东北育才学校数学学科优秀教案_3

东北育才学校高三数学函数的单调性第一轮复习学案高考要求：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 考点回顾：1．函数单调性的定义；2．判断函数的单调性的方法；求函数的单调区间； 3．复合函数单调性的判断． 考点解析：考点1、求函数的单调性例1． 求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间； 解：（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞，B1-1.已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性． 解：222()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++，3()44g x x x '=-+， 令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-． 考点2、函数单调性的应用Eg 2．设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数． （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．解：（1）依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x xx x e a ae ae a e+=+ ∴11()()x x a e a e --0=对一切x R ∈成立，则10a a-=，∴1a =±，∵0a >，∴1a =．（2）设120x x <<，则12121211()()x xx x f x f x e e e e -=-+-2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e e e e+-++-=--=-， 由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x xx x e -+>->，2110x x e +-<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数．B2-1．若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为(,2)(2,)-∞-+∞．B2-2.已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=， 1）求证：()f x 是偶函数； 2）()f x 在(0,)+∞上是增函数； 3）解不等式2(21)2f x -<．解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，则221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-221111()()()()x xf x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴211x x >，∴21()xf x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x >∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．（3）(2)1f =，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2(|21|)(4)f x f -<，又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2|21|4x -<，解得：x <<，即不等式的解集为(． 方法归纳：1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数． 3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用． 实战训练1.函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值范围是( ) (A)[3，+∞ ) (B)(-∞，-3] (C){-3} (D)(-∞，5] 2.已知函数f(x)=2x 2-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2) 时是减函数，则f(1)等于( )B(A)-3 (B)13 (C)7 (D)由m 而决定的常数． 3.函数f(x)在(-2，3)上是增函数，则f(x-5)的递增区间是( )B (A)(3，8) (B)(-7，-2) (C)(-2，3) (D)(0，5)．4．函数b ax x y ++=3在区间（－1，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，则（ ） A ．1,1==b a B ．R b a ∈=,1C ．3,3=-=b aD ．R b a ∈-=,35．函数xx x f 1)(+=的一个单调递增区间是d （A ）()∞+,0 （B ）()0,∞- （C ）(]1,0 （D ）[)+∞,16．若函数7)(23-++=bx ax x x f 在R 上单调递增，则实数a , b 一定满足的条件是（ ） A ．032<-b a B ．032>-b aC ．032=-b aD ．132<-b a7．函数212x xy +=在（ ） （A ）（—∞，＋∞）上是单调增函数 （B ）（—∞，＋∞）上是单调减函数 （C ）[—1，1] 上是单调增函数，（—∞，—1）和（1，＋∞）上分别是单调减函数 （D ）[—1，1] 上是单调减函数，（—∞，—1）和（1，＋∞）上分别是单调增函数 8.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )B (A)y=-3x+1 (B)y=|x+2| (C)y=x4 (D)y=x 2-4x+3 9.函数y=245x x --的递增区间是( )B(A)(-∞，-2) (B)[-5，-2] (C)[-2，1]． (D)[1，+∞)．10．函数c bx ax x x f +++=23)(，其中c b a ,,为实数，当032<-b a 时，)(x f 在Ｒ上是 A ． 增函 B ． 减函数 C ． 常数 D ． 既不是增函数也不是减函数11．（2006年北京卷）已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (C)（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73 （D ）1[,1)712．