最新人教版高中数学必修四课时跟踪测试题(全册 共24课时 附解析 共122页)

第一、二章转动测试班级 ____ 姓名 ____ 考号 ____ 分数 ____ 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．一、选择题：本大题共 12 题，每题 5 分，共 60 分．在以下各题的四个选项中，只有一个选项是切合题目要求的．→ )1．设 A(1,2) ， B(－ 2,5)，则 |AB|＝ ( A. 5 B. 29 C ．3 2 D ．4 答案： C→ → －3 2＋ 32＝ 3 2.分析： AB ＝ (－2,5)－ (1,2)＝ (－ 3,3) ，∴|AB|＝2．假如函数 f(x)＝ sin(2πx ＋ θ)(0< θ<2π)的最小正周期是 T ，且当 x ＝ 1 时获得最大值， 那么( )πA ． T ＝ 1，θ＝ 2B ． T ＝1， θ＝ ππC ．T ＝ 2， θ＝ πD ． T ＝2， θ＝2 答案： A分析： T ＝ 2ππ＝ 1， sin(2 π＋θ)＝ 1， θ＝ 2.2ππ)2，且 α∈ － ， 0 ，则 tan α等于 (3．已知 sin( α－ π)＝ 3 2A. 2 5 5 B ．－ 25 555 C. 2D ．－ 2答案： B2 2 5 22 5分析： sin(α－ π)＝－ sin α＝ ，∴sin α＝－ ， cos α＝3，∴tan α＝－＝－5.3354．若角 α的终边落在第三象限，则cos α ＋2sin α 的值为 ()1－ sin 2α1－ cos 2αA ．3B ．－ 3C ．1D ．－ 1 答案： B分析： 由角 α的终边落在第三象限得 sin α<0， cos α<0，故原式＝ cos α 2sin α cos α ＋ 2sin α＋ ＝ ＝－ 1－2＝－ 3.|cos α| |sin α| － cos α －sin α 5．已知平面内三点→→ A(－ 1,0)， B(5,6)， P(3,4) ，且 AP ＝ λPB ，则 λ的值为 () A ．3 B ．2 1 1C.2D.3 答案： B→→分析： 由于 AP ＝ λPB ，因此 (4,4)＝ λ(2,2)，因此 λ＝ 2.6．已知 sin α－ cos α＝ 1，则 tan α＋1等于()3 tan α 8 7 A. 9 B. 3911C.4D. 4 答案： C11 1 4分析：由 sin α－ cos α＝ 可得 (sin α－ cos α)2＝ ，即 1－ 2sin αcos α＝，sin αcos α＝ ，则 tan α3999＋ 1sin α cos α19.＝ ＋ ＝ ＝tan α cos α sin α sin αcos α 4π7．将函数 y ＝ f(x)的图象沿 x 轴向右平移 3个单位长度， 再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变成本来的 2 倍，获得的曲线与 y ＝ sinx 的图象同样，则 y ＝ f(x)是 ( )π πA ． y ＝ sin 2x ＋ 3B ． y ＝ sin 2x －3C ．y ＝ sin 2π2π2x ＋ 3 D ． y ＝ sin 2x － 3答案： C分析：将 y ＝ sinx 的图象纵坐标不变， 横坐标缩短为本来的一半， 获得 y ＝sin2x 的图象，π π 2再沿 x 轴向左平移 3个单位，获得 y ＝ sin2 x ＋ 3 ＝ sin 2x ＋3π的图象．8．设 i 、 j 是平面直角坐标系内 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量，且 6i ＋ 8j ，则△ ABC 的面积等于 ( )A ．60B ．40C ．28D ． 20 答案： D→ → →→ → 分析： BC ＝AC － AB ＝－ 2i ＋ 4j ，因此 AB ⊥BC.1 → → 1 22 2 2因此 S＝2|AB| |BC ·|＝28＋4· －2＋ 4＝ 20.△ABC→→AB ＝ 8i ＋ 4j ， AC ＝π9．若函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)(ω＞ 0，|φ|＜ 2，x ∈R )的部分图象如下图，则函数表达式为 ()π πA ． y ＝－ 4sin 8x ＋4π π B ．y ＝ 4sin 8x － 4π πC ．y ＝－ 4sin 8x － 4π π D ． y ＝ 4sin 8x ＋ 4 答案： A分析： 先确立 A ＝－ 4，由 x ＝－ 2 和π π6 时 y ＝ 0 可得 T ＝ 16， ω＝ ， φ＝ .8 410．已知函数 f(x)＝ 3sin ωx＋ cos ωx (ω>0)， y ＝ f(x) 的图象与直线 y ＝ 2 的两个相邻交点的距离等于 π，则 f(x)的单一递加区间是 ( )A. k π－ π， k π＋5π， k ∈ Z1212B. k π＋ 5π11π， k π＋ ， k ∈ Z12 12C. k π－ π π， k π＋ 6 ， k ∈ Z3π 2π D. k π＋ 6， k π＋3 ， k ∈ Z答案： Cπ分析：此题主要考察三角函数的图象与性质．函数 f(x)＝ 2sin ωx＋ 6 的图象与直线 y ＝ 22ππ 的两个相邻交点就是函数f(x) 的两个最大值点， 周期为 π＝ ω，ω＝2，于是 f(x)＝ 2sin 2x ＋ 6 .π ππ π π由 2k π－ ≤ 2x ＋ ≤ 2k π＋得， k π－ ≤ x ≤ k π＋ ，应选 C.2 6 23 611．设向量 a 与 b 的夹角为 θ，定义 a 与 b 的“向量积”， a × b 是一个向量，它的模等于|a × b|＝ |a||b|sin θ，若 a ＝ (1 ， 3)， b ＝ ( － 3，－ 1)，则 |a ×b|＝ ( )A. 3B ．2C ．2 3D ．4答案： B分析： ∵cos θ＝a ·b－2 33212× 2 ＝－|a| ·|b|＝2 ，又 θ∈[0 ，π]，∴sin θ＝ 1－ cos θ＝2， |a × b|＝|a| |b|sin ·θ＝ 2.12．已知 a ＝ (λ， 2)，b ＝ (－ 3,5)，且 a 与 b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是()10 10 A ． λ< 3B ． λ≤ 310且 λ≠－610且 λ≠－6C ．λ≤ 35D ． λ< 35 答案： D分析： 由题可知 a ·b ＝－ 3λ＋10>0， λ<103 ，当 a 与 b 共线，且方向同样时，设a ＝ (λ，λ＝－ 3μ，6 1062)＝ μ(－3,5)( μ>0) ，∴得 λ＝－ 5，∴λ的取值范围是 λ< 3 且 λ≠ － 5.2＝ 5μ，二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．13．设 f(x)＝ asin(πx ＋ α)＋bcos(πx ＋ β)＋ 4(a ，b ，α，β是常数 ) ，且 f(2009) ＝ 5，则 f(2010)＝ ________.答案： 3分析： f(2009) ＝ αsin( π＋ α)＋bcos(π＋β)＋ 4＝－ (asin α＋ bcos β)＋ 4＝5∴asin α＋ bcos β＝－ 1.f(2010) ＝ asin α＋ bcos β＋4＝ 3.14．已知 a ＝ (2,1)b ＝ (1，λ)，若 a 与 b 的夹角为锐角，则 λ的取值范围是 ________．答案： －2，1∪ 1，＋∞ 2 2a ·b2＋ λ分析： 若 a 与 b 的夹角为锐角，则cos θ>0 且 cos θ≠ 1.cos θ＝|a| ·|b|＝2∴λ>－ 2.5· 1＋ λ211又 2＋ λ≠ 5 · 1＋ λ∴λ≠ 2∴λ的范围是 λ>－2 且 λ≠2.ππ15．函数 f(x)＝ 2sin ωx＋ 3 (x ∈R )， f(α)＝－ 2， f(β)＝0，且 |α－ β|的最小值等于 ，则正2数 ω的值为 ________．答案： 1分析： 由 f(α)＝－ 2， f(β)＝ 0，且 |α－ β|的最小值等于π T π2可知 4＝ 2， T ＝2π，∴ω＝ 1.→→ → 16．如图，在正方形 ABCD 中，已知 |AB|＝ 2，若 N 为正方形内 (含界限 )随意一点，则3答案： 4→ → → → → → →→分析： ∵AB ·AN ＝ |AB||AN | cos ·∠BAN ， |AN| cos ·∠BAN 表示 AN 在 AB 方向上的投影，又 |AB| → →＝2， AB ·AN 的最大值是 4.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．4 2sin α－ π＋ 3tan 3π－ α17． (10 分)已知 sin( α＋ π)＝ 5，且 sin α·cos α＜ 0，求：4cos α－ 3π的值．解： ∵ sin(α＋ π)＝ 45∴ sin α＝－ 4＜0. 5∴ cos 2α＝ 1－ sin 2α＝ 1－ 16＝ 925 25又 sin α·cos α＜ 0∴ cos α＞ 0.∴ cos α＝35.－ 2sin π－ α＋ 3sinπ－ α原式＝cos π－ α4·cos π－ α 3sin α－ 2sin α＋ － cos α＝－4·cos α2sin α·cos α＋ 3sin α ＝4cos 2α2× －4×3－4×37555＝9＝－ .34× 25π－ tan α·cosx ，且 f π118． (12 分)已知 f( x)＝ sin x ＋6 3 ＝ 2. (1)求 tan α的值；(2)求函数 g(x)＝ f(x)＋ cosx 的对称轴与对称中心．解： (1)∵ f π ＝ sin π π π1 1 ，∴ tan α＝1.3 3 ＋ － tan α·cos ＝ 1－ tan α＝6 3 2 2 π π(2)g( x)＝ f(x)＋ cosx ＝ sin x ＋ 6 － cosx ＋cosx ＝ sin x ＋ 6 .π π∴ x ＋ ＝ k π＋ ，即对称轴： 6 2π∴ x ＋ ＝ k π，即对称中心：6πx ＝ k π＋ ， k ∈Z3πk π－ 6， 0 ，k ∈ Z.19． (12 分)设两个向量 a ， b 不共线．→ → →(1)若 AB ＝ a ＋ b ，BC ＝ 2a ＋ 8b ，CD ＝ 3(a － b)，求证： A 、B 、 D 三点共线；(2)若 |a|＝ 2， |b|＝ 3， a 、 b 的夹角为 60°，求使向量 ka ＋ b 与 a ＋kb 垂直的实数 k.→ → → → →解： (1)AD ＝ AB ＋ BC ＋ CD ＝ a ＋ b ＋ 2a ＋ 8b ＋ 3(a －b) ＝6(a ＋ b)＝ 6AB ，→→∴ AD 与 AB 共线，即 A 、 B 、 D 三点共线．4∴ (ka ＋ b) ·(a ＋ kb)＝ 0， ka 2＋ (k 2＋ 1)a ·b ＋kb 2＝0，ka 2＋ (k 2＋ 1)|a||b| ·cos60°＋ kb 2＝ 0， 3k 2＋ 13k ＋ 3＝ 0，－ 13± 解得： k ＝6133.π20． (12 分)已知函数 f(x)＝ Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0， |φ|<2 的部分图象如下图．(1)求函数 f(x)的分析式； (2)求函数在区间 [－ 2,4] 上的最大值和最小值以及对应的x 的值．解： (1)由题可知 A ＝ 2，T＝ 6－ (－ 2)＝8，∴ T ＝16，2∴ ω＝ 2π π 2sin πT ＝ ，则 f(x) ＝ 8 x ＋ φ.8又图象过点 (2， 2)，代入函数表达式可得 φ＝ 2k π＋ π(k ∈ Z)．4π π 2sin π π又 |φ|< ，∴ φ＝ ，∴ f( x)＝ 8x ＋ 4 .2 4(2)∵ x ∈ [－ 2,4] ，∴ π π 0， 3π ，8 x ＋ ∈ 44π π π 时， f(x)max ＝ 2；当 x ＋ ＝ ，即 x ＝28 4 2 π π 时， f(x)min ＝ 0.当 x ＋ ＝ 0，即 x ＝－ 28 4→ → →21． (12 分)已知点 O(0,0)， A(1,2)， B(4,5)及 OP ＝ OA ＋ tAB ， 求： (1)t 为什么值时， P 在第二象限？(2)四边形 OABP 可否组成平行四边形？若能，求出相应的值，若不可以，请说明原因．→ → →解： (1)∵ OP ＝OA ＋tAB ＝ (3t ＋ 1,3t ＋ 2)，∴当－ 2<t<－ 1时， P 在第二象限；3 3(2)不可以组成四边形．→ → ∵ OA ＝ (1,2) ，PB ＝ (3－ 3t,3－3t)，→ →→ ＝(0,0) ，∴四边形 OABP∴使 OA ， PB 共线，则 3－ 3t － (6－ 6t)＝ 0，解得 t ＝1，此时 PB 不可以组成平行四边形．π22． (12 分)已知函数 f(x)＝ 2sin 2x ＋ 3 ＋ 1.(1)当 x ＝43π时，求 f( x)值；(2)若存在区间 [a ，b](a ，b ∈ R 且 a<b)，使得 y ＝ f(x)在 [a ，b]上起码含有 6 个零点，在知足上述条件的 [a ， b]中，求 b － a 的最小值．解： (1)当 x ＝ 44π π ＋1＝ 2sin( 3π)＋ 1＝ 2sin π＋ 1＝ 1.3π时， f(x)＝2sin 2× ＋3 3π1π 7 4或 x ＝ k π3和3，5故若 y＝f(x)在 [a， b] 上起码含有 6 个零点，则b－ a 的最小值为 2×2ππ 7π＋3×＝3 3 3.。

