2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：12+4满分练(8)

回扣数列．牢记概念与公式等差数列、等比数列.活用定理与结论()等差、等比数列{}的常用性质()判断等差数列的常用方法①定义法*)⇔{}是等差数列．＋－＝(常数)(∈②通项公式法＝＋(，为常数，∈*)⇔{}是等差数列．③中项公式法*)⇔{}是等差数列．＋＝＋＋ (∈④前项和公式法＝＋(，为常数，∈*)⇔{}是等差数列．()判断等比数列的常用方法①定义法＝ (是不为的常数，∈*)⇔{}是等比数列．②通项公式法＝ (，均是不为的常数，∈*)⇔{}是等比数列．③中项公式法＝·＋(·＋·＋≠，∈*)⇔{}是等比数列．．数列求和的常用方法()等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．()形如{·}(其中{}为等差数列，{}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和．()通项公式形如＝(其中，，，为常数)用裂项相消法求和．()通项公式形如＝(－)·或＝·(－)(其中为常数，∈*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分为奇数、偶数两种情况讨论．()分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成＝＋形式的数列求和问题的方法，其中{}与{}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．()并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求.．已知数列的前项和求，易忽视＝的情形，直接用－－表示．事实上，当＝时，＝；当≥时，＝－－.．易混淆几何平均数与等比中项，正数，的等比中项是±.．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{}与{}的前项和分别为和，已知＝，求时，无法正确赋值求解．．易忽视等比数列中公比≠导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．．运用等比数列的前项和公式时，易忘记分类讨论．一定分＝和≠两种情况进行讨论．．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．．裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，如≠－，而是＝.．通项中含有(－)的数列求和时，要把结果写成为奇数和为偶数两种情况的分段形式．．在等差数列{}中，已知＋＝，则＋＝.答案解析设公差为，则＋＝＋＝，＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝×＝.．(·南京、盐城一模)设{}是等差数列，若＋＋＝，则＝.答案解析∵＋＋＝，∴＝，可得＝，∴＝＝＝＝.。