（2006年陕西卷）已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则 （A ） （A ）12()()f x f x > （B ）12()()f x f x < （C ）12()()f x f x = （D ）1()f x 与2()f x 的大小不能确定13. （2005辽宁卷第10题）已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x aλλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ14. （2005山东卷理第4题，文第5题）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ D ） （A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x x f x a a -=+（D ）2()ln 2x f x x-=+ 15. （2005天津卷文第9题）若函数)1,0( )2(log )(2≠>+=a a x x x f a 在区间)21,0(内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( D )(A))41,(--∞(B) ),41(+∞-∞)(D) )21,(--∞16．（2004年湖北，理7）函数f （x ）=a x +log a （x +1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a ，则a 的值为A.41B.21C.2D.4解析：f （x ）是［0，1］上的增函数或减函数，故f （0）+f （1）=a ，即1+a +log a 2=a ⇔log a 2=－1，∴2=a－1⇔a =21.答案：B 17．（理）（2003年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数y =f （x ）的图象与y =2x 的图象关于直线y =x 对称，则函数y =f （4x －x 2）的递增区间是___________________.解析：先求y =2x 的反函数，为y =log 2x ，∴f （x ）=log 2x ，f （4x －x 2）=log 2（4x －x 2）.令u =4x －x 2，则u ＞0，即4x －x 2＞0.∴x ∈（0，4）.又∵u =－x 2+4x 的对称轴为x =2，且对数的底为2＞1，∴y =f （4x －x 2）的递增区间为（0，2）.答案：（0，2）18．函数y 的递减区间是 .[]1,219．函数1)(],1,1[,223)(≥-∈--+=x f x a b ax x f 若恒成立，则b 的最小值为 3/2 . 20．已知函数)(log )(221a ax x x f --=的值域为R ，且f (x )在（)31,-∞-上是增函数，则a 的范围是 .[0,2]21.已知函数f(x)=x 2-2ax+a 2+b ，(1)若f(x)在(-∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是______；(2)若对于任意x∈R 恒有f(x)≥0，则b 的取值范围是____≥1，（2）b ≥0；22．函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围．分析：由函数9()log (8)a f x x x=+-在[1,)+∞上是增函数可以得到两个信息：①对任意的121,x x ≤<总有12()()f x f x <；②当1x ≥时，80ax x+->恒成立．解：∵函数9()log (8)a f x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，∴对任意的121,x x ≤<有12()()f x f x <，即919212log (8)log (8)a a x x x x +-<+-，得121288a a x x x x +-<+-，即1212()(1)0a x x x x -+<， ∵120x x -<，∴1210,ax x +> 121,a x x >- 12a x x >-，∵211x x >≥，∴要使12a x x >-恒成立，只要1a ≥；又∵函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，∴180a +->，即9a <，综上a 的取值范围为[1,9)-．另解：（用导数求解）令()8a g x x x =+-，函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，∴()8a g x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，2()1ag x x'=+，∴180a +->，且210ax +≥在[1,)+∞上恒成立，得19a -≤<．经典回顾【例1】 如果二次函数f （x ）=x 2－（a －1）x +5在区间（21，1）上是增函数，求f （2）的取值范围. 剖析：由于f （2）=22－（a －1）×2+5=－2a +11，求f （2）的取值范围就是求一次函数y =－2a +11的值域，当然就应先求其定义域.解：二次函数f （x ）在区间（21，1）上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x =21-a 或与直线x =21重合或位于直线x =21的左侧，于是21-a ≤21，解之得a ≤2，故f （2）≥－2×2+11=7，即f（2）≥7.【例2】 讨论函数f （x ）=12-x ax（a ＞0）在x ∈（－1，1）上的单调性. 解：设－1＜x 1＜x 2＜1， 则f （x 1）－f （x 2）=1211-x ax －1222-x ax=)1)(1(222122121221--+--x x ax x ax ax x ax =)1)(1()1)((22212112--+-x x x x x x a .∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2+1＞0，（x 12－1）（x 22－1）＞0.又a ＞0，∴f （x 1）－f （x 2）＞0，函数f （x ）在（－1，1）上为减函数.【例3】 求函数y =x +x1的单调区间. 剖析：求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y =x 与y =x1的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f （x 2）－ f （x 1）的正负.解：首先确定定义域：{x |x ≠0}，∴在（－∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论.任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，则f （x 2）－f （x 1）=x 2+21x －x 1－11x =（x 2－x 1）+2121x x x x -=（x 2－x 1）（1－211x x ），要确定此式的正负只要确定1－211x x 的正负即可. 这样，又需要判断211x x 大于1，还是小于1.由于x 1、x 2的任意性，考虑到要将（0，+∞）分为（0，1）与（1，+∞）（这是本题的关键）.（1）当x 1、x 2∈（0，1）时，1－211x x ＜0， ∴f （x 2）－f （x 1）＜0，为减函数. （2）当x 1、x 2∈（1，+∞）时，1－211x x ＞0， ∴f （x 2）－f （x 1）＞0，为增函数.同理可求（3）当x 1、x 2∈（－1，0）时，为减函数；（4）当x 1、x 2∈（－∞，－1）时，为增函数.评述：解答本题易出现以下错误结论：f （x ）在（－1，0）∪（0，1）上是减函数，在（－∞，－1）∪（1，+∞）上是增函数，或说f （x ）在（－∞，0）∪（0，+∞）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.