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高考数学(导数)第一轮复习

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1

高考数学（导数）第一轮复习资料

知识小结

一.导数的概念与运算

⒈导数的概念：

⑴曲线的切线；

⑵瞬时速度；

⑶导数的概念及其几何意义．

○1．设函数)(xfy在0xx处附近有定义，当自变量在0xx处有增量x时，则函数)(xfY相应地有增量)()(00xfxxfy，如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0xx处的导数，记作0/xxy，即：xxfxxfxfx)()(lim)(0000/000limxxxfxfxx

○2函数)(xfy的导数)('xf，就是当0x时，函数的增量y与自变量的增量x的比xy的极限，即

xxfxxfxyxfxx)()(limlim)('00．

○3函数)(xfy在点0x处的导数的几何意义，就是曲线)(xfy在点))(,(00xfx处的切线的斜率．

⒉常用的导数公式：

⑴0'C(C为常数)； ⑵1)'(nnnxx(Qn)；

⑶xxcos)'(sin； ⑷xxsin)'(cos；

⑸*xxx22seccos1)'(tan； ⑹*xxx22cscsin1)'(cot；

⑺xxee)'(； ⑻aaaxxln)'(；

⑼xx1)'(ln； ⑽exxaalog1)'(log． 第 2 页 共 4 页

2

⒊导数的运算法则：

⑴两个函数四则运算的导数：

①'')'(vuvu； ②'')'(uvvuuv； ③)0(''2'vvuvvuvu．

⑵复合函数的导数：xuxuyy'·''．

二.导数的应用

1、函数的单调性

（1）如果非常数函数y=)(xf在某个区间内可导，那么若)('xf0)(xf为增函数；

若)('xf0)(xf为减函数.

（2）若)('xf0则)(xf为常数函数.

2、函数的极值

（1）极值定义

如果函数)(xf在点0x附近有定义，而且对0x附近的点，都有)(xf<)(0xf我们就说)(0xf是函数的一个极大值，记作极大值y=)(0xf；)(xf在点0x附近的点，都有)(xf>)(0xf我们就说)(0xf函数的一个极小值，记作极小值y=)(0xf；极大值与极小值统称为极值。

（2）极值判别法

当函数)(xf在点0x处连续时，极值判断法是：

如果在0x附近的左侧)('xf>0，右侧)('xf<0，那么)(0xf是极大值；

如果在0x附近的左侧)('xf<0，右侧)('xf>0，那么)(0xf是极小值。

（3）求可导函数极值的步骤:

① 求导数)('xf；

②求导数)('xf=0的根；

③列表，用根判断)('xf在方程根左右的值的符号，确定)(xf在这个根处取极大值还是取极小值。

3、函数的最大值与最小值

在闭区间[ba,]上连续，在（ba,）内可导，)(xf在[ba,]上求最大值与最小值第 3 页 共 4 页

3

的步骤：

先求 )(xf在（ba,）内的极值；再将)(xf的各极值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

特别注意:要注意区分函数最值与极值的区别、联系。

三.导数的综合应用

利用导数直接可以解决许多问题，例如，求曲线的切线，函数的单调区间，函数的极值等. 同时导数也常与其它知识交汇考查，如不等式、三角、数列、解析几何等等.我们以近年高考试题为主，讨论导数的综合应用问题

试题选讲或练习

1、函数)(xfy是定义在R上的可导函数，则0)(0/xf是函数在0xx时取得极

值的________条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

2、函数)(xfy是定义在R上的可导函数，则)(xfy为R上的单调增函数是0)(/xf的________条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

