人教新课标版数学高一-高中数学必修2教案 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

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高中数学

2．1空间点、直线、平面之间的位置关系

2．1.1 平 面

平面

[导入新知]

1．平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．

2．平面的画法

(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①所示．

(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②所示．

3．平面的表示法

图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.

[化解疑难]

几何中的平面有以下几个特点

(1)平面是平的．

(2)平面是没有厚度的．

(3)平面是无限延展而没有边界的．

平面的基本性质

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高中数学 平面的基本性质

公理 内容 图形 符号

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α

公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l

[化解疑难]

从集合角度理解点、线、面之间的关系

(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．

(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．

(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示.

文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

[例1] 如右图所示，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．

(1)点P与直线AB.

(2)点C与直线AB.

(3)点M与平面AC.

(4)点A1与平面AC.

(5)直线AB与直线BC.

(6)直线AB与平面AC.

(7)平面A1B与平面AC. 打印版

高中数学 [解] (1)点P∈直线AB；

(2)点C ∉直线AB；

(3)点M∈平面AC；

(4)点A1∉平面AC；

(5)直线AB∩直线BC＝点B；

(6)直线AB⊂平面AC；

(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.

[类题通法]

三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

[活学活用]

根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：

(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.

解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①所示；

(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②所示；

(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③所示．

点、线共面问题

[例2] 证明两两相交且不共点的3条直线在同一平面内．

[解] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，

l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 打印版

高中数学 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．

法一：(纳入平面法)

∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.

又∵l2⊂α，∴B∈α.

同理可证C∈α.

又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.

∴直线l1，l2，l3在同一平面内．

法二：(辅助平面法)

∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.

∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.

∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.

同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.

∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．

∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．

[类题通法]

证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有以下几种

(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”．

(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．

(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．

[活学活用]

下列说法正确的是( )

①任意3点确定一个平面；②圆上的3点确定一个平面；③任意4点确定一个平面；④两条平行线确定一个平面．

A．①② B．②③

C．②④ D．③④ 打印版

高中数学 答案：C

共线问题

[例3] 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如右图所示．求证：P，Q，R 3点共线．

[证明] 法一：∵AB∩α＝P，

∴P∈AB，P∈平面α.

又∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.

∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．

∴P，Q，R 3点共线．

法二：∵AP∩AR＝A，

∴直线AP与直线AR确定平面APR.

又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.

∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.

∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，

∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．

[类题通法]

点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．

[活学活用]

如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q， 打印版

高中数学

求证：B，Q，D1 3点共线．

证明：如图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.

∴BD1⊂平面A1BCD1.

同理BD1⊂平面ABC1D1.

∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.

∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，

∴Q∈平面ABC1D1.

又∵A1C⊂平面A1BCD1，

∴Q∈平面A1BCD1.

∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．

2.证明三线共点问题

[典例] (12分)如下图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.

求证：EF，GH，BD交于一点．

[解题流程] 打印版

高中数学

[活学活用]

如右图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．

证明：∵EF∩GH＝P，∴P∈EF且P∈GH.

又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，又P∈平面ABD∩平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.

∴点P在直线BD上.

一、选择题

1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( ) 打印版

高中数学 A．A∈l，l∉α B．A∈l，l⊄α

C．A⊂l，l⊄α D．A⊂l，l∉α

答案：B

2．下列说法正确的是( )

A．三点可以确定一个平面

B．一条直线和一个点可以确定一个平面

C．四边形是平面图形

D．两条相交直线可以确定一个平面

答案：D

3．空间两两相交的3条直线，可以确定的平面数是( )

A．1 B．2

C．3 D．1或3

答案：D

4．下列推断中，错误的是( )

A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C．l⊄α，A∈l⇒A∉α

D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合

答案：C

5．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，那么( )

A．M一定在直线AC上

B．M一定在直线BD上

C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上

D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上

答案：A

二、填空题

6．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是________．

答案：直线AB⊂平面α

7．把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．

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高中数学 (1)A∉α，a⊂α________.

(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________.

(3)a⊄α，a∩α＝A________.

(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________.

答案：(1)C (2)D (3)A (4)B

8．平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈平面β且C∉l，AB∩l＝R，设过点A，B，C 3点的平面为平面γ，则β∩γ＝________.

答案：CR

三、解答题

9．求证：如果两两平行的3条直线都与另一条直线相交，那么这4条直线共面．

解：已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.

求证：直线a，b，c和l共面．

证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确定一个平面，设为α.

因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.又因为A∈l，B∈l，所以由公理1可知l⊂α.

因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β.

因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推论2知，经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．

10．已知正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.

求证：(1)D，B，F，E 4点共面；

(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R 3点共线．

证明：如图．

(1)连接B1D1，