基于灰色-模糊马尔可夫链模型的滑坡变形预测
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基于灰色-模糊马尔可夫链模型的滑坡变形预测
朱惠群;陈洪凯
【摘 要】滑坡演变表现出力学参数及力学现象具有明显的不确定性和随机性,使得滑坡位移变形分析成为工程技术难题之一.在传统的灰色GM(1,1)模型基础上,对误差修正方面运用模糊数学思维,采用GM(1,1)-Fuzzy-Markov模型对相对误差进行二次预测.在对云阳凉水井滑坡变形监测成果的分析中,上述模型在一定程度上避免了单一GM(1,1)理论无法预测波动性的局限,实现了较好的预测,整体精度进一步得到提高,证明了该模型在滑坡变形预测方面的可行性与适用性,为滑坡变形预测问题的解决提供了有益的思考与探索.
【期刊名称】《三峡大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(035)002
【总页数】4页(P53-55,60)
【关键词】滑坡;预测;灰色;模糊;马尔可夫链
【作 者】朱惠群;陈洪凯
【作者单位】重庆交通大学岩土工程研究所,重庆400074;重庆交通大学岩土工程研究所,重庆400074
【正文语种】中 文
【中图分类】P642.22
滑坡的演变对人类的生活生产活动有着巨大的影响，准确地预报滑坡系统的演变具有重要的现实意义.而滑坡系统是一个受地质条件、地下水以及人类工程活动等多种因素影响的非线性动力系统，其演变规律极为复杂，表现出的力学参数及力学现象带有明显的不确定性和随机性.滑坡位移变形的分析也成了工程技术难题之一［1－3］.
灰色理论由邓聚龙教授［4］提出，常见的GM（1，1）模型被广泛地应用到社会、工业、地质等众多学科.但是单一的GM（1，1）模型对于滑坡位移预测具有较大的误差，无法达到预测精度要求.各方学者也曾提出许多修正方法［5－7］.本文在误差修正方面运用模糊数学思维，提出采用GM（1，1）－Fuzzy－Markov模型对相对误差进行二次预测，相比单一GM（1，1）模型预测的精度得到提升，效果显著.
1 GM（1，1）－fuzzy－Markov模型
1.1 滑坡变形的GM（1，1）预测
设滑坡中某一点的等时间位移监测得到的序列为｛dt｝，t＝0，1，2…n，n为观测次数.对序列｛dt｝进行一阶叠加生成序列｛xt｝，其中n.基于灰色模型理论假设xt 具有近似指数的增长规律，从而xt 可以视为某一特定的一阶微分方程的解，即满足：，其中a 为模型的发展灰数，反映xt 的发展趋势；u 为内生控制灰数，反映序列的变换关系.运用最小二乘法可得到a、u：
其中
计算离散xt 的预测序列
经过累减还原得到｛dt｝的预测模型
dt＝，it 为相对误差.可以对相对误差运用Fuzzy－Markov理论进一步地预测其可能分布的区间，对其加以修正以提高预测精度.
1.2 相对误差的Fuzzy－Markov模型
传统的Markov模型［8－10］只能将元素划分入明确的子集合，而这对于边界不明确的相对误差it 过于绝对化，运用模糊理论将元素和集合之间用隶属度的方式拓广到［0，1］［11－13］.根据这个思想首先对相对误差k进行模糊状态的划分.划分出的k 个模糊状态E1，E2，…，Ek 其隶属函数需要满足：
由此得到模糊状态矩阵E
设系统经过了m 步状态转移，则转移概率可作如下定义：
计入状态Ee 的数据个数有个，则有
状态Ee 的初始状态为
由状态Me 经m 步转移到状态Mj 的转移频数为
其中
计算出状态Me 经m 步转移到状态Mj 的转移概率：并满足.由此获得m 步fuzzy－Markov状态转移概率矩阵P（m）E .