课时跟踪训练(一)(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一 任意角的概念 1．给出下列说法： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确命题的序号为________(把正确命题的序号都写上)．[解析]①正确；②错，若顺时针旋转终边落在第一象限，则为负角；③错，第二象限角不都是钝角，钝角都是第二象限角；④错，小于180°的角包括负角和零角．[答案]①2．将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．[解析] 时钟拨快20分钟，相当于转了13小时．因为时针转过1小时，分针转－360°，所以时针转13小时，分针转过的度数为13×(－360°)＝－120°.[答案] －120°3．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．[解] 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°； 题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.题组二 终边相同的角与象限角4．与405°角终边相同的角是( )A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·180°－45°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z[解析] 因为405°＝360°＋45°，所以与405°终边相同的角为k ·360°＋45°，k ∈Z .[答案] C5．－435°角的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 因为－435°＝－360°－75°，而－75°为第四象限角，所以－435°为第四象限角．[答案] D6．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在( ) A ．x 轴的非负半轴 B ．y 轴的非负半轴 C ．x 轴的非正半轴D ．y 轴的非正半轴[解析]∵角α，β终边相同，∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )，∴α－β＝k ·360°(k ∈Z )，故α－β的终边在x 轴的非负半轴上．[答案] A题组三 角αn，(n ∈N *)所在象限的确定7．已知α为第一象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一象限或第二象限B ．第一象限或第三象限C ．第二象限或第四象限D ．第二象限或第三象限[解析] 由于k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ， 得k ·180°<α2<k ·180°＋45°，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．[答案] B8．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是( ) A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角D ．第一、四角限角[解析] 由题意知k ·360°<2α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，故k ·180°<α<90°＋k ·180°(k ∈Z )，按照k 的奇偶性进行讨论．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α<90°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第一象限；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°<α<270°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．[答案] C综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析]①正确；②正确；③中475°＝360°＋115°，因为115°为第二象限角，所以475°也为第二象限角，正确；④中－315°＝－360°＋45°，因为45°为第一象限角，所以－315°也为第一象限角，正确．[答案] D2．终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合是( ) A ．{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z } C ．{α|α＝k ·180°＋225°，k ∈Z } D ．{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }[解析] 因为直线y ＝－x 为二、四象限角平分线，所以角终边落到第四象限可表示为k ·360°－45°＝2k ·180°－45°，k ∈Z ；终边落到第二象限可表示为k ·360°－180°－45°＝(2k －1)·180°－45°，k ∈Z ，综上可得终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合为{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }．[答案] D3．若φ是第二象限角，那么φ2和90°－φ都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析]∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ， ∴k ·180°＋45°<φ2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，∴φ2是第一或第三象限角，而－φ是第三象限角， ∴90°－φ是第四象限角，故选B. [答案] B 二、填空题4．与角－1560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________． [解析] 由于－1560°÷360°＝－4×360°－120° 即最大负角为－120°，最小正角为240°. [答案] 240° －120°5．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________. [解析] 由题意知，β角的终边与60°角终边相同，则β＝k ·360°＋60°，k ∈Z . [答案]k ·360°＋60°，k ∈Z 三、解答题6．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．[解] 由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.① ∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β都是锐角，∴{ 0°<α<90°－90°<－β<0°， ∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.② 由①②，得α＝15°，β＝65°.7．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解](1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。