深化拓展求函数y =x +xa（a ＞0）的单调区间. 提示：函数定义域x ≠0，可先考虑在（0，+∞）上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在（－∞，0）上的单调性.答案：在（－∞，－a ］，（a ，+∞）上是增函数，在（0，a ］，（－a ，0）上是减函数.【例4】 定义在R 上的函数y =f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）.（1）求证：f （0）=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0； （3）求证：f （x ）是R 上的增函数； （4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围. （1）证明：令a =b =0，则f （0）=f 2（0）. 又f （0）≠0，∴f （0）=1.（2）证明：当x ＜0时，－x ＞0， ∴f （0）=f （x ）·f （－x ）=1.∴f （－x ）=)(1x f ＞0.又x ≥0时f （x ）≥1＞0， ∴x ∈R 时，恒有f （x ）＞0.（3）证明：设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. ∴f （x 2）=f （x 2－x 1+x 1）=f （x 2－x 1）·f （x 1）. ∵x 2－x 1＞0，∴f （x 2－x 1）＞1. 又f （x 1）＞0，∴f （x 2－x 1）·f （x 1）＞f （x 1）. ∴f （x 2）＞f （x 1）.∴f （x ）是R 上的增函数. （4）解：由f （x ）·f （2x －x 2）＞1，f （0）=1得f （3x －x 2）＞f （0）.又f （x ）是R 上的增函数， ∴3x －x 2＞0.∴0＜x ＜3.评述：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f （x 2）=f ［（x 2－x 1）+x 1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.例5.讨论函数f （x ）=21++x ax （a ≠21）在（－2，+∞）上的单调性.解：设x 1、x 2为区间（－2，+∞）上的任意两个值，且x 1＜x 2，则 f （x 1）－f （x 2）=21212211++-++x ax x ax =)2)(2()2)(1()2)(1(211221++++-++x x x ax x ax=)2)(2()21)((2112++--x x a x x .∵x 1∈（－2，+∞），x 2∈（－2，+∞）且x 1＜x 2， ∴x 2－x 1＞0，x 1+2＞0，x 2+2＞0. ∴当1－2a ＞0，即a ＜21时，f （x 1）＞f （x 2），该函数为减函数； 当1－2a ＜0，即a ＞21时，f （x 1）＜f （x 2），该函数为增函数. 例6.（2003年重庆市高三毕业班诊断性试题）已知函数f （x ）=m （x +x 1）的图象与函数h （x ）=41（x +x1）+2的图象关于点A （0，1）对称.（1）求m 的值；（2）若g （x ）=f （x ）+xa4在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围. 解：（1）设P （x ，y ）为函数h （x ）图象上一点，点P 关于A 的对称点为Q （x ′，y ′）， 则有x ′=－x ，且y ′=2－y . ∵点Q （x ′，y ′）在f （x ）=m （x +x1）上， ∴y ′=m （x ′+x '1）. 将x 、y 代入，得2－y =m （－x －x1）. 整理，得y =m （x +x 1）+2.∴m =41. （2）∵g （x ）=41（x +xa+1），设x 1、x 2∈（0，2］，且x 1＜x 2，则g （x 1）－g （x 2）=41（x 1－x 2）·2121)1(x x a x x +-＞0对一切x 1、x 2∈（0，2］恒成立.∴x 1x 2－（1+a ）＜0对一切x 1、x 2∈（0，2］恒成立.∴由1+a ＞x 1x 2≥4，得a ＞3.例7.（2004年春季上海）已知函数f （x ）=|x －a |，g （x ）=x 2+2ax +1（a 为正常数），且函数f （x ）与g （x ）的图象在y 轴上的截距相等.（1）求a 的值；（2）求函数f （x ）+g （x ）的单调递增区间；（3）若n 为正整数，证明10f（n ）·（54）g （n ）＜4. （1）解：由题意，f （0）=g （0），|a |=1，又a ＞0，所以a =1. （2）解：f （x ）+g （x ）=|x －1|+x 2+2x +1.当x ≥1时，f （x ）+g （x ）=x 2+3x ，它在［1，+∞）上单调递增； 当x ＜1时，f （x ）+g （x ）=x 2+x +2，它在［－21，1）上单调递增. （3）证明：设c n =10f （n ）·（54）g （n ），考查数列{c n }的变化规律： 解不等式nn c c 1+＜1，由c n ＞0，上式化为 10·（54）2n +3＜1， 解得n ＞8.0lg 21-－23≈3.7.因n ∈N *，得n ≥4，于是c 1≤c 2≤c 3≤c 4.而c 4＞c 5＞c 6＞…，所以10f（n ）·（54）g （n ）≤10f （4）·（54）g （4）=103·（54）25＜4. 例8.（2005年北京西城区模拟题）设a ∈R ，函数f （x ）=2e x-（ax 2+a +1），其中e 是自然对数的底数.（1）判断f （x ）在R 上的单调性；（2）当－1＜a ＜0时，求f （x ）在［1，2］上的最小值. 解：（1）由已知f '（x ）=－21e －x （ax 2+a +1）+21e －x ·2ax =21e －x（－ax 2+2ax －a －1）. 因为21e －x ＞0，以下讨论函数g （x ）=－ax 2+2ax －a －1值的情况：当a =0时，g （x ）=－1＜0，即f '（x ）＜0，所以f （x ）在R 上是减函数.当a ＞0时，g （x ）=0的判别式Δ=4a 2－4（a 2+a ）=－4a ＜0，所以g （x ）＜0，即f '（x ）＜0，所以f （x ）在R 上是减函数.当a ＜0时，g （x ）=0有两个根x 1，2=a a a -±，并且a a a -+＜a a a --，所以在区间（－∞，aaa -+）上，g （x ）＞0，即f '（x ）＞0，f （x ）在此区间上是增函数；在区间（a a a -+，a aa --）上，g （x ）＜0，即f '（x ）＜0，f （x ）在此区间上是减函数. 在区间（aaa --，+∞）上，g （x ）＞0，即f '（x ）＞0，f （x ）在此区间上是增函数.综上，当a ≥0时，f （x ）在R 上是减函数；当a ＜0时，f （x ）在（－∞，a a a -+）上单调递增，在（a a a -+，a a a --）上单调递减，在（aaa --，+∞）上单调递增.（2）当－1＜a ＜0时，a a a -+=1+a a -＜1，a a a --=1+a-1＞2，所以在区间［1，2］上，函数f （x ）单调递减.所以函数f （x ）在区间［1，2］上的最小值为f （2）=2e 215+a . 评述：函数的最值和函数的单调性有紧密联系.判断较复杂函数的单调性，利用导函数的符号是基本方法.。