2018考前三个月高考数学理科（江苏专用）总复习训练题(冲刺集合195页)附加题高分练+解答题滚动练+小题满分练 +中档大题规范练+压轴大题突破练+考前回扣中档大题规范练 1．解三角形1．(2017·苏锡常镇调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知a cos B ＝3，b cos A ＝1，且A －B ＝π6.(1)求c 的长； (2)求B 的大小．解 (1)方法一 在△ABC 中，a cos B ＝3，由余弦定理，得a ·a 2＋c 2－b 22ac＝3，得a 2＋c 2－b 2＝6c ，①b cos A ＝1，则b ·b 2＋c 2－a 22bc＝1，得b 2＋c 2－a 2＝2c ，②①＋②得2c 2＝8c ，所以c ＝4.方法二 因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B ) ＝sin(π－C )＝sin C ， 由asin A ＝b sin B ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ，sin B ＝b sin C c，代入上式得 c ＝a cos B ＋b cos A ＝3＋1＝4.(2)由正弦定理得a cos Bb cos A ＝sin A cos B sin B cos A ＝tan Atan B＝3. 又tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝33， 解得tan B ＝33.又B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 2．(2017·苏州暑假测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2a cos A .(1)求角A 的大小；(2)若AB →·AC →＝3，求△ABC 的面积．解 (1)方法一 在△ABC 中，由正弦定理及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ， 得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos A ， 即sin A ＝2sin A cos A .因为A ∈(0，π)，则sin A ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝π3.方法二 在△ABC 中，由余弦定理及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ，得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a ·b 2＋c 2－a 22bc ，所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由AB →·AC →＝bc cos A ＝3，得bc ＝23， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×23sin π3＝32.3．(2017·南京、盐城一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin2C ＝c sin B .(1)求角C 的大小；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值．解 (1)由b sin2C ＝c sin B ，根据正弦定理得 2sin B sin C cos C ＝sin C sin B .因为sin B ＞0，sin C ＞0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3 ＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝32×45－12×35＝43－310. 4.(2017·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD ＝3DB ，cos A ＝45，cos ∠ACB ＝513，BC ＝13.(1)求cos B 的值； (2)求CD 的长．解 (1)在△ABC 中，cos A ＝45，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 同理可得，sin ∠ACB ＝1213.所以cos B ＝cos[π－(A ＋∠ACB )]＝－cos(A ＋∠ACB ) ＝sin A sin ∠ACB －cos A cos ∠ACB ＝35×1213－45×513＝1665.(2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB ＝BCsin A sin ∠ACB ＝1335×1213＝20.又AD ＝3DB ，所以BD ＝14AB ＝5.在△BCD 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos B＝52＋132－2×5×13×1665＝9 2.3．空间平行与垂直1．(2017·南京学情调研)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为线段A1B，AC1的中点．(1)求证：MN∥平面BB1C1C；(2)若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD.证明(1)如图，连结A1C，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形，又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.因为AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，所以AD⊥平面BB1C1C. 又BC⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC.由(1)知MN∥BC，所以MN⊥AD.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点．(1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝2PC，求证：CG⊥平面PBD.证明 (1)连结OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 的中点， 因为PD ∥平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面ACE ＝OE ， 所以PD ∥OE .因为O 为BD 的中点，所以E 为PB 的中点． (2)在四棱锥P －ABCD 中，AB ＝2PC ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以OC ＝22AB ， 所以PC ＝OC .因为G 为PO 的中点，所以CG ⊥PO . 又因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ， 所以PC ⊥BD .而四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 因为AC ，PC ⊂平面PAC ，AC ∩PC ＝C ， 所以BD ⊥平面PAC ，因为CG ⊂平面PAC ，所以BD ⊥CG . 因为PO ，BD ⊂平面PBD ，PO ∩BD ＝O ， 所以CG ⊥平面PBD .3．如图，已知平面PAC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PE ∥CB ，M 是AE 的中点． (1)若N 是PA 的中点，求证：平面CMN ⊥平面PAC ； (2)若MN ∥平面ABC ，求证：N 是PA 的中点．证明 (1)因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，AC ⊥BC ，BC ⊂平面ABC ， 所以BC ⊥平面PAC ，因为M ，N 分别为AE ，AP 的中点，所以MN ∥PE ， 又因为PE ∥BC ，所以MN ∥BC ， 即MN ⊥平面PAC ，又MN ⊂平面CMN ， 所以平面CMN ⊥平面PAC .(2)因为PE ∥CB ，BC ⊂平面ABC ，PE ⊄平面ABC ， 所以PE ∥平面ABC ，设平面PAE 与平面ABC 的交线为l ，则PE ∥l . 又MN ∥平面ABC ，MN ⊂平面PAE ，所以MN ∥l . 所以MN ∥PE ，因为M 是AE 的中点，所以N 为PA 的中点．4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点． (1)若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； (2)若A 1B ∥平面ADC 1，求BD DC的值．(1)证明 因为AB ＝AC ，点D 为BC 的中点， 所以AD ⊥BC .因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC . 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD .因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1.因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1.(2)解 连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为A 1C 的中点．因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ，所以A 1B ∥OD . 因为O 为A 1C 的中点，所以D 为BC 的中点， 所以BD DC＝1.4．应用题1．(2017·苏锡常镇调研)某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)．设计要求彩门的面积为S (单位：m 2)，高为h (单位：m)(S ，h 为常数)．彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架组成，设腰和下底的夹底为α，不锈钢支架的长度之和记为l .(1)请将l 表示成关于α的函数l ＝f (α)； (2)问：当α为何值时l 最小，并求最小值．解 (1)过D 作DH ⊥BC 于点H ，则∠DCB ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，DH ＝h ，设AD ＝x .则DC ＝h sin α，CH ＝h tan α，BC ＝x ＋2htan α.因为S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2h tan α·h ，则x ＝S h －htan α， 则l ＝f (α)＝2DC ＋AD ＝S h＋h ⎝⎛⎭⎪⎫2sin α－1tan α⎝⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2.(2)f ′(α)＝h ·⎝⎛⎭⎪⎫－2cos αsin 2α－－1sin 2α＝h ·1－2cos αsin 2α， 令f ′(α)＝h ·1－2cos αsin 2α＝0，得α＝π3. 当α变化时，f ′(α)，f (α)的变化情况如下表：所以l min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3h ＋h .答 当α＝π3时，l 有最小值，为3h ＋Sh(m)．2．(2017·南京学情调研)如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2.设∠AOC ＝x rad.(1)写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； (2)试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值？解 (1)因为扇形AOC 的半径为40m ，∠AOC ＝x rad ，所以扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝x ·OA 22＝800x,0＜x ＜π.在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ， 所以△COD 的面积S △COD ＝12OC ·OD ·sin∠COD＝1600sin(π－x )＝1600sin x ，从而S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sin x ＋800x,0＜x ＜π. (2)由(1)知，S (x )＝1600sin x ＋800x,0＜x ＜π， 则S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋12， 由S ′(x )＝0，解得x ＝2π3，从而当0＜x ＜2π3时，S ′(x )＞0；当2π3＜x ＜π时，S ′(x )＜0，因此S (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递减．所以当x ＝2π3时，S (x )取得最大值．答 当∠AOC ＝2π3时，改建后的绿化区域面积S 最大．3．某宾馆在装修时，为了美观，欲将客户的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口．(1)若窗口ABCD 为正方形，且面积大于14m 2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值．解 (1)设一根木条长为x m ，因为S 四边形ABCD ＞14，所以4－x 2＞14，即x ＜152.又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x ＞2， 所以42＜4x ＜215.答 四根木条总长的取值范围为(42，215)．(2)方法一 设AB 所在的木条长为a m ，则BC 所在的木条长为(3－a )m. 因为a ∈(0,2)，3－a ∈(0,2)，所以a ∈(1,2)．S 矩形ABCD ＝41－a 24·1－(3－a )24＝4－a 2·4－(3－a )2＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20， 设f (a )＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20，则f ′(a )＝4a 3－18a 2＋2a ＋24＝2(a ＋1)(2a －3)(a －4)， 令f ′(a )＝0，得a ＝32或a ＝－1(舍去)或a ＝4(舍去)．当a 变化时，f ′(a )，f (a )的变化情况如下表：所以当a ＝32时，f (a )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝4916，即S max ＝74.答 窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.方法二 设AB 所在的木条长为a m ，BC 所在的木条长为b m ．由条件知，2a ＋2b ＝6，即a ＋b ＝3.因为a ，b ∈(0,2)，所以b ＝3－a ∈(0,2)，从而a ，b ∈(1,2)． 由于AB ＝21－b 24，BC ＝21－a 24，S 矩形ABCD ＝41－b 241－a 24＝4－b24－a 2，因为4－b24－a 2≤8－(a 2＋b 2)2≤8－(a ＋b )222＝74，当且仅当a ＝b ＝32∈(1,2)时，S 矩形ABCD ＝74为最大值．答 窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.4．某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m ，要求通行车辆限高4.5m ，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy . (1)若最大拱高h 为6m ，则隧道设计的拱宽l 是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h 不小于6m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？隧道口截面面积公式为S ＝23lh.解 (1)设抛物线的方程为y ＝－ax 2(a ＞0)，则抛物线过点⎝⎛⎭⎪⎫10，－32，代入抛物线方程解得a ＝3200， 令y ＝－6，解得x ＝±20，则隧道设计的拱宽l 是40m.(2)抛物线最大拱高为h m ，h ≥6，抛物线过点⎝⎛⎭⎪⎫10，－h ＋92，代入抛物线方程得a ＝h －92100.令y ＝－h ，则－h －92100x 2＝－h ，解得x 2＝100hh －92，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝100h h －92，h ＝92l 2l 2－400.因为h ≥6，所以92l 2l 2－400≥6，即20＜l ≤40.所以S ＝23lh ＝23l ·92l 2l 2－400＝3l3l 2－400(20＜l ≤40)．所以S ′＝9l 2(l 2－400)－3l 3·2l (l 2－400)2＝3l 2(l 2－1200)(l 2－400)2＝3l 2(l ＋203)(l －203)(l 2－400)2， 当20＜l ＜203时，S ′＜0；当203＜l ≤40时，S ′＞0，即S 在(20,203)上单调递减，在(203，40]上单调递增，所以S 在l ＝203时取得最小值，此时l ＝203，h ＝274.答 当拱高为274m ，拱宽为203m 时，使得隧道口截面面积最小．5．直线与圆1．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13. (1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0,3)的直线与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋(－4)2＝r ，a 2＋3＝r ，解得a ＝1或a ＝138，又S ＝πr 2＜13，∴a ＝1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又l 与圆C 相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，(x －1)2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0.∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20＞0， 解得k ＜1－263或k ＞1＋263.x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k2， OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)， 假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，解得k ＝34∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，假设不成立，∴不存在这样的直线l .2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0)，B (1,2)．(1)若直线l ∥AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程； (2)在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．解 (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以圆心C (2,0)，半径为2.因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－(－1)＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝(2＋m )22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4.因为|2－2|<(2－0)2＋(0－1)2<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q 为椭圆C 上两点，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)．(1)若PF ⊥x 轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；(2)若圆O 的半径为3，点P ，Q 满足k OP ·k OQ ＝－34，求直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值．解 (1)因为椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，所以A (－2,0)，F (1,0)．如图，因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫1，±32， 根据对称性，可取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，则直线AP 的方程为y ＝12(x ＋2)，即x －2y ＋2＝0.由圆O 与直线AP 相切，得r ＝25，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝45.(2)易知，圆O 的方程为x 2＋y 2＝3. ①当PQ ⊥x 轴时，k OP ·k OQ ＝－k 2OP ＝－34，所以k OP＝±32，不妨设OP ：y ＝32x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ，x 24＋y23＝1，解得x ＝2，y ＝62，即P ⎝⎛⎭⎪⎫2，62， 此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为2. ②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)， 由k OP ·k OQ ＝－34，得3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，即3x 1x 2＋4(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，所以(3＋4k 2)x 1x 2＋4kb (x 1＋x 2)＋4b 2＝0.(*)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，将x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k 2代入(*)式，得2b 2＝4k 2＋3.由于圆心O 到直线PQ 的距离为d ＝|b |k 2＋1，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长为l ＝23－d 2＝4＋2k 2＋1，故当k ＝0时，l 有最大值 6. 综上，因为6＞2，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值为 6.4．如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m .在施工过程中发现在O 处的正北1百米的A 处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l ，m ，欲再建一条公路PQ ，点P ，Q 分别在公路l ，m 上，且要求PQ 与圆A 相切．(1)当P 距O 处2百米时，求OQ 的长； (2)当公路PQ 长最短时，求OQ 的长．解 以O 为原点，直线l ，m 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为x 2＋(y －1)2＝1.(1)由题意可设直线PQ 的方程为x 2＋yq ＝1，即qx ＋2y －2q ＝0(q ＞2)， ∵PQ 与圆A 相切， ∴|2－2q |q 2＋22＝1，解得q ＝83，故当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米．(2)设直线PQ 的方程为x p ＋y q＝1， 即qx ＋py －pq ＝0(p ＞1，q ＞2)， ∵PQ 与圆A 相切，∴|p －pq |q 2＋p 2＝1，化简得p 2＝q q －2， 则PQ 2＝p 2＋q 2＝qq －2＋q 2， 令f (q )＝qq －2＋q 2(q ＞2)， ∴f ′(q )＝2q －2(q －2)2＝2(q －1)(q 2－3q ＋1)(q －2)2(q ＞2)，当q ＞3＋52时，f ′(q )＞0，即f (q )在⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋52，＋∞上单调递增，∴f (q )在q ＝3＋52时取得最小值，故当公路PQ 长最短时，OQ 的长为3＋52百米．6．圆锥曲线1．(2017·苏州期末)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P (2，－1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．解 (1)由e ＝ca ＝32，得a ∶b ∶c ＝2∶1∶3， 椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把P (2，－1)代入，得b 2＝2， 所以椭圆C 的方程是x 28＋y 22＝1.(2)由已知得PA ，PB 的斜率存在，且互为相反数． 设直线PA 的方程为y ＋1＝k (x －2)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝8消去y ，得x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8，即(1＋4k 2)x 2－8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0， 因为该方程的两根为2，x A ，所以2x A ＝4(2k ＋1)2－81＋4k 2，即x A ＝8k 2＋8k －21＋4k 2， 从而y A ＝4k 2－4k －14k 2＋1. 把k 换成－k ，得x B ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y B ＝4k 2＋4k －14k 2＋1. 故k AB ＝y B －y A x B －x A ＝8k －16k ＝－12，是定值． 2．(2017·常州期末)已知圆C ：(x －t )2＋y 2＝20(t ＜0)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个公共点为B (0，－2)，F (c,0)为椭圆E 的右焦点，直线BF 与圆C 相切于点B . (1)求t 的值以及椭圆E 的方程；(2)过点F 任作与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一定点P ，使PF 恰为∠MPN 的平分线？ 解 (1)由题意得b ＝2. 因为C (t,0)，B (0，－2)， 所以BC ＝t 2＋4＝20， 所以t ＝±4.因为t ＜0，所以t ＝－4.因为BC ⊥BF ，所以20＋c 2＋4＝(c ＋4)2， 所以c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5. 所以椭圆E 的方程为x 25＋y 24＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入x 25＋y 24＝1，化简得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k 24＋5k2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k2.若点P 存在，设P (m,0)，由题意k PM ＋k PN ＝0， 所以y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝k (x 1－1)x 1－m ＋k (x 2－1)x 2－m＝0，所以(x 1－1)(x 2－m )＋(x 2－1)(x 1－m )＝0， 即2x 1x 2－(1＋m )(x 1＋x 2)＋2m＝2·5k 2－204＋5k 2－(1＋m )10k 24＋5k 2＋2m ＝0，所以8m －40＝0，所以m ＝5.所以存在定点P (5,0)，使PF 恰为∠MPN 的平分线．3．(2017·无锡期末)已知椭圆x 24＋y 23＝1，动直线l 与椭圆交于B ，C 两点(点B 在第一象限)．(1)若点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，求△OBC 面积的最大值； (2)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，且3y 1＋y 2＝0，求当△OBC 的面积最大时直线l 的方程． 解 (1)直线OB 方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0，设过点C 且平行于OB 的直线l ′方程为y ＝32x ＋b .则当l ′与椭圆只有一个公共点时，△OBC 的面积最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝32x ＋b消去y 整理得3x 2＋3bx ＋b 2－3＝0，此时Δ＝9b 2－12(b 2－3)，令Δ＝0，解得b ＝±23， 当b ＝23时，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32； 当b ＝－23时，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－32， 所以△OBC 面积的最大值为12×1＋94×|33＋3|13＝ 3. (2)显然，直线l 与y 轴不垂直，设直线l 的方程为x ＝my ＋n .由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋n消去x 并整理得(3m 2＋4)y 2＋6mny ＋3n 2－12＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6mn3m 2＋4，y 1y 2＝3n 2－123m 2＋4.因为3y 1＋y 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝3mn3m 2＋4，y 21＝4－n23m 2＋4，从而9n 2m 2(3m 2＋4)2＝4－n 23m 2＋4， 即n 2＝3m 2＋43m 2＋1，所以S △OBC ＝12|n |·|y 1－y 2|＝2|n |·|y 1|＝6|m |n 23m ＋4＝6|m |3m ＋1.因为B 在第一象限，所以x 1＝my 1＋n ＝3m 2n3m 2＋4＋n ＞0，所以n ＞0.因为y 1＞0，所以m ＞0， 所以S △OBC ＝6m 3m 2＋1＝63m ＋1m≤623＝3，当且仅当3m ＝1m ，即m ＝33时取等号，此时n ＝102，4．(2017·南京、盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b,2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1,0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，求AT ·BTMN 2的值； (3)记直线l 与y 轴的交点为P ，若AP →＝25TB →，求直线l 的斜率k .解 (1)由点(b,2e )在椭圆C 上，得b 28＋4e 2b ＝1.因为e 2＝c 2a 2＝8－b 28＝1－b 28，所以b 28＋4b 2＝32.又b 2＜a 2＝8，解得b 2＝4， 所以椭圆C 的标准方程是x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 由对称性知N (－x 0，－y 0)，其中y 1＜0. 因为MN ∥AB ，所以AT ·BT MN 2＝－y 1y 24y 20. 直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，直线MN 的方程为y ＝kx ，其中k ＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝8消去x ，得(1＋2k 2)y 2＋2ky －7k 2＝0，所以y 1y 2＝－7k21＋2k2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋2y 2＝8消去x ，得(1＋2k 2)y 2＝8k 2，所以y 2＝8k 21＋2k ，从而得AT ·BT MN ＝732. (3)由AP →＝25TB →，得－x 1＝25(x 2－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝8消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－81＋2k 2.又因为－x 1＝25(x 2－1)，所以x 1＝－4k 2＋23(1＋2k 2)，x 2＝16k 2－23(1＋2k 2)，从而－4k 2＋23(1＋2k 2)·16k 2－23(1＋2k 2)＝2k 2－81＋2k 2.整理得50k 4－83k 2－34＝0， 解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍)．因为k ＞0，所以k ＝ 2.压轴大题突破练 1．函数与导数1．设函数f (x )＝x ln x ＋ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值； (3)若g (x )＝f (x )＋12ax 2－(2a ＋1)x ，求证：a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件．(1)解 由f (x )＝x ln x ＋ax ，得f ′(x )＝ln x ＋a ＋1. 当a ＝1时，f ′(x )＝ln x ＋2，f (1)＝1，f ′(1)＝2， 求得切线方程为y ＝2x －1. (2)解 令f ′(x )＝0，得x ＝e －(a ＋1)．∴当e－(a ＋1)≤1e ，即a ≥0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≥0恒成立，f (x )单调递增， 此时f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝a －1e .当e－(a ＋1)≥e ，即a ≤－2时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≤0恒成立，f (x )单调递减，此时f (x )min＝f (e)＝a e ＋e.当1e <e －(a ＋1)<e ，即－2<a <0时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e －(a ＋1)时f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(e －(a ＋1)，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，此时f (x )min ＝f (e －(a ＋1))＝－e－(a ＋1)．(3)证明 g ′(x )＝f ′(x )＋ax －(2a ＋1) ＝ln x ＋ax －a ＝ln x ＋a (x －1)，∴当a ≥0时，x ∈(1,2)时，ln x >0，a (x －1)≥0，g ′(x )>0恒成立，函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增，充分条件成立； 又当a ＝－12时，代入g ′(x )＝ln x ＋a (x －1)＝ln x －12x ＋12.设h (x )＝g ′(x )＝ln x －12x ＋12，x ∈(1,2)，则h ′(x )＝1x －12＝2－x2x >0恒成立，∴当x ∈(1,2)时，h (x )单调递增．又h (1)＝0，∴当x ∈(1,2)时，h (x )>0恒成立． 而h (x )＝g ′(x )，∴当x ∈(1,2)时，g ′(x )>0恒成立， 函数y ＝g (x )单调递增， ∴必要条件不成立．综上，a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件． 2．设函数f (x )＝e x－|x －a |，其中a 是实数． (1)若f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数有极大值点x 2和极小值点x 1，且f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝e x－|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－x ＋a ，x ≥a ，e x＋x －a ，x <a ，则f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－1，x ≥a ，e x＋1，x <a ，因为f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0恒成立，当x <a 时，f ′(x )＝e x＋1≥1>0恒成立，当x ≥a 时，f ′(x )＝e x－1≥0恒成立， 故应f ′(a )≥0，即a ≥0.(2)由(1)知当a ≥0时，f (x )在R 上单调递增，不符合题意，所以有a <0. 此时，当x <a 时，f ′(x )＝e x＋1≥1>0，f (x )单调递增， 当x ≥a 时，f ′(x )＝e x－1，令f ′(x )＝0，得x ＝0，所以f ′(x )<0在(a,0)上恒成立，f (x )在(a,0)上单调递减，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大＝f (a )＝e a，f (x )极小＝f (0)＝1＋a ，即a <0符合题意．由f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，可得e a－a －1≥ka 对任意a <0恒成立， 设g (a )＝e a－(k ＋1)a －1，求导，得g ′(a )＝e a－(k ＋1)，①当k ≤－1时，g ′(a )>0恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递增，又因为g (－1)＝1e ＋k <0，与g (a )>0矛盾；②当k ≥0时，g ′(a )<0在(－∞，0)上恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递减， 又因为g (0)＝0，所以此时g (a )≥0恒成立，符合题意；③当－1<k <0时，g ′(a )>0在(－∞，0)上的解集为(ln(k ＋1)，0)，即g (a )在(ln(k ＋1)，0)上单调递增，又因为g (0)＝0，所以g (ln (k ＋1))<0不符合题意．综上，实数k 的取值范围为[0，＋∞)．3．(2017·江苏泰兴中学质检)已知函数f (x )＝13x 3－mx 2－x ＋13m ，其中m ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4，求实数m 的取值范围； (3)求函数f (x )的零点个数． 解 (1)f ′(x )＝x 2－2mx －1，由f ′(x )≥0，得x ≤m －m 2＋1或x ≥m ＋m 2＋1；故函数f (x )的单调增区间为(－∞，m －m 2＋1)，(m ＋m 2＋1，＋∞)， 由f ′(x )<0，得m －m 2－1<x <m ＋m 2＋1，故函数f (x )的单调减区间为(m －m 2＋1，m ＋m 2＋1)．(2)“对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4”等价于“函数y ＝f ′(x )，x ∈[－1,1]的最大值与最小值的差小于等于4”． 对于f ′(x )＝x 2－2mx －1，对称轴x ＝m .①当m ＜－1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)，最小值为f ′(－1)， 由f ′(1)－f ′(－1)≤4，即－4m ≤4，解得m ≥－1，舍去；②当－1≤m ≤1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)或f ′(－1)，最小值为f ′(m )，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)－f ′(m )≤4，f ′(－1)－f ′(m )≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≤0，m 2＋2m －3≤0，解得－1≤m ≤1；③当m ＞1时，f ′(x )的最大值为f ′(－1)，最小值为f ′(1)， 由f ′(－1)－f ′(1)≤4，即4m ≤4，解得m ≤1，舍去． 综上，实数m 的取值范围是[－1,1]． (3)由f ′(x )＝0，得x 2－2mx －1＝0，因为Δ＝4m 2＋4＞0，所以y ＝f (x )既有极大值也有极小值． 设f ′(x 0)＝0，即x 20－2mx 0－1＝0，x 20＝2mx 0＋1，则f (x 0)＝13x 30－mx 20－x 0＋13m ＝－13mx 20－23x 0＋13m ＝－23x 0(m 2＋1)，所以极大值f (m －m 2＋1)＝－23(m －m 2＋1)(m 2＋1)＞0，极小值f (m ＋m 2＋1)＝－23(m ＋m 2＋1)(m 2＋1)＜0，故函数f (x )有三个零点．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2，a ∈R . (1)若a <0，试求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若a ＝0，且曲线y ＝f (x )在点A ，B (A ，B 不重合)处切线的交点位于直线x ＝2上，证明：A ，B 两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x 1，x 2，x 3∈[0,1]，总存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为三边长的三角形，试求正实数a 的取值范围．(1)解 函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3.因为a <0，由f ′(x )<0，解得a3<x <－a .所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，－a . (2)证明 当a ＝0时，f (x )＝x 3＋2.设在点A (x 1，x 31＋2)，B (x 2，x 32＋2)处的切线交于直线x ＝2上一点P (2，t )． 因为y ′＝3x 2，所以曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为k ＝3x 21， 所以在点A 处的切线方程为y －(x 31＋2)＝3x 21(x －x 1)． 因为切线过点P ，所以t －(x 31＋2)＝3x 21(2－x 1)， 即2x 31－6x 21＋(t －2)＝0. 同理可得2x 32－6x 22＋(t －2)＝0， 两式相减得2(x 31－x 32)－6(x 21－x 22)＝0，即(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)－3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0， 因为x 1－x 2≠0，所以x 21＋x 1x 2＋x 22－3(x 1＋x 2)＝0， 即(x 1＋x 2)2－x 1x 2－3(x 1＋x 2)＝0. 因为x 1x 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，且x 1≠x 2，所以x 1x 2<⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222.从而上式可以化为(x 1＋x 2)2－⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－3(x 1＋x 2)<0，即(x 1＋x 2)(x 1＋x 2－4)<0.解得0<x 1＋x 2<4，即A ，B 两点的横坐标之和小于4. (3)解 由题设知，f (0)<f (1)＋f (1)， 即2<2(－a 2＋a ＋3)，解得－1<a <2. 又因为a >0，所以0<a <2. 因为f ′(x )＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝a 3时，f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2. 从而条件转化为⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2>0， ①f (0)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2， ②f (1)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2. ③由①得a <33235；由②得a <335，再根据0<a <2，得0<a <335.不等式③化为1027a 3－a 2＋a －1<0.令g (a )＝1027a 3－a 2＋a －1，则g ′(a )＝109a 2－2a ＋1>0，所以g (a )为增函数．又g (2)＝－127<0，所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，335时，g (a )<0恒成立，即③成立． 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，335.2．数 列1．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.(1)是否存在实数λ，使得数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2)若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n . 解 (1)由已知，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋1＋(2n ＋1)＝13[a 2n －3(2n )]＋2n ＋1＝13a 2n ＋1. 令a 2(n ＋1)－λ＝13(a 2n －λ)，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋23λ，所以λ＝32.此时，a 2－λ＝13＋1－32＝－16.所以存在λ＝32，使得数列{a 2n －λ}是等比数列．(2)由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是首项为－16，公比为13的等比数列，所以a 2n －32＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－12·13n ，即a 2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n .由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n －6n ＋3，所以a 2n －1＋a 2n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n －6n ＋3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n－6n ＋9，所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝13n －3n 2＋6n －1，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32×13n －3n 2＋6n －52.因为13n 和－3n 2＋6n ＝－3(n －1)2＋3在n ∈N *时均单调递减，所以S 2n 和S 2n －1均各自单调递减．计算得S 1＝1，S 2＝73，S 3＝－73，S 4＝－89，所以满足S n >0的所有正整数n 的值为1和2.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，设数列{b n }满足b n ＝2(S n ＋1－S n )S n －n (S n ＋1＋S n )(n ∈N *)． (1)若数列{a n }为等差数列，且b n ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝1，a 2＝3，且数列{a 2n －1}，{a 2n }都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b 2n <b 2n －1的所有正整数n 的集合．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 所以a n ＋1＝a 1＋nd ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由b n ＝2(S n ＋1－S n )S n －n (S n ＋1＋S n )(n ∈N *)， 得b n ＝2a n ＋1S n －n (2S n ＋a n ＋1)． 又由b n ＝0，得2(a 1＋nd )⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n (n －1)2d －n [2na 1＋n (n －1)d ＋a 1＋nd ]＝0对一切n ∈N *都成立，即(d 2－d )n 2＋(3a 1d －d 2－2a 1)n ＋2a 21－a 1d －a 1＝0对一切n ∈N *都成立． 令n ＝1，n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0，a 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，a 1＝1，经检验，符合题意．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝0或a n ＝n . (2)由题意得a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝3×2n －1，S 2n ＝2n －1＋3(2n －1)＝4×2n －4，S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝4×2n －4－3×2n －1＝5×2n －1－4. b 2n ＝2a 2n ＋1S 2n －2n (2S 2n ＋a 2n ＋1)＝2×2n×(4×2n－4)－2n (8×2n－8＋2n) ＝2n ＋1(2n ＋2－9n －4)＋16n .b 2n －1＝2a 2n S 2n －1－(2n －1)(2S 2n －1＋a 2n )＝6×2n －1×(5×2n －1－4)－(2n －1)(10×2n －1－8＋3×2n －1)＝2n －1(30×2n －1－26n －11)＋16n－8.所以b 2n －b 2n －1＝2n ＋1(2n ＋2－9n －4)＋16n －[2n －1(30×2n －1－26n －11)＋16n －8]＝2n⎝⎛⎭⎪⎫2n －1－5n －52＋8＝22n －1＋8－2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52. 记f (n )＝22n －1＋8－2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52，即f (n )＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n－⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52＋8.记g (n )＝12×2n－⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52，则g (n ＋1)－g (n )＝12×2n ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋152－12×2n ＋5n ＋52＝12×2n－5，当n ＝1,2,3时，g (n ＋1)－g (n )<0；当n ∈N *时，n ≥4，g (n ＋1)－g (n )＝12×2n －5＞0，因为当n ＝1时，g (1)＝－132＜0，所以g (4)<0，且g (6)＝－12<0，g (7)＝532>0.所以f (n )＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n －⎝ ⎛⎭⎪⎫5n ＋52＋8在n ≥7(n ∈N *)时也单调递增，当n ＝1时，f (1)＝－5<0； 当n ＝2时，f (2)＝－34<0； 当n ＝3时，f (3)＝－100<0； 当n ＝4时，f (4)＝－224<0； 当n ＝5时，f (5)＝－360<0； 当n ＝6时，f (6)＝－24<0； 当n ＝7时，f (7)＝3400>0，所以满足条件的正整数n 的集合为{1,2,3,4,5,6}．3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑ni ＝1(－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，请说明理由． 解 (1)设数列{a n }的公差为d . 因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k . 代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k，从而λ<4k2k.设f (k )＝4k2k ，则f (k ＋1)－f (k )＝4k ＋12(k ＋1)－4k2k ＝4k(3k －1)2k (k ＋1).因为k ∈N *，所以f (k ＋1)－f (k )＞0，所以f (k )是递增的，所以f (k )min ＝2，所以λ<2. ②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *， 则T 2k －1＝T 2k －(－1)2ka 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k . 代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1，得λ(1－2k )<(2k －1)4k ，从而λ>－4k .因为k ∈N *，所以－4k的最大值为－4，所以λ>－4. 综上，λ的取值范围为(－4,2)．(3)假设存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列， 则(S m －S 2)2＝S 2(S n －S m )，即(m 2－4)2＝4(n 2－m 2)， 所以4n 2＝(m 2－2)2＋12，即4n 2－(m 2－2)2＝12， 即(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12.因为n >m >2，所以n ≥4，m ≥3，所以2n ＋m 2－2≥15.因为2n －m 2＋2是整数，所以等式(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12不成立， 故不存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列．4．若一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“A 型数列”． (1)若首项为1，公差为整数的等差数列{a n }为“A 型数列”，且其前n 项和为S n ，若对于任意n ∈N *，都有S n <32n 2＋n ，求{a n }的通项公式；(2)已知等比数列{a n }的每一项均为正整数，且{a n }为“A 型数列”，b n ＝23a n ，c n ＝a n(n ＋1)·2n －5，当数列{b n }不是“A 型数列”时，试判断数列{c n }是否为“A 型数列”，并说明理由． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则d >2， 由a 1＝1，得S n ＝n ＋n (n －1)2d ，且S 1<52.由题意，得n ＋n (n －1)2d <32n 2＋n 对n ∈N *均成立，即d <3nn －1对n ≥2均成立， ∵3n n －1＝3＋3n －1>3， ∴d ≤3，又d ＞2， ∴d ＝3，∴a n ＝3n －2.(2)设数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，∵{a n }的每一项均为正整数， 且a n ＋1－a n ＝a n q －a n ＝a n (q －1)>2>0， ∴a 1>0，且q >1，∵a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)>a n －a n －1， 即在{a n －a n －1}中，a 2－a 1为最小项， 同理，在{b n －b n －1}中，b 2－b 1为最小项，由{a n }为“A 型数列”，可知只需a 2－a 1>2，即a 1(q －1)>2， 又∵{b n }不是“A 型数列”，且b 2－b 1为最小项， ∴b 2－b 1≤2，即a 1(q －1)≤3，由数列{a n }的每一项均为正整数，可得a 1(q －1)＝3， ∴a 1＝1，q ＝4或a 1＝3，q ＝2. ①当a 1＝1，q ＝4时，a n ＝4n －1，则c n ＝4n －1(n ＋1)·2n －5＝2n ＋3n ＋1， 令d n ＝c n ＋1－c n (n ∈N *)，则d n ＝2n ＋4n ＋2－2n ＋3n ＋1＝2n ＋3·n (n ＋1)(n ＋2)，令e n ＝d n ＋1－d n (n ∈N *)，则e n ＝2n ＋4·n ＋1(n ＋2)(n ＋3)－2n ＋3·n (n ＋1)(n ＋2)＝2n ＋3n ＋2·n 2＋n ＋2(n ＋1)(n ＋3)>0，∴{d n }为递增数列， 即d n >d n －1>d n －2>…>d 1，即c n ＋1－c n >c n －c n －1>c n －1－c n －2>…>c 2－c 1， ∵c 2－c 1＝323－8＝83>2，∴对任意的n ∈N *都有c n ＋1－c n >2， 即数列{c n }为“A 型数列”． ②当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3·2n －1，则c n ＝3·2n ＋1(n ＋1)·2n －5＝48n ＋1， 显然，{c n }为递减数列，c 2－c 1<0≤2， 故数列{c n }不是“A 型数列”； 综上所述，当a n ＝4n －1时，数列{c n }为“A 型数列”，当a n ＝3·2n －1时，数列{c n }不是“A 型数列”．小题满分练小题满分练11．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是________．答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析因为A＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]，B＝{y|－1≤y≤1}＝[－1,1]，所以A∪B＝[－1,2]，所以∁R(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．2．(2017·苏州暑假测试)命题“∃x＞1，x2≥2”的否定是________．答案∀x＞1，x2＜2解析根据存在性命题的否定规则得“∃x＞1，x2≥2”的否定是“∀x＞1，x2＜2”．3．若复数z满足z i＝1＋2i，则z的共轭复数是________．答案2＋i解析∵z i＝1＋2i，∴z＝1＋2ii＝2－i，∴z＝2＋i.4．(2017·徐州、连云港、宿迁三检)已知一组数据3,6,9,8,4，则该组数据的方差是________．答案265(或5.2)解析这组数据的平均数x＝15(3＋6＋9＋8＋4)＝6，方差s2＝15(9＋0＋9＋4＋4)＝265.5．若流程图如图所示，则该程序运行后输出的值是________．答案10000。

