人教版八年级下册《勾股定理》教学设计 优质课评选教案
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人教版八年级下册《勾股定理》教学设计
18.1 勾股定理（1）
一、教学目标
1.知识与能力：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探究过程．
2.过程与方法：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动；同时又安排了用拼图的方法验证勾股定理的内容，试图让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展同学们数与形结合的数学思想。
3.情感、态度与价值观：在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流良好学习的习惯。了解数学史,激发学生热爱祖国的思想感情,培养他们的民族自豪感。
二、教学重点、难点、关键点
1.重点：探索和证明勾股定理。
2.难点：用拼图的方法说明勾股定理。
3.关键：通过网格与拼图的办法来探索勾股定理的证明过程，理解其内涵．
三、教材分析：
这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书(人教版)八年级下册第18章第一节《勾股定理》第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解,并对今后学习解直角三角形打下初步的基础。
教学内容：
（一）欣赏图片，回眸历史
欣赏2002年国际数学家大会的会徽，并说明勾股定理是我国古代数学家于二千多年前就发现了，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题。
（二）感悟经典，探索发现
内容1：古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯，他有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系，请同学们一起来观察图中的地面，你有什么发现呢？
引导学生观察该图片，发现问题。
学生活动：观察、听取老师的讲述，从中发现图片a•中含有许多大大小小的等腰直角三角形。
内容2：用图片指示学生的发现，引导学生继续发现。
教师活动：
教师提问：同学们，你能发现课本图18．1-1中的等腰直角三角形有什么性质吗？
学生活动：与同伴合作探讨，从网格图中不难发现下面的现象：图18．1-1右边的三个正方形SA=SB，SC=SA+SB，即以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
教师小结：从图18-1-1，我们发现，等腰直角三角形的三边之间具有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和。
教师提问：上面我们研究了等腰直角三角形三边的性质，但是等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？
请同学们观察图18．1-2，
设定每个小方格的面积均为1，
（1）分别计算图中正方形
A、B、C、的面积；
（2）观察其中的规律，你能得出什么结论？•与同伴交流．
学生活动：分四人小组，讨论，并踊跃发表自己的看法。
思路点拨：实际上，以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积；或者某个正方形的面积加上4个直角三角形的面积。
通过合作探究，体验发现得到一个猜想：
如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。（命题1）
（三）古今中外，证明定理
1.教师活动：介绍我国的赵爽证法，充分应用拼图，解释“命题1”，让学生领悟勾股定理的证明；
如图所示的三个图中（1）和（3）都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，它们的面积相等。
大正方形的面积可以表示为:C2；也可以表示为:4•12ab +(b-a)2 .
∵ c2= 4•12ab +(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
∴ a2+b2=c2
点评：赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“数形统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。
向学生简单介绍：“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。
2.全世界许多国家的数学家以及数学爱好者都曾为勾股定理的证明付出过努力，作出过贡献，这使得这一定理至今已有几百种不同的证法。下面介绍毕达哥拉斯证法：
c a
b
c
a b
c a b
c
a
b
大正方形的面积可以表示为:(a+b)2；也可以表示为:c2+4•12ab.
因为(a+b)2 =c2+4•12ab
a2+2ab+b2 =c2+2ab
所以a2+b2=c2
3.“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形（学生自己证明）
四．应用与拓展
1、如图：在△ABC中,∠C=90°,
（1）若AB=5，AC=3， 则BC= ；
（2）若AC=5，BC=12，则AB= ；
2、如图：在Rt△ABC中,∠C=90°，若a∶c =3∶5，且c=20，则b= .
3、在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC= ,则BC= .
4、在△ABC中,∠A=90°，AB=AC，BC=2，则AC= .
5、某人欲从岸边一点A处横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B5m，结果他在水中实际游了13m，则该河流的宽度为 .
6、如图在△ABC中，∠ACB=90º， CD⊥AB，D为垂足，AC=6cm，BC=8cm.
求 ① △ABC的面积；②斜边AB的长；③斜边AB上的高CD的长。
五．探究
一个门框的尺寸如右图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5.
因此，
因为AC大于木板的宽，所以木板能从门框内通过。
3D C
A B
1m 2m
AC=52.236.
六．课堂小结：
1、这节课你学到了什么知识？
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2、在运用勾股定理时应该注意什么？
其实勾股定理在我们实际生活中有着非常广泛的应用，下节课我们一起来探讨勾
股定理的运用。
七．布置作业：
1、课本第70页第2、3、5题
2、通过查阅资料，了解勾股定理的文化背景与证明方法.
3、请你找一个在生活中实际应用勾股定理的例子.
