高二数学下学期期中试题（含解析）一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}{}2,1,0,1,2,,U A y y x x U =--==∈，则UA = （ ）A. {}0,1,2B. {}2,1,0--C. {}1,2--D. {}1,2【答案】C 【解析】 【分析】可求出集合A ，然后进行补集的运算即可．【详解】由题意，集合{}{}2,1,0,1,2,,U A y y x x U =--==∈，则{}0,1,2A =， 所以根据集合的补集的运算，可得{}2,1UA =--．故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的补集的运算，其中解答中正确求解集合A ，再根据集合的补集的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.若向量b 与向量()2,1a =-是共线向量，且35b =，则b =（ ） A. ()6,3-B. ()6,3-C. ()6,3-或()6,3-D. ()3,6-或()3,6-【答案】C 【解析】 【分析】根据b 与a 共线，可设()2,1b λ=-，再根据35b =，求得λ的值，即可得出向量b 的坐标．【详解】由题意，根据b 与a 共线，所以存在实数λ，使()2,1b λ=-； 又35b =，∴535=3λ=±；∴()6,3b =-或()6,3-．故选：C ．【点睛】本题主要考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，以及向量坐标求向量长度的方法，其中解答中熟记向量的基本运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.若4sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A.45B. 45-C.35D.35【答案】A 【解析】 【分析】πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）结合诱导公式求解即可【详解】π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）π4sin 65α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 故选A ．【点睛】本题考查诱导公式及角的变换，是基础题4.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()21f x x =+ ，则()7f = （ ）A. 2B. 2-C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】由()()4f x f x +=-，可得()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，据此可得()()71f f =-，结合函数的周期性与奇偶性，即可求解．【详解】根据题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=-，则有()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，则()()71f f =-， 又由函数为奇函数，则()()()211112f f -=-=-+=， 则()12f -=-，即()72f =-； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.函数()·ln xf x e x =的大致图象为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln xf x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ， 故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键6.可导函数()f x 在区间(), a b 上的图象连续不断，则“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据0()0f x '=和函数()f x 在区间(), a b 上有极值点的关系，结合具体函数，即可判断出结论．【详解】根据函数极值点的概念，可知()0, x a b ∈满足0()0f x '=，则0x 不一定是函数的极值点，例如()3,(2,2)f x x x =∈-，其中()00f '=，但0x =不是函数的极值点，此时函数()3f x x =在(2,2)x ∈-上没有最小值.又由函数(),(2,2)f x x x =∈-，其中当0x =时，函数()f x 取得最小值()00f =. 但0x =时，()f x '不存在，()2,0x ∈-时，()1f x '=-， ()0,2x ∈时，()1f x '=，所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”不成立.所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．【点睛】本题考查了函数有极值点的概念及应用，以及充要条件判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.从数字1到9中任取3个数字，要求既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数共有（ ） A. 420 B. 840C. 140D. 70【答案】A【分析】根据奇数和偶数的个数分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，然后进行全排列，即可求解，得到答案．【详解】由题意，9个数字中奇数为1，3，5，7，9，偶数为2，4，6，8， 三位数要求既有奇数也有偶数，则若1个奇数，2个偶数，有123543180C C A =个，若2奇数，1偶数，有213543240C A A =个， 由分类计数原理可得，共有180240420+=个， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中结合条件分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，分类求解是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.设向量,,a b c 满足||1,||2a b ==，0,()0a b c b a c ⋅=⋅+-=，则||c 的最大值等于（ ） A. 1 B. 2C. 51+5【答案】D 【解析】 【分析】设()()()1,0,0,2,,a b c x y ===，运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及圆的性质，可得所求最大值．【详解】由题意，向量,,a b c 满足1,2a b ==，0a b ⋅=， 可设()()()1,0,0,2,,a b c x y ===，由()0c b a c ⋅+-=，可得()()()(),1,2120x y x y x x y y ⋅--=-+-=，整理得2220x y x y +--=，即()2215124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即圆心(1,12)，半径5则c 的最大值为25r =【点睛】本题主要考查了向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查圆的方程的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.9.设F 为抛物线2:8C y x =的焦点，过点()2, 0P -的直线l 交抛物线C 于, A B 两点，点Q为线段AB 的中点，若47FQ =，则AB = （ ） 2 B. 2C. 2D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设直线l 的方程为()2y k x =+，联立方程组得2222240k x k x k +-+=（），由此利用韦达定理、点到直线距离公式能求出直线的斜率，然后利用弦长公式，即可求解．【详解】由题意，设直线l 的方程为()2y k x =+，112200, ,()()() , A x y B x y Q x y 、、，联立方程组28(2)y x y k x ⎧=⎨=+⎩，化简得2222(48)40k x k x k +-+=，∴212284k x x k -+=，124x x =，则1212()84y y k x x k +=++=， 由中点公式，可得20242k x k -=，04y k =， 又由2222424247k k k ⎛⎫-⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33k =±， 所以22111201616233AB x =+-=-= 故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线距离公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10.