二项式定理的应用及其解决策略

二项式定理及其应用

一、高考要求

（1）掌握二项式定理及二项式系数的性质；会求展开式中的特定项。

（2）掌握二项式定理的简单应用，包括：近似计算；求系数；证明整除性问题；证明等式、不等式等。

二、考向指南

常见考题：

（1）求展开式的某一项或适合某种条件的特殊项；

（2）求展开式各项系数的和；

（3）取二项展开式的前几项进行近似计算。

应对策略：

牢固掌握二项展开式及其通项公式的结构与特征和二项式系数的特征。

三、典型例题

（一）二项式定理及其通项公式

例1：已知41()2nxx的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列。

（1）求n;

(2) 求展开式中T3的系数与二项式系数；

（3）证明展开式中没有常数项；

（4）求展开式中所有有理项；

（5）求二项式系数最大的项；

（6）求系数最大的项；

（7）求展开式中的系数和及二项式系数和；

（8）求系数绝对值最大的项。

例2：（求某一项的系数问题）

（1）（1+x）(2+x) (3+x)…(10+x) 展开式中x9的系数；

（2）45(1)(1)xx展开式中x4的系数；

（3）26(123)xx展开式中x5的系数；

(4) 求3415(1)(1)(1)xxx的展开式中x3的系数；

（5）（x+2y+3z）7的展开式中x4y2z的系数。

例3（求系数和问题）

1.已知：（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7

求：(1)a1+a2+…+a7=

;

(2) a1+a3+…+a7=

;

(3)| a1|+|a2|+…+|a7|=

;

2.已知：x9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a9(x+2)9.

求：(1)a0+ a1+a2+…+a9=

;

(2)a2.

(二)二项式定理的应用

1．求近似值

例5．求1.9975的近似值（精确到0.0001）。

二项式定理问题的常见题型及其解题策略

二项式定理问题的常见题型及其解题策略

二项式定理是高中数学中最重要的定理之一，它可以用来解决各种概率问题，常被广泛应用于数学竞赛中。但是，学习二项式定理的学生总会遇到困难，因为它的解题方法多变，而且容易出现各种错误。下面我们就来讨论一下二项式定理中的常见题型及其解题策略。

一是给定总体的概率计算问题，这类问题的解题策略是先用二项式定理把概率问题转换成组合问题，再根据组合原理计算出概率。

二是给定概率计算总体的问题，这类问题的解题策略是先把概率转换成组合数，然后利用组合原理求出总体的元素数量。

三是给定元素的特征计算概率的问题，这类问题的解题策略是先把特征转换成组合数，然后根据组合原理计算出概率。

以上三类问题是二项式定理中最常见的题型，通过掌握这些解题策略，学生们就可以轻松应对二项式定理中的题目了。

专题39 二项式展开项的通项及应用

【热点聚焦】

二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：

（1）考查二项展开式的通项公式1rnrrrnTCab；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；

（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；

（3）二项式定理的应用．

【重点知识回眸】

1. 二项式定理

011*nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做nab的二项展开式，其中的系数rnC

(0,1,2,3,,rn)叫做二项式系数．式中的rnrrnCab叫做二项展开式的通项，用1rT表示，即展开式的第1r项；1rnrrrnTCab.

2．二项展开式形式上的特点

(1)项数为1n.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式的系数从0nC，1nC，一直到1nnC，nnC.

3. 二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0nnnCC，11nnnCC，，mnmnnCC.

(2)增减性与最大值：二项式系数rnC，当12nr时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12nr时，二项式系数是递减的．

当n是偶数时，中间的一项2nnC取得最大值．

当n是奇数时，中间两项12nnC 和12nnC相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和

nab的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即012rnnnnnnCCCC，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512nnnnnnnCCCCCC，

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《二项式定理》复习易错点及解决策略分析

作者：陆文超

来源：《理科考试研究·高中》2016年第03期

每个章节内容都有学生思维薄弱的地方，在复习前分析学生的易错点，不仅仅是为了易错点防范，更能帮助学生深化对概念、定理本质的理解.数学复习如何开展？笔者认为应该抓住学生前期学习容易出错的地方，分析学生易错点，由此出发思考引导学生走向正确解题的方向.本文以二项式定理的复习为例，就中学数学的复习策略谈几点看法.

一、学生易错点分析

分析易错点，我们要从这部分内容在教材中的位置和教学的作用出发，进行分析，在实施复习前对学生易错点要进行科学的预估，这样我们的复习才具有针对性.

例如，《二项式定理》教材的位置来看是紧接在排列、组合之后的高中数学教学的主要内容之一，是学生学习多项式乘法的继续，从研究的内容来看，它研究一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式，从作用上来看，可以对二项式进行展开、进行计算或证明，是高考必考内容之一，在和学生一起复习前，要对学生容易出错的地方有所预估，这样例题和变式题的选择才具有针对性，《二项式定理》这一块易错点有如下几个：

1.通项为Tk+1=Cknan-kbk是（a+b）n的展开式的第几项？

这个问题，学生是容易错的，学生常常会认为通项为Tk+1=Cknan-kbk是（a+b）n的展开式的第k项，其实这样的认识是错的，正确的应该是第k+1项，其中k=0，1，…，n.

对于二项式定理而言，它的核心知识就是通项公式，那么求解此类问题如何完成呢？学生容易出错的原因在于对这个程序性知识的解决步骤有所混乱.笔者认为要引导学生分两步完成此类问题的求解：

步骤1：结合题目所给出的条件，往往是特定项和通项公式，再此基础上建立方程来确定指数.这个步骤值得注意的是求解时要善于挖掘二项式系数中n和k的几个隐含条件，（1）n，k都是非负整数；（2）n≥k；还要注意常数项的指数为零，有理项的指数为整数等条件.