递推数列特征方程的来源与应用

递推数列的特征方程法探究--兼谈数列求通项公式蔡军军【期刊名称】《中小学教学研究》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】4页(P19-21,26)【作者】蔡军军【作者单位】苏州市高新区第一中学，江苏苏州 215011【正文语种】中文数列问题在高考中有着非常重要的地位，其中数列求通项公式，通常作为各省市的高考压轴题出现。

而递推数列的通项公式求解，往往令师生最为头疼。

那么，什么是递推数列，包含哪些类型.一般而言，数列求通项公式，都有哪些方法策略？下面，我对这几方面做些研究、探索不足之处，敬请同行批评指正。

一、递推数列的分类递推数列，顾名思义是指可以通过递推找出其规律的数列。

用通俗的一句话来解释“递推”就是：知道他的过去，就知道他的现在.知道他的过去和现在，就知道他的将来。

根据递推式不同，一般可将递推数列分为以下4类：递推数列名称递推式满足条件一阶线性递推数列 an+1=pan+q（p≠0 且p≠1，p，q 是常数）二阶线性递推数列an+2=pan+1+qan（p≠1，p，q是常数）一次分式递推数列an+1=pan+q ran+h（p，q，r，h∈R，且ph≠qr，r≠0，a1≠-h r）二元一阶线性递推数列 an+1=pan+qbn bn+1=ran+hbn｛二、递推数列的特征方程法引理（一）一阶线性递推数列引理1.已知数列{an}满足a1=b，an+1=pan+q（p≠0 且p≠1，p，q 是常数），称方程 x=px+q 为数列{an}的特征方程，设特征方程的根为x0，则①当x0=a1时，数列{an}为常数列；②当x0≠a1时，数列{an-x0}是以 p（p≠0）为公比的等比数列.简证：设特征方程x=px+q，得根为x0=，数列{an-x0}是以p为公比的等比数列，证毕。

（二）二阶线性递推数列引理2.已知数列{an}满足an+2=pan+1+qan（p≠1，p，q是常数），a1=a，a2=b，称方程 x2=px+q 为数列{an}的特征方程，设特征方程的根为x1，x2。

数列与递推数列的推导与应用数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

而递推数列则是通过递归地使用已知项来求解后续项的数列。

数列的推导和应用在数学中具有重要的地位，它们广泛应用于数学、科学、经济、计算机科学等领域。

本文将探讨数列与递推数列的推导和应用，并分析其在实际问题中的应用。

一、数列的推导数列的推导是指基于已知条件，通过分析和计算，找出数列中数项之间的规律，并将其表示出来。

通常利用已知的前几项来猜想数列的规律，然后根据猜想进行验证。

接下来，我们通过一个例子来说明数列的推导过程。

例子：考虑数列1, 3, 5, 7, 9, ...观察前几项，我们可以猜想这是一个等差数列，并且公差为2。

为了验证我们的猜想，我们可以计算任意两项之间的差值，如果差值始终相等，则可以确认数列是一个等差数列。

验证：3-1=2，5-3=2，7-5=2，9-7=2，...通过计算我们可以看到，数列的任意两项之间的差值都是2，符合等差数列的规律。

因此，我们可以得出结论，数列1, 3, 5, 7, 9, ... 是一个等差数列，公差为2。

二、递推数列的推导递推数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前面的一项或多项经过递推关系计算得到的。

递推数列的推导过程涉及到递归和递推的概念，通过递推关系可以计算出后续项的值。

下面我们通过一个例子来说明递推数列的推导过程。

例子：考虑递推数列1, 1, 2, 3, 5, ...观察前几项，我们可以猜想这是一个斐波那契数列，每一项都是前两项之和。

为了验证我们的猜想，我们可以计算后面的项，看是否符合前两项之和的规律。

验证：1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，...通过计算我们可以看到，每一项都是前两项之和，与斐波那契数列的定义一致。

因此，我们可以得出结论，递推数列1, 1, 2, 3, 5, ... 是一个斐波那契数列。

三、数列的应用数列在现实生活和各个学科领域中有着广泛的应用。

下面我们介绍一些数列在实际问题中的应用。

递推数列的性质与应用递推数列是数学中一个重要的概念，通过定义第一项及后续项与前一项之间的关系，可以构建出一个数列。

递推数列在数学中有着广泛的应用，在数论、代数、几何等领域都有相应的研究。

本文将探讨递推数列的性质以及其在实际问题中的应用。

一、递推数列的定义及性质递推数列可以通过给出起始项及前一项与后一项之间的关系来表述。

一般来说，递推数列的通项公式较为简单，容易计算。

常见的递推数列有等差数列和等比数列。

1. 等差数列等差数列是一种递推数列，其相邻两项之间的差是常数，常用字母d表示。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1是起始项，n是项数。