第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念练习（P77）1、略. 2、AB ，BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB， 2.5CD，3EF ，22GH .4、（1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同.习题2.1 A 组（P77）1、30°45°CAOB（2）D CBA. 3、与DE 相等的向量有：,AF FC ；与EF 相等的向量有：,BD DA ；与FD 相等的向量有：,CE EB .4、与a 相等的向量有：,,CO QP SR ；与b 相等的向量有：,PM DO ；与c 相等的向量有：,,DC RQ ST5、332AD. 6、（1）×；（2）√；（3）√；（4）×.习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量. 2、相等的向量共有24对.模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD 同向的共有3对，与AD 反向的也有6对；模为2的向量共有4对；模为2的向量有2对水流方向CDAB2．2平面向量的线性运算练习（P84）1、图略. 2、图略. 3、（1）DA ；（2）CB .4、（1）c ；（2）f ；（3）f ；（4）g .练习（P87）1、图略. 2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略.练习（P90）1、图略. 2、57ACAB ，27BC AB . 说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC与AB 反向. 3、（1）2ba ；（2）74b a ；（3）12ba ；（4）89ba . 4、（1）共线；（2）共线.5、（1）32a b ；（2）111123a b ；（3）2ya .6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ；（2）向东走 5 km ；（3）向东北走102km ；（4）向西南走52km ；（5）向西北走102km ；（6）向东南走102km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB ，2AD，所以222282217ACABAD 因为tan 4CAD ，由计算器得76CAD 所以，实际航行的速度是217km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0；（2）AB ；（3）BA ；（4）0；（5）0；（6）CB ；（7）0.5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略.8、（1）略；（2）当ab 时，a ba b9、（1）22a b ；（2）102210a b c ；（3）132a b ；（4）2()xy b .10、14a be ，124a b e e ，1232310a b e e .11、如图所示，OCa ，ODb ，DCb a ，BCa b .12、14AEb ，BC b a ，1()4DE b a ，34DB a ，34ECb ，1()8DN b a ，11()48AN AM a b . 13、证明：在ABC 中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EFAC ，即12EF AC ；同理，12HG AC ，所以EFHG .习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM ，而13AN AC ，13AM AB ，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC .4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略（2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC ，∴AD BC //且AD BC ∴四边形ABCD 为梯形.（3）四边形ABCD 为菱形.（第11题）（第12题）（第13题）EHGFDCAB丙甲乙（第1题）（第4题(2)）BACD证明：∵AB DC ，∴AB DC //且AB DC∴四边形ABCD 为平行四边形又ABAD∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.证明：因为OA OBBA ，OD OC CD 而OA OC OB OD 所以OA OBOD OC所以BA CD ，即AB ∥CD .因此，四边形ABCD 为平行四边形. 2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）1、（1）(3,6)a b ，(7,2)a b ；（2）(1,11)a b ，(7,5)a b ；（3）(0,0)a b ，(4,6)a b ；（4）(3,4)a b，(3,4)a b .2、24(6,8)a b ，43(12,5)a b .3、（1）(3,4)AB ，(3,4)BA ；（2）(9,1)AB ，(9,1)BA ；（3）(0,2)AB，(0,2)BA ；（4）(5,0)AB，(5,0)BA 4、AB ∥CD .证明：(1,1)AB，(1,1)CD，所以AB CD .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)；（2）(1,4)；（3）(4,5).6、10(,1)3或14(,1)37、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32APPB ，得32A P P B(,)(2,3)(2,A P x y x y，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y ∴3(2,3)(4,3)2x y x y ∴32(4)233(3)2x x y y （第4题(3)）AD CBADMOBC（第5题）∴815x y，所以点P 的坐标为(8,15).习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)；（2）(0,8)；（3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.2、123(8,0)F F F 3、解法一：(1,2)OA ，(53,6(1))(2,7)BC而ADBC ，(1,5)OD OA AD OA BC . 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)ADx y x y ，(53,6(1))(2,7)BC 由ADBC 可得，1227x y ，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA，(2,4)AB .1(1,2)2A C A B ，2(4,8)ADAB ，1(1,2)2AEAB . (0,3)O C O A A C ，所以，点C 的坐标为(0,3)；(3,9)O D O A A D ，所以，点D 的坐标为(3,9)；(2,1)O EO AA E ，所以，点E 的坐标为(2,1). 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x ，所以236x ，解得4x .6、(4,4)AB ，(8,8)CD，2CD AB ，所以AB 与CD 共线.7、2(2,4)OAOA ，所以点A 的坐标为(2,4)；3(3,9)O B O B ，所以点B 的坐标为(3,9；故(3,9)(2,4)(5,5)A B习题2.3 B 组（P101）1、(1,2)OA ，(3,3)AB .当1t 时，(4,5)OP OA AB OB ，所以(4,5)P ；当12t 时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB ，所以57(,)22P ；当2t 时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB ，所以(5,4)P ；当2t时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB ，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB ，(1,1.5)AC ，所以4AB AC ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ ，(6,8)PR ，所以4PR PQ ，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF ，(1,0.5)EG ，所以8EFEG ，所以E 、F 、G三点共线. 3、证明：假设10，则由11220e e ，得2121e e .所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10.同理20.综上120.4、（1）19OP .（2）对于任意向量12OPxe ye ，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q.2、当0a b时，ABC 为钝角三角形；当0a b 时，ABC 为直角三角形.3、投影分别为32，0，32. 图略练习（P107）1、22(3)45a ，225229b ，35427a b .2、8a b，()()7a b a b ，()0a b c ，2()49a b .3、1a b，13a，74b ，88.习题2.4 A 组（P108）1、63a b，222()225123a b aa b b，25123a b .2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA .3、22223a baa b b，22235a baa b b.4、证法一：设a 与b 的夹角为.（1）当0时，等式显然成立；（2）当0时，a 与b ，a 与b 的夹角都为，所以()cos cosa b a b a b ()c o sa b a b ()cos cosa b a b a b 所以()()()a b a b a b ；（3）当0时，a 与b ，a 与b 的夹角都为180，则()cos(180)cosa ba b a b ()cos cos a b a b a b ()cos(180)cosa b ab a b 所以()()()a ba b a b ；综上所述，等式成立.证法二：设11(,)ax y ，22(,)b x y ，那么11221212()(,)(,)a bx y x y x x y y 112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y 所以()()()a ba b a b ；5、（1）直角三角形，B 为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA，(3,4)(5,2)(2,2)BC ∴6(2)(6)20BA BC ∴BABC ，B 为直角，ABC 为直角三角形（2）直角三角形，A 为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB，(1,6)(2,3)(1,3)AC ∴2117(3)0AB AC ∴ABAC ，A 为直角，ABC 为直角三角形（3）直角三角形，B 为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA，(10,7)(5,2)(5,5)BC ∴35350BA BC ∴BABC ，B 为直角，ABC 为直角三角形6、135. 7、120. 22(23)(2)44361a b a b aa b b，于是可得6a b，1cos2a b a b ，所以120.8、23cos40，55. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB，(8,4)(5,2)(3,6)BC ，(8,4)(4,6)(4,2)DC∴ABDC ，43(2)60AB BC ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)ax y ，则2292xy y x，解得355655x y，或355655xy.于是3565(,)55a或3565(,)55a .11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y ，则221420xyx y ，解得55255xy或55255xy. 于是525(,)55e或525(,)55e . 习题2.4 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c 证法二：设11(,)ax y ，22(,)b x y ，33(,)c x y .先证()a ba c ab c 1212a bx x y y ，1313a cx x y y 由a b a c 得12121313x x y y x x y y ，即1231()()x x x y y y 而2323(,)b c x x y y ，所以()a b c 再证()ab c a b a c由()0a b c 得123123()()0x x x y y y ，即12121313x x y y x x y y ，因此a b a c 2、cos cos cossin sin OA OB AOBOA OB.3、证明：构造向量(,)ua b ，(,)v c d .c o s,u v u v u v，所以2222cos ,ac bd a bcd u v∴2222222222()()()cos,()()ac bd a b cd u vab c d 4、AB AC 的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CMAB ，12AMAB 又cos AB AC AB AC BAC ，而AM BACAC所以212AB ACAB AMAB 5、（1）勾股定理：Rt ABC 中，90C，则222CACBAB证明：∵ABCB CA ∴2222()2AB CB CA CBCA CB CA .由90C，有CA CB ，于是0CA CB ∴222CA CBAB（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD 证明：∵ACAB AD ，,DBAB AD ∴22()()AC DB AB AD AB AD ABAD .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD ，所以22ABAD∴0AC DB，所以AC BD （3）长方形ABCD 中，求证：ACBD证明：∵四边形ABCD 为长方形，所以ABAD ，所以0AB AD ∴222222ABAB AD ADABAB AD AD .∴22()()AB AD AB AD ，所以22ACBD ，所以ACBD（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.2．5平面向量应用举例习题2.5 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y 则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y ，(,)(1,0)(1,0)AP x y x 由2RA AP 得11(1,)2(1,)x y x y ，即11232x x y y代入直线l 的方程得2yx .所以，点P 的轨迹方程为2yx .2、解：（1）易知，OFD ∽OBC ，12DFBC , 所以23BO BF .2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b （2）因为1()2AE a b 所以23AO AE ，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE 同理可知：2,2BO CO OF OD ，所以2AO BO COOE OF OD3、解：（1）(2,7)B Avv v ；（2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v . 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为，则31F，30；331F ，3F 与1F 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos xv v ，0sin yv v .设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则1s i n,()2c o sh v t g t gsv t 为重力加速度所以，最大高度为220sin 2v g，最大投掷距离为20sin2v g.2、解：设1v 与2v 的夹角为，合速度为v ，2v 与v 的夹角为，行驶距离为d . 则1sin 10sin sin v vv，0.5sin20sinv d.∴120sind v.所以当90，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、（1）(0,1)ODFEABC（第2题）（第4题）解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y . (2,22)AB .将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74到AP ，于是7777(2cos22sin ,2sin22cos )(1,3)4444AP 所以1123x y，解得0,1xy（2）32yx解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4后，点P 的坐标为(,)x y 则cos sin 44sincos44x x y yx y ，即2()22()2x x y yx y 又因为223xy，所以2211()()322x y x y ，化简得32yx第二章复习参考题A 组（P118）1、（1）√；（2）√；（3）×；（4）×. 2、（1）D ；（2）B ；（3）D ；（4）C ；（5）D ；（6）B.3、1()2AB a b ，1()2AD a b 4、略解：2133DE BA MA MBa b 2233AD a b ，1133BC a b 1133EF a b ，1233FA DC a b 1233CDa b ，2133AB a b CEa b5、（1）(8,8)AB ，82AB ；（2）(2,16)OC ，(8,8)OD；（3）33OA OB .（第4题）6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB ，(1,1)CD ，所以AB CD . 所以AB 与CD 共线.7、(2,0)D .8、2n. 9、1,0.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m ，所以(2)n m m .12、1.13、13a b，1a b.14、519cos,cos 820第二章复习参考题B 组（P119）1、（1）A ；（2）D ；（3）B ；（4）C ；（5）C ；（6）C ；（7）D.2、证明：先证aba b a b .222()2a ba b aba b，222()2a ba b a b a b .因为ab ，所以0a b ，于是22a b a ba b .再证a b a ba b. 由于222a b aa bb ，222a b aa b b由a b a b 可得0a b ，于是ab所以a ba b a b. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】3、证明：先证abcd22()()c d a b a b ab又a b ，所以0c d ，所以cd再证cd ab .由cd 得0c d，即22()()a b a b a b 所以a b【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所（第3题）NMOABS（第6题）示】4、12AD AB BC CD a b ，1142AE a b 而34EFa ，14EM a ，所以1111()4242AM AE EMa b a a b 5、证明：如图所示，12ODOP OP ，由于1230OP OP OP ，所以3OP OD ，1OD 所以11OD OP PD 所以1230OPP ，同理可得1330OPP 所以31260PPP ，同理可得12360PP P ，23160P PP ，所以123PP P 为正三角形. 6、连接AB.