例说立体几何中的动态问题

立体几何中动态问题的思考

教学目标：

 通过思考立体几何中的点、线、面元素位置的变化，如翻折、展开、旋转、射影等，加强学生的空间想象能力，有利于更好地掌握立体几何这门学科

 以动态的眼光去发现问题的本质和相互关联，自然有助于培养学生的自主探究能力和创新能力，并激发学生的发散性思维

教学过程：

一、例题

例1、下图1表示一个正方体的展开图，图中AB、CD、EF、GH这四条直线在原正方体中相互异面的有（ ）

A 2对 B 3对 C 4对 D 5对

分析：将展开图1翻折成正方体后，如图2，可知共有3对异面直线：AB和CD；EF和GH；AB和GH，所以选择B

题目设置目的：在学生的脑海中，建立平面与空间相应的联系，进一步锻炼学生的空间想象能力

例2：在透明长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌一些水，固定底面一边于地面BC上，将容器倾斜，随着倾斜度的不同，判断下列命题真假：

1） 水的部分始终呈棱柱形

2） 水面四边形EFGH的面积不会改变

3） 棱A1D1始终与水面EFGH平行

4） 如图2倾斜时，BE•BF为定值

图2 图1 A

H G

F E D C

B

(F) A

H C D

E B (G)

A1 B1

A D1 C1

B C D H G

F E A1

B1

A D1

C1

B C D H G

F

E

分析：

命题1，由于在倾斜过程中，长方体两侧面ABB1A1与CDD1C1的平行关系始终保持不变，所以有水部分几何体的两底面总平行，而其余各面为四边形，所以有水部分始终为棱柱。真命题！

命题2，显然水平放置是的水面面积与略倾斜时的水面面积是不同的。假命题！

命题3，沿BC倾斜，BC始终与水平面EFGH平行，即始终与水平面EFGH平行。真命题！

命题4，不管E，H在AB，DC上如何移动，水的体积是不会改变的，即三棱柱EFB-HGC的体积不变，因为三棱柱的高BC为定值，所以BE•BF为定值。真命题！

专题研究

• ZHUANTI YANJIU

例说圆在几0问题中5—类应用

◎金永涛 （北京理工大学附属中学，北京 100089）

【摘要】 过几 型的高中数学实例，呈现圆

在 析几何、立几何 ， 为 提供了知识

础（圆的定义、圆的方程与圆的性质），也为分析、思考、探

提供了 的思维方法（ 析），借助几何直观

和空间 的本质， 思•【关键词】 础；思 础； 析；几何直观；空

间

在 中，圆不仅 基本的 形之一，也

对 关系的形象刻画， 的 方法•一方面，圆 以描述两点间的平面距离，即:半 关系；另一

方面，圆可以描 度的大小， 度为直 ，对边就是

圆的直径;此外，圆还可以描 形的对 •圆的定 在 中有非 泛的 •文

中通 不同的例题，分 在 平面解析 、

体 ，圆不仅为 知识基础，也

分析、 、 的 基础.—、圆在解析几何中的应用

例1已知点A（ - 1，- 1），若曲线C上存在两点B，C， 使得.MBC为正三角形， 曲线C为厂型曲线.给定下列

三条曲线：

① 2 - - ! + 3 （0 （ ! （ 3 ）；② 2 - // - ! （ - //（ !（

0） ；. 2 --丄（！ >0）•%

其中，厂型曲线的个数是（ ）•A.0 6.1 C.2 D.3

解析 正三角形，即:顶角为60。的等腰三角形.在①中

如图1所示,AD= J

一定存在两点B，C，使得.ABC为正三角形,该曲线为厂型

在②中如图2所，点A与曲线均在圆!2 +22 =2上

从图形上观察，觉得不能存在正三角形的情况， 确

原因呢？ 知正三角形对三条边 三

确的 ，观察图形找到不满足的 关系即可.比

如，点A对应的最大 ,DAJ=45。， 线不是厂型曲

线•大家还可以 其他不满足的关系还有哪些.在③中如图3所，判断否存在正三角形不 直

识别,可以先判断能否存在 三角形，再进一步判断能

否存在正三角形•思考：图3

（1） 三形？（2） 在熟悉的图形中， 形可以呈现“等腰” ?

