差分方程2

设 y * 是方程(1)的一个特解, yc( x)是(2)的通解,
那么方程(1)的通解为 yx yc (x) y* .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
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铃
用待定系数法求解. f(x) Pm (x) b x
其中 Pm (x) 是 m 次多项式, b 为非零常数.
设特解的形式为 y* x μQm (x)bx ,
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
（3）( yx zx ) yx zx
4 ( yt zt ) zt1yt yt zt yt1zt zt yt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
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铃
例1 设 yx x2 2 x 3 ，求yx 2 yx 解
§8.6 差分方程
一、基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、二阶常系数线性差分方程
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一、基本概念
在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔 时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的 时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统 计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这 类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学 模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分 方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 本节介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法， 与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似， 可对照微分方程的知识学习本节内容。

差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。

yt t ( n) t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
( n)
yt (t 1)
.
t
( n)
(t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
t (t 1) (t n 2)(t n 1)
( n 1)
称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地， 一阶常系数线性非齐次差分方程.
1．一阶常系数线性齐次差分方程的通解 一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得.
设 y0 已知，将 t 0,1,2, 代入方程
yt 1 Pyt 中，得
3
y1 Py0
y2 Py1 P y0
2
如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好 等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.
定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均 为一次，则称该差分方程为线性差分方程. 其一般形式为
yt n a1 (t ) yt n 1 an1(t ) yt 1 an (t ) yt f (t )
2．一阶常系数线性非齐次差分方程的通解
定理 设
yt
为齐次方程的通解，
yt 为非齐次方程的一个
*
特解，则
yt yt yt* 为非齐次方程的通解.
y t 1 P y t 0
* * 证明 由题设，有 yt 1 Pyt f (t ) ，及
将这两式相加得 ( y t 1 yt*1 ) P ( y t yt* ) f (t ) ，即
1 3 yt 3( )t 在初始条件 2 2
y0 5
解 这里
1 3 P , C 3, b 2 2

y 3 ay2 a (ay1 ) a 3 y 0 y x a y0
x
y x ka x
当 a 1 时通解为 y x k
k 为任意常数
例 求 y x 1 4 y x 0 满 足 y 0 1 的 特 解 解：通解为 y k 4 ,
x
y0 k4 x
x0
例 y x sin x, 求y x
解：y x sin(x 1) sin x
性质：
(1) ky x ky x ( 2 ) y x z x y x z x ( k为 常 数)
( 3 ) y x z x y x 1 z x z x y x y x z x y x y x z x ( 4 ) z z x z x 1 x
一 差分 定义：
设 函 数 y f ( x ), 记 y x f ( x ) , 当 x {0,1,2,3, , n }时, y x 的 值 可 以 排 成 一 列 数y 0 , y1 , , y n , ,
称差y x y x 1 y x 为函数 y f ( x ) 的(向前)一阶差分
y * 1 ( x 1) A( x 1) 2 B( x 1) C x
代 入 方 程


2x 2
y * 1 y * x 3 ( A A) x 2 (3 A B B) x(3 A 2B C C ) ( A B C ) x x
y 0 1, y1 1, y 2 y 0 y1 , , y x 2 y x y x 1 ,
y x 2 y x y x 1 所以定解问题为 y 0 1, y1 1