例如，考虑一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14, ...，其中起始项a1= 2，公差d = 3。

根据通项公式，第n项可以表示为an = 2 + (n-1)3。

2. 等比数列等比数列是一种递推数列，其相邻两项之间的比是常数，常用字母q表示。

等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1是起始项，n 是项数。

例如，考虑一个等比数列：3, 6, 12, 24, 48, ...，其中起始项a1 = 3，公比q = 2。

根据通项公式，第n项可以表示为an = 3 * 2^(n-1)。

递推数列的性质包括有界性、单调性、交错性等等。

通过对递推数列的性质进行分析，我们可以更好地理解数列的特点以及它们在实际问题中的应用。

二、递推数列的应用递推数列在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些例子来说明递推数列的应用。

1. 财务领域递推数列在财务领域中具有重要的应用。

例如，考虑一个等差数列描述的投资回报情况，其中第一项表示投资金额，公差表示每年的增长或减少额度。

通过计算第n项的数值，可以预测未来的投资回报情况，帮助投资者做出合理的决策。

2. 自然科学递推数列在自然科学中也有着广泛应用。

例如，斐波那契数列是一个递推数列，定义为前两项的和等于后一项，即fn = fn-1 + fn-2，其中f1 = 1，f2 = 1。

浅谈特征根法在求递推数列通项中的运用以往浙江每年高考理科数学都会考数列，而且往往以压轴题出现，难度都比较大， 09年浙江高考理科没有考数列大题，文科考了等差数列，题目相对简单，但在全国其它省市中（如安徽、山东、广东、宁夏、海南、天津、江西等）经常考数列大题，题目有难有易，比如广东和江西的较难。

而各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

如： （08年广东高考）设p 、q 为实数，α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，数列{x n }满足x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……) 1）……………2）求数列{x n }的通项公式。

3）若1=p ，41=q ，求数列{x n }的前n 项的和s n (09年江西高考)各项均为正数的数列{}n a 中都有的正整数且对满足q p n m q p n m b b a a ,,,,,11+=+==，=+++)1)(1(m n mn a a a a )1)(1(q p q p a a a a +++， 1）当时，求通项54,21==b a n a 。

像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字——遗憾。

本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一——特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。

类型一 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为非零常数）。

先把原递推公式转化为)(112112n n n n a x a x a x a -=-+++，其中21,x x 满足⎩⎨⎧-==+qx x px x 2121，显然21,x x 是方程02=--q px x 的两个非零根。

数列特征根法原理数列特征根法是一种常见的数列求解方法，通过寻找数列的特征根，可以得到数列的通项公式，从而方便进行数列的求和、递推关系等操作。

本文将介绍数列特征根法的原理及其应用。

数列特征根法的原理主要基于数列的递推关系。

对于一个线性递推数列，其通项公式可以表示为：\[a_n = c_1r_1^n + c_2r_2^n + \cdots + c_kr_k^n\]其中，\(c_1, c_2, \cdots, c_k\)为常数，\(r_1, r_2, \cdots, r_k\)为数列的特征根。

特征根法的核心就是求解特征根\(r_1, r_2, \cdots, r_k\)，进而得到数列的通项公式。

对于线性递推数列，其递推关系可以表示为：\[a_n = p_1a_{n-1} + p_2a_{n-2} + \cdots + p_ka_{n-k}\]其中，\(p_1, p_2, \cdots, p_k\)为常数。

为了求解特征根，可以将递推关系转化为特征方程：\[r^k p_1r^{k-1} p_2r^{k-2} \cdots p_{k-1}r p_k = 0\]解特征方程得到的根就是数列的特征根。

接下来，我们以一个具体的例子来说明数列特征根法的应用。

假设有一个线性递推数列，其递推关系为：\[a_n = 3a_{n-1} 2a_{n-2}\]我们可以将其转化为特征方程：\[r^2 3r + 2 = 0\]解特征方程得到特征根为\(r_1 = 2, r_2 = 1\)，因此数列的通项公式为：\[a_n = c_1 \cdot 2^n + c_2 \cdot 1^n\]通过给定的初始条件，我们可以求解出常数\(c_1, c_2\)，进而得到数列的具体形式。