3、已知]2,2[,(62)(23在为常数）mmxxxf上有最大值为3，那么此函数在

[－2，2]上的最小值为

A、－37 B、－29 C、－5 D、－11

4、若函数axxxf3)(3的最小值为恒成立，则上时，当mnnxfmx)(]3,0[

A、2 B、4 C、18 D、20

5、方程内根的个数为在)2,0(076223xx

A、0 B、1 C、2 D、3

6、若函数的取值范围为有三个单调区间，则bbxxy334

0 0 0 0 bDbCbBbA、、、、

7、函数的值为，则的极大值为 632)(23aaxxxf

A、0 B、1 C、5 D、6

8、曲线的距离的最小值为上的点到直线124xyxy

16253222 2、、、、DCBA

9、已知曲线6xy上一点P处的切线与直线361xy垂直，则此切线方程为

A、056yx B、056yx C、056yx D、056yx

10、设点P是3233xxy上的任一点，P点处的切线倾斜角为α，则角α的取值范围为

A、),[),0[322 B、),[),0[652 C、),[32 D、),(652

11、)()(/xfxfy导函数函数的图像如图（1）所示，则)(xfy的图像最有可能的是

y

O 2 1 x y

O 2

1 x y

O 2 1 xy

O 2 1

x y

O 2 1

x 第 4 页 共 4 页

4

图（1） A B C D

12、已知)0()1(2)(//2fxfxxf，则等于

A、0 B、－4 C、－2 D、2

13、已知函数 62/baxyxayba，则，的导数为；

14、若函数mmmxxxf则上的最小值为在区间,2]2,1[3)(223的值为 ；

15、若直线axxxyxy233是曲线的切线，则 a；

16、函数),3(431)(23在axxxf上是增函数，则实数a 的取值范围为 ；

17、若函数 ),2()2,1(2)(21233242kxkxxxkxf则上单调递增，上单调递减，在在；

18、已知曲线xqxpxxys的图像与23:轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值为－4，求p、q的值。

19、设函数轴的图像与ydcxbxaxxfy23)(交于点P，若过P的切线方程为01224yx，且当x=2时，函数)(xf取极值－16，试求)(xf的解析式，并求这个函数的单调递减区间。

20、已知函数)(1)(23Raaxxxf.（1）若函数)(xfy在区间),0(32上递增，在区间),[32上递减，求实数a的值；（2）当]1,0[x时，设函数)(xfy图像上任意一点处的切线的倾斜角为，若给定常数32(a，＋)，求的取值范围。

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【高考第一轮复习数学】函数专题三

【高考第一轮复习数学】函数专题三

专题三、导数

1、导数的定义

对于函数y=f(x)，如果自变量x在x0处有增量△x，那么函数y相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0).比值xy叫做函数y=f(x)在x0到x0+△x之间的平均变化率，即xy=x)f(-x)f(xx00.

如果当△x→0时，xy有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作)(0xf或0xxy，即)(0xf=xfxfxyxxxx)()(0000limlim.

2、利用定义求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤

（1）求函数的增量△y=f(x0+△x)-f(x0)；

（2）求平均变化率xy=x)f(-x)f(xx00；

（3）取极限，得导数)(0xf=xfxfxyxxxx)()(0000limlim.

3、导函数

如果函数f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，就说f(x)在开区间（a,b）内可导，这时，对于开区间（a,b）内每个确定的值x0，都对应一个确定的导数)(xf，这样就在开区间（a,b）内构成一个新函数，我们把这一新函数叫f(x)在开区间（a,b）内的导函数.记作)(xf或y.

4、导数的几何意义

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P（yx00,）处切线的斜率.

5.基本初等函数导数公式

);1,0(ln1)(log;))())(0(;ln)((1aaxaxxCCaxxxaeeaaxx；为常数；为常数

;1)(lnxxxxxsincosxcos)(sin）；（

5、函数的和、差、积、商的导数

（1） ()()''()'()fxgxfxgx

（2） ()'()'cfxcfx

（3） ()()''()()()'()fxgxfxgxfxgx

高三数学高考第一轮复习计划(10篇)

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第 1 页 共 39 页 高三数学高考第一轮复习计划（10篇）

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高中数学一轮复习重难点 导数的概念和运算(十年高考)

高中数学一轮复习重难点 导数的概念和运算(十年高考)