辽宁省东北育才学校高中部高二数学《余弦定理》教学案例及反思本课是在学生们已掌握正弦定理的基础上，继续探究余弦定理. 通过对本课的学习，学生一方面能够领会余弦定理的推导方法、掌握余弦定理的形式与内容，另一方面能够初步具备利用余弦定理解决实际问题的能力. 在问题解决的过程中还可以增强学生独立思考、合作学习的意识.二、学情分析考虑到学生对解三角形的方法已有所掌握，本节课通过具体问题入手创设问题情境，学生能够在熟悉的背景下，通过教师的引导，对余弦定理进行探究和初步应用.自我探究、思考、总结，合作交流等，是本节课中学生学习的主要方式.三、教学目标分析（一）知识与技能目标1.知识目标：掌握余弦定理，并能初步运用余弦定理解斜三角形.2.能力目标：培养学生数学探究能力，培养学生独立思考、合作学习的意识，并进一步培养学生的创新意识.（二）过程与方法本课授课类型为新授课. 本节课拟采用启发式教学模式，通过问题激发学生的求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的引导下发现、分析和解决问题，体验数学发现和创造的过程.（三）情感态度、价值观目标养成实事求是、扎实严谨的科学态度，培养自主探究的兴趣，学会用数学的方法提出问题、创新问题、解决问题，体验数学探究过程中的快乐.四、教学过程：（一）创设情境，引入课题提出问题1：你认为将三角形的哪些元素作为已知，就可以求得其它元素？提出问题2：在上述哪些已知条件下，可以使用正弦定理解三角形？其它问题又该怎样解决呢？旨在通过提问回顾如何确定一个三角形，在怎样的已知条件下使用正弦定理，并以此问为背景孕育新的问题：已知“两边及夹角”或“三边”，怎样解三角形？提出问题3：ABC ∆中，已知4b =，5c =，60A ∠=，求a .设计一个具体问题激发学生的探究和主动学习的欲望，在此问题中，学生很难再利用正弦定理求解，但利用学过的知识必定可以求解此题. 教师鼓励学生独立思考，争取一题多解，给学生创设很大的思维空间，并适时引导学生进行解法讨论、对比，有利于学生获取更多的解决问题的思想和手段，培养学生的合作交流的意识. 教师在点评完学生的解法后，提出新的问题：“对于这类问题是否也像前面正弦定理一样，存在定理或公式可以解这种三角形？”，随后将问题条件一般化，由此进入新课的学习.（二）进行新课1.探究定理提出问题4：如果将问题改为一般的情况：ABC ∆中，已知b ，c 及A ∠，求a . 请同学选择上述的某种解法进行推导.旨在提出一般问题，寻求一般公式表达. 有了前面的求解，学生对公式的推导应该不会感到困难. 但若用几何法推导，则需考虑A ∠为锐角、直角或钝角三种情况. 此时，教师应作点拨：几何法的证明就是把斜三角形化为两个直角三角形，化一般为特殊，在利用勾股定理来证明，推导过程中还渗透有分类讨论的思想方法，这是证明余弦定理的一般方法，但证明过程稍显繁琐，而坐标法和向量法可以避开讨论. 这样做，一方面学生可以领会解题中的数学思想方法，另一方面，教师对学生思维的严谨性也进行了一次很好的训练.通过对推导过程的回顾分析，学生很容易会在已知两边及夹角的条件下得出余弦定理的另两个公式表达，教师适时点拨这组公式体现出的结构上的和谐统一及一种轮换对称的美，向学生渗透学科德育.师生共同分析此表达式的特征：三角形一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍. 至此，余弦定理”浮出”水面.2.强化定理提出问题5：在怎样的条件下使用余弦定理呢？旨在引导学生对余弦定理在解三角形中的应用作分析、归纳和总结.提出问题6：余弦定理指出了斜三角形中三边平方之间的关系，而勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？余弦定理也被称为广义勾股定理，加入对余弦定理和勾股定理的比较和联系的讨论，学生可以体会特殊与一般的辩证关系.（三）知识巩固提出问题7：能否编制一道利用余弦定理解三角形的问题？旨在引导学生对余弦定理在解三角形中的应用作思考和探究，使学生主动参与到数学实践活动中来，以独立思考和相互交流的形式，体验数学发现和创造的过程，培养学生的创新意识.（四）归纳总结提出问题8：本节课你的学习体会是什么？旨在提高学生归纳概括能力，同时使自己的认知结构更完整，知识更系统（五）作业1.必做题：教材 P10 习题1－1B 2，52.选做题：教材P9 练习B 3，习题1－1A 4（3）（六）板书设计（七）教学反思有效问题的提出是我自认为在组织教学时的成功之处.在课堂上，通过创设情境，学生进行自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实.。

