高考数学一轮总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算课件理

第5章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第二节 平面向量的数量积及其应用模拟创新题 文 新人教A版选择题

1.(2016·晋冀豫三省一调)已知向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，

－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )

A. B.

C.2 D.10

解析　因为向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，

且a⊥c，b∥c，所以2x－4＝0，2y＝－4，解得x＝2，y＝－2，所以a

＝(2，1)，b＝(1，－2)，所以a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝＝.

答案　B

2.(2016·江西赣州摸底)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中

x∈(0，π).若|a·b|＝|a||b|，则tan x的值等于( )

A.1 B.－1

C. D.

解析　设a与b的夹角为θ.由|a·b|＝|a||b|，

得|cos θ|＝1，所以向量a与b共线，

则sin 2x＝2sin2x，即2sin xcos x＝2sin2x.

又x∈(0，π)，所以2cos x＝2sin x，即tan x＝1.

答案　A

3.(2014·郑州模拟)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函

数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是( )

A.一次函数且是奇函数 B.一次函数但不是奇函数

C.二次函数且是偶函数 D.二次函数但不是偶函数

解析　∵a⊥b，∴a·b＝0.于是f(x)＝(a·b)x2＋(|b|2－|a|2)x

－a·b＝(|b|2－|a|2)x，又∵|a|≠|b|，∴|b|2－|a|2≠0.∴f(x)

为一次函数且是奇函数.

答案　A

4.(2016·山西质量监测)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，在方向上的投影为( )

A.－3 B.－

C. D.3

解析　由＋＋＝0得＝－＝，

∴四边形OBAC为平行四边形.

又||＝||，∴四边形OBAC为边长为2的菱形.

∴∠ACB＝.

∴三角形OAB为正三角形，∵外接圆的半径为2，

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

第一节平面向量的概念及其线性运算

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的积的运(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb 算 同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

3．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；

2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；

3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．

[试一试]

1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )

A．有不相等的模 B．不共线

C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量

答案：C

2．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________.

解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.

答案：2

1．向量的中线公式

第三节 平面向量的数量积及其应用

［考纲传真］1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量

投影的关系3掌握数量积的坐标表达式， 会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表

示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 .5.会用向量方法解决某些简

单的平面几何问题 6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

双基自主测评I基础知识环能力全面巩固 ■

(对应学生用书第61页)

［基础知识填充］

1. 向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量 a和b，如图 4-3-1 ,作0A= a, 0B= b，则/ AOB=

0 (0 °w 0 < 180° )叫作a与b的夹角.

0 b B

图 4-3-1

(2)当0 = 0°时，a与b共线同向.

当0 = 180°时，a与b共线反向.

当0 =90°时，a与b互相垂直. '—

2•平面向量的数量积

(1) 定义：已知两个非零向量 a和b,它们的夹角为 0，则数量| a|| b| • cos 0叫做a

与b的数量积(或内积).规定：零向量与任一向量的数量积为 0.

(2) 几何意义：数量积 a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积

Jk 曜

或b的长度| b|与a在b方向上射影| a|cos 0的乘积.

3. 平面向量数量积的运算律

(1) 交换律：a • b= b • a；

(2) 数乘结合律：(入a) • b=入(a • b) = a •(入b)；

(3) 分配律：a •( b+ c) = a • b+ a • C.

4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量 a= (x1, y" , b= (x2, y2) , 0=〈 a, b>.

结论 几何表示 坐标表小 2

模 | a| =\a • a | a| =px2 + y2

数量积 a • b= a • b= X1X2+ y1y2 2

专题四 平面向量、数系的扩充与复数的引入

1.对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈π4，π2，且a∘b和b∘a都在集合n2|n∈Z中，则a∘b＝ ( )

A.52 B.32

C．1 D.12

2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3.设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1，2cosθ)垂直，则cos2θ等于( )

A.22 B.12

C．0 D．－1

4.若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为( )

A．0 B．－1

C．1 D．－2

5.△ABC中，AB边的高为CD，若CB→＝a，CA→＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD→ ＝( )

A.13a－13b B.23a－23b

C.35a－35b D.45a－45b

6.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP→的坐标为________．

8.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→·AF→＝2，则AE→·BF→的值是________．

9.设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________． 10.在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|，则AM→·AN→的取值范围是__________．