由对称性可知，AB 是SM N 的中位线，222MN ABb a .7、（1）实际前进速度大小为224(43)8（千米／时），沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为42千米／时，沿与水流方向成690arccos 3的方向前进.8、解：因为OA OB OB OC ，所以()0OB OA OC ，所以0OB CA 同理，0OA BC ，0OC AB，所以点O 是ABC 的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x ；（2）垂直；（3）当12210AB A B 时，1l ∥2l ；当12120A A B B 时，12l l ，夹角的余弦121222221122cosA AB B A BA B ；（4）022Ax By CdABDOP 3P 1P 2（第5题）第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()cos cos sin sin0cos1sin sin222.c o s(2)c o s2c o s s i n2s i n1c o s0.2、解：由3cos,(,)52，得2234sin1cos1()55；所以23242 cos()cos cos sin sin()444252510.3、解：由15sin17，是第二象限角，得22158cos1sin1()1717；所以811538153 cos()cos cos sin sin33317217234.4、解：由23sin,(,)32，得2225cos1sin1()33；又由33cos,(,2)42，得2237sin1cos1()44.所以3c o4.练习（P131）1、（1）624；（2）624；（3）624；（4）23.2、解：由3cos,(,)52，得2234sin1cos1()55；所以4133433 sin()sin cos cos sin()333525210.3、解：由12sin13，是第三象限角，得22125cos1sin1()1313；所以3c o66.4、解：tan tan314tan()2 41311tan tan4.5、（1）1；（2）12；（3）1；（4）32；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin26)cos(3426)cos602；（6）原式=sin20cos70cos20sin70(sin20cos70cos20sin70)sin901.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x xx ；（2）原式=312(sin cos )2(sin cos cos sin )2sin()22666x x x x x ；（3）原式=222(sin cos )2(sin cos cos sin )2sin()22444x x x x x ；（4）原式=1322(cos sin )22(cos cos sin sin )22cos()22333xx x x x .7、解：由已知得3sin()cos cos()sin5，即3sin[()]5，3sin()5所以3sin5. 又是第三象限角，于是2234cos 1sin1()55. 因此55si 44.练习（P135）1、解：因为812，所以382又由4cos85，得243sin 1()855，3sin 385tan 484cos85所以3424sinsin(2)2sin cos2()()488855252222437c o sc o s(2)c o s s i n ()()488855252232tan23162484tantan(2)3482771tan1()842、解：由3sin()5，得3sin 5，所以222316cos 1sin1()525所以2221637cos2cossin()255253、解：由sin2sin 且sin 0可得1cos2，又由(,)2，得2213sin 1cos1()22，所以s i n 3t an (2)3co s2. 4、解：由1t an 23，得22t an11t an3. 所以2t an6t an 10，所以t a n3105、（1）11sin15cos15sin3024；（2）222cossincos8842；（3）原式=212tan22.511tan4521tan 22.522；（4）原式=2cos452. 习题3.1 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cossin sin0cos (1)sin sin 222；（2）333sin()sin coscos sin1cos0sincos 222；（3）cos()cos cos sin sin1cos0sin cos ；（4）sin()sin coscos sin 0cos(1)sin sin . 2、解：由3cos,05，得2234sin1cos1()55，所以4331433cos()cos cossin sin666525210. 3、解：由2sin,(,)32，得2225cos 1sin1()33，又由33cos ,(,)42，得2237sin1cos1()44，所以5co3. 4、解：由1cos7，是锐角，得22143sin1cos1()77因为,是锐角，所以(0,)，又因为11cos()14，所以221153sin()1cos ()1()1414所以cos cos[()]cos()cos sin()sin11153431()14714725、解：由60150，得9030180又由3sin(30)5，得2234cos(30)1sin (30)1()55所以coscos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin3043314335252106、（1）624；（2）264；（3）23. 7、解：由2sin,(,)32，得2225cos 1sin1()33. 又由3cos4，是第三象限角，得2237sin 1cos1()44. 所以cos()cos cossin sin5327()()3434352712sin()sin cos cos sin2357()()()3434635128、解：∵53sin ,cos 135A B 且,A B 为ABC 的内角∴0,02A B ，124cos ,sin 135A B当12cos 13A 时，sin()sin cos cos sin AB A B A B5312433()013513565A B，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ∴cos cos()(cos cos sin sin )CA B A B A B 1235416()135135659、解：由3sin,(,)52，得2234cos 1sin1()55. ∴sin 353tan()cos544. ∴31tan tan 242tan()311tan tan111()42. 31tan tan 42tan()2311tan tan1()42.10、解：∵tan ,tan是22370x x 的两个实数根.∴3tantan2，7tan tan2. ∴3tan tan 12tan()71tan tan31()2. 11、解：∵tan()3,tan()5∴tan()tan()tan2tan[()()]1tan()tan()3541357tan()tan()tan2tan[()()]1tan()tan()351135812、解：∵::2:3:6BD DC AD ∴11tan,tan 32BD DC AD AD ∴tan tan tan tan()1tan tanBAC1132111132又∵0180BAC ，∴45BAC βαDACB（第12题）13、（1）65sin()6x ；（2）3sin()3x ；（3）2sin()26x；（4）27sin()212x ；（5）22；（6）12；（7）sin()；（8）cos()；（9）3；（10）tan().14、解：由sin0.8,(0,)2，得22cos1sin 10.80.6∴sin22sin cos 20.80.60.962222cos2cossin0.60.80.2815、解：由3cos,1802703，得2236sin1cos 1()33∴6322sin22sin cos 2()()3332222361cos2cossin ()()333sin222tan2(3)22cos2316、解：设5sin sin 13B C，且90B ，所以12cos 13B . ∴512120sin sin(1802)sin22sin cos 21313169A B B B B 2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B sin 120169120tan ()cos 169119119A A A 17、解：22122tan33tan211tan41()3，13tan tan274tan(2)1131tan tan2174.18、解：1cos()cos sin()sin31cos[()]3，即1cos 3又3(,2)2，所以22122sin 1cos1()33∴22142sin22sin cos 2()33922221227cos2cossin()()339∴72422728cos(2)cos2cossin2sin()44492921819、（1）1sin2；（2）cos2；（3）1sin44x ；（4）tan2.习题3.1 B 组（P138）1、略.2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x ，即210xpxp 的两个实根∴tan tan A B p ，tan tan 1A B p ∴tan tan[()]tan()CA B A B tan tan 11tan tan 1(1)A B p A Bp 由于0C，所以34C. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sincos (30)sin cos(30)4（证明略）本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cossin(30)cos4223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4223sincossin cos4，其中30，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高. 4、因为12PAPP ，则2222(c o s ()1)s i n ()(c o sc o s )(s i n s i n )即22cos()22cos cos 2sin sin所以cos()cos cossin sin3．2简单的三角恒等变换练习（P142）1、略. 2、略.3、略.4、（1）1sin42y x . 最小正周期为2，递增区间为[,],8282kk k Z ，最大值为12；（2）cos 2y x . 最小正周期为2，递增区间为[2,22],k k kZ ，最大值为3；（3）2sin(4)3yx. 最小正周期为2，递增区间为5[,],242242k k kZ ，最大值为2.习题3.2 A 组（P143）1、（1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（3）略；（4）提示：用22sin cos代替1，用2sin cos 代替sin 2；（5）略；（6）提示：用22cos 代替1cos2；（7）提示：用22sin 代替1cos2，用22cos 代替1cos2；（8）略.2、由已知可有1sin coscos sin2……①，1sin cos cos sin3……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin（2）把（1）所得的两边同除以cos cos 得tan 5tan注意：这里cos cos0隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan2. 于是2212()2tan 42tan211tan31()21tantan1142tan()1431tantan1()142∴tan24tan()44、由已知可解得sin x ，cos y ，于是2222sincos1x y.5、()2sin(4)3f x x，最小正周期是2，递减区间为7[,],242242k kkZ .习题3.2 B 组（P143）1、略.2、由于762790，所以sin76sin(9014)cos14m即22cos 71m ，得1cos72m 3、设存在锐角,使223，所以23，tan()32，又tan tan232，又因为tan tan 2tan()21tantan2，所以tantantan()(1tan tan )33222由此可解得tan 1，4，所以6.经检验6，4是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM .在Rt OMA 中，coscos22OM OA .在1Rt OM M 中，11cos coscos 22OM OM MOM ，11sin sincos22M M OM MOM .于是有1(cos cos )cos cos 222，1(sin sin )sin cos 2225、当2x时，22()sin cos 1f ；当4x时，4422222()sincos(sincos)2sincosf 211sin 22，此时有1()12f ≤≤；当6x 时，66()sinf 231sin 24，此时有1()14f ≤≤；由此猜想，当2,x k k N 时，11()12k f ≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ，其中34cos ,sin55所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；（2）22sin()yab x，其中2222cos,sina b abab所以，y 的最大值为22ab ，最小值为22ab ；第三章复习参考题A 组（P146）xy M 1MC AOB（第4题）1、1665. 提示：()2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]443、1.4、（1）提示：把公式tan tantan()1tan tan变形；（2）3；（3）2；（4）3. 提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式=cos103sin104sin(3010)4 sin10cos10sin20；（2）原式=sin10sin103cos10 sin40(3)sin40cos10cos10=2sin40cos40sin801 cos10cos10；（3）原式=3sin203sin20cos20 tan70cos10(1)tan70cos10cos20cos20=sin702sin10sin20cos101 cos70cos20cos70；（4）原式=3sin10cos103sin10 sin50(1)sin50cos10cos102cos50sin100sin501cos10cos106、（1）95；（2）2425；（3）223. 提示：4422222sin cos(sin cos)2sin cos；（4）17 25.7、由已知可求得2cos cos5，1sin sin5，于是sin sin1tan tancos cos2.8、（1）左边=222cos214cos232(cos22cos21)22242(cos21)2(2cos)8cos=右边（2）左边=222 2sin cos2sin cos(sin cos) 2cos2sin cos2cos(cos sin)sin cos11tan2cos22=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin2cos(cos sin)sin()cos cos()sin sinsin sin=右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A =右边9、（1）1sin21cos2sin2cos222sin(2)24y x x x x x递减区间为5[,],88k k k Z（2）最大值为22，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin22cos(2)4f x x x x x x xx x x（1）最小正周期是；（2）由[0,]2x 得52[,]444x ，所以当24x，即38x时，()f x 的最小值为 2. ()f x 取最小值时x 的集合为3{}8.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin22sin(2)14f x x x x x xx（1）最小正周期是，最大值为21；（2）()f x 在[,]22上的图象如右图：12、()3sin cos 2sin()6f x x x a xa .（1）由21a 得1a；（2）2{22,}3x k x k k Z ≤≤.13、如图，设ABD ，则CAE ，2s i n h AB ，1cos h AC所以1212sin2ABC hh S AB AC ，(0)2当22，即4时，ABCS的最小值为12hh . 第三章复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sincos1，及0≤≤，可解得4sin5，h 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13 cos sin55，所以24sin225，7cos225，312sin(2)sin2cos cos2sin44450.解法二：由1s i n c o s5得21(sin cos)25，24sin225，所以249 cos2625.又由1sin cos5，得2sin()410.因为[0,]，所以3[,]444.而当[,0]44时，sin()04≤；当3[,]444时，22 sin()4210≥.所以(0,)44，即(,)42所以2(,)2，7cos225.312sin(2)4502、把1cos cos2两边分别平方得221cos cos2cos cos4把1sin sin3两边分别平方得221sin sin2sin sin9把所得两式相加，得13 22(cos cos sin sin)36，即1322cos()36，所以59cos()723、由43sin()sin35可得3343sin cos225，4sin()65.又02，所以366，于是3cos()65.所以334 cos cos[()]66104、22sin22sin2sin cos2sin2sin cos(cos sin)sin1tan cos sin1cosx x x x x x x x xxx x xx1tansin2sin2tan()1tan4xx x xx由177124x得5234x，又3cos()45x，所以4sin()45x，4tan()43x所以2cos cos[()]cos()cossin()sin44444410x x x x ，72sin 10x，7sin22sin cos 25x x x, 所以2sin22sin 281tan 75x x x，5、把已知代入222sincos(sin cos )2sin cos 1，得22(2sin )2sin1.变形得2(1cos2)(1cos2)1，2cos2cos2，224cos 24cos 2本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含的三角函数.考虑sincos ，sin cos 这两者又有什么关系？及得上解法.5、6两题上述解法称为消去法6、()3sin21cos22sin(2)16f x x x m x m . 由[0,]2x 得72[,]666x，于是有216m . 解得3m . ()2si n (2)4()6f x x x R 的最小值为242，此时x 的取值集合由322()62x k kZ ，求得为2()3xk k Z 7、设AP x ，AQy ，BCP，DCQ，则tan1x ，tan1y于是2()tan()()x y x y xy又APQ 的周长为2，即222x yxy，变形可得2()2xyx y 于是2()tan()1()[2()2]x y xy x y .又02，所以4，()24PCQ.8、（1）由221sin cos 5sincos1，可得225sin 5sin120解得4sin 5或3sin 5（由(0,)，舍去）所以13cossin 55，于是4tan 3（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan表示的三角函数式的值，例如，sin()3，cos22，sin cos 2tan ，sin cos3sin2cos，等等.。