辽宁省东北育才学校高中部高二数学线性规划教学案例生：2 分钟作图师：好，先作到这，我们一起在几何画板上来确定区域．第一步做出边界的直线，注意虚实(几何画板演示)，第二部，确定区域是在直线的上方还是下方，有几种方法来确定?生：(1)斜截式的情况 (2)一般式的情况 (3)代点法师：我们用代点法来确定，代入错误!未找到引用源。

点，显然这三个不等式都不满足，故应该在其上方，也就是这样一个区域．(画板演示)二．新课讲授师：在上基础上大家继续来考虑这样一个问题：已知实数错误!未找到引用源。

满足错误!未找到引用源。

，求错误!未找到引用源。

的最小值．(板书)师：前面的不等式组对应的是坐标平面里的一个区域，有形的意义，那这里的错误!未找到引用源。

是否具有形的意义？生：直线的截距师：什么样直线的截距？生：斜率为－1的直线．师：对我们这个问题有什么帮助呢？生：可将直线平移，研究截距的最小值．师：说具体点就是斜率为－1的直线经平移与这个区域有交点时截距的最小值．借助于图形，能否找出截距的最小值？生：在A点取得最小值．师：为何是A点而不是B点呢？借助于坐标纸和几何画板我们比较容易观察出来，可如果作草图势必会出现误差，谁能给出一个更加让人信服的解释？生：斜率的角度考虑．师：从形的角度考虑给我们提供了一个很好的思路，但光靠形来解决问题不够准确，需要数来辅助，斜率为－1恰好介于错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