已知函数)22()log 13f x x x x =-+-，当2019x y +=时，恒有()()()2019f x f f y +>成立，则x 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1(,1)2C. (,0)-∞D. (1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得出()f x 在R 上是奇函数且为减函数，据此对x 进行分情况讨论，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数)22()log 13f x x x x =-+-，定义域为R ，且满足())()()2222log ()13log 13f x x x x x x x f x -=--++=++=-，所以函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，则有()00f =，又由()f x 在[0, )+∞单调递减，则()f x 在(,?0]-∞上也为减函数， 则()f x 在R 上为减函数，则()20190f <，当0x <时，20192019y x =->，即()()()2019f x f f y >>， 则恒有()()()2019f x f f y +>成立，当0x =时，2019y =，此时()()()()20192019f x f f f y +==，()()()2019f x f f y +>不成立，当0x >时，20192019y x =-<，此时不能满足()()()2019f x f f y +>恒成立， 所以x 的取值范围是(,0)-∞． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，其中根据函数的解析式判定出函数的奇偶性和单调性，分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11.已知复数z 满足1iz i-=（i 是虚数单位），则2z =_____；z =_____． 【答案】 (1). 2i 2 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，进一步求得2z ，再由复数模的计算公式求z ． 【详解】由题意，根据复数的运算，化简得21(1)()1i i i z i i i ---===---， 所以()2212, 2z i i z =--==故答案为：2i 2【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及模的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.计算：4log 2=_____；满足log 21x >的实数x 的取值范围是_____．【答案】 (1). 14(2). 12x <<． 【解析】 【分析】利用对数的换底公式及对数的运算性质求4log 2；把log 21x >化为同底数，然后分类利用对数的运算性质求解．【详解】由题意，根据对数的运算法则，可得12422lg 21log 2lg 4lg 24===，由log 21log xx x >=，当01x <<时，得2x >1x >时，得12x <<，∴实数x 的取值范围是12x <<．故答案为：14；12x <． 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数的运算公式和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．.13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12, A A 分别是双曲线的左、右顶点，00,() M x y 是双曲线上除两顶点外的一点，直线1MA 与直线2MA 的斜率之积是169，则双曲线的离心率为_____；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程为_____．【答案】 (1). 53 (2). 221916x y -=【解析】 【分析】根据000()), (M x y x a ≠±是双曲线上一点，代入双曲线的方程，由直线1MA 与直线2MA 的斜率之积是169，求出直线1MA 与直线2MA 的斜率，然后整体代换，进而求得双曲线的离心率，再根据双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，即可求出双曲线的方程．【详解】由题意，设000()), (M x y x a ≠±是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，则2200221x y a b -=，得到2220022y x a b a-=，故2202220y b x a a =-， 又()()12,0, ,0A a A a -， ∴1222000222000169MA MA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅===+--，得43b a = ∴221651193c b e a a ==+=+=， 其渐近线的方程为b y x a =±，即43y x =±，即430x y ±=，设双曲线的一个焦点坐标为(),0c ，则双曲线的焦点到其渐近线的距离445c=，解得5c =， 又因为222c a b =+，所以229, 16a b ==，故双曲线的方程为221916x y -=，故答案为：53，221916x y -=.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，主要是离心率的求法，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查化简整理的运算能力，属于中档题．14.二项式()512x -的展开式中系数最大的项为_____；已知52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a -+-+=_____．【答案】 (1). 480x (2). 810-． 【解析】 【分析】由二项式()512x -的展开式中通项()152rr rr T C x +=-，列出不等式组，求得r 的值，即可得出最大的项．对于二项式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，两边求导，再令1x =-，即可求解．【详解】由题意，二项式()512x -的展开式中通项公式()()15522rrrr r r T C x C x +=-=-．由()()()()115511552222r r r r r r r r C C C C --++⎧-≥-⎪⎨-≥-⎪⎩，解得4r =，即展开式的最大的项为()444455280T C x x =-⨯=． 由二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，两边求导可得：()42341234525122345x a a x a x a x a x -⨯⨯-=++++， 令1x =-，可得()4123452345251210[1]8a a a a a -+-+=-⨯⨯-⨯-=-．故答案为：480x ，810-．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式、导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.15.已知向量()2,4a =，向量a 在向量b 上的投影为3，且33a b -=，则b =_____． 【答案】7． 【解析】 【分析】根据条件即可得出220,cos ,3a a a b =〈〉=，然后对33a b -=两边平方，可得出2||670b b --=，即可求解b ，得到答案．【详解】根据条件：220,cos ,3a a a b =〈〉=，且33a b -=； 则()22222cos ,||62027a ba ab a b b b b -=-〈〉+=-+=；整理得2||670b b --=，解得7b =或1-（舍去）． 故答案为：7．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量投影的计算公式，向量坐标的数量积运算等知识的综合应用，其中熟记向量的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是_____．