数学思维与解题基础
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数学思维与解题基础
数学是一门逻辑严谨的学科，需要学生的逻辑思维能力和形象思维能力。这就使得教师在教学中要注重培养学生的数学思维能力，师生在做题过程中要注重解题方法的总结。今天主要讲一下中学数学解题过程中基本解题思维和方法的培养。
关键词：初中数学 解题思维 解题方法
为适应新课标的要求及历年多变的考试题型，教师对学生的培养的侧重点不断向学习能力转移，而不是单独的注重于分数的提升。于是培养中学生的解决题目的能力成了近些年的热潮。而此处的能力是指学生对问题的分析能力及利用已学知识解决问题的能力。由于课堂是学生能力发展与提升的主要场所，我们就主要讲如何在课堂学习以及题目讲解中发展学生的思维能力。 一、数学思维 数学思维主要分为逻辑思维与非逻辑思维，其中非逻辑思维又包括形象思维与直觉思维。这三种思维类型都是我们在日常的数学学习中经常涉及到的思维方式。逻辑思维一般占主体，非逻辑思维做辅助作用。当然也存在相反的情况。只不过相较于上一种情况较少。 然后根据指向性的不同，思维又可分为定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维。明白这些思维的分类方式有助于我们更好地学习和发展它们。 逻辑思维是数学的基本思维形式，而概念则是逻辑思维的基本思维形式。概念给予我们一种所描述的情况，例如两组对边平行的四边形是平行四边形。在以后学习到新的图形的时候，第一时间会认识到这个图形是平行四边形或者不是平行四边形。这就是逻辑思维中的判断。我们对单个概念进行比对就有了判断的概念。那如果是单个或者多个判断的叠加呢？那么就有了我们所谓的推论。例如小明家在小红家左边，小芳家在小明家左边，那么我们可以得出推论小芳家在小红家左边。这些就是逻辑思维的主要思维形式。我们的解题过程都是建立在这些基础的思维形式之上。而非逻辑思维我们则不做过多的论述。 由上述内容可见，人的思维发展总是从认知到判断再到逻辑推理。这与我即将谈到的解题过程近乎完全一致。我们研究题目也必须契合人的思维模式，这样才能更好地为学生所接受。数学思维是我们学习数学，解决数学问题的基础和前提条件，也是大多数同学都具备的能力。但在我们真正解决问题的过程中，只拥有这种能力是不够的。于是便进入到我的下一个话题“解题思维”。
二、解题思维（方法） 正是思维给予了我们处理问题的方式，思维既是方法。那么什么是解题思维呢？简而言之就是拿到题目的我们，在对问题有充分的认知后，脑海中对问题的分析直到解决问题的过程，是我们对问题进行加工、重新定义的一个过程。我这边主要探究的是“转化思想”和“类比思想”。 “转化思想”——为什么要提及转化思想？因为但就题目而言，千变万化，但学生的所学内容其实就那么多，所掌握的内容也就那么多。那为什么这些脱身于所学内容的问题，会给我们的同学造成困扰呢？答案就是题目转化不到位，无法看到隐藏在题目中的所学内容。这才导致我们无从下手。我们简单的引入一道例题来看。
证明等腰三角形底边任意一点到两腰的距离之和等于腰高。
第一次遇到这个问题，应该证明你符合问题的意思。但是在实际操作中，我们发现这个证明一开始就太繁琐了。但如果转换话题，我们就抛开篇幅，从面积入手。。如图，这个问题的求解可以通过等腰三角形的等腰长转化为一个非常简单的问题，接下来就是证明过程。证明:连接点和交叉点的垂足分别为，，交叉点为垂足，因为有
因而等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于腰上的高。