之间，若介于另两条直线之间则取B点，若恰等于AB，这AB段上所有的点都可以让错误!未找到引用源。

取得最小值．好，大家求出A点的坐标及错误!未找到引用源。

的最小值．生：错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

师：现在这个问题我们求解完了，下面我们一起来反思一下这是一个什么类型的问题？师/生：错误!未找到引用源。

满足一个不等式组，即在一定的约束条件下，这里的约束条件是直线型，我们称之为线性约束条件，在线性约束条件的基础之上研究什么呢？研究关于错误!未找到引用源。

辽宁省东北育才学校高中部高二数学 锥体的体积 教学案例教学重点：锥体体积公式的推导教学难点：多面体体积的求解方法及应用 教学方法：启发、探究 教学工具：多媒体投影仪 教学程序 教学内容师生活动 设计意图 新 课 引 入1、 回忆复习柱体的体积公式。

2、 回忆复习祖暅原理的内容。

3、 思考：等底面积等高的锥体的体积有何关系？ 由祖暅原理推得等底面积等高锥体的体积相等，设锥体的底面积为s ，高为h ，如何表示锥体的体积公式？教师提问，学生回答，同时电脑演示幻灯片。

复习柱体体积和祖暅原理是本节课的知识和理论基础，同时巩固上节课所学。

公 式 推 导1、 锥体的体积公式：应用祖暅原理将锥体体积的推导，转化为求最简单的锥体——三棱锥的体积。

借助已知的三棱柱的体积公式，用割补的方法探究两者的体积关系。

推得锥体体积公式为： 错误!未找到引用源。

2、台体的体积公式： 借助锥体的体积公式和“还台为锥”的方法，推导台体的体积公式。

设台体的上下底面积分别是s ’,s,高是h ，则 V 台体=教师引导学生利用祖暅原理将锥体体积的推导转化为求与其等底等高的三棱锥体积。

引导学生利用割补的方法，利用锥体体积公式求解台体体积公式。

教师板书解题求解过程。

引出本节课获得新知的主导思想以及解决体积问题时常用的方法——割补法。

方1、 求棱长为a 的正四面体的体积？学生计算体锥体体积AB 1A1 C 1 ss / ss /hxB 1C 1A BA 11h(s +ss'+s')3用“补”形的方法。

两个这样全等的三棱锥恰好可以补成一个正四面体，利用已证的正四面体体积公式求解。

方法三：割补法用“割”形的方法。

三棱锥P-ABC可以分割为如上图所示的一个正四面体P-AEF和四棱锥P-EFBC，已证的正四面体体积公式求解正四面体P-AEF的体积，而三棱锥P-ABC为正四面体P-AEF的体积的四倍。

应用举例例1、已知正方体AC1的棱长为a，E、F分别为AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．变式三棱台ABC—A′B′C′中，AB∶A′B′＝1∶2，则三棱锥A′—ABC，B—A′B′C，C—A′B′C′的体积比为___________.由于时间关系，例1和练习做为课后作业。

2023-2024学年度东北育才学校高中部高三年级第六次模拟考试暨假期质量测试数学科试卷答题时间：120分钟满分：150分命题人：高三备课组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．1.若集合{}2560A x x x =--≤，(){}ln 214B x y x ==-，则()RA B ⋂=ð（）A.()7,+∞ B.()6,+∞ C.(]1,7- D.(]1,6-2.已知R x ∈，则“|1||1|2x x ++-≤”是“11x>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在()1nx -的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则n =（）A.5B.6C.7D.84.若()f x 是R 上周期为3的偶函数，且当302x <≤时，()4log f x x =，则132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.12-B.12C.2- D.25.若ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭．则tan α=（）A.B.2C.3D.6.函数()()12cos 2023π1f x x x ⎡⎤=++⎣⎦-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（）A.2B.4C.6D.87.12,F F 是双曲线()2222:1,0x y E a b a b-=>的左、右焦点，点M 为双曲线E 右支上一点，点N 在x 轴上，满足1260F MN F MN ∠∠==，若()1235MF MF MN λλ+=∈R，则双曲线E 的离心率为（）A.87 B.65C.53D.728．设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和，若一个数列满足对任意的正整数n ，不等式11+<+n n S S n n 恒成立，则称数列{}n a 为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n 均有1+<n n a a ，则{}n a 为和谐数列；②若等差数列{}n a 是和谐数列，则n S 一定存在最小值；③若{}n a 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有（）个A ．3B ．2C ．1D ．0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

东北育才幼儿园教案小学一、教学目标知识目标让学生学会：1.掌握小学数学和语文的基础知识；2.了解小学与幼儿园的差异，适应小学的学习生活；3.提高阅读理解及数学计算能力。

