数形结合思想在高考解题中的应用

1

高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习（含答案解析）

一、单选题

1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线()

:40lxmy+−=

与曲线

2

4xy=−有两个

交点，则实数m的取值范围是（

）

A

．3

0

3m B

．3

0

3m C

．

03m D

．

03m

【答案】B

【解析】

2

4xy=−表示的曲线是圆心为()

0,0，半径为2的圆在y

轴以及右侧的部分，如图所

示：

直线()

:40lxmy+−=

必过定点()

0,4

，

当直线l

与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，

即

24

2

1m

m−

=

+

，结合直线与半圆的相切可得3

3m=，

当直l

的斜率不存在时，即0m=

时，直线和曲线恰有两个交点，

所以要使直线和曲线有两个交点，

则3

0

3m.

故选：B.

2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x

，y

是实数，且

22

410xyx+−+=，则2

1y

x+

+的最大值是（

）

2

A

．630

6−

B．11

6 C．33

6 D

．630

6+

【答案】D

【解析】方程可化为()

2

23xy−+=，表示以()

2,0为圆心，

3为半径的圆，2

1y

x+

+的几何意义是

圆上一点与点A()

1,2−−连线的斜率，设2

1ky

x=+

+，即()

21ykx+=+

，当此直线与圆相切时，

斜率最大或最小，当切线位于切线AB

时斜率最大.

此时

222

3

1kk

k+−

=

+

，630

6k

=，，所以2

1y

x+

+

的最大值为630

6+

.

故选：D．

3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数()

fx

是定义在R上的偶函数，当

)

0,x+

时，

()

2

4fxxx=−.若函数()()()

Rgxfxmm=+

，则函数()

gx

的零点个数不可能是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】函数()

fx

是定义在R上的偶函数，当

)

0,x+

时，()

22

4(2)4fxxxx=−=−−,

作出()

fx

的图像如图：

3

，

故当0m=

＜数学之友＞　２０１０年第４期　圜浅析数形结合在高考解题中的应用　徐迅　（江苏省无锡市高等师范学校，２１４００１）　数形结合思想是中学数学重要的思想方法之　一．“数”是指数量关系，“形”是指空间图形．“数”　与“形”反映了事物两个方面的属性．在数学发展过　程中，数与形常常结合在一起，内容上互相联系，方　法上互相渗透，并在一定的条件下互相转化．所谓数　形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与　形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方　法．通过数形结合思想，能够将抽象的数学语言与直　观的几何图形有机的结合起来，促使抽象思维与形　象思维完美地统一起来，从而使复杂问题简单化，抽　象问题具体化，易于找出解题的捷径，避免了复杂的　计算与推理．纵观多年来的高考试题，对数形结合的　思想和方法有着较高的要求，巧妙运用这一思想方　法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效　果．下面就具体谈谈这一思想方法在近几年高考中　的应用．　１　数形结合在简易逻辑中的应用　例ｌ“口＝１”是“函数ｆ（　）＝Ｉ　一口Ｉ在区间　［１，＋∞）上为增函数”的　（　）　（Ａ）充分不必要条件　（Ｂ）必要不充分条件　（ｃ）充要条件　（Ｄ）既不充分也不必要条件　分析：要解答此题首先应该清楚函数　）＝Ｉ　一口ｌ的图象是过点（Ⅱ，０）斜率为ｌ与一１的　轴上　方的两条射线，这两条射线关于戈：０对称（在对称　轴右侧单调递增，左侧单调递减），因此“口≤１”就等　价于“函数，（　）＝Ｉ　一口Ｉ在区间［１＋Ｏ０）上为增函　数”，这样问题就转化为“口＝１”是“ｏ≤１”的充分不　必要条件，故选Ａ．　２数形结合在解方程中的应用　在确定某些方程的根的个数问题、根的大小问　题以及根的取值范围等问题时，都可以借助于数形　结合思想，从直观的图形出发观察出方程根的情况．　・８０・　例２　已知以Ｔ＝４为周期的函数ｆ（　）＝　｛．ｍ，／１一　２，　∈（．－１，１　＂１，其中ｍ＞０．若方程ｓｆ　【１一Ｉ　一２Ｉ，　∈（１，３］，　（　）＝　恰有５个实数解，则／＇／．ｇ的取值范围为（　）　ｃ　Ａ　孚，了８）　（ｃ）　了８）　㈣（孚卅　（Ｄ）（　，　），　一一　一。　ｆ６　ｌ　２　３　４　５　６　７　８　９　分析：因为当　∈（一１，１］时，将函数化为方程　＋　＝１（），≥０），实质上为一个半椭圆，如图所　示，同时在坐标系中作出当　∈（１，３］的图象，再根　据周期性作出函数其它部分的图象．由图易知当直　线Ｙ＝詈与第二个椭圆（　一４）　＋　＝１（），≥０）相　ｊ　ｍ　交，而与第三个半椭圆（　一８）　＋　＝１（ｙ≥０）无公　共点时，Ｙ＝詈与周期函数恰有５个交点，即方程有　５个实数解．　解：联立直线与第二个椭圆的方程组　ＩＹ　丁，　Ｊ　：　有两个交点，因此Ｄ＜０，　Ｉ（　一４）　＋　＝１（　＜ｏ）　由ｍ＞０得ｍ＞　．联立直线与第三个椭圆的方　Ｉ，，　了，　．　程组｛　：　无交点，因此Ｄ＜０，　ｌ（　一８）　＋２＿＝１（），＜０）　＜　，所以ｍ∈（孚，　．

