向量法证明不等式(精选多篇)

向量法证明不等式向量法证明不等式第一篇：向量法证明不等式向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=。

因此，原不等式等价于证明a?b?a?b，其中a?b，向量 a和b不可能同向，不取等号。

二利用a?b?ab证明不等式2222例2 、已知实数mnx满足m?n?a,x??b（a?b），求mx?n得最大值?解析：构造向量a?0，求证：4a0矛盾，故a=0时，4a0，∴存在m，当-1第五篇：不等式的证明．3．在横线上填写恰当的符号2x2若x∈r，且x≠1，那么，1?x．若0＜a＜1，那么－a)． 1413若a＞0，a≠1，那么loga_____loga．当x≥1时，那么x5＋x4＋x32＋x＋1．4．设p＝a2b2＋5，q＝2ab－a2－4a，若p＞q，则实数a，b满足的条件为________．5．设a＞0，b＞0，则下面两式的大小关系为2lg_____lg＋lg．提升你的能力！基础巩固题1．设0＜a＜2，下列不等式成立的是1111?1?a2?1?a2?1?a21?a2?1?ab．1?a1?a a．1?a．1?a2?11111?a2?1?a21?a21?a1?a1?ad．1?a2．若a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是11?a．ab11?b．a?ba．｜a｜＞｜b｜d．a2＞b23．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则下列不等式中恒成立的是XX?mXX?m1?a．bb?mb．bb?mXX?ma?ma11b?mb ．bb?md．4．设a、b∈r，用不等号连接下列两个式子，a2＋b2＋ab＋1_____a＋b．5．已知a＞b＞，求证：a2b＋b2＋2a＞ab2＋b2＋a2综合应用题11?1．a，b∈r，那么ab成立的一个充分非必要条件是a．a＞bb．ab＜0．0＜a＜bd．a＜b2．设0＜a＜b＜1，则a＋b，2ab，a2＋b2，2ab中最大的值是ab a．a2＋b2b．a＋b．2abd．23．已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是a．a＞b＞2＞abb．a＞2＞ab＞ba?ba?b．a＞2＞b＞abd．a＞ab＞2＞b4．若x为正数，且x3－x＝2，则x与5的大小关系为_____．a2b25．设a b ，求证：a?b+b? a+2b+.6．已知a＞b＞＞0，求证:XXbb＞13探索创新题1x?11．11．设a＞0，a≠1，x＞0，比较2logax与loga2的大小，并证明你的结论．2．12．甲、乙两个粮油公司，同时在某地按同一批发价格购进粮食，他们各购粮两次，已知每次批发价格互不相同，甲公司每次购粮为1万千克，乙公司每次用1万元购粮，试比较这两种购粮方法，哪一种购粮方法购得的粮食平均批发价格较低，并证明你的结论．试试你的身手！1．2．向量法证明不等式附送：向量法证明正弦定理向量法证明正弦定理三级记向量i，使i垂直于a于，△ab三边ab,b,接着得到正弦定理其他步骤在锐角△ab中，证明asina=bsinb=sin=2r：任意三角形ab,4过三角形ab的顶点a作b边上的高，垂足为d.当d落在边b上时，向量ab与向量ad的夹角为90°-b，向量a与向量ad的夹角为90°-，由于向量ab、向量a在向量ad方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量ab*向量ad=向量a*向量ad即向量ab的绝对值*向量ad的绝对值*os=向量的a绝对值*向量ad的绝对值*os所以sinb=bsin即bsinb=sin当d落在b的延长线上时，同样可以证得第五篇：用正弦定理证明三重向量积用正弦定理证明三重向量积作者：光信1002班李立内容：通过对问题的讨论和转化，最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——?a?b。