12＋4满分练(2)1.已知集合A ＝{x ∈R |x 2－x －2＜0}，B ＝{x ∈Z |x ＝2t ＋1，t ∈A }，则A ∩B 等于( ) A.{－1，0，1} B.{－1，0} C.{0，1} D.{0} 答案 C解析 A ＝{x ∈R |x 2－x －2＜0}＝{x |－1＜x ＜2}， 则x ＝2t ＋1∈(－1，5)，所以B ＝{0，1，2，3，4}， 所以A ∩B ＝{0，1}，故选C.2.(2017·四川联盟三诊)已知复数z 满足(2＋i)z ＝2－i(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A.3＋4i B.3－4i C.35＋45i D.35－45i答案 D解析 由(2＋i)z ＝2－i ，得z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝35－45i ，故选D.3.(2017·原创押题预测卷)给出计算12＋14＋16＋…＋12 018的值的一个程序框图(如图所示)，其中判断框内应填入的条件是( )A.i ＞1 009?B.i ＜1 009?C.i ＞2 018?D.i ＜2 018? 答案 A解析 由程序框图，得i ＝1，n ＝2，S ＝12；i ＝2，n ＝4，S ＝12＋14；i ＝3，n ＝6，S ＝12＋14＋16；…；i ＝1 009，n ＝2 018，S ＝12＋14＋16＋…＋12 018.故选A.4.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.函数f (x )的最小正周期为π2B.直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴C.函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π6上单调递增 D.将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin 2x答案 D解析 A ＝2，T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2，π2＋2π32＝7π12，当x ＝7π12时，2×7π12＋φ＝π2，解得φ＝－2π3，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，函数图象向左平移π3个单位长度后得到函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以D 正确. 5.(2017·辽宁六校协作体联考)面积为332的正六边形的六个顶点都在球O 的球面上，球心O到正六边形所在平面的距离为22，记球O 的体积为V ，球O 的表面积为S ，则VS 的值为( )A.2B.1C. 3D. 2 答案 B解析 设正六边形的边长为a ， 则其面积S ＝6×34a 2＝332a 2， 由题意得332a 2＝332，所以a ＝1.由于正六边形的中心到顶点的距离为1， 所以球的半径为R ＝(22)2＋1＝3， 所以V ＝4π3×27＝36π，S ＝4π×9＝36π，所以VS＝1.故选B.6.设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝3，点P 在直线3x ＋4y －12＝0上运动，则|P A →＋PB →|的最小值为( ) A.3 B.4 C.175 D.195答案 D解析 设AB 的中点为D ，由平行四边形法则可知P A →＋PB →＝2PD →， 所以当且仅当O ，D ，P 三点共线时， |P A →＋PB →|取得最小值，此时OP 垂直于直线3x ＋4y －12＝0，OP ⊥AB ， 因为圆心到直线的距离为129＋16＝125， |OD |＝1－34＝12， 所以|P A →＋PB →|取得最小值2⎝⎛⎭⎫125－12＝195.7.(2017·郑州检测)某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A.207B.216－9π2C.216－36πD.216－18π答案 B解析 观察三视图可知，这个几何体是挖去14个底面圆半径为3，高为6的圆锥的边长为6的正方体，所以几何体的体积是正方体的体积减去14个圆锥的体积，即几何体的体积等于63－14×13×9π×6＝216－9π2，故选B. 8.(2017·天津六校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为( )A.3B.932C.332 D.3 3答案 C解析 因为c 2＝(a －b )2＋6， 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，由C ＝π3，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，因此a 2＋b 2－ab ＝a 2＋b 2－2ab ＋6，即ab ＝6， 所以△ABC 的面积为12ab sin π3＝332，故选C.9.(2017·抚顺一模)在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为( )A.1 200B.2 400C.3 000D.3 600 答案 B解析 若4人中，有甲电视台记者1人，乙电视台记者3人，则不同的提问方式总数是C 15C 35A 44＝1 200；若4人中，有甲电视台记者2人，乙电视台记者2人，则不同的提问方式总数是C 25C 25A 22A 23＝1 200；若4人中，有甲电视台记者3人，乙电视台记者1人，则不符合主持人的规定，故所有不同提问方式的总数为1 200＋1 200＝2 400. 10.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y ＋1x ＋1的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13，2B.⎣⎡⎦⎤－12，12C.⎣⎡⎦⎤12，32D.⎣⎡⎦⎤32，52 答案 C解析 在平面直角坐标系中作出可行域⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0.由斜率公式可知z ＝y ＋1x ＋1表示可行域内的点M (x ，y )与点P (－1，－1)连线的斜率，由图可知z max ＝2＋11＋1＝32，z min ＝1＋13＋1＝12，故选C.11.已知{a n }为等比数列， a 1>0，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 4＋a 7＋a 10等于( ) A.－7 B.－5 C.5 D.7 答案 B解析 由等比数列的性质可得a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝－2，a 7＝4或a 7＝－2，a 4＝4，因为a 7＝a 1q 6>0，所以a 4＝－2，a 7＝4，a 7＝a 4q 3＝－2q 3＝4，所以q 3＝－2，所以a 1＝a 4q3＝1，a 10＝a 7q 3＝－8，所以a 1＋a 4＋a 7＋a 10＝－5，故选B.12.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (1)＝12，不等式f ′(x )≤1x ＋x 的解集为(0，1]，则不等式f (x )－ln x x 2＞12的解集为( ) A.(0，1) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0，1)∪(1，＋∞)答案 D解析 因为x ＞0，所以待求不等式可化为f (x )＞ln x ＋x 22，构造函数g (x )＝f (x )－ln x －x 22，则g ′(x )＝f ′(x )－1x －x ，因为不等式f ′(x )≤1x ＋x 的解集为(0，1]，所以在(0，1]上，g ′(x )≤0，所以函数g (x )在(0，1]上单调递减，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，g (x )min ＝g (1)＝f (1)－ln 1－12＝0，所以g (x )＞0的解集为(0，1)∪(1，＋∞). 13.(2017·四川凉山州一诊)设向量a ＝(cos x ，－sin x )，b ＝⎝⎛⎭⎫－cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，cos x ，且a ＝t b ，t ≠0，则sin 2x ＝________. 答案 ±1解析 因为b ＝⎝⎛⎭⎫－cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，cos x ＝(－sin x ，cos x )，a ＝t b ， 所以cos x cos x －(－sin x )(－sin x )＝0， 即cos 2x －sin 2x ＝0， 所以tan 2x ＝1，tan x ＝±1， x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，故sin 2x ＝±1.14.设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________. 答案324解析 设P (－c ，y 0)，代入双曲线C ∶x 2a 2－y 2b2＝1，得y 20＝⎝⎛⎭⎫b 2a 2，由题意知y 0＜0，∴y 0＝－b 2a， 又∵P 在直线y ＝b3a x 上，代入得c ＝3b ，又∵c 2＝a 2＋b 2， ∴e ＝c a ＝324.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋2c －b )cos C ＝(a ＋c )cos B ＋b cos A ，若c ＝3，则a ＋b 的最大值为________. 答案 6解析 由正弦定理可得2sin A cos C ＋2sin C cos C －sin B cos C ＝sin A cos B ＋sin C cos B ＋sin B cos A ，即2sin A cos C ＋2sin C cos C ＝sin(B ＋C )＋sin(A ＋B )，也即2(sin A ＋sin C )cos C ＝sin A ＋sin C ， 因为在△ABC 中，sin A ＋sin C ＞0， 所以2cos C ＝1， 由此可得cos C ＝12，由余弦定理可得9＝a 2＋b 2－ab ，即(a ＋b )2＝9＋3ab ， 又ab ≤14(a ＋b )2，所以14(a ＋b )2≤9⇒a ＋b ≤6，故所求a ＋b 的最大值是6.16.(2017·北京东城区二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ∈(0，2]，min{|x －1|，|x －3|}，x ∈(2，4]，min{|x －3|，|x －5|}，x ∈(4，＋∞).①若f (x )＝a 有且只有一个根，则实数a 的取值范围是________.②若关于x 的方程f (x ＋T )＝f (x )有且仅有3个不同的实根，则实数T 的取值范围是______. 答案 ①(1，＋∞) ②(－4，－2)∪(2，4)解析 ①作出函数f (x )的图象，f (x )＝a 有且只有一个根等价于y ＝f (x )的图象与y ＝a 有一个交点，故可得a ＞1，即a 的取值范围是(1，＋∞)；②方程f (x ＋T )＝f (x )有且仅有3个不同的实根等价于y ＝f (x ＋T )的图象与y ＝f (x )的图象有3个交点，而y ＝f (x ＋T )的图象是将y ＝f (x )的图象向左或向右平移|T |个单位，故可得T 的取值范围是(－4，－2)∪(2，4).。