第1页共8页第四章一元函数的导数及其应用

4.1导数的概念及运算

考点导数的概念和运算

1.(2023全国甲文，8）曲线e

1

x

y

x在点e

1,

2



处的切线方程为（）A.e

4yxB.e

2yxC.ee

44yxD.

e3e

24yx

【答案】C

【解析】设曲线e

1x

y

x

在点e

1,

2



处的切线方程为e

1

2ykx

，因为e

1x

y

x

，所以



22e1e

e

11xx

xx

x

y

xx



，所以

1e

|

4xky





，所以ee

1

24yx

，所以曲线e

1x

y

x

在点e

1,

2



处的切线方程为ee

44yx

，故选：C

2.(2016四川理,9,5分)设直线l

1,l

2分别是函数

f(x)=−ln𝐬0<<1,

ln𝐬>1图象上点P

1,P

2处的切线,l

1与l

2垂

直相交于点P,且l

1,l

2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)

答案A设l

1是y=-lnx(0

1(x

1,y

1),l

2是y=lnx(x>1)的切线,切点P

2(x

2,y

2),

l

1:y-y

1=-1

1(x-x1),①

l

2:y-y

2=1

2(x-x

2),②

①-②得x

P=

1−2+2

1

1+1

2,

易知A(0,y

1+1),B(0,y

2-1),∵l

1⊥l

2,∴-1

1·1

2=-1,∴x

1x

2=1,

∴S

△PAB=1

2|AB|·|x

P|=1

2|y

1-y

2+2|·|

1−

2+2|

1

1+1

2第2页共8页=1

2·(

1−

2+2)2

1+

2

1

2=1

2·(−ln

1−ln

2+2)2

1+

2

=1

2·[−ln(

1

2)+2]2

1+

2=1

2·4

1+

2=2

1+

2,

又∵0

1<1,x

2>1,x

1x

2=1,

∴x

1+x

2>2

1

2=2,

∴0

△PAB<1.故选A.

思路分析设出点P

1,P

2的坐标,进而根据已知表示出l

1,l

2,然后求出点A、B的坐标及x

P,最后利用点在曲线

上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.

高中数学一轮复习之函数之导数求和之倒序相加与错位相减法

高中数学一轮复习之函数之导数求和之倒序相加与错位相减法

高中数学一轮复习之函数之导数求和之倒序相加与错位相减法

引言

在高中数学的研究中，函数是一个非常重要的概念，而导数则是函数中的一种重要工具。本文将介绍函数的导数求和的两种方法，即倒序相加法和错位相减法。

函数的导数求和之倒序相加法

倒序相加法是一种常用的方法，用于计算函数的导数的和。具体步骤如下：

1. 首先，找到函数的导数表达式，并按照x的幂次从高到低的顺序列出。

2. 然后，将每个导数的表达式从高到低的顺序相加，并化简。

3. 最后，得到函数的导数的和。

例如，对于函数f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1，求其导数的和的过程如下：

1. 求导数：f'(x) = 9x^2 + 4x - 5。 2. 将导数的表达式按照x的幂次从高到低的顺序相加：9x^2 +

4x - 5。

3. 化简得到函数的导数的和：9x^2 + 4x - 5。

函数的导数求和之错位相减法

错位相减法是另一种常用的方法，用于计算函数的导数的和。具体步骤如下：

1. 首先，找到函数的导数表达式，并按照x的幂次从高到低的顺序列出。

2. 然后，将相邻导数的表达式相减。

3. 最后，得到函数的导数的和。

例如，对于函数f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1，求其导数的和的过程如下：

1. 求导数：f'(x) = 9x^2 + 4x - 5。

2. 将相邻导数的表达式相减：(9x^2 - 4x) + (4x - 5)。

3. 化简得到函数的导数的和：9x^2 - 5。

结论 函数的导数求和是高中数学中的重要内容。本文介绍了倒序相加法和错位相减法这两种常用的方法。通过这些方法，我们可以得到函数的导数的和，进一步理解函数的性质和变化规律。在数学一轮复中，掌握这些方法对于应对考试和解决实际问题都具有重要意义。