能力目标1.能独立阅读小学语文、数学教材，并做出正确的理解和答案；2.能够正确做出小学数学加减乘除运算；3.能够在老师指导下完成小学语文、数学练习中的基础题目。

情感目标培养学生：1.学习积极向上的态度；2.珍惜学习机会；3.关注集体利益。

二、教学大纲语文部分1.识字：巩固幼儿园所学的1500个汉字，学习小学阶段的常用字1000个。

2.阅读学习：继续学习阅读、欣赏、理解文学作品的基本方法，培养学生的阅读习惯。

3.作文：通过对生活和现实认识的提高和表达的技能培养，学习写单元小作文。

数学部分1.计数：进一步认识数的概念和数量关系，掌握基本计数和计算方法。

2.加减法：掌握数字直接相加与相减的基本方法和尝试推导出适当的加减运算方法。

3.乘除法：乘法掌握口诀，能算小数算式；除法掌握口诀，能算出正整数算式；复习小学2年级所学习的简单算法。

三、教学方法1.讲授法：教师对学生进行知识点讲授。

2.问答法：教师问问题，学生回答问题，促进学生表达的积极性。

3.合作学习法：教师组织学生分组合作，共同完成任务。

4.教学游戏法：教师通过有趣、富于挑战性的游戏形式，让学生在玩乐中牢记基础知识。

四、教学步骤第一步：课前导入教师引导学生回忆上节课的知识点，激发学生学习的兴趣。

第二步：讲解新知教师讲解本节课的教学内容，组织学生掌握新知识点。

第三步：独立探究教师出题让学生独立完成数学题或语文阅读理解题。

第四步：合作交流教师让学生在同桌小组中讨论并交流已完成的题目。

第五步：辅导指导教师通过一对一辅导或分组辅导课程，对学生的错误或有待加强的知识点进行解答和指导。

第六步：课后作业教师分配课后作业，巩固当天所学的知识点。

五、教学评价教学评价是整个教育教学过程中的重要一环，是帮助每个孩子进步的有效方式，通过以下几个方面进行：1.课堂评价：检测学生对所学知识点的熟练掌握程度；2.作业评价：通过检查作业，发现学生对所学知识点的掌握情况和错误的地方；3.月考测评：以阶段性考试相互比较和归纳分析，从而了解重点难点的掌握情况。

辽宁省沈阳市东北育才实验学校2022-2023学年数学三下期末教学质量检测试题一、用心思考，我会选。

1．下面算式中，商最接近60的是（）。

A．246÷4 B．492÷7 C．540÷82．小明、小华、小东的家乡分别在哈尔滨、武汉、海南中的某个地方，小明的家乡冬天经常下雪，小华的家乡不在武汉，那么小东的家乡在( )．A．哈尔滨B．武汉C．海南3．下列选项中（）的面积最接近1平方分米。

A．指甲B．粉笔盒底面C．课本封面4．下图阴影部分的面积是()．A．16平方厘米B．8平方厘米C．8 D．三角形的面积没学，无法求出5．346÷6商的最高位是（）A．个位B．十位C．百位二、认真辨析，我会判。

6．4.7和4.70的大小相等，意义相同。

（________）7．两位小数不一定比一位小数大。

（_____）8．7分是元，也可以写成0.07元。

（）9．把一个西瓜切成4块，弟弟吃了其中的1块，就是吃了这个瓜的14。

（______）10．小数每两个计数单位之间的进率是10。

（________）三、仔细观察，我会填。

11．每份快餐8元，买196份快餐需要（________）元。

12．国庆节是每年的（_____）月（_____）日，儿童节是每年的（_____）月（_____）日．13．下面是某地区十二月份的天气情况统计表。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 24 25 26 27 28 29 30 31（1）完成下表。

天气情况天数（天）（________）（________）（________）（2）这个统计表一共统计了（________）天。

14．5千米=（_________）米6000千克=（_________）吨300平方厘米=（_________）平方分米20平方米=（_________）平方分米15．74×22的积是________位数，368÷6的商是________位数。

东北育才学校高三数学向量的概念 向量的加法与减法 实数与向量的第一轮复习学案高考要求：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件.2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 考点回顾：1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。

向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 。

向量的大小即向量的模（长度），记作||。

②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行。

<注意与0的区别>③单位向量：模为1个单位长度的向量。

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为b a=。

2）向量加法①求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设b a==,，则a +b=BC AB +=AC 。

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。

说明：（1）a a a=+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。

记作a-,零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有：（i ）)(a --=a；(ii) a +(a -)=(a -)+a =0； (iii)若a、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。