（用数字作答） 【答案】168． 【解析】 【分析】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置；若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置；据此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置， 若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5位置，可分4种情况讨论：①当甲在2号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在4、5、6号位置，若乙在4号或5号位置，只有2个位置是相邻的，有2232224A A ⨯⨯=种排法， 若乙在6号位置，有23212A ⨯=种排法， 由分类计数原理可得，共有241236+=种排法； ②当甲在5号位置，同理①，有36种排法；③当甲在3号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在1、5、6号位置， 若乙在1号位置，有23212A ⨯=种排法， 若乙在5号位置，有223212A A ⨯=种排法， 若乙在6号位置，有2232224A A ⨯⨯=种排法， 由分类计数原理可得，共有12122448++=种排法；④当甲在4号位置，同理③，有48种排法，则有36364848168+++=种不同的排法； 故答案为：168．【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理综合应用，本题解题的关键是在计算时，合理分类做到不重不漏，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.已知不等式()10x e a e x b -+++≤恒成立，其中e 为自然常数，则1b a+的最大值为_____． 【答案】1e【解析】 【分析】先利用导数确定不等式恒成立条件，再利用导数确定1b a+的最大值. 【详解】令()()1()()1xxf x e a e x b f x e a e '=-+++∴=-+ 当0e a -≥时，()0,,()f x x f x '>→+∞→+∞，不满足条件； 当0e a -<时，()0ln()f x x a e '=⇒=--，当ln()x a e >--时()0,f x '<当ln()x a e <--时()0,f x '> 因此()(ln())1ln()10f x f a e a e b ≤--=---++≤，从而1ln()1,()b a e a e a a+-+≤> 令2ln()ln()1(),()()ea e a e a e g x a e g x a a ---+-'=>∴=再令21ln()0()e e y a e y a e a e a e-'=--∴=-<--- 所以当a e e ->时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'<-=∴<<=； 当0a e e <-<时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'>-=∴><=； 即max 1()(2)g x g e e ==，从而1b a+的最大值为1e . 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.设函数2()3cos 2cos 1f x x x x ωωω=-+的图象关于直线x π=对称，其中常数1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．【答案】（1）65π（2）[]1,2- 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解ω，即可求解函数的周期．（2）通过角的范围，求解相位的范围，利用正弦函数性质求得函数的最值，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数2()3cos 2cos 1f x x x x ωωω=-+32cos 2x x ωω=-2sin 26x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由函数()2sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于直线x π=对称， 所以()2sin 226f ππωπ⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭，所以2,62k k Z πππωπ-=+∈， 解得1,23k k Z ω=+∈，又因为1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以56ω=，即5()2sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以最小正周期为265T w ππ==. （2）因为305x π≤≤，所以556366x πππ-≤-≤，则52sin [1,2]36x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()12f x -≤≤，即函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围[]1,2-. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查转化思想以及计算能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD平行四边形，60ABC ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90,2BAP AB AC PA ∠=︒===．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）若点M 为PD 中点，求直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2）2114【解析】 【分析】（1）证明PA AB ⊥，推出PA ⊥面ABCD ，得到PA BD ⊥，证明BD AC ⊥，说明BD ⊥面PAC ，即可证明面PBD ⊥平面PAC ．（2）取BC 中点E ，以点A 为原点，分别以, , AE AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，求出面PBC 的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求解直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值．【详解】（1）由题意，因为90BAP ∠=︒，则PA AB ⊥，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ， 所以PA ⊥面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，则PA BD ⊥ 又因为四边形ABCD 为平行四边形，且60, ABC AB AC ∠=︒= 则ABC ∆为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD AC ⊥ 又PAAC A =，则BD ⊥面PAC ，BD ⊂面PBD ，则面PBD ⊥平面PAC ．（2） 取BC 中点E ，以点A 为原点，分别以, , AE AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A ，(31,0)B -，30)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ， 由点M 为PD 中点，()0, 1, 1M ，则(3,0,1),(3,1,2),(3,1,2)MC PB PC =-=--=-，设面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则00PB n PC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则31,0,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设直线MC 与面PBC 所成角为θ，则||21sin |cos ,|14||||MC n MC n MC n θ⋅=〈〉== 所以直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值为2114．