除了求解数列的通项公式，数列特征根法还可以应用于求解数列的前n项和。

通过数列的通项公式，我们可以方便地计算出前n项和的表达式，从而简化求和运算。

此外，数列特征根法还可以应用于解决递推关系的问题。

递推数列特征方程的来源探究及应用
递推数列（recurrence sequence）是一类是由一个数列反复递推式生成的数列，它由当前项序列和初始值共同决定，可以用下面的递推式来描述：un = f(un-1, un-2, un-3, … , u1)，其中u1, u2, u3, … 是当前项序列，及该数列的上一项，上两项，上三项等。

因此可以总结出来，递推数列的特征方程可以写成：un = f(un-1, un-2, un-3, … , u1) ，其中f为函数，un是当前项，而u1、u2、u3、…等则是这一数列的初始值。

递推数列的来源主要有以下几个方面：一是根据物理过程而提出的递推关系式；二是对自然现象和社会现象的数学建模而得出的递推关系式；三是从线性代数及空间角度出发而推出的递推关系式；四是从数论和计算机科学等学科出发而推出的应用领域。

递推数列特征方程在数学上有着重要的应用。

首先，它可以用来分析和解决与数列相关的问题；其次，它可以用来分析和解决数学模型问题；第三，它可以用来分析和解决统计分析问题；第四，它可以用来分析和解决机器学习问题；最后，它可以被用来分析和解决图像处理问题。

总之，递推数列特征方程是一种描述数字特征的强大方法，它可以用来分析和解决许多数学上的问题，它可以帮助我们更清楚地认识数字，从而更深入地了解数字的性质及其本质。

考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列的项满足其中求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位.当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须现在考虑一个分式递推问题（*）.例3已知数列满足性质：对于且求的通项公式.将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.定理2如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换则①∵是特征方程的根，∴将该式代入①式得②将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是③当，即=时，由②式得故当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化：④由是方程的两个相同的根可以求得∴将此式代入④式得令则故数列是以为公差的等差数列.∴其中当时，当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得⑤由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故故所以由⑤式可得：⑥∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.∴将上两式代入⑥式得当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有当即时，上式也成立.由且可知所以(证毕)注：当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.现在求解前述例3的分类递推问题.解：依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有∴∴即例4已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.（1）∵对于都有（2）∵∴令，得.故数列从第5项开始都不存在，当≤4，时，.（3）∵∴∴令则∴对于∴（4）显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.数列特征方程式.一个数列:设有r，s使∴得消去s就导出特征方程式∴。

数列三项递推求通项特征方程数列是我们日常生活中非常常见的数学模型，它们可以描述一种事物或现象的变化规律。

在数列中，常常需要计算出第 n 项，而有些数列可以通过递推关系式来求解第 n 项。

其中，三项递推是一种常见的递推方式。

在这篇文章中，我们将介绍如何利用三项递推求解数列的通项公式，以及如何使用特征方程来解决数列的求解问题。

一、数列三项递推求通项公式对于数列 {a1，a2，a3，…，an}，如果它们之间存在递推关系式：an = f(an-1，an-2，an-3)，n ≥ 4那么我们可以通过这个递推关系式来求解数列的通项公式。

具体来说，我们可以通过迭代使用递推关系式，通过已知的前三项（a1、a2、a3），逐个求出数列的每一项。

当我们求得第 n 项时，我们就可以得到数列的通项公式。

例如，我们考虑这样一个数列：{1，1，2，3，5，8，13，…}我们发现这个数列的特点是，每一项都是前两项之和。

我们可以用以下递推关系式来描述这个数列：an = an-1 + an-2，n ≥ 3利用这个递推关系式，我们可以求出数列中的每一项，如下所示：a1 = 1a2 = 1a3 = a2 + a1 = 2a4 = a3 + a2 = 3a5 = a4 + a3 = 5a6 = a5 + a4 = 8a7 = a6 + a5 = 13…我们发现，这个数列的通项公式可以写成：an = fib(n)，n ≥ 1其中，fib(n) 表示斐波那契数列的第 n 项。

这个数列是一个非常著名的数列，每一项都是前两项之和，它的前几项是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…二、特征方程的应用除了使用递推关系式来求解数列的通项公式之外，我们还可以使用特征方程的方法来解决这个问题。

特征方程是什么呢？它可以帮助我们求出数列的通项公式。

对于一个递推关系式：an = c1an-1 + c2an-2 + … + cm an-m，n ≥ m我们可以构造一个特征方程：x^m - c1x^(m-1) - c2x^(m-2) - … - cm = 0其中，x 是未知数。