②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a与b 的差，记作：)(b a b a-+=-。

求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）。

注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

学生2:我感觉有无数个.老师:理由？学生2:暂时没想好，就是感觉有无数个。

老师：数学是严谨的,不能全靠感觉,有没有想发言的？（略等一会,大家没有举手的)我们现在不管结果如何?来看看解决这道题的有没有合适的解题思路？可以想一想我们所学的数学思想。

学生3：根据解析几何思想,我们不妨建立适当的直角坐标系,设爆炸点坐标为P(x，y），根据几何条件写出方程，通过研究此方程的解的个数来判断能不能确定爆炸点的具体位置。

（此时掌声已经响起)老师：说的非常的好,用方程的解的个数来判断爆炸点的个数,很有创意。

那我们来看,几何条件是什么呢？(边问边写) /PA/—/PB/=4X330=1320。

(边指着这个式子边说)差为1320，那把这个问题一般化，现在就要看P点到A点与到B点的距离的差为常数的点的轨迹问题。

为了直观起见,我带来一块小黑板,请上来两个同学协助我做个实验，我这里有两段长度不等的绳子，将这两段绳子的各一端放在一起打个结，另一端分别固定在小黑板的两个螺丝钉上，注意绳长之差小于两螺丝钉之间的距离。

(老师和学生一起合作画出曲线，把两段绳子的固定点交换位置，再画出另一支曲线，具体操作略）老师：如果黑板无限大,绳子无限长，这两支曲线向四个方向无限延伸，我把这样的两支曲线合在一起叫做双曲线，请同学们根据我们的演示,归纳出双曲线的定义（1分钟后）学生3: 平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的等于常数的点的轨迹叫做双曲线有几个学生小声说： 差的绝对值.老师：有同学说”差的绝对值”，为什么要加"绝对值”。

（老师指向应和的一位学生，让他回答）学生4:如果不加绝对值，只能表示其中一支曲线.老师：很好.那加上绝对值是不是就可以了呢?还有没有持不同意见的. 学生5:刚才老师说. 绳长之差小于两螺丝钉之间的距离，所以我认为常数应该小于两螺丝钉之间的距离。

老师:相当不错,跟椭圆一样,应该有个条件,条件就是这位学生所说的。

某某省东北育才双语学校九年级数学下册《3.6 圆与圆的位置关系说》说课稿新人教版各位领导、老师下午好！今天我说课的内容是师X大学九年级下册第三章第六节——圆与圆的位置关系。

一、教材分析1、课程分析：圆是初中几何的最后一章，也是历年来中考的重点。

而圆与圆的位置关系也正是圆这一章的一个重要知识点，这节课是在点与圆、直线与圆的位置关系上进行的延伸，同时也为以后圆的综合应用作铺垫。

2、三维目标分析：在教学中要求学生了解圆与圆的位置关系，掌握两圆位置关系与半径之间的数量关系。

本节课的重点是圆与圆的五种位置关系以及判定依据，难点是判定两圆的位置关系。

解决这些问题的关键在于让学生发现圆心距与两圆半径和、差间的数量关系。

实际上掌握了位置关系以及判定也就掌握了这节课的主线，对位置关系来说是延续，对应用是一个必不可少的理论前提。

根据课程改革和教纲的要求，以学生为本，给学生发展的空间思维。

通过探索活动提高学生探究问题和分析问题的能力；通过实际问题的解决，激发学生的学习热情，体会数学与现实生活的密切联系，鼓励学生自主学习，培养学生数学学习兴趣；通过合作交流，加强学生合作意识的培养。

二、学情分析：班级10名学生分别来自韩国、日本、中国某某、中国某某等地，语言差距大、知识层次差距大、思维能力差距大、思维多样化、动手能力强。

根据学生的这些学习特点，我在课堂设计上以基础知识、基本题型为主，同时也给思维比较活跃的学生一些综合能力强的题目，以培养学生的空间想象思维和数学能力，以达到高效性的课堂。

三、教法设想：因此根据学生的实际水平，我在教学上以启发式教学为主，分层教学、分组讨论的方法为辅，目的在于让学生主动思考问题、解决问题，当然要依据课程内容的要求，给予适当的引导和肯定。

学生的形象思维优于抽象思维，因此我在教学过程中展示课件图形，使用教具，以体现在几何中图形的特点。

另外对于d与R+r,R-r关系，利用数轴使数值和两圆的关系紧密联系起来，充分体现数形结合的思想。