12＋4满分练(6)1.(2017·长郡中学模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( ) A.2 B.4 C.8 D.16 答案 B解析 结合图象(图略)可知函数y ＝3x 与椭圆有两个不同的交点，即集合A ∩B 中有两个元素，则其所有子集的个数是22＝4，故选B.2.(2017·山东省实验中学二诊)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A.(0，1) B.[0，1)C.(0，1] D.[0，1] 答案 B解析 由题意，得自变量满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x ＜1，即函数y ＝x ln(1－x )的定义域为[0，1)，故选B.3.(2017·湖南省长郡中学模拟)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD → 答案 A解析 如图，OB →＋OC →＝2OD →，又OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →，故AO →＝OD →.4.已知命题p ：若a ，b 是实数，则a ＞b 是a 2＞b 2的充分不必要条件；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2＜3x ”，则下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.(綈p )∧qC.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q ) 答案 D解析 “a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件，所以p 为假命题；“∃x 0∈R ，x 20＋2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，所以q 为假命题，因此(綈p )∧(綈q )为真命题.故选D.5.给出40个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算这40个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么判断框①处和执行框②处可分别填入( )A.i ≤40？；p ＝p ＋i －1B.i ≤41？；p ＝p ＋i －1C.i ≤41？；p ＝p ＋iD.i ≤40？；p ＝p ＋i 答案 D解析 由于要计算40个数的和，故循环要执行40次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为40，即①中应填写i ≤40？；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2；第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4；第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7；…故②中应填写p ＝p ＋i .综上可知选D.6.已知过定点P (2，0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最大时，直线l 的倾斜角为( ) A.150° B.135° C.120° D.30° 答案 A解析 由题意可画图如下：由面积公式S ＝12OA ·OB ·sin ∠AOB 可知当∠AOB ＝π2时，S △OAB 取最大值.由于圆的半径为2，所以点O 到直线AB 的距离为1，由直线过点P (2，0)易知其倾斜角为150°. 7.(2017·山东肥城统考)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝310，则tan α等于( ) A.17 B.13C.3 D.7 答案 C解析 因为sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝310，所以sin 2α－sin 2α＝310，所以sin 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝310，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α≠0， 所以tan 2α－2tan α1＋tan 2α＝310，解得tan α＝3或tan α＝－17(舍去)，故选C.8.(2017·永州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，a ＝2b ，cos A ＝35，则sin B等于( ) A.25 B.35C.45 D.85 答案 A解析 由cos A ＝35，得sin A ＝45，又a ＝2b ，由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝25.故选A.9.(2017·广东珠海测试)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为( ) A.2 B.3C.4 D.5答案 A解析 由三视图的性质和定义知，三棱锥P －BCD 的正(主)视图与侧(左)视图都是底边长为1高为2的三角形，其面积都是12×1×2＝1，正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为1＋1＝2，故选A.10.(2017·河北衡水中学调研)已知等差数列{}a n ，{}b n 的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10等于( )A.1941B.1737C.715D.2041答案 A解析 a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝2a 92(b 1＋b 11)＋a 3b 1＋b 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝11(a 1＋a 11)211(b 1＋b 11)2＝S 11T 11＝2×11－34×11－3＝1941，故选A.11.(2017届福建闽侯县三中期中)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则P A →·PB →的值为( ) A.－38 B.316C.－38 D.不能确定答案 A解析 方法一 设P ()m ，n ，则m 23－n 2＝1，即m 2－3n 2＝3，由双曲线x 23－y 2＝1得其渐近线方程为y ＝±33x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，y －n ＝－3()x －m ， 解得交点A ⎝⎛⎭⎪⎫3m ＋3n 4，3m ＋n 4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ，y －n ＝3()x －m ，解得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫3m －3n 4，n －3m 4，所以P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3n －m4，3m －3n 4， PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m －3n 4，－3n －3m 4， 则P A →·PB →＝3n －m 4×－m －3n 4＋3m －3n 4×－3n －3m 4＝－2m 2－6n 216＝－616＝－38，故选A.方法二 此题可用特殊值法解决：令P 为双曲线右顶点，可求得|P A →|＝|PB →|＝32，P A →与PB →的夹角为2π3，所以P A →·PB →＝32×32×cos 2π3＝－38.12.(2017·湖北荆州中学模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋12x ＋a (x ＜0)，g (x )＝ln x (x >0)，其中a ∈R .若f (x )的图象在点A (x 1，f (x 1))处的切线与g (x )的图象在点B (x 2，f (x 2))处的切线重合，则a 的取值范围为( ) A.(－1＋ln 2，＋∞) B.(－1－ln 2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－34，＋∞ D.(ln 2－ln 3，＋∞) 答案 A解析 f (x )的图象在点A (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫14x 21＋12x 1＋a ＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋12·(x －x 1)， 即y ＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋12x －14x 21＋a . g (x )的图象在点B (x 2，g (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2·(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎨⎧1x 2＝12x 1＋12， ①ln x 2－1＝－14x 21＋a ，②由①及x 1＜0＜x 2知，－1＜x 1＜0，由①②得a ＝14x 21＋ln x 2－1＝14x 21＋ln 2x 1＋1－1＝14x 21＋ln 2－ln(x 1＋1)－1， 设h (t )＝14t 2＋ln 2－ln(t ＋1)－1(－1＜t ＜0)，则h ′(t )＝12t －1t ＋1＝t (t ＋1)－22(t ＋1)＜0，所以h (t )(－1＜t ＜0)为减函数， 则h (t )＞h (0)＝－1＋ln 2， 所以a ＞－1＋ln 2，而当t ∈(－1，0)且t 趋向于－1时，h (t )无限增大， 所以a 的取值范围是(－1＋ln 2，＋∞).13.A ，B ，C 三点与D ，E ，F ，G 四点分别在一个以O 为顶点的角的不同的两边上，则在A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，O 这8个点中任选三个点作为三角形的三个顶点，可构成的三角形的个数为________. 答案 42解析 由题意得三点不能共线，可用间接法，所以可构成的三角形的个数为C 38－C 34－C 35＝42.14.(2017·湖北省荆、荆、襄、宜七校联考)有一长、宽分别为50 m 、30 m 的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员，其声音可传出15 2 m ，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是________. 答案 38解析 所求概率为几何概型，测度为长度， 如图AB ＝CD ＝50，BC ＝DA ＝30，因为OE ＝152，OS ＝15⇒ES ＝OE 2－OS 2＝15⇒EF ＝MN ＝30， 因此概率为EF ＋MN AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝30×2(50＋30)×2＝38.15.(2017·广东佛山检测)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数).如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如6＝21＋22，28＝22＋23＋24，…，按此规律， 8 128可表示为________. 答案 26＋27＋…＋212 解析 因为8 128＝26×127， 又由1－2n 1－2＝127，解得n ＝7.所以8 128＝26×(1＋2＋...＋26)＝26＋27＋ (212)16.(2017·长郡中学模拟)已知抛物线y 2＝4x ，其焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |－2|BF |的最小值为________.答案 22－2解析 因为F (1，0)，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线AB ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x 可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝1，不妨设x 1＜1，x 2＞1， 由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以|AF |－2|BF |＝x 1＋1－2x 2＋1＝(x 1＋1)(x 2＋1)－2x 2＋1＝x 1＋x 2x 2＋1＝1＋x 22x 2＋x 22＝11＋x 2－1x 22＋1，令x 2－1＝t ，则x2＝t＋1，所以|AF|－2|BF|＝11＋tt2＋2t＋2＝11＋12＋t＋2t≥11＋12＋22＝2(1＋2)3＋22＝21＋2＝2(2－1)，当且仅当t＝2时取“＝”.当直线l与x轴垂直时，可求得|AF|＝2，|BF|＝2，所以|AF|－2|BF|＝1，综上，|AF|－2|BF|的最小值为22－2.。

⑵根据正弦定理湍丁 b _ c sin B sinC解答题滚动练831 .在及?中，内角瓦B,。

的对边分别为a, b, c,已知cos 2J+-=2cos A (1) 求角K 的大小；(2) 若a=l,求的周长/的取值范围. 解 ⑴根据倍角公式cos 2^=2cos 2^—1, 得 2COS F+；=2COS A, 即 4COS 2T 4—4cos 4+1 = 0, 所以(2cos 力一I)』。

,1JI所以cos A=-,又因为OV/V JI ,所以A=—.得 b=~i=sin B, c=—j=sin C,所以 /=1 +力+c=l+^^(sin B+sin 6), JI2 n 因为刀=耳，所以砰。

=丁，所以 7=l+^^sin B+sin 匕-- j]=l + 2sin(方+~^j, 2 JI因为QVBVp,所以 族(2, 3],o2.某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴，每户贷款额为2万元，贷款期限有6个月、 12个月、18个月、24个月、36个月五种，这五种贷款期限政府分别需要补助200元、300 元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的困难户中抽取了 100户进行了调查 统计，其贷款期限的频数如下表：以上表各种贷款期限的频率作为2017年贫困家庭选择各种贷款期限的概率. (1) 某小区2017年共有3户准备享受此项政策，计算其中恰有两户选择贷款期限为12个月的概率；(2)设给享受此项政策的某困难户补贴为本元，写出本的分布列，若预计2017年全市有3. 6万户享受此项政策，估计2017年该市共要补贴多少万元.解(1)由已知一困难户选择贷款期限为12个月的概率是0. 4,所以小区2017年准备享受此项政策的3户恰有两户选择贷款期限为12个月的概率是J P I=C3X0. 42 X 0 . 6 = 0 . 28 8.(2) A f =200)=0. 2, A f =300)=0. 6, A f =400)=0. 2,所以f的分布列是200 300 400P0.2 0.6 0.2E( f) =200X0. 2+300X0. 6+400X0. 2=300.所以估计2017年该市共要补贴1 080万元.3.(2017 •北京丰台二模)如图所示的几何体中，四边形/时为等腰梯形，AB//CD, AB=2AD =2, ZDAB=60。

12＋4满分练(4)1.(2017·湖北部分重点中学联考)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，集合B ＝{x |0＜x ＜4}，则(∁R A )∩B 等于( )A.(0，3]B.[－1，0)C.[－1，3]D.(3，4) 答案 A解析 因为A ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， 故∁R A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |0＜x ＜4}， 所以(∁R A )∩B ＝{x |0＜x ≤3}，故选A.2.(2017·安阳模拟)设i 为虚数单位，若复数a ＋2i 1＋i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A.－1B.1C.－2D.2 答案 C解析 由题意，得a ＋2i 1＋i ＝a ＋22＋2－a2i ，则⎩⎨⎧a ＋22＝0，2－a 2≠0⇒a ＝－2，故选C.3.(2017·绵阳中学实验学校模拟)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋x ·(cos x －2sin x )＋sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( ) A.在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，为奇函数 B.周期为π，图象关于⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C.最大值为2，图象关于直线x ＝π2对称D.在⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增，为偶函数 答案 A解析 函数的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋x (cos x －2sin x )＋sin 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 将其图象向左平移π8个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－π4＝2sin 2x 的图象， 则g (x )为奇函数，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，故A 正确.4.(2017·宝鸡检测)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图象( )A.向左平移π4个单位长度B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度D.向右平移π2个单位长度答案 A解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π3， 所以函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图象向左平移π4个单位长度得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，故选A. 5.过点M (2，－2p )引抛物线x 2＝2py (p ＞0)的切线，切点分别为A ，B ，若|AB |＝410，则p 的值是( ) A.1或2 B.2或2 C.1 D.2答案 A解析 设切点为⎝⎛⎭⎫t ，12p t 2，因为y ′＝1p x ， 则切线斜率k ＝12p t 2＋2p t －2＝1p t ，整理可得t 2－4t －4p 2＝0，由根与系数的关系可得t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－4p 2， 则(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝16(1＋p 2). 设切点A ⎝⎛⎭⎫t 1，t 212p ，B ⎝⎛⎭⎫t 2，t 222p ， 则|AB |＝(t 1－t 2)2＋⎝⎛⎭⎫t 21－t 222p 2＝(t 1－t 2)2⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫12p 2(t 1＋t 2)2， 即|AB |＝4(1＋p 2)⎝⎛⎭⎫1＋4p 2， 所以(1＋p 2)⎝⎛⎭⎫1＋4p 2＝10， 即p 4－5p 2＋4＝0， 解得p 2＝1或p 2＝4， 即p ＝1或p ＝2，故选A.6.(2017·云南大理检测)已知三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，若该三棱锥的体积为433，BC ＝4，BD ＝3，∠CBD ＝90°，则球O 的表面积为( )A.11πB.20πC.23πD.35π 答案 C解析 设棱锥的高为h ， 因为S △BCD ＝12×BC ×BD ＝23，所以V A －BCD ＝13S △BCD ×h ＝433，所以h ＝2，因此点O 到平面BCD 的距离为1， 因为△BCD 外接圆的直径为19， 所以OB ＝1＋194＝232，所以球O 的表面积为S ＝4πr 2＝23π，故选C.7.(2017·湖北部分重点中学联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A.36πB.8πC.9π2D.27π8答案 B解析 从题设中三视图所提供的图形信息与数据信息可知该几何体是棱长为2，2，2的长方体的一角所在三棱锥，其外接球与该长方体的外接球相同，其直径是该长方体的对角线l ＝22＋(2)2＋(2)2＝22，故球的半径为R ＝2，所以该外接球的表面积S ＝4π(2)2＝8π，故选B.8.已知点P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ≤2，x ＋y －1≥0所表示的平面区域内的一点，点Q 是圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1上的一个动点，则|PQ |的最大值是( )A.35＋22B.25＋33C.253D.10答案 A解析 由题意得，画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意知点A 到圆心(－1，0)的距离最远，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，x ＝2，解得A ⎝⎛⎭⎫2，32，最远距离为d ＝(2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫322＝352，所以|PQ |的最大值为352＋1＝35＋22，故选A.9.(2017·湖南师大附中月考)阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为( )A.k ≤3?B.k ≤4?C.k ≤5?D.k ≤6? 答案 B解析 第一次循环，S ＝12＝1，k ＝2； 第二次循环，S ＝2×1＋22＝6，k ＝3； 第三次循环，S ＝2×6＋32＝21，k ＝4； 第四次循环，S ＝2×21＋42＝58，k ＝5， 最后输出的数据为58，所以判断框中应填入k ≤4？，故选B.10.(2017·云南大理检测)已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －1，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b答案 D解析 由题意知f (x )，g (x )，h (x )均为各自定义域上的增函数，且有唯一零点， 因为f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1>0，所以－1＜a ＜0， 由g (x )＝0可得x ＝1，所以b ＝1，h ⎝⎛⎭⎫13＝－1＋13＝－23＜0，h (1)＝1>0， 所以13＜c ＜1，所以a ＜c ＜b ，故选D.11.(2017·安阳模拟)已知当x ＝θ时，函数f (x )＝2sin x －cos x 取得最大值，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4等于( )A.7210B.210C.－210D.－7210 答案 D解析 因为f (x )＝5sin(x －φ)， 所以f (x )max ＝5， 其中cos φ＝25，sin φ＝15， 当x －φ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，函数取得最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ，k ∈Z 时函数取得最大值.由于sin 2θ＝－sin 2φ＝－2×25×15＝－45，cos 2θ＝－cos 2φ＝－(2cos 2φ－1)＝－35，故sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝－75×22＝－7210，故选D. 12.(2017·贵州贵阳市适应性考试)已知M 是函数f (x )＝e －2|x －1|＋2sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x －12在x ∈[－3，5]上的所有零点之和，则M 的值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 答案 C解析 因为f (x )＝e－2|x －1|＋2sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x －12＝e －2|x －1|－2cos πx ， 所以f (x )＝f (2－x )，因为f (1)≠0，所以函数零点有偶数个，两两关于x ＝1对称. 当x ∈[1，5]时，y ＝e－2(x －1)∈(0，1]，且单调递减；y ＝2cos πx ∈[－2，2]，且在[1，5]上有两个周期， 因此当x ∈[1，5]时，y ＝e－2(x －1)与y ＝2cos πx 有4个不同的交点，从而所有零点之和为4×2＝8，故选C. 13.(2017·宁夏银川二模)我们把满足：x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )的数列{x n }叫做牛顿数列.已知函数f (x )＝x 2－1，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n －1x n ＋1，已知a 1＝2，则a 3＝________.答案 8解析 由f (x )＝x 2－1，得f ′(x )＝2x ，则x n ＋1＝x n －x 2n －12x n ＝x 2n ＋12x n ，所以x n ＋1－1＝(x n －1)22x n，x n ＋1＋1＝(x n ＋1)22x n ，所以x n ＋1－1x n ＋1＋1＝(x n －1)2(x n ＋1)2，所以ln x n ＋1－1x n ＋1＋1＝ln (x n －1)2(x n ＋1)2＝2ln x n －1x n ＋1， 即a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，则a 3＝2×22＝8.14.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，点P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________. 答案 5解析 方法一 以点D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 方法二 设DP →＝xDC →(0＜x ＜1)，∴PC →＝(1－x )DC →，P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2DC 2→＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.15.点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上，其左、右焦点分别为F 1，F 2，直线PF 1与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段PF 1的垂直平分线恰好过点F 2，则该双曲线的渐近线的斜率为________. 答案 ±43解析 如图，A 是切点，B 是PF 1的中点，因为|OA |＝|a |，所以|BF 2|＝2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以|BF 1|＝2b ，|PF 1|＝4b ，又|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，根据双曲线的定义，有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即4b －2c ＝2a ，两边平方并化简得3c 2－2ac －5a 2＝0，所以c a ＝53，因此ba＝⎝⎛⎭⎫c a 2－1＝43.16.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＝43()a n －1，则()4n －2＋1⎝⎛⎭⎫16a n ＋1的最小值为______. 答案 4解析 ∵S n ＝43()a n －1，∴S n －1＝43()a n －1－1()n ≥2，∴a n ＝S n －S n －1＝43()a n －a n －1，∴a n ＝4a n －1.又a 1＝S 1＝43()a 1－1，∴a 1＝4，∴{}a n 是首项为4，公比为4的等比数列， ∴a n ＝4n ， ∴()4n －2＋1⎝⎛⎭⎫16a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫4n16＋1⎝⎛⎭⎫164n ＋1＝2＋4n 16＋164n ≥2＋2＝4， 当且仅当n ＝2时取“＝”.。