第一章 1.2 1.2.2 单位圆与三角函数线课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )A.3π4或π4B.5π4或7π4C.π4或5π4D.π4或7π4答案：C2．已知α角的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( )A ．第一象限角的平分段上B ．第四象限角的平分线上C ．第二、四象限角的平分线上D ．第一、三象限角的平分线上答案：C3．已知11π6的正弦线为MP ，正切线为AT ，则有( )A ．MP 与AT 的方向相同B ．|MP |＝|AT |C ．MP ＞0，AT ＜0D ．MP ＜0，AT ＞0答案：A4．在 (0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，7π4 解析：在同一个单位圆内作出正弦线、余弦线、正切线，可看出当x 在第四象限符合条件，故选C.答案：C5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )A ．sin α＋cos α>α＋cos α＝1C ．sin α＋cos α解析：作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知，sin α＋cos α>1，故选A.答案：A6．a ＝sin(－2)，b ＝cos(－2)，c ＝tan(－2)，则a ，b ，c 由小到大的顺序是________．解析：∵－3π4<－2<－π2，由正弦线，余弦线知sin(－2)＜cos(－2)＜0，而tan(－2)＞0，∴a ＜b ＜c .答案：a ＜b ＜c7．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是________． ①sin θ＋cos θ＜0；②sin θ－cos θ＞0; ③|sin θ|＜|cos θ|；④sin θ＋cos θ＞0.答案：④8．求满足－12≤sin θ<32的θ的取值范围．解：如图所示，∵sin θ≥－12，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋7π6(k ∈Z)． 又sin θ<32，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3，2k π＋7π3(k ∈Z)， ∴θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π－π6，2k π＋π3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋7π6(k ∈Z)． [B 组 技能提升]1．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 解析：由点P 在第一象限，可知⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，∴sin α>cos α且tan α>0. 由α的三角函数线可知当π4<α<5π4时，sin α>cos α，若tan α>0，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4，故选B. 答案：B2．函数y ＝tan x ＋cos x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈ZB.{}x |x ≠k π，k ∈Z C.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2，k ∈Z 解析：由正切、余弦函数定义域可知⎩⎨⎧ x ≠k π＋π2，x ∈R.⇒x ≠k π＋π2，k ∈Z ，故选A.答案：A3．函数y ＝cos x ＋ sin x －12的定义域是________．解析：由题得⎩⎨⎧ cos x ≥0，sin x ≥12，∴π6＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z.所以函数的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π6＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z . 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ π6＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z 4．设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式①MP <OM <0；②OM <0<MP ；③OM <MP <0；④MP <0<OM .其中正确的是________． 答案：②5．求满足sin x >cos x (x ∈(0,2π))的x 的取值范围．解：画出sin x ＝cos x 的直线，然后由三角函数线分析得出，在直角坐标系xOy中作第一、三象限的角平分线，如图所示，可知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4. 6．求函数y ＝ sin x －12＋lg cos xtan x 的定义域．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥12，cos x >0，tan x ≠0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，2k π－π2<x <2k π＋π2，x ≠π2＋k π，x ≠k π，(k ∈Z)．∴所求函数的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6≤x <2k π＋π2，k ∈Z .。

