132奇偶性精品PPT课件

温馨提示： 给出奇函数 ( 或偶函数 ) 在直角坐标平面内
的某个半平面上的图象，要作出它的另一个半平面内的图
象是依据奇、偶函数图象的对称性．其过程是作出原图象 几个关键点 (图象的最高点、最低点、拐点等)关于原点或y 轴的对称点．然后按原图象的特征用平滑曲线连接这些点， 就作出了它们在另一个半平面的图象．
解：(1)∵奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，
－f(x))关于原点的对称点P′(x，f(x))．下图为补充后的图
象．易知f(3)＝－2.
(2)偶函数y＝f(x)在y轴右侧图象上任一点P(－x，f(x))
关于y轴的对称点P′(x，f(x))，下图为补充完后的图象．易知
f(1)>f(3)．
(1)定义：如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就
说函数f(x)具有奇偶性． (2)几何意义：定义域关于 原点 对称；图象关于原点 或y轴对称．
温馨提示：函数的奇偶性与最值都是在整个定义域上
的性质，是“整体性质 ”，而函数的单调性是在函数定义
域或其子集上的性质，是“局部”性质．
1．函数y＝x4＋x2 A．是奇函数
于y轴对称和关于坐标原点对称的函数是什么特殊函数呢？
1．偶函数 (1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 有f(－x)＝ f(x) ，那么函数f(x)叫做偶函数． (2)几何意义：定义域关于原点对称；图象关于y轴 对
称．
温馨提示：函数f(x)是偶函数⇔对定义域内任意一个x，
有f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)的图象关于y轴对称．
思路分析：利用函数奇偶性的定义判断．
解：(1)∵定义域为R，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x
＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． (2)∵定义域为{x|x>1或x≤－1}，定义域关于原点不对 称， ∴f(x)为非奇非偶函数．

(1)这两个函数的图象有何共同特征？
(2)对于上述两个函数， f(1) 与 f(－1) , f(2) 与 f(－2)，f(a) 与 f(－a) 有什么关系？由此可得到什么一般性的结论？
提示：(1)都关于y轴对称． (2)f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，f(a)＝f(－a)．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，当自变量任取定 义域中的一对相反数时，对应的函数值相等．即f(－x)＝f(x)，满足这种性质的函数叫作偶函数．
(2) 已 知 f(x) ＝ ax2 ＋ bx 是 定 义 在 [a － 1 ， 2a] 上 的 偶 函 数 ， 则 a ＋ b ＝
() A．1 C．－1
B．13 D．3
答案：B
解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a－1＋2a＝0，解得a＝13， 且有－2ba＝0，可得b＝0，因此，a＋b＝13.故选B.
2．下列函数既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x
B．y＝－x2
C．y＝|x|
D．y＝1x
答案：C
解析：对于A，y＝x为奇函数，所以A不符合题意；
对于B，y＝－x2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，所以B不符合题意；
对于C，y＝|x|既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增，所以C符合题意； 对于D，y＝1x为奇函数，所以D不符合题意．故选C.
第1课时 奇偶性的概念
预学案
共学案
预学案
函数的奇偶性❶
奇偶性
定义
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有_f(－__x)_＝_f(_x)___，那么函数f(x)是偶函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有_f(_－_x_)＝_－__f(x_)___，那么函数f(x)是奇函数

一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等

但必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”。
对称现象
蝴蝶
雪花晶体
3.2.2 奇偶性
引入课题：
已知函数f(x)=x2,求f(0),f(－1),f(1),f(－2),f(2)及
f(－x) ,并画出它的图象。
解:
f(0)=0, f(－1)=1，f(1)= 1
f(－1)=f(1)
(-x,y) f(-x)
(2)f(x)=2x4+3x2
解：函数定义域为R， ∵ ∀x∈R，都有－x∈R，且
f(－x)=(－x)3+2(－x) =－x3－2x
解：函数定义域为R， ∵ ∀x∈R，都有－x∈R，且
f(－x)=2(－x)4+3(－x)2
=－(x3+2x)=－f(x)
=2x4+3x2 = f(x)
∴ f(x)为奇函数
温故知新：求函数最值的方法
（1）图像法：若函数的图象有最高（最低）点,则最 高（最低）点的纵坐标为函数的最大（最小）值；
(2)单调性法：若函数在某个闭区间上是单调函数，则 该函数在此闭区间上的最值在区间端点处取得；
(3) 配方法：适用于二次函数；
(4) 换元法：主要用于根式类的函数；
(5)分离常数法：用于分式，且分子、分母中有类似的项； (6)不等式法：适用于能利用基本不等式来求最值的函数，
答：因为在函数奇偶性的定义中，对任意一个x都有 f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，所以－x也属于定义域， 因此奇偶函数的定义域必须关于原点对称.
学以致用： 1.已知f(x)＝ax2＋bx+3a+b是定义在[a－1，2a]上的偶 函数，则a＋b=______，单调递减区间为（__－__∞__，__0_]__