广东省汕头市高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
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2017年 潮师高级中学 期中测试
理科数学
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分.
（1）已知集合1Axx，20Bxxx，则AB
（A）11xx （B）01xx （C）01xx （D）01xx
（2）已知复数3i1iz，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数z所对应的点在
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x，则输出k的值为
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
（4）已知cos1123， 则5sin12的值是
(A) 13 (B) 223 (C) 13 (D) 223
（5）已知随机变量X服从正态分布23,N, 且40.84PX, 则24PX
(A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.32 (D) 0.16
（6）已知下列四个命题：
1p：若直线l和平面内的无数条直线垂直，则l；
2p：若22xxfx，则xR，fxfx；
3p：若11fxxx，则00,x，01fx；
4p：在△ABC中，若AB，则sinsinAB．
其中真命题的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（7）如果1P，2P，…，nP是抛物线C：24yx上的点，它们的横坐标依次为1x，2x，…，开始 0k23xx 2kk 结束 输入x 是
否 输出k 100?x nx，F 是抛物线C的焦点，若1210nxxx，则12nPFPFPF
（A）10n （B）20n （C）210n （D）220n
（8）等比数列{}na中，182,4aa，函数128()()()()fxxxaxaxa，则'(0)f（ ）
A．62 B．92 C．122 D．152
(9)若0＜m＜1，则( )
A．logm(1＋m)＞logm(1－m) B．logm(1＋m)＞0
C．1－m＞(1＋m)2 D．(1－m)0.3＞(1－m)0.5
（10）已知边长为23的菱形ABCD中，60BAD，沿对角线BD折成二面角ABDC为120的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
（11）设x，y满足约束条件 y≤x＋1，y≥2x－1，x≥0，y≥0，若目标函数z＝abx＋y(a＞0，b＞0)的最大值为35，则a＋b的最小值为( ) .
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 8
（12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是
某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为
（A）88246 （B）88226
（C）2226 （D）126224
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ．
（14） 422xx的展开式中，3x的系数为 ． （用数字填写答案）
（15）已知AD是ABC的中线，(,)ADABACR，0120,2AABAC，则||AD的最小值是 . （16）已知函数211,1,42,1xxfxxxx， 则函数22xgxfx的零点个数为
个
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，点D在边AB上，CDBC，
53AC，5CD,2BDAD.
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
（18）（本小题满分12分）已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝f(x)的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝3anan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn
（19）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55,65，65,75，75,85内的频率之比为4:2:1．
（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间
75,85内的频率；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的
这种产品中随机抽取3件，记这3件产
品中质量指标值位于区间45,75内的产
品件数为X，求X的分布列与数学期望．
（20）（本小题满分12分）
如图，四棱柱1111ABCDABCD的底面ABCD是菱形，ACBDO，1AO底面ABCD，21AAAB．
（Ⅰ）证明：平面1ACO平面11BBDD；
（Ⅱ）若60BAD，求二面角1BOBC的余弦值． A B C
D
质量指标值 0.012
0.004 0.019 0.030
15 25 35 45 55 65 75 85 0 频率
组距
1D
A B C D
O 1A 1B 1C
（21）（本小题满分12分）
已知函数+3()exmfxx,ln12gxx．
（Ⅰ）若曲线yfx在点00f，处的切线斜率为1，求实数m的值；
（Ⅱ）当1m时，证明：3()fxgxx.
请考生在第23、24题中任选一题做答，做答时请写清题号．
（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin2，0,2.
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l：33,32xtyt（t为参数，tR）的距离最短，并求出点D的直角坐标.
（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数1fxxaxa．
（Ⅰ）当1a时，求不等式12fx的解集；
（Ⅱ）若对任意0,1a，不等式fxb的解集为空集，求实数b的取值范围．
2017年 潮师高级中学 期中测试
理科数学试题答案及评分参考
一．选择题
（1）D （2）D （3）C （4）A （5）B （6）B
（7）A （8）C （9）D （10）D （11）D （12）A
二．填空题
（13）43 （14） 40 （15）1 （16）2
三．解答题
（17）(Ⅰ) 解法一： 在△ABC中，因为2BDAD，设ADx0x，则2BDx．
在△BCD中，因为CDBC，5CD，2BDx，
所以cosCDCDBBD52x．………………………………………………………2分
在△ACD中，因为ADx，5CD，53AC，
由余弦定理得2222225(53)cos225ADCDACxADCADCDx． ………4分
因为CDBADC，
所以coscosADCCDB，
即2225(53)5252xxx．………………………………………………………5分
解得5x．
所以AD的长为5. …………………………………………………………………6分
解法二： 在△ABC中，因为2BDAD，设ADx0x，则2BDx．
在△BCD中，因为CDBC，5CD，2BDx，
所以2425BCx．
所以2425cos2BCxCBDBDx．……………………………………………2分
在△ABC中，因为3ABx，2425BCx，53AC，
由余弦定理得2222213100cos26425ABBCACxCBAABBCxx．…………4分
所以24252xx22131006425xxx．………………………………………………5分
解得5x．
所以AD的长为5. …………………………………………………………………6分
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得315ABx，2425BCx53．………………8分
所以3cos2BCCBDBD，从而1sin2CBD．…………………………10分
所以1sin2ABCSABBCCBA 117531553224．……………………………………………12分
解法二：由（Ⅰ）求得315ABx，2425BCx53．………………8分
因为53AC，所以△ABC为等腰三角形．
因为3cos2BCCBDBD，所以30CBD．……………………………10分
所以△ABC底边AB上的高15322hBC．
所以12ABCSABh
15375315224．……………………………………………12分
【18】[自主解答] (1)设函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝6x－2，
得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.
又因为点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝f(x)的图象上，
所以Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5，所以，an＝6n－5(n∈N*)．
(2)由(1)知bn＝3anan＋1＝3（6n－5）[6（n＋1）－5]
＝1216n－5－16n＋1，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12[(1－17)＋17－113＋…＋16n－5－16n＋1]＝12(1－16n＋1)．
因此，要使121－16n＋1
则m需满足12≤m20即可，则m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
（19）解：（Ⅰ）设区间75,85内的频率为x，
则区间55,65，65,75内的频率分别为4x和2x．…………………………1分
