）利用向量的三角形法则及向量的运算律得出═即可；（2）利用（1）得出的结论，先将向量平方，再将等式求模即得．【解答】解：（1）====（2）==×4+×4++++2×2×3cos45°=+，【点评】本题考查向量在几何中的应用、向量的运算法则及向量的运算律．17．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为4，E为面A1D1DA的中心，CF=3FC1，AH=3HD，（1）求异面直线EB1与HF之间的距离（2）求二面角H﹣B1E﹣A1的平面角的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】（1）求出异面直线EB1与HF的方向向量，以及与它们垂直的向量，异面直线EB1与HF之间的距离等于．（2）求出平面HB1E的法向量为，平面A1B1E的法向量为，二面角H﹣B1E﹣A1的平面角的余弦值的绝对值等于夹角的余弦绝对值．【解答】解：如图建立直角坐标系D1﹣xyz，则E（2，0，2），B1（4，4，0），H（1，0，4）（1）=（2，4，﹣2），=（﹣1，4，﹣3）=（﹣1，0，2），设=（x，y，z）即，取x=1，则z=﹣3，y=﹣2，则=（1，﹣2，﹣3）异面直线EB1与HF之间的距离为=（2））=（2，4，﹣2），=（2，0，﹣2），=（﹣1，0，2），设平面HB1E的法向量为=（x，y，z）则即取x=2，则y=，z=1．∴=（2，，1）令平面A1B1E的法向量为=（x，y，z）则取x=1，y=0，z=1，则为=（1，0，1）∴|cos|==．∵二面角H﹣B1E﹣A为钝二面角．∴二面角H﹣B1E﹣A1的平面角的余弦值为．【点评】本题考查异面直线距离，二面角的大小计算．做题的关键是熟练掌握向量法求异面直线距离、二面角的公式与步骤，利用向量法求空间距离、空间角是向量的一个重要运用，向量的引入，为立体几何中二面角求解带来了极大的方便，题后应注意总结此法求二面角的规律．18．已知椭圆C：的左右焦点为F1，F2，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，且（1）计算椭圆的离心率e（2）若直线l向右平移一个单位后得到l′，l′被椭圆C截得的弦长为，则求椭圆C的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【专题】综合题．【分析】（1）直线l方程与椭圆方程联立，求出交点M的坐标，利用得到e值．（2）由（1）中求得的e值，可求出直线l方程，并化简椭圆方程，使其只含一个参数，设l′方程，与椭圆方程联立，用弦长公式求出l′被椭圆C截得的弦长，令其等于，即可得到椭圆方程．【解答】解：（1）y=ex+a，∴A（﹣，0），B（0，a）由，∴∴M（﹣c，），由，得（﹣c+，）=（，a），即∴e2=1﹣=，∴e=（2）∵e=，设椭圆的方程为3x2+4y2=3a2，l：y=x﹣+a即消y，得4x2+（4a﹣2）x+a2﹣4a+1=0．设l交椭圆于B（x1，y1），C （x2，y2）∴x1+x2=﹣，x1x2=∴l===∴a=∴椭圆的方程为【点评】本题主要考查了利用直线与椭圆位置关系求参数的值，注意韦达定理的应用．19．已知中心在原点的双曲线C的离心率为，一条准线方程为x=（1）求双曲线C的标准方程（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O 为原点），求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】综合题．【分析】（1）由，得，由此能求出双曲线方程．（2）由，知．由直线l与双曲线交于不同的两点得=36（1﹣k2）=0，再由韦达定理结合题设条件进行求解．【解答】解：（1）∵，∴a=，c=2，∴双曲线方程为=1．（2），∴（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣9=0，由直线l与双曲线交于不同的两点得=36（1﹣k2）=0，即k2≠，且k2＜1①x1+x2=，由＞2，得x1x2+y1y2＞2，而=（k2+1）x1x2+=．于是＞2，即，∴＜3，②由①②得＜1，．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．20．如图，已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）．（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；（Ⅱ）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（I）对抛物线方程进行求导，求得直线l的斜率，设出M的坐标，利用求得x和y的关系．（II）设l'方程代入椭圆的方程，消去y，利用判别式大于0求得k的范围，设出E，F的坐标，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，令，则可推断出，进而表示出（x1﹣2）•（x2﹣2）和（x1﹣2）+（x2﹣2），最后求得k和λ的关系，利用k的范围求得λ的范围．【解答】解：（I）由x2=4y得，∴．∴直线l的斜率为y'|x=2=1，故l的方程为y=x﹣1，∴点A的坐标为（1，0）．设M（x，y），则=（1，0），，，由得，整理，得．∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆．（II）如图，由题意知l'的斜率存在且不为零，设l'方程为y=k（x﹣2）（k≠0）=1 ①，将①代入，整理，得（2k2+1）x2﹣8k2•x+（8k2﹣2）=0，由△＞0得．设E（x1，y1）、F（x2，y2），则，②令，则，由此可得，，且0＜λ＜1．由②知，．∴，即．∵，∴，解得．又∵0＜λ＜1，∴，∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（，1）．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生基本的推理能力和基本的运算能力．21．椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求过点O，F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（Ⅲ）求的最值．【考点】圆锥曲线的综合．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）又抛物线方程求椭圆中c的值，再根据椭圆与抛物线的通径比求出a，b关系式，椭圆方程可解．（Ⅱ）由圆过点O，F1可得圆心横坐标值，再根据圆与椭圆的左准线相切，可求出半径．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程与椭圆方程联立，得x1x2与x1+x2，再代入，化简，即可得到关于k的式子，其范围也就是的范围．进而求出最值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1 ∵过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，∴AB为椭圆通径，CD为抛物线通经，∵，∴=，b2=a，∵a2=b2+c2，得a=，b=1，∴所求椭圆方程为（Ⅱ）∵所求圆过点O，F1，可设坐标为（﹣，n），∵圆与椭圆的左准线相切，∴半径r=﹣﹣（﹣2）=∴，n=，∴所求圆方程为．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）①当直线l斜率存在时，设方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得，∴x1x2=，x1+x2=..=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2==﹣﹣∵k2∈[0，+∞），∴∈[﹣1，）②当直线l斜率不存在时，可得啊（﹣1，）B（﹣1，﹣），此时，=．综上，∈[1，]．∴最大值为，最小值为﹣1．【点评】本题考查了椭圆，抛物线与直线的综合应用，属常规题，应当掌握解法．。