【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围． 【答案】（1）2a ≤（2）03a ≤< 【解析】 【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件；若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件．综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==， 当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-，不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件； 综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A ，且离心率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过A 作斜率分别为12, k k 的两条直线，分别交椭圆于点, M N ，且122k k +=，证明：直线MN 过定点．【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）利用椭圆C 过点()0, 1A ，以及离心率为32，求出, a b ，即可得到椭圆方程． （2）设直线方程为x t =，则()(),, ,M t s N t s -，求得1t =-，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：y kx b =+，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理以及122k k +=，得到k 与b 的关系，代入直线的方程，即可求解．详解】（1）由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A ，即211b=，解得1b =，由离心率32c a =222a c b -=，解得2a =，所求椭圆方程为：2214x y +=. （2）当直线MN 斜率不存在时，设直线方程为x t =，则()(),, ,M t s N t s -， 则1211,s s k k t t-+==--，所以121122s s k k t t t -++=+==---，解得1t =-，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，联立方程组2244x y y kx b⎧+=⎨=+⎩，得222(41)8440k x kbx b +++-=，设1122, , ,()() M x y N x y ，则2121222844,4141kb b x x x x k k -+=-⋅=++ （*）， 则()()121212121212121212122(1)11y x x y x x kx x b x x y y k k x x x x x x +-++-+--+=+==，将*式代入化简可得：288244kb kb -=-，即()()110k b b ---=，整理得1k b =+， 代入直线MN 方程，得()()11y b x b b x x =++=++，即()10b x x y ++-=，联立方程组10x y x+=⎧⎨=⎩，解得1,1x y =-=-， 恒过定点()1,1--.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22.设函数()2ln 1,) (f x ax x x a a R =-+-∈．（1）当0a =时，求证：()f x x ≤；（2）当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a ≥ 【解析】 【分析】（1）当0a =时，()ln 1f x x x =--，不等式()f x x ≤化为ln 10x x x ++≥，构造函数()ln 1s x x x x =++，利用导数求函数()s x 的最小值，从而证明不等式成立；（2）方法1：不等式化为2ln 1()ln 1a x x x x +≥+，令()2ln 1g x x x =+，利用导数判断()0g x >，不等式化为2ln 1ln 1x x a x x +≥+，记()2ln 1ln 1x x h x x x +=+，求出()h x 的最大值，即可得出a 的取值范围．方法2：讨论1x =时，()10f ≥，求得a 的取值范围，再证明1a ≥时，()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上()0f x ≥恒成立．【详解】（1）当0a =时，()()ln 1ln 1f x x x x x =--=-+， 要证明()f x x ≤，即证明ln 10x x x ++≥； 记()ln 1s x x x x =++，则1'()ln 1ln 2s x x x x x=+⋅+=+； 当20,()x e -∈时，()'0s x < ，函数()f x 在20,()x e -∈上单调递减；当2,()x e-∈+∞时，()'0s x >，函数()f x 在2,()x e -∈+∞上单调递增；所以()()()222212110s x s ee e e---≥=-++=-≥，即()f x x ≤； （2）方法1：2ln ln 10ax x x x a -+-≥ 即2ln 1()ln 1a x x x x +≥+， 令()2ln 1g x x x =+，令()()'2ln 2ln 10g x x x x x x =+=+=，得12x e -=；所以()g x 在120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调减，在12,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调增，则()211221111022g x g e e e --⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=⋅-+=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2ln 1()ln 1a x x x x +≥+，可化为2ln 1ln 1x x a x x +≥+， 记()2ln 1ln 1x x h x x x +=+，则()()2222ln ln 2ln 1'ln 1x x x x x x h x x x -+-+-=+，且()'10h =； 再令()22ln ln 2ln 1F x x x x x x x =-+-+-，精品 Word 可修改 欢迎下载 当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()2222ln ln 2ln 1ln 12ln 1F x x x x x x x x x x x x =-+-+-=-+-+-， ()22ln 1F x x x x ≥-+-，由（1）可知1ln 1x x ≥-，0x >时成立，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，221ln 1x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭， 由此22221()ln 111(1)0F x x x x x x x x x ⎛⎫≥-+-≥--+-=-≥ ⎪⎝⎭，()h x 在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调增；当,()1x ∈+∞时，()()()22ln 12ln 10F x x x x x x =-+-+-≤，()h x 在,()1x ∈+∞上单调减；因此()()11h x h ≥=，故1a ≥；方法2：当1x =时，()110f a =-≥，由此1a ≥证明如下：当1a ≥时，()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上，()0f x ≥恒成立， ()()2ln 1(ln 1)f x a x x x x =+-+，同法1证明，()2ln 10g x x x =+>，()()()222ln 1ln 1l ()()()n 1ln 1ln 0f x a x x x x x x x x x x x =+-+≥+-+=-≥；所以()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上，()0f x ≥恒成立，故1a ≥． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明和恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