人教版高一数学必修四测试题(含详细答案)高一数学试题（必修4）第一章三角函数一、选择题：1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C的关系是（）A．B=A∩C。

B．B∪C=C。

C．AC。

D．A=B=C2.已知$\sin\theta=\frac{1}{2}$，$\theta\in\mathrm{Q}$，则$\cos\theta$等于（）A。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

B。

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

C。

$\frac{1}{2}$。

D。

$-\frac{1}{2}$3.已知$\sin\alpha=-\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\alpha\in\mathrm{III}$，则$\cos\alpha$等于（）A。

$-\frac{1}{\sqrt{5}}$。

B。

$\frac{1}{\sqrt{5}}$。

C。

$-\frac{2}{\sqrt{5}}$。

D。

$\frac{2}{\sqrt{5}}$4.下列函数中，最小正周期为$\pi$的偶函数是（）A。

$y=\sin2x$。

B。

$y=\cos x$。

C。

$y=\sin2x+\cos2x$。

D。

$y=\cos2x$5.若角$\theta$的终边上有一点$P$，则$\sin\theta$的值是（）A。

$\frac{OP}{1}$。

B。

$\frac{1}{OP}$。

C。

$\frac{OA}{1}$。

D。

$\frac{1}{OA}$6.要得到函数$y=\cos x$的图象，只需将$y=\sin x$的图象（）A。

向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位。

B。

向右平移$\frac{\pi}{2}$个单位C。

向左平移$\pi$个单位。

D。

向右平移$\pi$个单位7.若函数$y=f(x)$的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿$x$轴向左平移1个单位，沿$y$轴向下平移1个单位，得到函数$y=\sin x$的图象，则$y=f(x)$是（）A。

第一章 1.3 1.3.2 第一课时 余弦函数的图象与性质课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．函数y ＝2cos x －3的值域是( ) A ．[－1,1] B.[－5，－1] C ．[－5，＋∞)D.(－∞，＋∞)解析：由|cos x |≤1，得2cos x －3∈[－5，－1]，故选B. 答案：B2．函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．关于直线x ＝－π4对称 B ．关于直线x ＝－π2对称 C ．关于直线x ＝π8对称 D ．关于直线x ＝5π4对称解析：由2x ＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2，k ∈Z ，∴当k ＝－1时，x ＝－π2是函数y ＝cos2x 的一条对称轴，故选B. 答案：B3．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析：f (x )的周期为2k π，当k ＝－1时，T ＝－2π，A 正确；当x ＝8π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＝cos3π＝－1，∴x ＝8π3是f (x )的一条对称轴，B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋4π3＝cos 3π2＝0，C 正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，4π3， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π不单调，故选D.答案：D4．给出下列四个不等式，其中正确的是( )①sin1＜cos1；②sin2＜cos2；③sin190°＞cos250°；④sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8.A ．①和② B.①和③ C ．②和④D.③和④解析：∵π4＜1＜π2＜2＜π，利用三角函数线比较知①②错误． 又∵sin190°＝－sin10°，cos250°＝－sin20°， ∴sin190°＞cos250°，∴③正确． 而cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1，而y ＝sin x 在(0,1)上递增， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8. ∴④正确，故选D. 答案：D5．在(0,2π)内，使|sin x |≥cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π 解析：在同一坐标系内作出y ＝|sin x |与y ＝cos x 的图象，如图示：故选A. 答案：A6．方程3sin x ＝1＋cos2x 在区间[0,2π]上的解有________个．解析：在同一坐标系中作出y ＝3sin x 与y ＝1＋cos2x 的图象，如图所示：从图象可知有两个交点， ∴方程有两个解． 答案：27．若函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx 的最小正周期是4π，则ω＝________.解析：∵2π|－ω|＝4π，∴ω＝±12. 答案：±128．已知函数f (x )＝2cos －2x ＋π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.(1)2k π≤2x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ， ∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.(2)∵－π8≤x ≤π2， ∴－π2≤2x －π4≤3π4， ∴－22≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4≤1.∴－1≤f (x )≤ 2，当2x －π4＝3π4，即x ＝π2时，f (x )min ＝－1， 当2x －π4＝0，即x ＝π8时，f (x )max ＝ 2.[B 组 技能提升]1．在同一坐标系中，函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象不具有下述哪种性质( )A ．y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，与y ＝cos x 的图象重合 B ．y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象各自都是中心对称曲线 C ．y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π4互相对称 D ．y ＝sin x 与y ＝cos x 在某个区间[x 0，x 0＋π]上都为增函数 解析：y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象如图示．由图可知y ＝sin x 与y ＝cos x 不存在在某个区间[x 0，x 0＋π]上都为增函数，故选D.答案：D2．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，φ＝k π－π6(k ∈Z)， 取k ＝0，得|φ|的最小值为π6，故选A. 答案：A3．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同， ∴f (x )与g (x )的周期相同，g (x )的周期为π， ∴2πω＝π， ∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，34．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________． 解析：∵0≤x ≤π，∴π6≤3x ＋π6≤19π6，由题可知3x ＋π6＝π2，3x ＋π6＝3π2或3x ＋π6＝5π2，解得x ＝π9，4π9或7π9，故有3个零点．答案：35．已知函数f (x )＝2cos2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2时，方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围．解：(1)f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，T ＝2π2＝π，由2k π－π≤2x －π4≤2k π，k ∈Z ， ∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.(2)作出f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，如图所示，若方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，则0≤k < 2.6．已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求函数y ＝cos 2x －2a cos x 的最大值M (a )和最小值m (a )．解：设cos x ＝t ，则t ∈[0,1]， y ＝t 2－2at ＝(t －a )2－a 2.∴当a ＜0时，m (a )＝0，M (a )＝1－2a ；当0≤a ＜12时，m (a )＝－a 2，M (a )＝1－2a ； 当12≤a ＜1时，m (a )＝－a 2，M (a )＝0； 当a ≥1时，m (a )＝1－2a ，M (a )＝0. ∴M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＜12，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≥12，m (a )＝⎩⎨⎧0(a ＜0)，－a 2 (0≤a ＜1)，1－2a (a ≥1).。