12＋4满分练12＋4满分练(1)1.已知P ＝{x |x 2－5x ＋4＜0}，Q ＝{}y |y ＝4－2x ，则P ∩Q 等于( )A.[0，1)B.[0，2)C.(1，2)D.[1，2)答案 C解析 解x 2－5x ＋4＜0，即(x －1)(x －4)＜0，得1＜x ＜4，故P ＝(1，4).Q 表示函数y ＝4－2x 的值域，因为2x ＞0，所以t ＝4－2x ＜4，所以y ∈[0，2)，即Q ＝[0，2).故P ∩Q ＝(1，2).故选C.2.已知a ∈R ，i 是虚数单位.若a －i 2＋i 与3i －5i 2－i互为共轭复数，则a 等于( ) A.13 B.－13C.－3D.3 答案 D解析 a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝(2a －1)－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i ， 3i －5i 2－i ＝3i －5i (2＋i )(2－i )(2＋i )＝3i －－5＋10i 5＝1＋i ， ∵a －i 2＋i 与3i －5i 2－i互为共轭复数， ∴2a －15＝1，－a ＋25＝－1，解得a ＝3.故选D. 3.命题：∀x ∈R ，ln(e x －1)＜0的否定是( )A.∀x ∈R ，ln(e x －1)>0B.∀x ∈R ，ln(e x －1)≥0C.∃x 0∈R ，ln(0e x－1)＜0D.∃x 0∈R ，ln(0e x－1)≥0答案 D4.(2017·四川双流中学月考)已知函数f (x )＝A sin ()ωx ＋φ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，||φ＜π2的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π12个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋π12，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z 答案 A解析 由题图可得，f (x )的振幅A ＝2，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，则ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又2×π12＋φ＝π2＋2k π，|φ|＜π2， 解得φ＝π3， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 平移后得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ， 所以g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . 故选A.5.已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴的交点记为A ，焦点为F ，l 是过点A 且倾斜角为π3的直线，则F 到直线l 的距离为( )A.1B.3C.2D.2 3 答案 B解析 由题意，得A (－1，0)，F (1，0)，则过点A 且倾斜角为π3的直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)， ∴点F 到直线l 的距离d ＝233＋1＝ 3.故选B. 6.(2017·云南师范大学附中月考)已知三棱锥A －BCD 内接于半径为5的球O 中，AB ＝CD ＝4，则三棱锥A －BCD 的体积的最大值为( )A.43B.83C.163D.323答案 C解析 如图，过CD 作平面ECD ，使AB ⊥平面ECD ，交AB 于点E ，设点E 到CD 的距离为EF ，当球心在EF 上时，EF 最大，此时E ，F 分别为AB ，CD 的中点，且球心O 为EF 的中点，所以EF ＝2， 所以V max ＝13×12×4×2×4＝163，故选C.7.(2017·武邑检测)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0()a >0截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋()y －12＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.外离答案 B解析 化简圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2⇒M (0，a )，r 1＝a ⇒M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2⇒⎝⎛⎭⎫a 22＋2＝a 2⇒a ＝2⇒M (0，2)，r 1＝2，又N (1，1)，r 2＝1⇒|MN |＝2⇒|r 1－r 2|＜|MN |＜|r 1＋r 2|⇒两圆相交.8.(2017·资阳模拟)一块硬质材料的三视图如图所示，正(主)视图和俯视图都是边长为10 cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近( )A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm答案 A解析 由题意得几何体为一个三棱柱，底面是腰为10的等腰直角三角形，高为10，得到的最大球的半径为等腰直角三角形的内切圆的半径，其半径为10＋10－1022＝10－52≈2.93，最接近3 cm ，故选A.9.已知两组样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ，{y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为( )A.h ＋k 2B.nh ＋mk m ＋nC.mh ＋nk m ＋nD.h ＋k m ＋n答案 B解析 因为样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ，{y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，所以第一组数据和为nh ，第二组数据和为mk ，因此把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为nh ＋mk m ＋n，故选B. 10.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{0，1，2，…，9}.若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( )A.725B.925C.750D.950答案 A解析 共有10×10＝100(种)猜字结果，其中满足|a －b |≤1的有：当a ＝0时，b ＝0，1；当a ＝1时，b ＝0，1，2；当a ＝2时，b ＝1，2，3；当a ＝3时，b ＝2，3，4；当a ＝4时，b ＝3，4，5；当a ＝5时，b ＝4，5，6；当a ＝6时，b ＝5，6，7；当a ＝7时，b ＝6，7，8；当a ＝8时，b ＝7，8，9；当a ＝9时，b ＝8，9，共28种，所以他们“心有灵犀”的概率为P ＝28100＝725，故选A. 11.(2017·曲靖月考)已知函数f (x )＝x 2－kx －2在区间(1，5)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( )A.[10，＋∞)B.(－∞，2]C.(－∞，2]∪[10，＋∞)D.(－∞，1]∪[5，＋∞)答案 C解析 由已知可得k 2≤1或k 2≥5⇒k ∈(－∞，2]∪[10，＋∞)，故选C. 12.若存在m ，使得关于x 的方程x ＋a (2x ＋2m －4e x )·[ln(x ＋m )－ln x ]＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，0)B.⎝⎛⎭⎫0，12eC.(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12e ，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫12e ，＋∞ 答案 C解析 由题意得－12a ＝⎝⎛⎭⎫1＋m x －2e ln ⎝⎛⎭⎫1＋m x ＝(t －2e)ln t ⎝⎛⎭⎫t ＝m x ＋1＞0， 令f (t )＝(t －2e)ln t (t ＞0)，则f ′(t )＝ln t ＋1－2e t， (f ′(t ))′＝1t ＋2e t 2＞0，∴f ′(t )为增函数. 当x ＞e 时，f ′(t )＞f ′(e)＝0，当0＜x ＜e 时，f ′(t )＜f ′(e)＝0，∴f (t )≥f (e)＝－e ，∴－12a ≥－e ，解得a ＜0或a ≥12e，故选C. 13.(2017·山西临汾五校联考)若tan α－1tan α＝32，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝_______. 答案 210 解析 ∵tan α－1tan α＝32，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin αcos α－cos αsin α＝32，∴cos 2αsin 2α＝－34， ∵π4＜α＜π2，∴π2＜2α＜π， 故cos 2α＝－35，sin 2α＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝sin 2α×22＋cos 2α×22＝210. 14.已知O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝________.答案 －16解析 如图所示，因为O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，所以∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°，OA ＝2OD ＝23×32＝33， 由于AD 平分∠BAC ，∠BOC ，所以OB →＋OC →＝2OD →＝－OA →，同理OA →＋OB →＝－OC →，OA →＋OC →＝－OB →，所以(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝(－OC →)·(－OB →)＝OC →·OB →＝|OB →|2cos120°＝|OA →|2cos120°＝⎝⎛⎭⎫332×⎝⎛⎭⎫－12＝－16. 15.已知(x ＋a )2(x －1)3的展开式中x 4的系数为1，则a ＝________.答案 2解析 (x ＋a )2(x －1)3的展开式中x 4的系数为1×(－3)＋2a ×1＝2a －3＝1， 所以a ＝2.16.(2017·福建福州外国语学校模拟)在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A，B，C做了一项预测：A说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”.B说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”.C说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”.比赛结果出来后，发现A，B，C三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是________.答案甲解析由题意知，B，C的预测截然相反，必一对一错，因为只有一个对，不论B，C谁对，A必是一对一错，假设B的预测是对的，则丙是冠军，那么A说冠军也不会是甲，也不会是乙，即丙是冠军也对，这与题目中“一人的两个判断都对”相矛盾，即假设不成立，所以B 的预测是错误的，则C的预测是对的，所以甲是冠军.。

解答题滚动练81.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2A ＋32＝2cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围. 解 (1)根据倍角公式cos 2x ＝2cos 2x －1， 得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0， 所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12，又因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， 所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )， 因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，所以l ＝1＋23⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， 因为0＜B ＜2π3，所以l ∈(2，3].2.某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴，每户贷款额为2万元，贷款期限有6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，这五种贷款期限政府分别需要补助200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的困难户中抽取了100户进行了调查统计，其贷款期限的频数如下表：以上表各种贷款期限的频率作为2017年贫困家庭选择各种贷款期限的概率.(1)某小区2017年共有3户准备享受此项政策，计算其中恰有两户选择贷款期限为12个月的概率；(2)设给享受此项政策的某困难户补贴为ξ元，写出ξ的分布列，若预计2017年全市有3.6万户享受此项政策，估计2017年该市共要补贴多少万元.解(1)由已知一困难户选择贷款期限为12个月的概率是0.4，所以小区2017年准备享受此项政策的3户恰有两户选择贷款期限为12个月的概率是P1＝C23×0.42×0.6＝0.288.(2)P(ξ＝200)＝0.2，P(ξ＝300)＝0.6，P(ξ＝400)＝0.2，所以ξ的分布列是E(ξ)＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.所以估计2017年该市共要补贴1 080万元.3.(2017·北京丰台二模)如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2AD ＝2，∠DAB＝60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD.(1)若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；(2)求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；(3)在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求FHHC的值；若不存在，请说明理由.(1)证明由已知得EF∥CD，且EF＝CD.因为四边形ABCD为等腰梯形，所以有BG∥CD.因为G是棱AB的中点，所以BG＝CD.所以EF∥BG，且EF＝BG，故四边形EFBG为平行四边形，所以EG∥FB.因为FB⊂平面BDF，EG⊄平面BDF，所以EG∥平面BDF.(2)解因为四边形CDEF为正方形，所以ED⊥DC.因为平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝DC，DE⊂平面CDEF，所以ED⊥平面ABCD.在△ABD中，因为∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，所以由余弦定理，得BD＝3，所以AD⊥BD.在等腰梯形ABCD中，可得DC＝CB＝1.如图，以D 为原点，以DA ，DB ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，E (0，0，1)，B (0，3，0)，F ⎝⎛⎭⎫－12，32，1，所以AE →＝(－1，0，1)，DF →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，1，DB →＝(0，3，0).设平面BDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝0，－12x ＋32y ＋z ＝0， 取z ＝1，则x ＝2，y ＝0， 得n ＝(2，0，1).设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AE →，n 〉|＝|AE →·n ||AE →|| n |＝1010，所以AE 与平面BDF 所成的角的正弦值为1010. (3)解 线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD .理由如下： 假设线段FC 上存在点H ，设H ⎝⎛⎭⎫－12，32，t (0≤t ≤1)，则DH →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，t ，设平面HAD 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DA →＝0，m ·DH →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，－12a ＋32b ＋tc ＝0， 取c ＝1，则a ＝0，b ＝－23t ，得m ＝⎝⎛⎭⎫0，－23 t ，1.要使平面BDF ⊥平面HAD ，只需m ·n ＝0， 即2×0－23t ×0＋1×1＝0，此方程无解. 所以线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD .4.已知函数f (x )＝a ln x ＋b (a ，b ∈R )，曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为x －y －1＝0. (1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )＋1x≥1；(3)已知满足x ln x ＝1的常数为k .令函数g (x )＝m e x ＋f (x )(其中e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28…)，若x ＝x 0是g (x )的极值点，且g (x )≤0恒成立，求实数m 的取值范围. (1)解 f (x )的导函数f ′(x )＝ax，由曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为x －y －1＝0，知f ′(1)＝1，f (1)＝0，所以a ＝1，b ＝0. (2)证明 令u (x )＝f (x )＋1x －1＝ln x ＋1x －1，则u ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，当0＜x ＜1时，u ′(x )＜0，u (x )单调递减；当x ＞1时，u ′(x )＞0，u (x )单调递增，所以当x ＝1时，u (x )取得极小值，也即最小值，该最小值为u (1)＝0，所以u (x )≥0，即不等式f (x )＋1x ≥1成立.(3)解 函数g (x )＝m e x ＋ln x (x ＞0)， 则g ′(x )＝m e x ＋1x，当m ≥0时，g ′(x )＞0，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，g (x )无极值，不符合题意； 当m ＜0时，由g ′(x )＝m e x ＋1x ＝0，得e x ＝－1mx，结合y ＝e x ，y ＝－1mx 在(0，＋∞)上的图象可知，关于x 的方程m e x ＋1x ＝0一定有解，其解为x 0(x 0＞0)，且当0＜x ＜x 0时，g ′(x )＞0，g (x )在(0，x 0)内单调递增； 当x ＞x 0时，g ′(x )＜0，g (x )在(x 0，＋∞)内单调递减. 则x ＝x 0是函数g (x )的唯一极值点，也是它的唯一最大值点， x ＝x 0也是g ′(x )＝0在(0，＋∞)上的唯一零点， 即m 0e x＝－1x 0，则m ＝－10e x x 0.所以g (x )max ＝g (x 0)＝m 0e x＋ln x 0＝－1x 0＋ln x 0.由于g (x )≤0恒成立，则g (x )max ≤0， 即－1x 0＋ln x 0≤0，(*)考查函数h (x )＝ln x －1x ，则h ′(x )＝1x ＋1x2＞0，所以h (x )为(0，＋∞)上的增函数，且h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1－e ＜0，h (e)＝1－1e＞0，又常数k 满足k ln k ＝1，即－1k ＋ln k ＝0，所以k 是方程－1x 0＋ln x 0＝0的唯一根，于是不等式(*)的解为x 0≤k ，又函数t (x )＝－1e x x (x ＞0)为增函数，故m ＝－10e x x 0≤－1e k k ，所以m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1e k k .。

