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2019-2020学年北京市101中学高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共5小题，共15.0分）
1. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，=60°，则|a ⃗ +2b ⃗ |=( ) A. 2 √2 B. 2 √3 C. √10 D. 12
2. 下列函数中，周期为1的奇函数是( )
A. y =1−2sin 2πx
B. y =sin (2πx +π
3) C. y =tg π
2x
D. y =sinπxcosπx
3. 要想得到函数y =sin(2x −π
3)的图象，只需将函数y =sinx 的图象上所有的点( )
A. 先向右平移π
3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移π
6个单位长度，横坐标缩短为原来的1
2倍，纵坐标不变 C. 横坐标缩短为原来的1
2倍，纵坐标不变，再向右平移π
6个单位长度 D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π
3个单位长度
4. 在△ABC 中，c−a
2c =sin 2B
2(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为
( )
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形或直角三角形
D. 等腰直角三角形
5. 在正方体AC 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的
动点，且A 1F 与平面D 1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是( )
A. 点F 的轨迹是一条线段
B. A 1F 与BE 是异面直线
C. A 1F 与D 1E 不可能平行
D. 三棱锥F −ABD 1的体积为定值
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
6. 已知角α的终边经过点P(−3,4)，则sinα=______．
7. 已知f(x)=cos 2x −sin 2x ，则f(x)的最小正周期是______．
8. 已知A(1,2)，B(2,3)，C(−2,5)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =______； 9. 在△ABC 中，a =2，b =2√3，A =30°，则角B =______．
10. 设α，β是两个不同的平面，1是直线且1⊂α，则“1⊥β”是“α⊥β”的______
条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要)．
11. 如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积为60，E 为CC 1的中点，则三棱锥E −BCD 的
体积是______．
12. 若在△ABC 中，角A ，B ，C 对应边为a ，b ，c ，若A =60°，b =1，S △ABC =√3，
则a+b+c
sinA+sinB+sinC =______．
13. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB =3cm ，
AC =4cm ，AB ⊥AC ，AA 1=12cm ，则球O 的表面积为______cm 2． 14. 如图，在矩形ABCD 中，AB =√2，BC =2，点E 为BC 的中
点，点F 在边CD 上，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______．
15. 如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的
等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 16. 已知函数f(x)=2sin(2x −π
6).
(1)求函数f(x)的对称轴；
(2)当x ∈[0,π
2]时，求函数f(x)的最大值与最小值．
17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A.B ，C 的对边，且c =√2,A =105°,C =30°
(1)求b 的值
(2)△ABC的面积．
18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E，F分别为棱
AB，BC，C1B1中点．
(1)求证：AC1//平面B1DE；
(2)求证：AF//平面B1DE．
c=b．
19.已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+1
2
(1)求角A的大小；
(2)若a=1，求△ABC周长l的最大值．
20.如左图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=2√5，
BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，F为A1C的中点，如右图．
(Ⅰ)求证：EF//平面A1BD；
(Ⅱ)求证：平面A1OB⊥平面A1OC；
(Ⅲ)线段OC上是否存在点G，使得OC⊥平面EFG？说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，|b⃗ |=1，
2
×1+4=12，则|a⃗+2b⃗ |=2√3．
故选：B．
直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．2.【答案】D
【解析】解：∵y=1−2sin2πx=cos2πx，为偶函数，排除A．
∵对于函数y=sin (2πx+π
3)，f(−x)=sin(−2πx+π
3
)≠−sin(2πx+π
3
)，不是奇函数，
排除B．
对于y=tgπ
2x，T=ππ
2
=2≠1，排除C．
对于y=sinπxcosπx=1
2sin2πx，为奇函数，且T=2π
2π
=1，满足条件．
故选D．
对A先根据二倍角公式化简为y=cos2πx为偶函数，排除；对于B验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．
本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=
Asin(wx+ρ)的形式，再由最小正周期的求法T=2π
w
、奇偶性的性质、单调性的判断解题．
3.【答案】C
【解析】解：将函数y=sinx的图象上所有的点横坐标缩短为原来的1
2
倍，可得y=sin2x，
纵坐标不变，再向右平移π
6个单位长度，可得y=sin2(x−π
6
)=sin(2x−π
3
).
故选：C．
根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．4.【答案】A
【解析】解：∵c−a
2c =sin2B
2
，
∴1−cosB
2=c−a
2c
，
∵cosB=a
c ，又由余弦定理可得cosB=a2+c2−b2
2ac
，
∴可得：a2+b2=c2，
∴三角形为以∠C为直角的直角三角形．故选：A．
