黄昆 固体物理 习题解答
第二章 晶体的结合
2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α = 2 2n
解：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这
样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相
邻离子间的距离，于是有
α = ∑ ′ ( 1)
=
2[ 1 1 1 1
− + − + ...]
rjrij r 2r 3r 4r
前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，
i
1 1 1 故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为
2 3 4 α = 2[1− + − + ...]
2 3 4
x x x
Qln(1 + x) = −x + − + ...
当 x=1 时，有1 2 3 4 1 1 1
...
− + − + = ln
2
∴ =α 2 2n
2 3 4
2.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对 Nacl 晶格常数及结合能的影响
（排斥势看作不变）
α 2
e C
解： u r
( ) = −
α 2 +
r r n
α2
nC
1
du e nC e nC
由 | = − = 0 解得 =+ r e −1
r 2 n+1 2 n 1 0 ( ) (= 2)n
dr 0 r
0 r
0 r
0 r
0
nC
1
1 α e
于是当 e 变为 2e 时，有 r −1 = 4 −1 r e
( )
0 (2 ) (= 2) n n 0
= − α
2
1 4α e
结合能为 u r
( ) e(1− ) 当 e 变为 2e 时，有
0
4α e2 r
0
1 n
n
u e
(2 ) = − r (2 ) (1 − ) = u e( ) 4 −
n 1
n
0
u r
( )
= − α+β
m n
2.3 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为
固体物理学_黄昆_第二章 固体的结合_20050406
第二章 固体的结合
晶体结合的类型
晶体结合的物理本质
固体结合的基本形式与固体材料的结构、物理和化学性质有密切联系
§ 2.1 离子性结合
元素周期表中第I族碱金属元素（Li、Na、K、Rb、Cs）与第VII族的卤素元素（F、Cl、Br、I）化
合物（如 NaCl， CsCl，晶体结构如图XCH001_009_01和XCH001_010所示）所组成的晶体是典
型的离子晶体，半导体材料如CdS、ZnS等亦可以看成是离子晶体。
1. 离子晶体结合的特点
以CsCl为例，在凝聚成固体时，Cs原子失去价电子，Cl获得了电子，形成离子键。以离子为结合
单元，正负离子的电子分布高度局域在离子实的附近，形成稳定的球对称性的电子壳层结构；
,,,NaKRbCs
NeArKrXe
FClBrI++++
−−−−⇒
⇒
⇒⇒
离子晶体的模型：可以把正、负离子作为一个刚球来处理；
离子晶体的结合力：正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近，当靠近到一定程度时，由于
泡利不相容原理，两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强大的排斥力。当排斥力和吸引力相
互平衡时，形成稳定的离子晶体；
一种离子的最近邻离子为异性离子；
离子晶体的配位数最多只能是8（例如CsCl晶体）；
由于离子晶体结合的稳定性导致了它的导电性能差、熔点高、硬度高和膨胀系数小；
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大多数离子晶体对可见光是透明的，在远红外区有一特征吸收峰。
氯化钠型(NaCl、KCl、AgBr、PbS、MgO)(配位数6)
氯化铯型(CsCl、 TlBr、 TlI)（配位数8）
离子结合成分较大的半导体材料ZnS等（配位数4）
2. 离子晶体结合的性质
1
4.1，根据
k 黄昆 固体物理 习题解答
第四章 能带理论
= ± π 状态简并微扰结果，求出与 E− 及 E+相应的波函数ψ − 及ψ+?，并说明它
a
们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 ψ2说明能隙的来源(假设Vn=Vn*)。
＜解＞令
k = + π ， k′ = − π ，简并微扰波函数为ψ =
Aψk0
( )
+
Bψk0
( )
0 a
* a
⎡E k( ) − E A V Bn= 0
0 ( )
V An+ ⎡E k − E B⎦
=
0
取 E E+
带入上式，其中 E+=
E k
0( )+ Vn
V(x)<0,Vn< 0 ,从上式得到 B= -A,于是
A ⎡ nπ
−
nπ
⎤
π
ψ = A ⎡ψ 0( )−ψk0′( )⎤ = i x
e a − e i x
a =2Asinnx
+ ⎣ k ⎢
L ⎣ ⎥
⎦ L a
取 E E− ， E−=E k
0( )− Vn
V An= −V Bn,得到A B
A ⎡ inπx−inπx⎤
π
ψ = A ⎡ψ 0( )−ψk0′( )⎤ = e a − e a =2Acosnx
− ⎣ k ⎦ ⎢
L ⎣ ⎥
⎦ L a
由教材可知，Ψ+及 Ψ − 均为驻波． 在驻波状态下，电子的平均速度ν ( ) 为零．产生
驻波因为电子波矢 n
k π
= 时，电子波的波长
a λ =2π=2a ，恰好满足布拉格发射条件，这
k n
时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入
能量。
4.2,写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 k π
2 = 的 0 级波函数。
2a
1 1 r 2π 1 π 2π 1
i 2π 1
x
i mx i x i mx (m+ )
ψ
*
＜解＞ ( ) = ikx =
e ikx a
《固体物理》考试知识点
第一章：晶体结构
1、基本概念： 基元，结点，点阵，晶格，简单格子，复式格子，原胞，固体物理学原胞，结晶学原胞，基矢，格矢，空间点阵学说的基本内容等。
2、基本知识点：立方晶系固体物理学原胞的惯用取法；NaCl、CsCl、金刚石、闪锌矿、钙钛矿结构、密堆积结构等常见晶体结构、七大晶系的基本特征；晶列的定义、性质和描述方法；晶面的定义、性质和描述方法；引入倒格子的目的；倒格子的性质；倒格子基矢与正格子基矢的解析关系。
3、基本技巧：会画特定晶面的原子排列状况；给出晶向指数和晶面指数，会画晶向和晶面；会计算晶面间距；会计算倒格子原胞基矢；会利用倒格子性质处理晶体学问题。
第二章、晶体的结合
了解晶体结合的基本类型、特点以及结合力的一般性质。
第三章、晶格振动和晶体的热学性质
1、基本概念： 格波；声子
2、基本知识点：格波波矢的取值范围和取值个数；格波与连续介质弹性波之间的比较；晶格振动的格波支数、本征频率数遵从的规律；为什么晶格振动问题必须用量子力学来处理；为什么说声子不是物理实在；经典理论在处理固体比热时遇到了什么样的困难；爱因斯坦模型和德拜模型的基本假设。
3、基本技巧： 会计算一维原子链晶格振动的色散关系；会计算晶格振动的频率分布函数(即：格波态密度)；会采用爱因斯坦模型、德拜模型、及在已知某种色散关系的前提下求解晶格比热。
第四章、晶体缺陷
了解晶体缺陷的基本概念、类型及位错的形态；会热缺陷的统计计算
第五章、金属自由电子理论
1、基本概念：费米面、功函数、接触电势差
2、基本知识点：金属中存在大量的自由电子，为什么电子气对比热的贡献却很小；
3、基本技巧： 会采用自由电子理论计算单位能量间隔内所能容纳电子数目；会计算金属中电子气的比热。 第六章、固体的能带理论
1、基本概念： 能带；有效质量
2、基本知识点：Bloch定理；周期性势场中电子的E(K)关系特征；电导与能带的关系；导体、半导体、绝缘体导电性质差异的起源。
