第九章立体几何教案(16)
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1 三垂线定理（2）
教学目的：
知识目标：．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容； 能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用。
能力目标：1．初步掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律．
2．擅长在复杂图形中分离出适用的直线用于解题．
3．进一步培育学生的识图能力、思维能力和解决问题的能力．
德育目标：通过强化训练渗透化繁为简的思想和转化的思想．
教学重点：三垂线定理及其逆定理的应用规律．
教学难点：对复杂图形如何分离出符合定理的条件用以解题和解决问题的能力的培育.
讲课类型：新讲课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学进程：
一、温习引入：
一、上节课咱们学习了三垂线定理及其逆定理，请一个同窗来叙述一下定理的内容．
（学生回答时，教师画出图形，板书如下：）
并指出：a必需在平面α内，但不必然通过点O．
师：从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线和直线垂直的重要命题，在论证直线和直线垂直的问题中，咱们常常常利用到它们．这节课，咱们就来学习它们的应用．
2．三垂线定理及其逆定理的内容；
3．练习：
已知：在正方体1AC中，求证：（1）111BDAC；（2）11BDBC．
二、讲解新课：
例1 Rt△ABC在平面α内，∠C＝90°，AC＝16，P为α外一点，PA＝PB＝PC，若是P到BC的距离为17，求点P到平面α的距离．
分析：求点到平面的距离，点到直线的距离，需要先作出那个距离，然后在适当的三角形中解那个三角形，本题关键的问题是肯定点P在平面a内射影O的具体位置和直角三角形的外心性质．
解：作PO⊥平面α，∵ PA＝PB＝PC，∴ OA＝OB＝OC
∴ O为Rt△ABC的外心．
取BC中点D，连结PD、OD．则OD是△ABC中位线．
由三垂线定理知PD⊥BC，即PD＝17，在Rt△ABC中，OP＝ DCBAD1C1B1A12
说明：那个例题通过三垂线定理证明直线与直线垂直，从而取得点到直线的距离，利用勾股定理解直角三角形是这种问题的常常利用方式．
教师引导学生看书，并讲解讲义例题：
（讲义例2）道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，可否求出电塔顶与道路的距离？
例2 如图1-96，在正方体AC1中，
求证：（1）AC1⊥A1D．（2）AC1⊥平面A1BD．
分析：本例关键在于引导学生观察图形转变时，如何正确运用三垂线定理．事实上，要证明AC1⊥A1D，知足的射影所在平面是竖直位置的平面DA1，垂线是C1D1，斜线是AC1，射影是AD1．应当克服思维定势给证题带来的消极影响．
教学时，教师先写出第（1）小题的题目，让学生试探，并画出图形，写出证法要点，教师作个别指点．然后，让一个学生板演，教师讲评．接着教师再写出第（2）小题的题目，让全部同窗观察、试探．
例3 点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC．
例4 长方体ABCD-A1B1C1D1中，P、O、R别离是AA1、BB1、BC上的点，PQ∥AB，C1Q⊥PR．
求证：D1Q⊥QR．
分析：PQ∥AB提供的结论是PQ⊥平面BB1C1C，又因为C1Q⊥PR，在平面BB1C1C上，利用三垂线逆定理，就可以够取得RQ⊥QC1；又因为D1Q在平面BB1C1C上的射影是QC1，再在那个平面上利用三垂线定理，就可以够取得结论．
证明：∵PQ∥AB，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，得PQ⊥平面BB1C1C，PR是平面BB1C1C的斜线，RQ是斜线PR在平面BB1C1C上
∴RQ⊥QC1．
又∵D1C1⊥平面BB1C1C，D1Q是平面BB1C1C的斜线，QC1是
∴D1Q⊥QR．
说明：本题运用了三垂线定理及其逆定理，探讨了直线与直线垂直关系的转换，图形中直线位置关系较为复杂，而且射影面也超级规位置，学生可能无法轻易看出，教师应当适当引导．
例5．已知：四面体SABC中，,SAABCABC平面是锐角三角形，H是点A在面HCSA3 SBC上的射影，求证：H不可能是SBC的垂心．
证明：假设H是SBC的垂心，连结BH，则BHSC，
∵BHSBC平面
∴BH是AB在平面SBC内的射影，
∴SCAB（三垂线定理）
又∵SAABC平面，AC是SC在平面ABC内的射影
∴ ABAC（三垂线定理的逆定理）
∴ABC是直角三角形，此与“ABC是锐角三角形”矛盾
∴假设不成立，
所以，H不可能是SBC的垂心。
例6．已知：如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1CC的中点，
F是,ACBD的交点，求证：1AFBED平面．
证明：1AAABCD平面，AF是1AF在面ABCD上的射影
又∵ACBD，∴1AFBD
取BC中点G，连结1,FGBG，
∵111111,ABBCCBFGBCCB平面平面，
∴,BG为1AF在面11BCCB上的射影，
又∵正方形11BCCB中，,EG别离为1,CCBC的中点，
∴1BEBG，∴1AFBE（三垂线定理）又∵EBBDB，∴1AFBED平面．
三、小 结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
四、作业
讲义第25页习题第6题。 补充：
1．已知P是ABC所在平面外一点，,,PAPBPC两两垂直，H是ABC的垂心，
求证：PH平面ABC．
2．已知P是ABC所在平面外一点，,,PAPBPC两两垂直，
求证：P在平面ABC内的射影O是ABC的垂心。
3．如图，ABC是正三角形，F是BC的中点，DF平面ABC，四边形ACDE是菱形，
求证：ADBE．
4．如图，过直角三角形BPC的直角极点P作线段PA平面BPC，
求证：P在平面ABC内的射影H是ABC的垂心。
题选
1．正三角形ABC的边长为a，AD⊥BC于D，沿AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，求折起后点B到AC的距离． （a47） GFEDCBAD1C1B1A1HPCBAA B
C
E D F 4 2．Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，PM⊥平面ABC，PM＝AC＝a，求点P到BC边的距离．5()2a
3．设P是△ABC所在平面M外一点，当P别离知足下列条件时，判断点P在M内的射影的位置．
（1）P到三角形各边的距离相等．
（2）P到三角形各极点的距离相等．
（3）PA、PB、PC两两垂直．
六、板书设计（略）
七、课跋文：
