最新重庆中考数学25题专题及答案

重庆中考25题专题训练（及答案）

1、（12分）如图, 已知抛物线cbxxy221与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.

解：（1）∵二次函数cbxxy221的图像经过点A（2，0）C(0,－1)

∴1022ccb

解得： b=－21 c=－1-------------------2分

∴二次函数的解析式为121212xxy --------3分

（2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2）

∴ OD=m ∴AD=2-m

由△ADE∽△AOC得，OCDEAOAD --------------4分

∴122DEm

∴DE=22m-----------------------------------5分

∴△CDE的面积=21×22m×m ABCx yo备用图ABCEDx yo题图26=242mm=41)1(412m

当m=1时，△CDE的面积最大

∴点D的坐标为（1，0）--------------------------8分

（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212xxy

设y=0则1212102xx 解得：x1=2 x2=－1

∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1）

设直线BC的解析式为：y=kx＋b

∴

10bbk 解得：k=-1 b=-1

∴直线BC的解析式为: y=－x－1

在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1

由勾股定理得：AC=5

∵点B(－1,0) 点C（0，－1）

∴OB=OC ∠BCO=450

①当以点C为顶点且PC=AC=5时，

设P(k, －k－1)

过点P作PH⊥y轴于H

∴∠HCP=∠BCO=450

CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中

k2+k2=25 解得k1=210， k2=－210

∴P1（210，－1210） P2（－210，1210）---10分

②以A为顶点，即AC=AP=5

设P(k, －k－1)

过点P作PG⊥x轴于G

AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣

在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2

（2－k)2+(－k－1)2=5

解得：k1=1,k2=0(舍)

∴P3(1, －2) ----------------------------------11分

③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1)

过点P作PQ⊥y轴于点Q

PL⊥x轴于点L ∴L(k,0)

∴△QPC为等腰直角三角形

PQ=CQ=k

由勾股定理知

CP=PA=2k

∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜

在Rt△PLA中

(2k)2=(k－2)2＋(k＋1)2

解得：k=25∴P4(25,－27) ------------------------12分

2、（本题满分12分）已知抛物线2yxbxc交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D．

（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；

（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．

求证：四边形ODBE是等腰梯形；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的31？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2、（1）求出：4b，3c，抛物线的对称轴为：x=2

(2) 抛物线的解析式为342xxy，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）

设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE

∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），

∴∠BOE= ∠OBD=45 ∴OE∥BD

∴四边形ODBE是梯形 ………………5分

在ODFRt和EBFRt中， OD=5122222DFOF ，BE=5122222FBEF

∴OD= BE

∴四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分

(3) 存在， ………………8分

由题意得：29332121DEOBSODBE四边形 ………………9分

设点Q坐标为（x，y），

由题意得：yyOBSOBQ2321三角形=23293131ODBES四边形

∴1y

当y=1时，即1342xx，∴ 221x， 222x，

∴Q点坐标为（2+2，1）或(2-2，1) ………………11分

当y=-1时，即1342xx， ∴x=2，

∴Q点坐标为（2，-1）

综上所述，抛物线上存在三点Q1（2+2，1），Q2 (2-2，1) ，Q3（2，-1）

使得OBQS三角形=ODBES四边形31． ………………12分

3、（11分）如图，已知抛物线(1)233(0)yaxa经过点(2)A，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC． E

F Q1

Q3 Q2 （1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()ts．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

解：（1）抛物线2(1)33(0)yaxa经过点(20)A，，

309333aa ························· 1分

二次函数的解析式为：232383333yxx ············· 3分

（2）D为抛物线的顶点(133)D，过D作DNOB于N，则33DN，

2233(33)660ANADDAO，° ·············· 4分

OMAD∥

①当ADOP时，四边形DAOP是平行四边形

66(s)OPt ············· 5分

②当DPOM时，四边形DAOP是直角梯形

过O作OHAD于H，2AO，则1AH

（如果没求出60DAO°可由RtRtOHADNA△∽△求1AH）

55(s)OPDHt ·························· 6分

③当PDOA时，四边形DAOP是等腰梯形

26244(s)OPADAHt

综上所述：当6t、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分 y M

C D

P

x y M

C D

P

Q O A

B N E H （3）由（2）及已知，60COBOCOBOCB°，，△是等边三角形

则6262(03)OBOCADOPtBQtOQtt，，，

过P作PEOQ于E，则32PEt ···················· 8分

113633(62)222BCPQStt

=233633228t ··························· 9分

当32t时，BCPQS的面积最小值为6338 ··················· 10分

此时3339333324444OQOPOEQEPE，=，

222233933442PQPEQE ··············· 11分

4．（本小题满分13分）

如图，抛物线经过(40)(10)(02)ABC，，，，，三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA△的面积最大，求出点D的坐标．

解：（1）该抛物线过点(02)C，，可设该抛物线的解析式为22yaxbx．

将(40)A，，(10)B，代入， O x y

A B

C 4 1

2

（第26题图） 得1642020abab.，解得1252ab.，

此抛物线的解析式为215222yxx． ··············· （3分）

（2）存在． ······························ （4分）

如图，设P点的横坐标为m，

则P点的纵坐标为215222mm，

当14m时，

4AMm，215222PMmm．

又90COAPMA°，

①当21AMAOPMOC时，

APMACO△∽△，

即21542222mmm．

解得1224mm，（舍去），(21)P，． ················ （6分）

②当12AMOCPMOA时，APMCAO△∽△，即2152(4)222mmm．

解得14m，25m（均不合题意，舍去）

当14m时，(21)P，． ······················ （7分）

类似地可求出当4m时，(52)P，． ·················· （8分）

当1m时，(314)P，．

综上所述，符合条件的点P为(21)，或(52)，或(314)，． ········ （9分）

（3）如图，设D点的横坐标为(04)tt，则D点的纵坐标为215222tt．

过D作y轴的平行线交AC于E．

由题意可求得直线AC的解析式为122yx． ·············· （10分） O x y

A B

C 4 1

2

（第26题图） D P

M

E