回扣4 数列1．牢记概念与公式等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n}的常用性质(2)判断等差数列的常用方法①定义法a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．②通项公式法a n＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．③中项公式法2a n＋1＝a n＋a n＋2 (n∈N*)⇔{a n}是等差数列．④前n项和公式法S n＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法①定义法a n＋1＝q (q是不为0的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．a n②通项公式法a n＝cq n (c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．③中项公式法a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和．(3)通项公式形如a n ＝c(an ＋b 1)(an ＋b 2)(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和． (4)通项公式形如a n ＝(－1)n ·n 或a n ＝a ·(－1)n (其中a 为常数，n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n时，无法正确赋值求解． 4．易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．7．裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. 8．通项中含有(－1)n 的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.答案 20解析 设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10，3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝2×10＝20.2．(2017·南京、盐城一模)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝____________. 答案 63解析 ∵a 4＋a 5＋a 6＝21，∴3a 5＝21，可得a 5＝7，∴S 9＝9×(a 1＋a 9)2＝9×(2a 5)2＝9a 5＝63.。

12＋4满分练(5)1.(2017·原创押题预测卷)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{y |y ＝3x ，x ≤0}，则A ∩(∁R B )等于( )A.(－1，0]B.(1，2)C.(－1，0]∪(1，2)D.(0，1] 答案 C解析 因为A ＝{x |x 2－x －2＜0}＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{y |y ＝3x ，x ≤0}＝{y |0＜y ≤1}，所以∁R B ＝(－∞，0]∪(1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(－1，0]∪(1，2)，故选C.2.(2017·广东七校联考)已知()a ＋i ()1－b i ＝2i(其中a ，b 均为实数，i 为虚数单位)，则||a ＋b i 等于( )A.2B.2C.1D.1或 2 答案 B解析 因为(a ＋i)(1－b i)＝a ＋b ＋(1－ab )i ＝2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，1－ab ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以|a ＋b i|＝2，故选B.3.给出如图所示的程序框图，若输入的x 的值为－5，则输出的y 值是( ) A.－2 B.－1 C.0 D.1答案 C解析 由程序框图得：若输入的x 的值为－5，⎝⎛⎭⎫12－5＝25＝32>2， 程序继续运行x ＝－3，⎝⎛⎭⎫12－3＝23＝8>2， 程序继续运行x ＝－1，⎝⎛⎭⎫12－1＝2，不满足⎝⎛⎭⎫12x>2，∴执行y ＝log 2x 2＝log 21＝0，故选C.4.(2017·江西九江地区联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ，－1＜x ＜0，e 2x －1，x ≥0满足f ⎝⎛⎭⎫12＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( ) A.12 B.2 C.13 D.12或－13 答案 D解析 由已知得f ⎝⎛⎭⎫12＝1，因为f ⎝⎛⎭⎫12＋f (a )＝2， 所以f (a )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜a ＜0，2cos πa ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，e2a －1＝1， 解得a ＝12或－13，故选D.5.(2017·天津南开区模拟)已知过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( ) A.0 B.－8 C.2 D.10 答案 B解析 因为直线2x ＋y －1＝0的斜率为－2，所以过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线的斜率k ＝－2，所以4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8，故选B.6.(2017届长郡中学模拟)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜0)的最小正周期是π，将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P (0，1)，则f (x )＝sin(ωx ＋φ)( )A.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 B.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 C.在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π6上单调递减 D.在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π6上单调递增 答案 B解析 由题设T ＝π＝2πω⇒ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，向左平移π3个单位长度后可得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋φ，其图象经过点P (0，1)，即sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1， 因为－π＜φ＜0，解得φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2. 函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π6上，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π6， 函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π6上不单调. 7.在等比数列{}a n 中，a 2，a 18是方程x 2＋6x ＋4＝0的两根，则a 4a 16＋a 10等于( ) A.6 B.2 C.2或6 D.－2 答案 B解析 因为a 2，a 18是方程x 2＋6x ＋4＝0的两根， 所以a 2＋a 18＝－6，a 2·a 18＝4，所以a 2＜0，a 18＜0，又数列{}a n 为等比数列， 所以a 10＜0，所以a 10＝－a 2a 18＝－2， 所以a 4a 16＋a 10＝a 210＋a 10＝2，故选B.8.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为( )A.2或233B.6或233C.2或 3D.3或 6答案 A解析 由题意可知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，则k ＝b a ，∴k ＝3或33，则e ＝ca，∴e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2或233.9.(2017·吉林普通中学调研)给出下列命题： ①函数f (x )＝sin 2x 为偶函数； ②函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期为π； ③函数y ＝ln(x ＋1)没有零点；④函数y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，0)上是增函数. 其中正确命题的序号是( ) A.①④ B.①③ C.②③ D.②④答案 D解析 由正弦函数的性质可知：f (x )＝sin 2x ， 则f (－x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ＝－f (x )， 则f (x )＝sin 2x 为奇函数，故①错误；由y ＝sin 2x 的最小正周期为T ＝2πω＝π，故②正确；令函数y ＝ln(x ＋1)＝0，即x ＝0， 函数存在零点，故③错误； 由对数函数的单调性可知：函数y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递增， 故函数y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，0)上是增函数，④正确. 故选D.10.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( )A.y ＝x ＋1的图象上B.y ＝2x 的图象上C.y ＝2x 的图象上D.y ＝2x－1的图象上答案 D解析 由题意可知，输入x ＝1，y ＝1，由于1≤4，输出点(1，1)，进入循环，x ＝1＋1＝2，y ＝2×1＝2，由于2≤4，输出点(2，2)，进入循环，x ＝2＋1＝3，y ＝2×2＝4，由于3≤4，输出点(3，4)，进入循环，x ＝3＋1＝4，y ＝2×4＝8，由于4≤4，输出点(4，8)，进入循环，x ＝4＋1＝5>4，循环结束；故点(2，2)，点(3，4)，点(4，8)均满足在函数y ＝2x－1的图象上.11.(2017·天津重点中学联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为5，圆心在x 轴的正半轴上的圆M 与双曲线的渐近线相切，且圆M 的半径为2，则以圆M 的圆心为焦点的抛物线的标准方程为( ) A.y 2＝85x B.y 2＝45x C.y 2＝25x D.y 2＝5x答案 B解析 设双曲线渐近线的方程为y ＝ba x ，圆心坐标为(x 0，0)(x 0＞0)，由双曲线的离心率a 2＋b 2a ＝5，得b ＝2a ，故双曲线的渐近线方程为y ＝2x . ∵圆与渐近线相切，由点到直线的距离公式得2x 01＋22＝2，即x 0＝5，∴p2＝5，p ＝25， ∴抛物线的标准方程为y 2＝45x ，故选B.12.设函数f (x )＝1－x ＋1，g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)，若对任意的x 1∈[0，＋∞)，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的最大值为( ) A.2 B.94 C.4 D.92答案 B解析 设g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)的值域为A ，因为f (x )＝1－x ＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A ， 所以h (x )＝ax 2－3x ＋1至少要取遍(0，1]中的每一个数，又h (0)＝1，所以实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝9－4a ≥0，解得a ≤94.所以实数a 的最大值为94，故选B.13.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，AB ＝2，AD ＝1，且MA →·MB →＝－16，则AB →·AD →＝________.答案 34解析 MA →·MB →＝(MD →＋DA →)·23DB →＝⎝⎛⎭⎫13BD →＋DA →·23DB →＝⎝⎛⎭⎫13AD →－13AB →＋DA →·⎝⎛⎭⎫23AB →－23AD → ＝⎝⎛⎭⎫－23AD →－13AB →·⎝⎛⎭⎫23AB →－23AD →＝49AD →2－29AB →2－29AB →·AD →＝－29AB →·AD →＝－16， AB →·AD →＝34.14.下表是某工厂1—4月份用电量(单位：万度)的一组数据：由散点图可知，用电量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x＋a ^，则a ^＝________. 答案 5.25解析 因为x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，y ＝4.5＋4＋3＋2.54＝3.5，所以(2.5，3.5)在线性回归方程y ^＝－0.7x ＋a ^上，即3.5＝－0.7×2.5＋a ^，a ^＝5.25.15.(2017·河北衡水中学模拟)已知{}a n 为等差数列，S n 为其前n 项和，公差为d ，若S 2 0172 017－S 1717＝100，则d 的值为________. 答案110解析 因为S nn ＝na 1＋n (n －1)2dn ＝a 1＋(n －1)2d ，所以S 2 0172 017－S 1717＝a 1＋2 017－12d －⎝⎛⎭⎫a 1＋17－12d ＝1 000d ＝100，所以d ＝110.16.已知函数f (x )的定义域为R ，若存在常数k ，使|f (x )|≤k2 017|x |对所有实数都成立，则称函数f (x )为“期望函数”，给出下列函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝x e x ；③f (x )＝x x 2－x ＋1；④f (x )＝x e x ＋1.其中函数f (x )为“期望函数”的是________.(写出所有符合条件的函数序号) 答案 ③④解析 ①假设函数f (x )＝x 2为“期望函数”，则|f (x )|＝|x 2|≤k2 017|x |，当x ≠0时，k ≥2 017|x |，因此不存在k ，因此假设错误，即函数f (x )＝x 2不是“期望函数”；②假设函数f (x )＝x e x 为“期望函数”，则|f (x )|＝|x e x |≤k2 017|x |，当x ≠0时，k ≥2 017e x ，因此不存在k ，因此假设错误；③假设函数f (x )＝xx 2－x ＋1为“期望函数”，|f (x )|＝|x |⎝⎛⎭⎫x －122＋34≤43|x |，当x ≠0时，对任意的k2 017≥43，都有|f (x )|≤k 2 017|x |成立，故正确；④假设函数f (x )＝x e x ＋1为“期望函数”，|f (x )|＝|x |e x＋1≤k2 017|x |对所有实数都成立，故正确.故答案为③④.。

12＋4满分练(9)1.(2017·江门一模)已知集合M ＝{x |ln x ＞0}，N ＝{x |x 2－3x －4＞0}，则M ∩N 等于( ) A.(－1，4) B.(1，＋∞) C.(1，4) D.(4，＋∞) 答案 D解析 由题意得M ＝{x |x ＞1}，N ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，则M ∩N ＝{x |x ＞4}.2.(2017·太原三模)已知i 是虚数单位，复数z 满足z 2＋z ＝i ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，12B.()－1，1C.⎝⎛⎭⎫12，－12 D.()1，－1 答案 B解析 由题意可得z ＝()2＋z i ＝2i ＋z i ， 解得z ＝2i 1－i＝－1＋i ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标是 ()－1，1.3.(2017·四川遂宁等四市联考)如图是某算法的程序框图，当输出T ＞29时，正整数n 的最小值是( )A.2B.3C.4D.5 答案 C解析 第一次循环，得k ＝1，T ＝2； 第二次循环，得k ＝2，T ＝6； 第三次循环，得k ＝3，T ＝14； 第四次循环，得k ＝4，T ＝30>29， 此时满足题意，退出循环，所以正整数n 的最小值是4，故选C.4.在△ABC 中， AB ＝3， AC ＝2， ∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB→＋λAC →，则|AP →|的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，210＋333B.⎣⎡⎦⎤2，83 C.⎣⎡⎦⎤0，2133D.⎣⎡⎦⎤2，2133答案 D解析 如图所示，以靠近点B 的三等分点为平行四边形的一个顶点，A ，C 为另外两个顶点构造平行四边形ADEC ，DE 与BC 交于点F ，则点P 位于线段DF 上，所以当点P 在点D 处时，|AP →|最小，|AP →|min ＝AD ＝2；当点P 在点F 处时，|AP →|最大，因为AP →＝23AB →＋λAC →，所以当λ＝13时，|AP →|max ＝2133， 则|AP →|的取值范围为 ⎣⎡⎦⎤2，2133.5.我国古代数学名著《九章算术》中论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1＋11＋11＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1x ＝x 求得x ＝5＋12.类似上述过程，则3＋23＋2…等于( ) A.3 B.13＋12C.6D.2 2 答案 A解析 由题意结合所给的例子类比推理可得：3＋2x ＝x ()x ≥0， 整理得 ()x ＋1()x －3＝0，则x ＝3， 即3＋23＋2 (3)6.已知某产品的广告费用x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)具有线性相关关系，其统计数据如下表：由上表可得线性回归方程y ^＝b x ＋a ，据此模型预报当广告费用为8万元时的销售额是( ) A.59.5万元 B.52.5万元 C.56万元 D.63.5万元答案 A解析 由题意可得，x ＝3＋4＋5＋64＝92，y ＝25＋30＋40＋454＝35，则b ^＝∑i ＝14x i y i －4x y ∑i ＝14x 2i －4x2＝665－4×92×3586－4×⎝⎛⎭⎫922＝7，a ^＝y－b ^x ＝3.5，所以线性回归方程为y ^＝7x ＋3.5，据此模型预报当广告费用为8万元时的销售额是y ＝7×8＋3.5＝59.5(万元). 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为( )A.3 3B.26C.21D.25 答案 B解析 如图所示，在长、宽、高分别为3，4，2 的长方体中，三视图表示的是四棱锥P －ABCD ，其最长的棱为BP ＝22＋22＋42＝2 6.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A.S n ＝2T nB.T n ＝2b n ＋1C.T n >a nD.T n ＜b n ＋1 答案 D解析 由题意可得，S n ＋3＝3×2n ，S n ＝3×2n －3，由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式为a n ＝3×2n －1，设b n ＝b 1q n －1，则b 1q n －1＋b 1q n ＝3×2n －1，解得b 1＝1，q ＝2，数列{b n }的通项公式b n ＝2n －1，由等比数列的求和公式得T n ＝2n －1， 考查所给的选项得，S n ＝3T n ，T n ＝2b n －1，T n ＜a n ，T n ＜b n ＋1.9.已知函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，且对于任意的x 1， x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫8211， b ＝－f ⎝⎛⎭⎫509， c ＝f ⎝⎛⎭⎫247，则下列结论正确的是( ) A.a >b >c B.b >a >c C.b >c >a D.c >a >b答案 B解析 由函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，可得f (x )＝－f (x ＋2)，即f (x )＝f (x ＋4)，函数是周期为4的函数， 且a ＝f ⎝⎛⎭⎫8211＝f ⎝⎛⎭⎫611，b ＝－f ⎝⎛⎭⎫509＝f ⎝⎛⎭⎫689＝f ⎝⎛⎭⎫－49＝f ⎝⎛⎭⎫49，c ＝f ⎝⎛⎭⎫247＝f ⎝⎛⎭⎫－47＝f ⎝⎛⎭⎫47， 由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0， 可知函数是[0，1]上的减函数， 据此可得b >a >c .10.已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －8≤0，2x －3y ＋6≥0，x ＋y －2≥0，若x 2＋2y 2≥m 恒成立，则实数m 的最大值为( )A.5B.43C. 2D.83答案 D解析 令x ′＝x ，y ′＝2y ，不等式组即为⎩⎪⎨⎪⎧4x ′－22y ′－8≤0，2x ′－322y ′＋6≥0，x ′＋22y ′－2≥0，问题转化为求解目标函数z ＝x ′2＋y ′2 的最小值，作出不等式组对应的平面区域如图：则z 的几何意义是区域内的点到原点的距离，由图象知O 到直线2x ′＋2y ′－4＝0的距离最小，此时原点到直线的距离d ＝|4|4＋2＝46，则z ＝d 2＝83，即m ≤83，即实数m 的最大值为83.11.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13＜k ＜12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫23，1C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫23，1 答案 C解析 由题意可知|AF 2|＝a ＋c ，|BF 2|＝b 2a ，所以直线AB 的斜率k ＝b 2a (a ＋c )＝a 2－c 2a 2＋ac ＝1－e 21＋e ＝1－e ∈⎝⎛⎭⎫13，12，即13＜1－e ＜12，解得12＜e ＜23. 12.(2017·甘肃高台一中检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1，x ≤0，e ax ，x ＞0在[－2，3]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫13ln 2，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤0，13ln 2 C.(]－∞，0 D.⎝⎛⎦⎤－∞，13ln 2 答案 D解析 当x ≤0时，f ′(x )＝6x 2＋6x ＝6x ()x ＋1， 在[－2，－1]上单调递增，在 [－1，0]上单调递减， 最大值为f (－1)＝2.所以当x >0时，函数的最大值不超过2. 因为e x 为增函数， 故e 3a ≤2＝e ln 2，a ≤13ln 2.13.已知m ＝3ʃπ0sin x d x ，则(a ＋2b －3c )m 的展开式中ab 2c m－3的系数为________.答案 －6 480解析 由题意得m ＝3ʃπ0sin x d x ＝－3cos x |π0＝6，则二项式(a ＋2b －3c )6＝[(2b －3c )＋a ]6的展开式中ab 2c 3的项为C 16a (2b －3c )5， 对于(2b －3c )5中含有b 2c 3的项为C 35(2b )2(－3c )3，所以含有ab 2c m－3的系数为C 16·22·C 35(－3)3＝－6 480.14.在△ABC 中， AB ＝2， AC ＝3， ∠BAC ＝90°，点D 在AB 上，点E 在CD 上，且∠ACB ＝∠DBE ＝∠DEB ，则DC ＝________. 答案134解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则tan ∠ACB ＝23，tan ∠BDC ＝－tan(2∠ACB )＝－125，据此可知直线CD 的斜率k CD ＝－125，直线CD 的方程为y －3＝－125x ， 则点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫54，0，线段DC 的长度DC ＝9＋2516＝134.15.给出如下命题：① “在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ” 为真命题；②若动点P 到两定点F 1(－4，0)，F 2(4，0)的距离之和为8，则动点P 的轨迹为线段； ③若p ∧q 为假命题，则p ，q 都是假命题；④设x ∈R ，则“x 2－3x >0”是“x >4”的必要不充分条件；⑤若实数1，m ，9成等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为63.其中所有正确命题的序号是________. 答案 ①②④解析 ①中由正弦定理可由sin A ＝sin B ，得a ＝b ，所以A ＝B . ②因为||PF 1＋||PF 2＝||F 1F 2， 所以动点P 的轨迹为线段.③中p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题.④中由x >4可得x 2－3x >0成立，但由x 2－3x ＞0可得x ＞3或x ＜0， 所以“x 2－3x >0”是“x >4”的必要不充分条件. ⑤实数1，m ，9成等比数列，所以m ＝±3，所以圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1可能为椭圆或双曲线，故离心率为63或2.16.(2017·江苏南通联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极小值10，则ba 的值为________. 答案 －12解析 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，所以3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，又当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9时f ′(x )＝3x 2－12x ＋9.函数f (x )在x ＝1处取得极大值10，不符合题意，舍去.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1时f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 函数f (x )在x ＝1处取得极小值10，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，b a 的值为－12.。