人教A版高中数学必修四测试题及答案全套人教A版高中数学必修四测试题及答案全套阶段质量检测（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.在0°～360°的范围内，与-510°终边相同的角是()A。

330° B。

210° C。

150° D。

30°2.若sinα = 3/3，π/2 < α < π，则sin(α+π/2) = ()A。

-6/3 B。

-1/2 C。

16/2 D。

33.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A。

2 B。

2sin1 C。

2sin1 D。

sin24.函数f(x) = sin(x-π/4)的图象的一条对称轴是()A。

x = π/4 B。

x = π/2 C。

x = -π/4 D。

x = -π/25.化简1+2sin(π-2)·cos(π-2)得()A。

sin2+cos2 B。

cos2-sin2 C。

sin2-cos2 D。

±cos2-sin26.函数f(x) = tan(x+π/4)的单调增区间为()A。

(kπ-π/2.kπ+π/2)，k∈Z B。

(kπ。

(k+1)π)，k∈ZC。

(kπ-4π/4.kπ+4π/4)，k∈Z D。

(kπ-3π/4.kπ+3π/4)，k∈Z7.已知sin(π/4+α) = 1/√2，则sin(π/4-α)的值为()A。

1/3 B。

-1/3 C。

1/2 D。

-1/28.设α是第三象限的角，且|cosα| = α/2，则α的终边所在的象限是()A。

第一象限 B。

第二象限 C。

第三象限 D。

第四象限9.函数y = cos2x+sinx在[-π/6.π/6]的最大值与最小值之和为()A。

3/4 B。

2 C。

1/3 D。

4/310.将函数y = sin(x-π/3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移一个单位，得到的图象对应的解析式为()A。

习题课 (二 )课时作业一、选择题1． 函数 f(x)＝ tan2xtanx 的定义域为 ()k πA. xx ∈ R 且 x ≠ 4 ， k ∈Zπ B. xx ∈ R 且 x ≠ k π＋2， k ∈ Zπ C. xx ∈ R 且 x ≠ k π＋4， k ∈ ZπD. xx ∈ R 且 x ≠ k π－4， k ∈ Z 答案： Ax ≠ k π x ≠k ππ分析： 由题意，得x ≠ k π＋ 2(k ∈ Z)，即2k πk π π (k ∈ Z )，因此 x ≠ 4 (k ∈ Z)， πx ≠ 2 ＋ 42x ≠ k π＋ 2选 A.2．函数 f(x)＝ x ＋ sin|x|， x ∈ [ － π， π]的大概图象是 ( )答案： A分析：函数 f(x)是非奇非偶函数， 故清除 B ，D ；又 x ∈ [－ π，π]时， x ＋sin|x|≥ x 恒建立，因此函数 f(x)的图象应在直线 y ＝x 的上方，故清除 C ，选 A.3．函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ ωπ)( A>0， ω>0)在 － 3π3πω 的最大值是，－ 上单一递加，则2 4()1B.3A. 2 4 C ．1D ． 2 答案： Cπ分析： 由于 A>0 ， ω>0 ，因此当 ππ2k π－ 22k π－ ≤ωx＋ ωπ≤ 2k π＋ 2 (k ∈ Z) 时，有ω －2ππ π2k π＋23π3ππ≤ x ≤2k π－2 2k π＋ 2ω － π(k ∈ Z )，因此 － 2 ，－ 4?－ π， ω － π(k ∈ Z)，ω2k π－ π3π 2－ 2 ≥ ω－πω≤ 1－ 4k3π3π 3π T π则π ，解得 ω≤ 2＋ 8k .又由题意得－ 4－ － 2 ＝4 ≤ 2 ＝ω，3π 2k π＋ 2－ 4 ≤ ω － π4因此 ω≤ 3，因此 0<ω≤ 1，因此 ω的最大值为 1.3 1 7)4． 三个数 cos ， sin10，－ cos 的大小关系是 (2 43 17A. cos 2>sin 10>－ cos 43 7 1B ．cos 2>－ cos 4>sin 103 17 C ．cos 2<sin 10<－ cos 47 3 1 D ．－ cos 4<cos 2<sin 10答案： C1 π 1分析： sin 10＝cos 2－ 10 .7 7－ cos 4＝ cos π－ 4 .3π 1 ≈ 7，∵ ＝1.5， －10 1.47， π－ ≈ 1.39 22 43 π 1 7∴π>－ >π－2>210 4>0.又∵y ＝ cosx 在(0 ，π)上是减函数，3 1 7∴cos 2<sin 10<－ cos 4.5．函数 y ＝log 1 tanx 的定义域是 ()2πA. x 0＜ x ≤4πB. x 2k π＜ x ≤2k π＋ 4， k ∈Zπ C. x k π＜ x ≤ k π＋ 4， k ∈ Zπ πD. x 2k π－ ＜ x ≤ k π＋ ， k ∈Z2 4答案： Clog 1 tanx 0分析：由2，tanx 0解得 x k π＜ x ≤ k π＋ π，因此选 C.， k ∈ Z41 π π6．函数 y ＝－ ≤ x ≤ 且 x ≠ 0 的值域是 ()A ． [－ 1,1]B ．( －∞，－ 1]∪ [1，＋∞ )C ．( －∞， 1]D ． [－ 1，＋∞ ) 答案： Bπ π 分析： 由于－ 4≤ x ≤ 4，π π又由于 y ＝ tanx 在 x ∈ －4， 4 时为增函数．因此－1≤ tanx ≤1.又 x ≠ 0，因此－ 1≤ tanx＜ 0 或 0＜ tanx ≤ 1，因此易求得1∈(－∞，－ 1]∪[1，＋ ∞)．tanx二、填空题7．若 y ＝ cosx 在区间 [ － π， a]上为增函数，则 a 的取值范围是 ________． 答案： (－ π， 0]分析： 由 y ＝ cosx 的图象可知， a 的取值范围是－ π<a ≤ 0.8．函数 y ＝ 1 的定义域是 ________．log 2tanx答案： xk π<x ≤k π＋ π， k ∈Z4 1分析： 要使函数存心义，只要πlog 2≥ 0，∴0<tanx ≤ 1，∴k π<x ≤ k π＋，k ∈ Z ，∴该函tanx4数的定义域是x k π<x ≤ k π＋ π，k ∈ Z .4ππ的9．函数 f(x)＝ tan ωx (ω>0) 图象上的相邻两支曲线截直线 y ＝ 1 所得线段长为 ，则 f124值是 ________．答案： 3分析： 由题意可得 T ＝ ππ.∴ω＝ ＝ 4，4 Tπ π f(x)＝ tan4x.，因此 f 12 ＝ tan 3＝ 3.三、解答题1的值域和单一区间．10．求函数 y ＝ tan 2x － 2tanx ＋ 21解：y ＝tanx － 1 2＋ 1，∵(tanx －1)2＋ 1≥ 1，∴该函数的值域是 (0,1] ．ππ当 tanx<1 时，该函数单一递加，单一递加区间是， k π＋4 (k ∈ Z)；k π－2ππ当 tanx>1 时，该函数单一递减，单一递减区间是， k π＋2 (k ∈ Z)．k π＋4π11．设函数 f(x)＝ sin( －2x ＋ φ)(0< φ<π)，y ＝ f( x)图象的一条对称轴是直线 x ＝ 8. (1)求 φ；(2)求函数 y ＝ f(x)的单一区间．ππ ，解： (1)令 (－ 2)× ＋φ＝ k π＋ ， k ∈ Z82∴ φ＝k π＋3πφ<π，∴ φ＝ 3π4 ， k ∈ Z ，又 0< 4 .3π(2)由 (1) 得 f(x)＝ sin － 2x ＋4 ＝3π－ sin 2x － 4 ，3π令 g(x)＝ sin 2x － 4 ，π 3π π由－ 2＋ 2k π≤ 2x － 4≤2＋ 2k π，k ∈ Z ，π5π得 ＋ k π≤x ≤＋ k π，k ∈ Z ，8 85π即 g(x)的单一增区间为π＋k π， ＋k π， k ∈ Z ；8 8π 3π 3π由 ＋ 2k π≤ 2x － ≤ ＋ 2k π， k ∈ Z ，2 4 2 5π 9π得 8 ＋ k π≤ x ≤ 8 ＋ k π， k ∈ Z ，即 g(x)的单一减区间为 5π 9π＋ k π， ＋ k πk ∈ Z ，8 8 故 f(x) 的单一增区间为 5π 9π＋ k π， ＋ k πk ∈ Z ；8 8 π 5π 单一减区间为8＋ k π， 8 ＋k πk ∈ Z .能力提高12．若 a ＝ log 1 tan70 °，b ＝ log 1 sin25 ，°c ＝ log 1 cos25 °，则 ()222A ． a<b<cB ． b<c<aC ．c<b<aD ． a<c<b答案： D分析： ∵0<sin25 °<sin65 °＝ cos25°<1＝ tan45 <tan70° ，°∴log 1 sin25 >log ° 1 cos25 °>log 1 tan70 °.222即 a<c<b.π13．若函数 f(x)＝tan 2x － atanx |x|≤ 4 的最小值为－ 6，务实数 a 的值．π解： 设 t ＝tanx ，∵ |x|≤ ，∴ t ∈ [ － 1,1] ，4则原函数化为y ＝t 2－ at ＝ t － a 2 －a 2 ，2 4a对称轴方程为 t ＝ 2，2①若－ 1≤ a ≤ 1，则当 t ＝ a 时， y min ＝－ a＝－ 6，∴ a 2＝ 24，不切合题意，舍去．2 2 4a时，二次函数在 [－ 1,1] 上递加，当 t ＝－ 1 时， y min ＝ 1＋ a ＝－ 6，②若 <－ 1，即 a<－ 22∴a ＝－ 7.a，即 a>2 时，二次函数在 [－ 1,1] 上递减，当 t ＝1 时， y min ＝ 1－a ＝－ 6，∴ a ＝③若 >127.综上所述， a ＝－ 7 或 a ＝7.。