（3） 体 操作，如作图？

2006年第6期中学数学

例说用坐标法解立放n何问题

225002江苏省扬州大学附属中学昌明

《普通高中数学课程标准》将空间向量引入中学数学，并用它研究空间线、面的位置关

系，计算空间角与距离，使几何问题代数化，与立体几何传统的解法相比较，向量法降低

了对图形的处理技巧，也不需要很强的逻辑推理，为解决立体几何问题注入了新的活力.空间线面位置关系的判定、空间角与距离的计算是立体几何的重要内容，也是历届

高考的重点和热点.近年来，随着空间向量的

普及与推广，利用向量解决立体几何问题已越来越受到重视，尤其是利用坐标方法证明

平行、垂直问题，进行空间角与距离的计算已成为近年来考查学生运用向量方法解决立体

几何问题的重点.本文通过数例，谈谈用坐标法求解立体几何问题的常规解题思路.

我们可以把立体几何问题大体上分为两类:一类是空间线、面的位置关系;另一类是空间角与距离的计算.1用坐标法研究空间线、面位兰关系

的思想方法

<1)两直线平行与垂直的判定

建立空间直角坐标系，写出两直线的方

向向量的坐标，利用两直线的方向向量的平

行与垂直来判定两直线平行与垂直.(2)直线与平面平行或垂直的判定

建立空间直角坐标系，①利用直线的方

向向量与平面的法向量的平行(垂直)的来判定直线与平面垂直(平行);②转化为两直线平行与垂直的判定.

此外，直线与平面平行的判定也可以用共面向量定理证得，(3)平面与平面平行(垂直)的判定

建立空间直角坐标系，①利用两平面法向量的平行(垂直)来判定两平面的平行(垂直);②转化为直线与平面、直线与直线平行(垂直)的判定.

此外，平面与平面的平行也可用共面向量定理证得.2用坐标法计葬空间角与距离的思想

方法(1)两异面直线所成的角的求法

建立空间直角坐标系，写出两直线方向

向量的坐标，先求出它们方向向量的夹角，再确定两条异面直线所成的角.(2)斜线与平面所成的角的求法

斜线与平面所成的角可以通过料线的方向向量与平面的法向量的夹角来求得.(3)二面角大小的求法

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GGB软件在设置动态几何问题中的应用——以特殊位置问题为例

作者：曾飞鹏

来源：《福建中学数学》2019年第01期

GeoGebra（GGB）是数学教授MarkusHohenwarter创建的免费动态教学软件，能将几何（Geometry）与代数（Algebra）以直观、易用的方式集于一体，其功能强大，操作简单，资源丰富，能够在电脑、平板、手机等设备上运行，占用空间小，被广泛应用于数学、化学、物理等学科教学.

动态几何是初中数学重要的教学内容，也是每年中考的压轴问题，以近年广东省中考为例，动态几何问题常常在中考中以几何图形中的动点、平移、旋转、折叠为背景，考察线段、面积的最值，以及运动过程中的特殊位置问题等，因此动态问题是初三复习重要专题，由于动态几何题目信息量大，有一定难度，若一堂课讲多道题，则只能就题讲题赶速度;若一堂课只讲一道题，则课堂效率低下，那么，充分利用题干，进行变式教学，显得尤为重要，而进行变式教学的关键是能编制出有代表性的例题，设置出恰当的问题，好的问题既能给学生以方法上的指引，又能引发学生探究问题的兴趣，还能培养学生举一反三的能力.GGB软件的动画功能，能帮助教师、学生通过数学实验，更好的发现数学问题，从而有效提高动态几何教学的效率.

本文在《在平板上利用GGB软件探究动态几何问题》课题组研究的基础上，以课题组公开课《动态几何中的特殊位置问题》的备课历程为例，简述利用GGB软件的动画功能设置动态几何中的特殊位置问题.

例题如图1，在矩形ABCD中，AB= 6cm，BC= 8cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为lcm/s，同时，点Q从点D出发，沿DC方向以相同速度运动，连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F.设运动时间为f（s）（0

本题原型为2016年青岛中考题，若只就题讲题，则课堂会略显单调，学生所学的思想方法不能及时加以应用巩固，不妨将本题作如下几方面思考研究：