12＋4满分练(10)1.已知集合A ＝{x |1＜x 2＜4}， B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B 等于( ) A.{x |1＜x ＜2} B.{x |1≤x ＜2} C.{x |－1＜x ＜2} D.{x |－1≤x ＜2}答案 A解析 由题意，得 A ＝()1，2∪()－2，－1，故A ∩B ＝()1，2. 2.设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >||y ”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C解析 1>－2不能推出||1>||－2，反过来，若x >||y ，则x >y 成立，故为必要不充分条件. 3.i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝－1＋i ，则复数z 的实部与虚部的和是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C解析 ∵z i ＝－1＋i ， ∴－z ＝－i －1，z ＝1＋i ，故复数z 的实部与虚部的和是2，故选C.4.将函数f (x )＝cos 2x 图象上所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，若g (x )在区间[0，a ]上单调递增，则实数a 的最大值为( ) A.π8 B.π4 C.π2 D.3π4 答案 B解析 将函数f (x )＝cos 2x 图象上的所有点向右平移π4个单位长度后，得到g (x )＝sin 2x 的图象，因为g (x )＝sin 2x 的增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以实数a 的最大值为π4. 5.5支篮球队进行单循环比赛(任两支球队恰进行一场比赛)，任两支球队之间获胜率都是12.单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同.有下列四个命题：p 1：恰有四支球队并列第一名为不可能事件；p 2：有可能出现恰有两支球队并列第一名； p 3：每支球队都既有胜又有败的概率为1732；p 4：五支球队成绩并列第一名的概率为332.其中真命题是( )A.p 1，p 2，p 3B.p 1，p 2，p 4C.p 1，p 3，p 4D.p 2，p 3，p 4 答案 A解析 5支球队单循环，共举行C 25＝10(场)比赛，共有10次胜10次负.由于以获胜场次数作为球队的成绩，就算四支球队都胜1场，则第五支球队也无法胜6场，若四支球队都胜2场，则第五支球队也胜2场，五支球队并列第一，除此不会再有四支球队胜场次数相同，故p 1是真命题；会出现两支球队胜3场，剩下三支球队中两支球队各胜1场，另一支球队胜2场的情况，此时两支球队并列第一名，故p 2为真命题；由题意可知球队成绩并列第一名，各胜一场的概率为小于332，排除p 4.故选A.6.(2017届巴蜀中学期末)如图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出的y 值为3，那么应输入x 等于( )A.1B.2C.3D.6 答案 B解析 运行程序，若x ＞6，则输出y ＝x －3，求得x ＝6，不符合题意；若x ∈(]2，6，则输出y ＝6，不符合题意；若x ≤2，则输出y ＝5－x ，求得x ＝2. 7.若O 为坐标原点，已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，在可行域内任取一点P ()x ，y ，则OP 的最小值为( ) A.1 B.3 C.22 D.32答案 C解析 OP 表示原点到可行域的距离，画出可行域如图所示，由图可知，原点到直线x ＋y －1＝0的距离最小，最小距离d ＝12＝22.8.如图所示为某物体的三视图，则该物体的体积为( )A.8－5π12B.8－π3C.8－π2D.8－7π12答案 A解析 由三视图可知，该几何体是由一个正方体在左下角截去一个底面半径为1，高为1的圆柱的14，在右上角截去一个半径为1的球的18，故体积为23－14·π·12·1－43·π·13·18＝8－5π12.9.(2017·泉州模拟)设函数f (x )＝A sin ()ωx ＋φ(A >0，ω>0)，若f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上单调，则f (x )的最小正周期是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.π 答案 D解析 由正弦函数中f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6且在⎣⎡⎦⎤π6，π2上单调，得f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，所以π2－π6≤T 2⇒函数周期T ≥2π3，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，则函数关于x ＝7π12对称， 则函数最小正周期为T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π.故选D.10.已知双曲线x 24－y 22＝1上有不共线三点A ，B ，C ，且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，若满足OD ，OE ，OF 的斜率之和为－1，则1k AB ＋1k BC ＋1k AC 等于( )A.2B.－3C.－2D.3 答案 C解析 设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，C ()x 3，y 3， 将A ，B 两点的坐标代入双曲线方程， 作差并化简得y 1＋y 2x 1＋x 2＝12·x 1－x 2y 1－y 2，即k OD ＝12k AB ，同理可得k OE ＝12k BC ，k OF ＝12k AC ，依题意有k OD ＋k OE ＋k OF ＝12k AB ＋12k BC ＋12k AC＝－1， 即1k AB ＋1k BC ＋1k AC＝－2.11.如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行.点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是( )A.[]－4，4B.[]－21，21C.[]－5，5D.[]－6，6 答案 C解析 如图建立平面直角坐标系：令正三角形边长为3， 则OB →＝i ，OA →＝－32i ＋32j ，可得i ＝OB →，j ＝233OA →＋3OB →，由图知当P 在C 点时有，OP →＝3j ＝2OA →＋3OB →， 此时x ＋y 有最大值5，同理在与C 相对的下顶点时有OP →＝－3j ＝－2OA →－3OB →， 此时x ＋y 有最小值－5.12.已知实数a >0，函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －1＋a 2，x ＜0，ex －1＋a 2x 2－()a ＋1x ＋a2，x ≥0，若关于x 的方程f [－f (x )]＝e －a ＋a 2有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，2＋2eB.⎝⎛⎭⎫2，2＋2eC.⎝⎛⎭⎫1，1＋1eD.⎝⎛⎭⎫2，2＋1e 答案 B解析 当x ＜0时， f (x )为增函数，当x ≥0时， f ′(x )＝e x －1＋ax －a －1， f ′(x )为增函数，令f ′(x )＝0，解得x ＝1，故函数在()0，1上单调递减，在()1，＋∞上单调递增，最小值为f()1＝0. 由此画出函数图象如图所示：令t ＝－f (x )，因为f (x )≥0，所以t ≤0，则有⎩⎨⎧f ()t ＝e －a ＋a 2，f ()t ＝et －1＋a 2⇒－a ＝t －1，所以t ＝－a ＋1，所以f (x )＝a －1， 要有三个不同的实数根，则需a 2＜a －1＜1e ＋a 2，解得2＜a ＜2e＋2.13.在△ABC 中，D 为线段BC 的中点，AB ＝2AC ＝2，tan ∠CAD ＝sin ∠BAC ，则BC ＝_____. 答案3解析 如图：设∠CAD ＝α，∠BAD ＝β，则∠CAB ＝α＋β， 由正弦定理得CD sin α＝ACsin ∠ADC，DB sin β＝ABsin ∠ADB，又sin ∠ADC ＝sin ∠ADB ，AB ＝2AC ，∴sin α＝2sin β， 由题意知tan ∠CAD ＝sin ∠BAC ，即tan α＝sin(α＋β)，即sin αcos α＝sin(α＋β)，故sin α＝sin(α＋β)·cos α， 从而可得2sin β＝sin(α＋β)·cos α.变形得2sin [](α＋β)－α＝sin(α＋β)·cos α， 展开得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α， 又cos α≠0，两边同除以cos α， 得sin(α＋β)＝2cos(α＋β)·tan α， 又tan α＝sin(α＋β)，∴2cos(α＋β)＝1，∴cos(α＋β)＝12，即cos ∠BAC ＝12.由余弦定理，得BC ＝AC 2＋AB 2－2·AC ·AB ·cos ∠BAC ＝1＋4－2＝ 3.14.已知三棱锥P －ABC 内接于球O ， P A ＝PB ＝PC ＝2，当三棱锥P －ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为________. 答案 12π解析 由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当P A ，PB ，PC 两两垂直时，侧面积之和最大.此时P A ，PB ，PC 可看成正方体一个顶点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R 2＝3·22＝12，故球的表面积为4πR 2＝12π.15.(2017·巴蜀中学三模)已知P 为函数y ＝4x 的图象上任一点，过点P 作直线P A ，PB 分别与圆x 2＋y 2＝1相切于A ，B 两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，则△OMN 的面积为________. 答案 18解析 设P ⎝⎛⎭⎫x 0，4x 0，则||PO 2＝x 20＋16x 20， ||P A 2＝||PB 2＝||PO 2－12＝x 20＋16x20－1， 故以P 为圆心， P A 为半径的圆的方程为()x －x 02＋⎝⎛⎭⎫y －4x 02＝x 20＋16x 20－1， 联立x 2＋y 2＝1，两圆方程作差可得直线AB 的方程为x 0x ＋4x 0y －1＝0，故M ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，N ⎝⎛⎭⎫0，x 04， 所以△OMN 的面积为12·1x 0·x 04＝18.16.椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于P ，Q 两点，则△F 1PQ 的内切圆面积的最大值是________. 答案9π16解析 令直线l ：x ＝my ＋1，与椭圆方程联立消去x ，得()3m 2＋4y 2＋6my －9＝0，可设P ()x 1，y 1，Q ()x 2，y 2，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4， y 1y 2＝－93m 2＋4.可知1F PQ S △＝12||F 1F 2||y 1－y 2＝()y 1＋y 22－4y 1y 2＝12m 2＋1()3m 2＋42，又m 2＋1()3m 2＋42＝19()m 2＋1＋1m 2＋1＋6≤116， 故1F PQ S △≤3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍， 则内切圆半径r ＝128F PQS △≤34，其面积的最大值为9π16.。

