剖析立体几何中的“动态”问题

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立体几何中的易错点剖析

作者：吴雅琴

来源：《中学课程辅导·高考版》2019年第12期 龙源期刊网 龙源期刊网 龙源期刊网

立体几何是高中数學的主要知识模块，也是高考考查的重点知识之一，在求解立体几何问题时，部分同学常因概念不清晰，理解不透彻，盲目地套用性质定理等导致错解.在高三复习中，如能在这些易错点上强化正误辨析意识，就能加强训练的针对性，提高复习效率.本文意在剖析立体几何的常见错误，为同学们在今后的立体几何复习中能防微杜渐起抛砖引玉之用.

易错点一：概念不清导致错解

例1 以下四个命题：

①不共面的四点中，其中任意三点不共线;

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面;

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面;

④依次首尾相接的四条线段必共面.

其中正确命题的序号是 .

错解：①②

错因分析：①中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设矛盾，故①正确;②中，若A，B，C三点共线，则点A，B，C，D，E有可能不共面，故②错误;③中，如图所示正方龙源期刊网

体的棱中，a，b共面，a，c共面，而b，c异面，故③错误;④中，空间四边形的四条线段不共面，故④错误.

正解：①

例2 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若mα，n∥α，则m∥n;

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ;

③若α∩β=n，m∥n，m∥α，则m∥β;

④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.

其中是真命题的是 （填序号）.

错解：①②

４２　数学通讯　２００５年第１０期　

立体几何中的距离问题　

陈高源　（磐安县第二中学，浙江３２２３００）　距离问题是立体几何中重要的研究对象　之一．我们常见的空间距离有：　１。两点间的距离；　２。点到直线的距离；　３。两条平行线之间的距离；　４。两条异面直线间的距离；　５。点到平面的距离；　６。直线与平面平行时，线面间的距离；　７。两平行平面间的距离；　８。球面上两点间的距离．　例１把半径为１的四个小球叠成两层　放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，　试求上层小球最高点离桌面的距离．　

解设上层小球球　心为０．，下层三个小球　球心分别为ｏ２，Ｏ３，ｏ　ｏ４．连接ｏ１ｏ２，ｏ１ｏ３，　Ｏ１Ｏ４，Ｏ２Ｏ３，Ｏ２Ｏ４，　ｏ３ｏ４，由于这四个小球　ｏ２　图１例图　两两相切，故有ｏ１Ｏ２＝Ｏ１　Ｏ３＝Ｏ１　Ｏ４＝　０２Ｏ３＝Ｏ２Ｏ４＝Ｏ３Ｏ４＝２．　因此０１—０２０３０４可以看成是一个棱长　为２的正四面体（如图１），　过ｏ１作正四面体ｏ１一ｏ２　ｏ３ｏ４的高　ｏ１Ｋ，则Ｋ是正三角形ｏ２ｏ３ｏ４的中心，连　１　ｏ２Ｋ，则不难求得ｏ２Ｋ＝　３．于是　厂———　ｏ１Ｋ＝￣／ｏ１　ｏ２　一ｏ２Ｋ　＝√４一号＝专　．　由于ｏ２，ｏ３，ｏ４到桌面的距离为１，而　面ｏ２ｏ３ｏ４平行于桌面，故球ｏ１上最高点　离桌面的距离为１＋　＋１＝２＋　√石．　思考题１　（１９９７年全国高中数学联赛　试题）已知三棱维Ｓ—ＡＢＣ的底面是以ＡＢ　为斜边的等腰直角三角形，ＳＡ＝ＳＢ＝ＳＣ＝　２，ＡＢ＝２，设Ｓ，Ａ，Ｂ，Ｃ四点均在以。为球　心的某个球面上，则点。到平面ＡＢＣ的距　离是　．　例２　（１９９６年全国高中数学联赛试题）　已知将给定的两个全等的正三棱维的底面粘　在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六　面体，并且该六面体的最短棱的长为２，则最　远的两顶点之间的距离是　．　思路分析：问题欲求最远的两个顶点之　间的距离，也就是要求得该六面体中最远的　两顶点之间连线段的长．由题设条件我们可　知，六面体中两个正三棱维底面粘在一起的　截面是一个正三角形，它的三条棱长相等，且　该六面体其它六条棱长也相等．于是我们就　可进一步利用该六面体所有二面角都相等的　条件，通过解三角形和三角形之间的关系来　确定该六面体最远两顶点之间的距离　

２０１３年第１期　河北理科教学研究　问题讨论　

问　题　讨　论　立体几何中“动态问题”　