⾼中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）

数学好教师 2020-07-17

⼀

数形结合的三个原则

⼀

等价性原则

在数形结合时，代数性质和⼏何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．⾸先，由代数式、⽅程、不等式构造函数时⼀要注意变量(包括⾃变量和因变量)的取值范围。

⼆

双向性原则

既要进⾏⼏何直观分析，⼜要进⾏相应的代数抽象探求，直观的⼏何说明不能代替严谨的代数推理.另⼀⽅⾯，仅⽤直观分析，有时反倒使问题变得复杂，⽐如在⼆次曲线中的最值问题，有时使⽤三⾓换元，反倒简单轻松.

三

简单性原则

不要为了“数形结合”⽽数形结合．具体运⽤时，⼀要考虑是否可⾏和是否有利；⼆要选择好突破⼝，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运⽤函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定⼆次曲线．

⼆

数形结合的应⽤

⼀

利⽤数轴、韦恩图求集合

利⽤数形结合的思想解决集合问题，常⽤的⽅法有数轴法、韦恩图法等。当所给问题的数量关系⽐较复杂，不好找线索时，⽤韦恩图法能达到事半功倍的效果。

⼆

数形结合在解析⼏何中的应⽤

解析⼏何问题往往综合许多知识点，在知识⽹络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的⾓度把抽象的数学语⾔与直观的⼏何图形结合起来，达到研究、解决问题的⽬的.

构建解析⼏何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；

如果等式、代数式的结构蕴含着明显的⼏何特征，就要考虑⽤数形结合的⽅法来解题，即所谓的⼏何法求解，⽐较常见的对应有：

（⼀） 与斜率有关的问题

（⼆） 与距离有关的问题

三

数形结合在函数中的应⽤

（⼀） 利⽤数形结合解决与⽅程的根有关的问题

【点拨】【点拨】数形结合可⽤于解决⽅程的根的问题，准确合理地作出满⾜题意的图象是解决这类问题的前提.

（⼆） 利⽤数形结合解决函数的单调性问题

（三） 利⽤数形结合解决⽐较数值⼤⼩的问题

（四） 函数的最值问题

（五） 利⽤数形结合解决抽象函数问题

四

运⽤数形结合思想解不等式

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数形结合在高考解题中的应用

每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。著名数学家华罗庚曾说过：“形缺数时难入微，数少形时难直观。”就准确而生动的说明了这一点。因此在解题时有意识的将二者结合起来，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义，而形的问题借助数去思考，分析其代数含义，使数量关系和空间形式巧妙机智地结合越来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决。

在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。它的本质是“以形助数，以数定形”，数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”高考试题常以下列方式出现：①研究方程根的情况；②讨论函数的值域；③求变量的取值范围；④解不等式。

1.韦恩图

韦恩图是解决集合运算问题常用的工具，还可证明一些常用的恒等式，如A∩B=A∪BA=B，A=A∩BABB=A∪B，C∪ （A∩B）= C∪A∪C∪B，C∪（A∪B）=

C∪A∩C∪B等。

例1.某班50人中，参见数学竞赛的25人，参加化学竞赛的32人，求既参加数学竞赛又参加化学竞赛的人数的最大值和最小值。

解：设两科都参加的人数是x人，则参加化学竞赛和参加数学竞赛的人数分别是32-x，25-x

根据题意的实际意义得：32-x≥025-x≥025-x+32-x+x≥0，解不等式可得7≤x≤25

2 / 3

例2：有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？