第一章 1.1 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( ) A ．2k π＋45°(k ∈Z) B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z) C ．k ·360°－315°(k ∈Z) D ．k π＋5π4(k ∈Z) 解析：∵9π4＝4π－7π4， ∴9π4与－7π4的终边相同，则与9π4的终边相同的角为k ·360°－315°(k ∈Z)，故选C. 答案：C2．弧长为6，半径为3的扇形的面积是( ) A ．3 B.6 C ．18D.9解析：S ＝12lr ＝12×6×3＝9，故选D. 答案：D3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限D.第四象限 解析：∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角． 答案：C4．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B.2 C ．8D.1解析：由S ＝12lr ，得8＝12l ·2，∴l ＝8， ∴扇形的圆心角的弧度数α＝l r ＝82＝4，故选A. 答案：A 5．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是( ) A ．－3π4 B.－π4 C ．3π4 D.π4答案：A6．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为________cm 2.解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2r ，l ＋2r ＝8，∴r ＝2，l ＝4，∴扇形的面积为S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2)．答案：47．(1)18°＝________rad. (2)210°＝________rad. (3)310π＝________. (4)2 rad ＝________.解析：由1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°，1°＝π180 rad 代入得出结果．答案：(1)π10 (2)7π6 (3)54° (4)114.6°8．如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝π6，求劣弧AB 的长．解：连接AO ，OB ， ∵∠ACB ＝π6，∴∠AOB ＝π3，△AOB 为等边三角形，故圆O 的半径r ＝AB ＝4，劣弧AB ︵的长为π3×r ＝4π3.[B 组 技能提升]1．若角α的终边在如图所示的阴影部分，则角α的取值范围是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π6<α<π3 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2π3<α<7π6 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2π3≤α≤7π6 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k π＋7π6，k ∈Z 答案：D 2．集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n π＋π2，n ∈Z，N ＝xx ＝2k π±π2，k ∈Z的关系是( )A ．M ＝N B.M N C ．NMD.M ⃘N解析：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n π＋π2，n ∈Z，表示终边落在y 轴上的角的集合，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π±π2，k ∈Z，表示终边落在y 轴上的角的集合，故M ＝N .答案：A3．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A 的弧度数为________． 解析：∵A ＋B ＋C ＝π，由A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，设A ＝3k ，B ＝5k ，C ＝7k ，∴3k ＋5k ＋7k ＝π，∴k ＝π15，∴A ＝3k ＝π5.答案：π54．如图，阴影部分表示的角的集合为(含边界)________(用弧度表示)．解析：α在第一象限，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π3(k ∈Z)，α在第三象限，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π，2k π＋4π3(k ∈Z)，∴⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π≤α≤k π＋π3，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π≤α≤k π＋π3，k ∈Z5．写出终边在直线y ＝x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－2π≤β<4π的元素β写出来．解：如图所示，在直角坐标系中画出直线y ＝x ，可以发现它与x 轴的夹角是π4，在[0,2π)范围内，终边在直线y ＝x 上的角有两个：π4和5π4.所以终边在直线y ＝x 上的角的集合为S ＝⎩⎨⎧β⎪⎪⎪⎭⎬⎫β＝2k π＋π4，k ∈Z ∪⎩⎨⎧β⎪⎪⎪⎭⎬⎫β＝2k π＋5π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧ β⎪⎪⎪⎭⎬⎫β＝2k π＋π4，k ∈Z ∪⎩⎨⎧ β⎪⎪⎪⎭⎬⎫β＝(2k ＋1)π＋π4，k ∈Z ＝ ⎩⎨⎧ β⎪⎪⎪⎭⎬⎫β＝n π＋π4，n ∈Z . 令－2π≤n π＋π4<4π，得n ＝－2，－1,0,1,2,3.∴S 中适合不等式－2π≤β<4π的元素β是－2π＋π4＝－7π4，－π＋π4＝－3π4，0×π＋π4＝π4，π＋π4＝5π4，2π＋π4＝9π4，3π＋π4＝13π4.6．已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． 解：设扇形所对圆心角弧度数为θ(0＜θ＜2π)． 弧长为l ，半径为r .依题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10， ①12lr ＝4， ②①代入②得r 2－5r ＋4＝0得r 1＝1，r 2＝4.当r＝1 cm时，l＝8 cm，此时θ＝8 rad＞2π rad，舍去．当r＝4 cm时，l＝2 cm，此时θ＝12rad.故扇形圆心角的弧度数为12rad.。