的若干解题途径　

福建省永定县侨育中学胡廷欣３６４１００　

立体几何中的“动态问题”，是指空间图　形中的某些点、线、面的位置是不确定的、可　变的一类开放问题．因其某些点、线、面位置　的不确定，往往成为学生进行一些常规思考、　转化的障碍；但又因其是可变的、开放的，更　有助于学生空间想象能力及综合思维能力的　培养．本文利用运动变化的观点对几例问题　加以分析，探求解决此类问题的途径．　１在运动变化中建立函数关系式　点、线、面的变化必然导致位置关系或一　些量的变化，在具体问题中，让变量变化，考虑　由此变化所引发的其它量的变化，构建目标函　数，则可将立体几何问题用代数方法解决．　例１（２００８北京卷，　理８）如图１，动点Ｐ在正　方体ＡＢＣＤ—Ａ】Ｂ１　Ｃ】Ｄ１　的对角线ＢＤ　上．过点Ｐ　

作垂直于平面ＢＢ　Ｄ。Ｄ　

的直线，与正方体表面相　Ａ　Ｂ　图ｌ　

交于Ｍ，Ｎ．设ＢＰ＝　，ＭＮ＝Ｙ，则函数Ｙ　

＝ｆ（　）的图像大致是（　）．　

Ａ　Ｂ　

Ｃ　Ｄ　分析：本题是立体几何与函数的交汇题，　可以先观察题目并进行空间想象加以判断，　再由ＭＮ的特殊性与平面ＢＢ　Ｄ　Ｄ垂直，可　

以把ＭＮ向平面ＡＢＣＤ内作正投影，保持其　长度不变，从而把空间问题转为平面问题，在　

平面内研究函数关系即可顺利完成．　解：设正方体的棱长　

为ｎ，由图形的对称性知　Ｐ点始终是　Ⅳ的中点，　

而且随着Ｐ　点从日点向　ＢＤ的中点滑动，Ｙ值逐渐　

增大到最大，再由中点向　Ｄ　点滑动，而逐渐变小，　图２　

排除Ａ，Ｃ，把ＭＮ向平面ＡＢＣＤ内正投影得　Ⅳ　，如图２所示．则　Ｎ　＝ＭＮ＝Ｙ，由　

于　＝Ｂ　Ｄ＝　＝　．　＝　，　Ｐ一　１一√　Ⅱ一３’…　一３　’　

所以当　≤　０时，ＭＮ＝Ｙ＝２ＢＰ　＝　

２４　６　为一次函数，故选Ｂ．　

评注：ＭＮ向平面ＡＢＣＤ内作正投影是　转化问题的关键．　２在运动变化中寻求变化的“轨迹”　当点、线的变化满足某些约束条件时，往　往能够形成其变化的轨迹，对其轨迹的寻求　其实质是考虑运动变化过程中的所有可能情　况、可能区域．　

２０＂１３年第１期　河北理科教学研究　问题讨论　

解决立体几何中“动态问题＂的常用策略　

湖北省大冶市第一中学袁方程黄俊峰４３５１００　

立体几何是高中数学的一个重要组成部　分，“动态立体几何”是立体几何的热点问题．　

本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几　何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关　系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给　

静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，　同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更　

趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查．　立体几何中的“动态问题”，是空间图形中的　

某些点、线、面的位置是不确定的、可变的一　类开放问题．因其某些点、线、面位置的不确　

定，往往成为学生进行一些常规思考、转化的　障碍；但又因其是可变的、开放的，更有助于　学生空间想象能力及综合思维能力的培养．　１在运动变化中建立函数关系式　点、线、面的变化必然导致位置关系或一　

些量的变化，在具体问题中，让变量变化，考虑　由此变化所引发的其它量的变化，构建目标函　数，则可将立体几何问题用代数方法解决．　

例１　等边三角形ＡＢＣ的边长为０，将　它沿平行于ＢＣ的线段ＤＥ折起，使平面　

ＡＤＥ上平面ＢＤＥＣ，若折叠后ＡＢ的长度为　ｄ，则ｄ的最小值为（　）．　

Ａ．４　３口Ｂ．　ｏ　ｃ．　３　０　Ｄ．　０　

・　６・　图１　＼　

，）　一　—　７　０　、　／　＼　

Ｆ　图２　Ｃ　分析：在此问题中，ＤＥ在三角形ＡＢＣ中　的位置是变化的，由此变化引起翻折后Ａ　０，　ＯＦ的变化，从而导致ＡＦ的变化，进而形成　

了折叠后ＡＢ的长度的变化．　

设Ａ　０：　，贝０　ＯＦ：４　３　ｏ—　，　，：　

厂————７　———～　＝√　＋（　。一　）　，ｄ＝　

厂—————————　：　———一　＝√（号）　＋　＋　口一　）　

：√２　一４３０　＋口２，由此易知　：　０　

时，ｄ取得最小值为　口．　

２在运动变化中寻求变化的“轨迹”　当点、线的变化满足某些约束条件时，往