厦大12~13大物期中试题解答
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一、（14分）
如图所示，电量q (0)q >
均匀分布在长为l 的细杆上，求在杆外延长线上与杆一端距离为
d
的P 点处： （1）电场强度p E ；
（2）电势p V （设无穷远处为电势零点）。
解：（1） 2
04dx
dE x
λπε=
； （3分） 20044()
d l d dx q
E x d d l λπεπε+∴==
+⎰ ⇒ 04()
q
E i d d l πε∴=-
+（或方向向左） （3+1=4分）
（2）04dx
dV x
λπε=
； （3分） 00ln 44d l d dx q d l
V x l d
λπεπε++∴==⎰ 。
（4分） 二、（14分）
半径为R 的介质球，相对介电常量为r ε，其电荷体密度0(1)r
R
ρρ=-，其中0ρ为常量，r 是球心到球内某点的距离。
求： （1）介质球内的电位移和场强的分布；
（2）在半径r 多大处的场强最大？场强的最大值是多少？ 解：（1）
2
4s
D ds D r
π⋅=⋅⎰⎰ ，
200
30(1)414()
34r
V
r dV r dr R
r
r R
ρρππρ=-
⋅=-⎰⎰⎰⎰又
⇒
厦门大学《大学物理》A 、B 类
课程期中试卷解答
2012－2013第一学期（2012．11．）
P
A
B
l
01()34r D r R ρ∴=- ， （5分） 0001()34r r D r
E r R ρεεεε∴==- ； （3分） （2）001()032r dE r
dr R
ρεε=-=令： ⇒ 得当 23r R =时场强E 最大。
所求场强的最大值为：02max 3
0()9R r r
R
E r ρεε==
（2+2+2=6分） 三、（16分）
半径分别为R 1、R 2的两个导体球A 、B ，距离很远，因而可将两球视为孤立导体球。
原来A 球带电量Q ，B 球不带电，现用一根细长导线将两球连接，静电平衡后忽略导线中所带电荷。
试求：（1）A 、B 球上各带电量为多少；
（2）该系统的等效电容值； （3）该系统储存的电场的能量。
解：（1）1101
4q V R πε=
, 2202
4q V R πε=
, 12V V =又 ,
12
01
02
44q q R R πεπε∴
=
—— （1） （2分）
12q q Q +=又 —— （2） （2分）
1112
R q Q R R ∴=
+ , 2
212R q Q R R =+ ; （2+2=4分）
（2）2
01214()Q Q Q
C R R V V V πε=
===+ ; （4分） （3）22
012128()e Q Q W C R R πε==
+ 。
（4分） 四、（14分）
已知半径为R 的载流圆形线圈，在轴线上距离环心处x 的一点
P 的磁感应强度为： 2
0223/2
2()
IR B i R x μ=
+ ,今有一半径为R ，均匀带电q 的导体球壳，
以匀角速度ω绕通过直径的x 轴转动，求球心处磁感应强度的大小。
X
A
解：带电圆环转动时产生的环形电流：2q I q T ωπ
=
= ， 在垂直x 轴方向割取一圆环产生的环形电流：
222dI dq r Rd R rd ωωσπϕσωϕππ
=
=⋅⋅⋅= （4分） 233000223/2
223/2
sin 2()2()2
r dI
R r d R dB d r x r x μμσωϕ
μσω
ϕϕ=
=
=
++ ， （4分）
3
20000
2
sin (cos 1)(cos )2
2
3
R R B d d R π
π
μσω
μσω
ϕϕμσω∴==
-=
⎰
⎰。
（6分）
五、（12分）
半径为R 的半圆形线圈ACD 通有电流I 2，置于电流为I 1的无限长 直载流导线的磁场中，直导线与半圆形线圈相互绝缘。
若直导线恰 经过半圆的直径，如图所示，求半圆线圈受到长直线电流I 1的磁力 的大小和方向。
解：
22I dl I Rd θ= ，01
2I B x
μπ=
， 01201222sin 2sin I I Rd I I d dF I Bdl R μθμθ
πθπθ==⋅=⋅ ， （5分）
012012sin 2cos 2x y I I dF dF d I I dF dF ctg d μθθπμθθθ
π⎧
==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
， （2+2=4分）
0120120
1
22x I I F d I I πμθμπ∴==⎰ ，012002y I I F ctg d πμθθπ
==⎰ ，
0121
2
x F F I I i μ∴== （2+1=3分） 六、（14分）
如图所示，一长为L 的金属棒OA 与载有电流I 的无限长直导线共面，金属棒可绕端点O 在竖直平面内以角速度ω沿逆时针方向作匀角速转动，试求：
（1）当金属棒转至与导线平行a 位置时，棒内的感应电动势的大小和方向；
B
I 1
（2）当金属棒转至与导线垂直b 位置时，棒内的感应电动势的大小和方向。
解：
()i d v B dl ε=⨯⋅
（1）在a 位置：
0022i I I d x dx xdx d d
μμω
εωππ=⋅
⋅= ， （3分） 2
00024L i I I L xdx d d μωμωεππ∴==⎰ ，方向由O A → ； （3+1分） （2）在b 位置：
002()
2()
i I
I xdx
d x dx d x d x μμωεωππ=⋅
⋅=
⋅++ , （3分） 00000(1)[ln()]222L L i I xdx I x I d L
dx L d d x d x d μωμωμωεπππ+∴=
=-=-++⎰⎰ , 方向由O A → 。
（3+1=4分） 七、（16分）
如图所示，两根无限长载流直导线相互平行，距离为2a ，两导线中的电流强度总是大小相等、方向相反。
在两导线所在的平面内有一半径为a 的金属圆环，圆环刚好在两平行长直导线之间并与两直导线彼此绝缘，
（1）若两无限长载流导线中的电流随时间变化0cos I I t ω=（0I 为常数），求圆环中感应电动势的大小；
（2）求圆环与两直导线之间的互感系数M 。
解：
0002
2
2()
2()
()
I
I
Ia B a x a x a x μμμππ
π=
+
=
-+- ， （3分）
2ds ydx
== ， （3分）
022()
Ia d B ds
a x μπ∴Φ=⋅=
⋅=
- ，
000022arcsin 2cos a
a
a
Ia
Ia
x
I a t a μμμωπ
π
--Φ=
=
=⎰
（4分）
（1）002sin i d I a t dt ξμωωΦ
∴=-
= ；（3分） （2）02M a I
μΦ
∴
== 。
（3分）。