设第t个时间的状态向量为It
则第t＋1个时间的状态预测向量则可如下求得：
其中m′为采用几步转移步数累加预测，一般取5，cm 为第m 步的转移权重.cm
可由各阶自相关系数rm 规范化得到，即
2 实例分析
本文以重庆云阳凉水井滑坡监测为例，进行短期预报分析.凉水井滑坡为推移式的深层大型、复活型土质老滑坡，位于云阳县水让村8组长江右岸斜坡地带，滑坡整体平面形态呈“U”形，后部地形呈近似圈椅状，南高北低，中后部地形较陡，前部地形较缓，自然坡度30～35°.凉水井滑坡滑体（Q4del）为滑坡堆积，主要由含角砾粉质粘土、人工填土、含碎石、块石粘土以及砂、泥岩块石组成；滑床为侏罗纪中统沙溪庙组（J2s）互层砂岩、泥岩；滑动带为滑坡堆积与下伏基岩接触带，滑动方向与现坡向基本一致.
图1为一监测点2009年4月6日～2009年5月8日的监测数据，共33组数据.假设最后4组数据未知，使用前29组数据计算GM（1，1）模型，得到GM（1，1）预测公式：
图1 凉水井滑坡一监测点实测曲线
根据上述的GM（1，1）预测公式，可以得到33组预测位移～dt＋1，t＝1，2，…，33，由于灰色预测头部具有较大的波动略去前4组数据，并计算从第5组开始到第33组的相对误差序列it，t＝5，6，…，33.运用it的前25组数据进行Markov和fuzzy－Markov对最后4组数据进行滚动预测.
对it，t＝5，6，…，29进行模糊状态划分，介于it多数元素取值区间为（－10%，10%），选取－10%，－5%，0，5%，10%这5个边界点，构造如下隶属函数：
隶属函数分布如图2所示.
图2 模糊隶属函数分布图
取m′＝5计算P（m）E ，通过累积加权概率分别得到第30～33组的状态预测向量～It＋1，选取最大可能性区间的中值作为i值的修正值.对i值修正后与单一的GM（1，1）模型进行对比，观察误差是否得到缩小及精度提高效果.
运用GM（1，1）－Markov模型计算出的修正后i值一同列入表1中进行对比.在对比关于i的Markov模型状态等分4 组与等分5 组后，表中给出结果相对要好的等分5 组预测后的修正i值参与对比.fuzzy－Markov预测结果均属于第二状态与实际相符，根据E2 的上限和下限分别为0和－10%，给出了经过预测中值－5%修正后的相对误差，其相对单一的GM（1，1）模型有较大的精度提升，得到令人满意的预测效果，比传统Markov预测效果更好.
表1 位移预测对比成果表序列日期／月－日实际位移／mm GM（1，1）预测位移i／mm 误差／mm ／%Markov预测修正后i值／%关于i的fuzzy－Markov预测积累预测状态概率1 2 3 4 5 GM（1，1）－fuzzy－Markov预测修正后i值／% 精度提高／% 误差／mm 位移／mm 30 5－5 94.86 97.79－2.92－3.08
0.67 0.335 2.522 1.402 0.009 0.732 1.92 37.8 1.82 96.68 31 5－6 95.41
102.12－6.71－7.03－3.28 0.268 2.550 1.295 0.016 0.872－2.03 71.1－1.94
93.47 32 5－7 102.09 106.65－4.56－4.47－0.72 0.498 2.505 1.080 0 0.918
0.53 88.0 0.55 102.64 33 5－8 104.32 111.38－7.06－6.77－3.02 0.461 2.499
1.081 0.004 0.954－1.77 73.9－1.84 102.48
3 结 论
1）本文提出滑坡变形的GM（1，1）－fuzzy－Markov模型，并通过实际算例验证了该模型在滑坡变形预测方面的可行性与适用性，为滑坡变形预测问题的解决提供了有益的思考与探索. 2）通过引入fuzzy－Markov理论，在一定程度上避免单一GM（1，1）理论无法预测波动性的局限，实现较好的预测，同时提高了预测精度.
3）与GM（1，1）－Markov模型对比说明了，在模糊状态划分下的Markov模型能更好地利用数据信息，避免硬划分造成的信息丢失，带来更佳的预测效果.
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