12＋4满分练(12)1.已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{y |y ＝2x ，x ≥0}，则A ∩B 等于( ) A.∅B.{x |1＜x ＜2}C.{x |1≤x ＜2}D.{x |1＜x ≤2}答案 C解析 由已知可得A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥1}⇒A ∩B ＝{x |1≤x ＜2}. 2.(2017·江门一模)i 是虚数单位，(1－i)z ＝2i ，则复数z 的模|z |等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 B解析 由题意知z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则|z |＝(－1)2＋12＝ 2.3.(2017·四川联盟三诊)已知α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝513，则sin α等于( ) A.5213 B.1213 C.7226 D.17226 答案 C解析 ∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝513， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1213， 则sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4 ＝1213×22－513×22＝7226. 4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为( )A. 5B.2 2C.3D.3 2 答案 C解析 三视图的直观图为三棱锥E －BCD ，如图：CD ＝1，BC ＝5，BE ＝5，CE ＝22，DE ＝3，所以最长边为DE ＝3.5.已知ω为正整数，若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 在区间⎝⎛⎭⎫－π3，π6内单调递增，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π 答案 D解析 函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在区间⎝⎛⎭⎫－π3，π6内单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－π3ω＋π4≥－π2，π6ω＋π4≤π2，ω∈N *，解得ω＝1，则函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π，故选D.6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是()A.3B.4C.5D.6 答案 B解析 第一次循环得S ＝0＋20＝1，k ＝1； 第二次循环得S ＝1＋21＝3，k ＝2； 第三次循环得S ＝3＋23＝11，k ＝3；第四次循环得S ＝11＋211＝2 059，k ＝4， 但此时S 不满足条件S ＜100，输出k ＝4，故选B.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 2－6x ＋4，x ≥0，若函数F (x )＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(2，8) C.⎝⎛⎦⎤2，174 D.(0，8)答案 C解析 函数f (x )的图象如图所示：要使方程f 2(x )－bf (x )＋1＝0有8个不同实数根，令f (x )＝t ，意味着0<t ≤f (0)(f (0)＝4)且t 有两个不同的值t 1，t 2，0＜t 1＜t 2≤4， 即二次方程t 2－bt ＋1＝0在区间(0，4]上有两个不同的实数根.对于二次函数g (t )＝t 2－bt ＋1，这意味着Δ＝b 2－4>0⎝⎛⎭⎫或g ⎝⎛⎭⎫b 2<0， 0<b2<4(或t 1＋t 2＝b ∈(0，8))， 因为g (0)＝1>0(不论t 如何变化都有图象恒过定点(0，1))， 所以只需g (4)≥0，求得b ≤174. 综上可得b ∈⎝⎛⎦⎤2，174. 8.已知函数f (x )＝2x ＋sin x ，则不等式f ()m 2＋f ()2m －3＜0(其中m ∈R )的解集是( )A.()－3，1B.()－1，3C.()－∞，－3∪()1，＋∞D.()－∞，－1∪()3，＋∞答案 A解析 ∵f (x )＝2x ＋sin x ，f (－x )＝－2x ＋sin(－x )＝－()2x ＋sin x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数， ∵f ′(x )＝2＋cos x >0， ∴函数f (x )为增函数， 由f ()m 2＋f ()2m －3＜0，得 f ()m 2＜－f ()2m －3＝f ()3－2m ， 即m 2＜3－2m ，得－3＜m ＜1，即不等式f (m 2)＋f (2m －3)＜0的解集是(－3，1)， 故选A.9.(2017·湛江二模)底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为( )A.22π3B.2π3C.23π3D.3π3答案 B解析 设四棱锥为P －ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ＝PB ＝PC ＝PD ＝1的外接球的半径为R ，过P 作PO 1⊥底面ABCD ，垂足O 1为正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设球心为O ，连接AO ， 由于AO ＝PO ＝R ，AO 1＝PO 1＝22，OO 1＝22－R ， 在Rt △AOO 1中，⎝⎛⎭⎫22－R 2＋⎝⎛⎭⎫222＝R 2，解得R ＝22，V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫223＝2π3. 10.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F (1，0)，离心率为22，过点F 的动直线交M 于A ，B 两点，若x 轴上的点P (t ，0)使得∠APO ＝∠BPO 总成立(O 为坐标原点)，则t 等于( )A.－2B.2C.－ 2D. 2 答案 B解析 在椭圆中，由c ＝1，e ＝c a ＝22，得a ＝2，故b ＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，当直线的斜率不存在时，t 可以为任意实数，当直线的斜率存在时，可设直线方程为y ＝k (x －1)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2k 2－21＋2k 2，使得∠APO ＝∠BPO 总成立，即使得PF 为∠APB 的角平分线， 即直线P A 和PB 的斜率之和为0， 所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，由y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，得 2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，由根与系数的关系，可得4k 2－41＋2k 2－(t ＋1)4k 21＋2k 2＋2t ＝0，化简可得t ＝2，故选B.11.(2017·自贡一诊)已知a ∈{0，1，2}，b ∈{－1，1，3，5}，则函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是( ) A.512 B.13 C.14 D.16 答案 A解析 ∵a ∈{0，1，2}，b ∈{－1，1，3，5}， ∴基本事件总数n ＝3×4＝12，函数f (x )＝ax 2－2bx 在(1，＋∞)上为增函数，则①当a ＝0时，f (x )＝－2bx ，情况为b ＝－1，1，3，5，符合要求的只有一种b ＝－1； ②当a ≠0时，则讨论二次函数的对称轴x ＝－－2b 2a ＝b a ，要满足题意，则b a ≤1，则(a ，b )有：(1，－1)，(1，1)，(2，－1)，(2，1)共4种情况.综上所述得：使得函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率为P ＝512.12.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在DG →上运动(如图).若AP →＝λAE →＋μBF →，其中λ，μ∈R ，则6λ＋μ的取值范围是( )A.[1，2]B.[2，22]C.[2，22]D.[1，22] 答案 C解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，E (2，1)，C (2，2)，D (0，1)，F ⎝⎛⎭⎫1，32.设P (cos θ，sin θ)，其中0≤θ≤π2，则AP →＝(cos θ，sin θ)，AE →＝(2，1)，BF →＝⎝⎛⎭⎫－1，32， ∵AP →＝λAE →＋μBF →，∴(cos θ，sin θ)＝λ(2，1)＋μ⎝⎛⎭⎫－1，32， 即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝2λ－μ，sin θ＝λ＋32μ， 解得⎩⎨⎧λ＝14sin θ＋38cos θ，μ＝12sin θ－14cos θ，∴6λ＋μ＝2sin θ＋2cos θ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， ∵0≤θ≤π2，∴π4≤θ＋π4≤3π4， ∴2≤22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤22， 即6λ＋μ的取值范围是[2，22]，故选C. 13.已知实数x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋2，x ＋y ≤4，y ≥0，则x ＋2y 的最大值为________.答案 7解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋2，x ＋y ≤4，y ≥0对应的平面区域如图所示：由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z2，平移直线y ＝－12x ＋z2，由图象可知当直线y ＝－12x ＋z2经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即A (1，3)，此时z 的最大值为z ＝1＋2×3＝7.14.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin ⎝⎛⎭⎫3B 2＋π4＝22，且a ＋c ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是________. 答案 [3，4) 解析 ∵0＜B ＜π，∴0＜3B 2＜3π2，π4＜3B 2＋π4＜7π4，又sin ⎝⎛⎭⎫3B 2＋π4＝22， ∴3B 2＋π4＝3π4，B ＝π3， 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝4－3ac ，由a ＋c ＝2≥2ac ，得0＜ac ≤1，∴1≤4－3ac ＜4， 即1≤b 2＜4，∴1≤b ＜2，3≤a ＋b ＋c ＜4，则△ABC 的周长的取值范围是[3，4).15.从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________.(结果用最简分数表示) 答案 35解析 从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为C 13C 12C 25＝35.16.已知函数f(x)＝(x－1)e x＋12ax2＋1(其中a∈R)有两个零点，则a的取值范围是__________.答案(－∞，－1)∪(－1，0)解析由题意，f′(x)＝x(e x＋a)，其中f(0)＝0，故函数还有一个不为零的零点，分类讨论：(1)当a≥0时，由f′(x)＜0，得x＜0，由f′(x)＞0，得x＞0，此时函数仅有一个零点；(2)当a＜0时，由f′(x)＝0可得，x1＝0，x2＝ln(－a)，①当ln(－a)＜0，即－1＜a＜0时，当x∈(－∞，ln(－a))∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(－ln(－a)，0)时，f′(x)＜0，所以当x＝ln(－a)时，f(x)取得极大值，当x＝0时，函数取得极小值，而f(ln(－a))＞f(0)可知函数有两个零点，此时满足条件.②当ln(－a)＝0，即a＝－1时，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，函数单调递增，函数只有一个零点，不满足条件.③当ln(－a)＞0，即a＜－1时，当x∈(－∞，0)∪(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(0，ln(－a))时，f′(x)＜0，所以当x＝ln(－a)时，f(x)取得极小值，当x＝0时，函数取得极大值，由f(ln(－a))＜f(0)可知函数有两个零点，此时满足条件.综上可得，a的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，0).。

12＋4满分练(3)1.已知集合M ＝{x |x 2－x －2＜0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝－12x 2＋1，x ∈R ，则M ∩N 等于( ) A.{x |－2≤x ＜1}B.{x |1＜x ＜2}C.{x |－1＜x ≤1}D.{x |1≤x ＜2}答案 C 解析 M ＝{x |－1＜x ＜2}，N ＝{y |y ≤1}，则M ∩N ＝{x |－1＜x ≤1}，故选C.2.(2017·重庆模拟)已知a ＋2i i＝b ＋i(a ，b 是实数)，其中i 是虚数单位，则ab 等于( ) A.－2 B.－1 C.1 D.3答案 A解析 由题设可得a ＋2i ＝b i －1，则a ＝－1，b ＝2，故ab ＝－2，故选A.3.某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( ) A.13 B.15 C.19 D.320答案 A解析 先排B ，有A 13(非第一与最后)种方法，再排A 有A 13(非第一)种方法，其余3人自由排，共有A 13A 13A 33＝54(种)方法，这是总结果；学生C 第一个出场，先排B ，有A 13(非第一与最后)种方法，再排A 有A 13种方法，C 第一个出场，剩余2人自由排，故有A 13A 13A 22＝18(种)，故学生C 第一个出场的概率为1854＝13. 4.(2017·安阳模拟)已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12⎝⎛⎭⎫A ＞0，0＜φ＜π2的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线x ＝π12对称，若对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，都有m 2－3m ≤f (x )，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤1，32B.[1，2]C.⎣⎡⎦⎤32，2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－132，3＋132 答案 B解析 由已知得，sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1⇒φ＝π3， f (0)＝1⇒A sin π3－12＝1⇒A ＝3，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－12， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫4π3＝－2，则m 2－3m ≤－2⇒m 2－3m ＋2≤0，解得1≤m ≤2，故选B.5.(2017届云南省云南师范大学附属中学月考)四面体P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，P A ＝8，BC ＝4，PB ＝PC ＝AB ＝AC ，且平面PBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为( )A.64πB.65πC.66πD.128π答案 B解析 如图，D ，E 分别为BC ，P A 的中点，易知球心O 点在线段DE 上，∵PB ＝PC ＝AB ＝AC ，则PD ⊥BC ，AD ⊥BC ，PD ＝AD .又∵平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，∴PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AD ，∴PD ＝AD ＝4 2.∵点E 是P A 的中点，∴ED ⊥P A ，且ED ＝EA ＝PE ＝4.设球O 的半径为R ，OE ＝x ，则OD ＝4－x ，在Rt △OEA 中，有R 2＝16＋x 2，在Rt △OBD 中，有R 2＝4＋(4－x )2，解得R 2＝654， ∴S ＝4πR 2＝65π.故选B.6.(2017·唐山模拟)一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n ＝12，则输出的结果b 等于( )A.4B.72C.9728D.6414答案 C解析 n ＝12，a ＝6，i ＝1，b ＝4.满足i ＜3，第一次循环：i ＝2，a ＝4，b ＝72； 满足i ＜3，第二次循环：i ＝3，a ＝72，b ＝9728； 不满足i ＜3，退出循环.故选C.7.(2017·绵阳中学模拟)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋16n的最小值为( ) A.256 B.32 C.83 D.215答案 D解析 设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因为a m a n ＝16a 21，所以(a 1q m －1)(a 1q n －1)＝16a 21， 则q m ＋n －2＝16，解得m ＋n ＝6，所以1m ＋16n ＝16×(m ＋n )×⎝⎛⎭⎫1m ＋16n ＝16⎝⎛⎭⎫17＋n m ＋16m n ≥16⎝⎛⎭⎫17＋2n m ×16m n ＝256， 因为mn 取整数，验证可得，当m ＝1，n ＝5时，取最小值为215. 8.(2017·贵阳模拟)过点M ⎝⎛⎭⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，l 与x 轴的交点为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，l 与抛物线E 交于A ，B 两点，则AB 的中点到抛物线E 的准线的距离为( )A.522B.32C.722D.4 2答案 D解析 由题意得，过点M ⎝⎛⎭⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ， 可得直线l 的方程为x －y －2＝0，此时直线l 与x 轴的交点坐标为(2，0)， 又(2，0)与抛物线的焦点重合，即p 2＝2，解得p ＝22， 即y 2＝42x ，且准线方程为x ＝－2，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝42x ，x －y －2＝0，整理得x 2－62x ＋2＝0，则x 1＋x 2＝62，则x 1＋x 22＝32， 所以AB 的中点到抛物线的准线的距离为x 1＋x 22＋2＝42，故选D. 9.(2017·江西省师大附中、临川一中联考)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.73B.8－π3C.83D.7－π3 答案 B解析 由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉半圆锥的组合体，其体积V ＝13×2×2×2－13×12π×1×2＝8－π3. 10.如图，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污染，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.12B.35C.45D.710答案 C解析 由茎叶图可知，甲的平均成绩为x 甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90，乙的平均成绩为x 乙＝83＋83＋87＋99＋x 5，因为x 甲＞x 乙，即352＋x ＜450，得到x ＜98，又由题意可知x ≥90，且x 是整数，故基本事件有从90到99共10个，而满足条件的有从90到97共8个，故甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45，故选C. 11.(2017·江西省师大附中、临川一中联考)已知将函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12的图象向左平移5π12个单位长度后得到y ＝g (x )的图象，则g (x )在⎣⎡⎦⎤－π12，π3上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－1，12 C.⎣⎡⎦⎤－32，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，32 答案 B解析 因为f (x )＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12＋π6＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ， 因为－π12≤x ≤π3， 故－π6≤2x ≤2π3， 则－12≤sin 2x ≤1， 所以－1≤g (x )≤12，故选B. 12.(2017届湖南衡阳期末)函数f (x )在定义域(0，＋∞)内恒满足：①f (x )＞0，②2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，则( )A.14＜f (1)f (2)＜12B.116＜f (1)f (2)＜18C.13＜f (1)f (2)＜12D.18＜f (1)f (2)＜14答案 D解析 令g (x )＝f (x )x2，x ∈(0，＋∞)，则 g ′(x )＝xf ′(x )－2f (x )x 3， ∵∀x ∈(0，＋∞)，2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )恒成立，f (x )＞0，∴g ′(x )＝xf ′(x )－2f (x )x 3＞0，∴函数g (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，∴f (1)1＜f (2)4，∴f (1)f (2)＜14. 令h (x )＝f (x )x 3，x ∈(0，＋∞)， 则h ′(x )＝xf ′(x )－3f (x )x 4， ∵∀x ∈(0，＋∞)，2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )恒成立，∴h ′(x )＝xf ′(x )－3f (x )x 4＜0， ∴函数h (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递减，∴f (1)1＞f (2)8，∴f (1)f (2)＞18. 综上可得18＜f (1)f (2)＜14，故选D. 13.在周长为10的△ABC 中，AB ＝2，则CA →·CB →的最小值是________.答案 14解析 设CA ＝m ，CB ＝n ，则m ＋n ＝8，所以由余弦定理可得CA →·CB →＝mn cos C＝m 2＋n 2－42＝()m ＋n 2－2mn －42＝82－4－2mn 2＝30－mn ， 又因为mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝16，当且仅当m ＝n ＝4时，等号成立.所以CA →·CB →≥30－16＝14.14.若ʃm 1(2x －1)d x ＝6，则二项式(1－2x )3m 的展开式中各项系数和为________.答案 －1解析 ʃm 1(2x －1)d x ＝(x 2－x )|m 1＝m 2－m ＝6，m ＝3(m ＝－2舍去)，令x ＝1，则(1－2×1)9＝－1，即为所求系数和.15.若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 2(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S n ＝____. 答案 34⎝⎛⎭⎫1－13n 解析 因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 2， 所以当n ≥2时有a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －12，两式作差得3n －1a n ＝12， 所以a n ＝12·13n －1(n ≥2，n ∈N *)， 又因为当n ＝1时，a 1＝12适合此式， 所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝12·13n －1， 所以S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝34⎝⎛⎭⎫1－13n . 16.已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________.答案 0或－8解析 因为点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以MN 的垂直平分线为y ＝x ＋m ，所以直线MN 的斜率为－1.设线段MN 的中点P (x 0，x 0＋m )，直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，则x 0＋m ＝－x 0＋b ，所以b ＝2x 0＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋b ，x 2－y 23＝1，得2x 2＋2bx －b 2－3＝0， 所以x M ＋x N ＝－b ，所以x 0＝－b 2， 所以b ＝m 2， 所以P ⎝⎛⎭⎫－m 4，34m . 因为MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，所以916m 2＝－92m ， 解m ＝0或m ＝－8.。