隐藏在转化思想背后的正是我们所谓的“转化法”，题目正确的转化能够有效的降低题目的难度，但大多数同学反应这一转化的过程在实际问题解决过程中其实是难以想到的，这就导致很多同学在题目讲过后出现“恍然大悟”的情形，并且以为自己会了这种类型的题目，但事实上在下一次遇到同种类型的题目时依旧无法将问题成功转化，从而解决问题。 问题其实是出现在同学只是学会了长度、面积的转化方法，但是并没有消化题目中蕴含的转化思想。“徒得其形，不得其神。”知道有这样的方法却不知道什么时候使用。这在我接下的“解题过程”中会叙述到。 “类比思想”——类比一般出现在形式或内容近似的题型之中，可以帮助大家更好地理解题目，或者说给予大家解决问题的思路。类比思想一般不单独出现，大多时候都是伴随着转化的思想一同使用。久而久之就被人认作是转化的一种方法，但实际类比的思想应用的范围要大得多。从新旧课程的联系、到几何、代数之间的变换等许多地方都有类比思想的身影，但我们今天依旧只浅谈一下类比思想在数学解题中的使用。下面简单的说一道例题。在接下来的过程中我们也学习一下这道题目中所包含的类比的解题方法同构类比法。
首先，观察问题。在求最大值问题中，双根号的形式并不常见。相反，如果熟悉两点间距离公式的同学会想到，和我们的问题一样，也是第二个根号的形式。我们不妨先简单处理一下函数来得到问题，可以看作是上图所示。如果一些对称点通过轴相连，那么长度就是上式的最小值。
这道题目中就运用到类比中的同构类比，将原先的函数最值题目与几何问题中长度之和的最值进行了类比。极大地降低了问题的难度，但是同之前的转化思想一样，在实际运用中部分同学难以将思想融入到问题的解决之中。我们依旧留到解题过程中叙述。 三、解题过程 先前提及我们的解题的过程事实上与我们人的思维发展过程是一致的。都是从认知到判断再到逻辑推理，期间可能到涉及思维的重组或转化，但都逃不开这一大致的顺序。单是叙述可能过于宽泛，让我们引入一道例题来细致地感受一下这一过程。 例3 一个卖苹果的小贩每次卖出当前的一半多一个，四次后刚好卖完，问卖之前原来有多少个苹果。 所谓的认知就是我们通过阅读题目，我们可以获得某些信息，从而去理解题目进而获得解决题目的方法。换做是计算机，就相当于读取信息的这一过程。在阅读的过程中我们获得的信息有四个：每次卖出当前的一半多一个（运行方式）、卖四次（运行次数）、卖完（输出结果）、原先有多少个（所求内容）。 判断则是对于所获得内容的加工和归类，是一个将所获得的内容与已知（已学）内容进行联系的一个过程。本题其实就是已知过程中的数据，再按照一个既定的运算规则重复这一运算过程的简单运算题目。与我们所学的流程图类似，可以视作已知输出结果和运算规则，求输入数据的题目。 至于第三个步骤逻辑推理，就是在认知和判断的基础上，决定解决题目所需要的方法，以及梳理解题的具体步骤。在之前的判断中我们认识到本题其实就是对单个数据的反复加工，按照从已知出发的解题思路，我们应当从第四次卖完开始倒推，更改运算的顺序。从而有 但就本题而言，由于题目相对简单，很大可能只会出现在四则运算初学过后的小学。如果题目中给予的是初始数据那就可能不会对同学造成什么困难，可对于这一阶段学生，逆向思维反而成为了他们的难题，再加上部分同学可能存在题目信息提取不完全的问题。没有初始数据只有输出结果的这道题目，很大可能会使得同学不敢下笔。 对于这一部分不敢下笔的同学，我只能说“不妨就按照题目所说的式子写一遍”。 于是便有了：
再一步步代入计算就可以得到原先的苹果数目了。虽然相较于原先的逆向求解有些许的繁琐，但胜在顺应同学的思维顺序。
之前所提及的解题思维，同学们在实际的解题过程中难以想到，在我们看来只是少问了几个为什么。例如，第一题中求证等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于腰上的高。为什么会想到将长度和面积进行联系呢？其实在于题目中有意给我们划定的范围——等腰三角形。那等腰又如何与腰上的高进行联系呢？答案看起来似乎显而易见了，那就是面积。于是遇题多问几个为什么，从问题本身出发就是我们解题的一大要求。第二个要求就是我们在第二道例题遇到的情况了，对自己所学知识要充分了解，在见到题型的时候能够回想起来，相似的题目，或相似的结构。 以上所讲都是我的一些个人见解，如有不足希望能够指出。