福州八中2015—2016学年第二学期期中考试高二数学（理）选修2-2考试时间：120分钟 试卷满分：150分2016.4.28第Ⅰ卷(100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.定积分dx ⎰-2)3(等于A ．－3B ．3C ． －6D ．62．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x = 是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确3.设O 是原点，向量,OA OB u u u r u u u r对应的复数分别为23,32,i i --+那么向量BA uu u r 对应的复数是A. 55i -+B. 55i --C. 55i +D. 55i -4.下列求导运算正确的是 A.(x +x 1)′=1+21xB.(log 2x )′=2ln 1x C.(3x)′=3x·log 3e D.(x 2cos x )′=－2x sin x5.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)，第一步应验证不等式A.1＋12<2B.1＋12＋13＜3C.1＋12＋13＋14＜3D.1＋12＋13＜26.若25p a a =+++ ，34q a a =+++，0a ≥，则p 、q 的大小关系是（ ）A.p q > B.p q =C.p q < D.由a 的取值确定7.设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的 A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.甲、乙速度v 与时间t 的关系如下图，)(b a 是b t =时的加速度，)(b S 是从0=t 到b t =的路程，则)(b a 甲与)(b a 乙，)(b S 甲与)(b S 乙的大小关系是 A ．)()(b a b a 乙甲>，)()(b S b S 乙甲>B ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲<v第8题bt甲乙C ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲>D ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲<9.设a 、b 、c 都为正数，那么三个数ac c b b a 1,1,1+++ A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于210.下面给出了四个类比推理：（1）由“若,,a b c R ∈则()()ab c a bc =”类比推出“若a,b,c 为三个向量则(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)”；（2）“a,b 为实数，220a b +=若则a=b=0”类比推出“12,z z 为复数，若22121200z z z z +===则”（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”. 上述四个推理中，结论正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11.复数z ＝i(i ＋1) (i 为虚数单位) 的共轭复数Z =12.曲线y x =与2y x =所围成的封闭图形的面积S=13.已知函数32()f x mx nx =+的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线30x y +=平行，若()[,1]f x t t +在区间上单调递减，则实数t 的取值范围是_______.14.凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1,x 2,…,x n ,有1212()()()()n nf x f x f x x x x f n n++++++≤L L ，已知函数y=sin x 在区间（0,π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A+sin B+sin C 的最大值为 .三、解答题（本大题共有3个小题，共34分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

闽侯二中、闽清高级中学、永泰二中、连江侨中、长乐二中2015—2016学年第二学期高二年段数学（文科）期中联考试卷（考试时间：2016年4月14日）完卷时间：120分钟 满分：150分 参考公式：（1）独立性检验公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++ （其中d c b a n +++=）（2）最小二乘法求线性回归方程系数公式1122211()()ˆ=()ˆˆn ni i i i i i n ni i i i x x y y x y nx y b x x x nx ay bx ====⎧---⎪⎪=⎪⎨--⎪⎪==⎪⎩∑∑∑∑ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项是符合题目要求的．） 1.若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =--，则M N 等于（ ） A ．{}0 B ．{}1- C ．{}0,1,2-- D {}0,1-2．复数321i i -（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ）A ．2155i -+ B ．2133i + C ．2155i -- D ．2133i - 3．下面各组函数中为相等函数的是（ ）A ()()1f x g x x ==- B. ()1,()1f x x g t t =-=-C. ()()f x g x ==2(),()x f x x g x x==4.已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，{|N x y ==，则=N M （ ）A. [1,2]-B. ),1[+∞-C. [2,)+∞D. φ5．用反证法证明命题:三角形的内角至少有一个钝角。

假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角6、下图给出的是计算201614121++++ 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） A.i>10？ B.i<10? C.i>20? D.i<20? 7. 已知命题P ：若y x >则x y ->-，命题q: 若y x >则22y x >。