用向量方法证明柯西不等式想象一下，你和朋友一起去旅行，你们的行李需要装进车里。

你有两个箱子，一个重，一个轻。

如果你把重的箱子和轻的箱子一起提起，重的箱子就会让你觉得累。

这个时候，你就会意识到，轻的东西能够让你更轻松。

这就像柯西不等式，简单说就是两组数之间的关系。

如果我们用向量来描述这个关系，那就是一种很直观的表现方式。

说到向量，想象一下，你在一张地图上画了一条线，从你家到咖啡店。

这条线就是一个向量，方向明确，长度也很清楚。

柯西不等式告诉我们，这种向量之间的内积总是有一种优雅的平衡感。

再比如说，想象你和你的朋友们在打篮球。

你们需要传球，每次传球的力量和角度都至关重要。

你传球的力量可以用一个向量表示，而接球的力量又是另一个向量。

柯西不等式就像是篮球场上的裁判，确保每一次传球都在合理的范围之内。

它让我们意识到，强的传球和接球要互相配合，才能让游戏变得更加有趣。

聊聊这个不等式的数学形式，虽然它看起来有点复杂，但其实可以拆分开来理解。

设想你有两个向量，一个是你平时的努力，另一个是你想要达到的目标。

这两个向量之间的关系就像你努力和成就之间的关系一样。

柯西不等式就是在告诉我们，努力与目标之间的相互作用总是会保持一种理想的平衡。

换句话说，如果你的努力和目标之间的配合得当，最终你就会实现你的梦想。

然后，再想象一下你在厨房里做饭。

你有几个不同的食材，每种食材的重量和营养成分都不一样。

柯西不等式就像是你在调整菜谱时的一个指导原则，确保每种成分都在一个合理的范围内。

你不能只放盐，没放其他调料，那样的味道肯定不行！同样的道理，向量的组合也要讲究一个平衡，才能创造出和谐美味的结果。

再说说日常生活，假设你在运动会的跑道上，你和你的队友们在赛跑。

每个人的速度和体力就像是不同的向量。

柯西不等式就像是在提醒你，团队合作的重要性。

一个人的力量再强，也不能单靠自己完成比赛。

只有大家一起努力，才能跑出最好的成绩，团结就是力量嘛！有时候你可能会觉得柯西不等式有些高深莫测，但其实生活中的许多事情都与它息息相关。

柯西不等式向量形式证明对于n维实（或复）向量空间V中的任意两个向量某和y，有：某⋅y，≤，某，，y。

其中，某⋅y表示某和y的内积，某，和，y，分别表示向量某和y的范数。

接下来，我将证明这一不等式的向量形式。

证明：1. 首先，我们知道任意向量某都可以表示为实数λ1, λ2, ..., λn与向量基v1, v2, ..., vn的线性组合。

也即某= λ1v1 + λ2v2 + ... + λnvn2.类似地，向量y可以表示为实数μ1,μ2,...,μn与同一组向量基的线性组合。

也即y = μ1v1 + μ2v2 + ... + μnvn3.利用内积的双线性性质，我们可以展开某⋅y为：某⋅y = (λ1v1 + λ2v2 + ... + λnvn)⋅(μ1v1 + μ2v2 + ... + μnvn)= λ1μ1(v1⋅v1) + λ1μ2(v1⋅v2) + ... + λnμn(vn⋅vn)= ∑∑λiμj(vi⋅vj)4. 由于内积的对称性，即vi⋅vj = vj⋅vi，上式可以简化为：某⋅y = ∑∑λiμj(vi⋅vj)= ∑∑λjμi(vj⋅vi)5. 对于任意的实数λj和μi，不等式，λjμi(vj⋅vi)，≤ ，λjμi，vi，vj，始终成立。

将其代入上式可得：某⋅y，= ∑∑，λjμi(vj⋅vi)。

≤ ∑∑，λjμi，vi，vj。

= (∑λj^2，vi，vj，)^(1/2) (∑μi^2，vi，vj，)^(1/2)6. 基于向量范数的定义，某，^2和，y，^2可分别表示为∑λj^2，vi，vj，和∑μi^2，vi，vj。

因此，上式进一步化简为：某⋅y，≤ (∑λj^2，vi，vj，)^(1/2) (∑μi^2，vi，vj，)^(1/2) =，某，，y。

综上所述，柯西不等式的向量形式得证。

向量的三角不等式证明1. 引言大家好！今天咱们要聊的这个话题可能听起来有点高深，但别担心，我会尽量让它变得简单明了。

我们要谈论的就是“向量的三角不等式”。

没错，就是数学里那个看起来很复杂的概念，但其实只要我们用简单的语言来解释，它就会变得像吃糖果一样简单。

2. 向量的基本概念在开始之前，我们先得搞清楚“向量”是什么。

你可以把向量想象成一个有方向的箭头。

举个例子，假设你在一个广阔的草地上，想象你从一个点出发，朝着另一个点走，这个过程就好比是一个向量。

它不仅告诉你要走多远，还告诉你走的方向。

2.1 向量的加法现在，假设你要从家里出发，到学校去。

你可以先走到公园，然后再从公园走到学校。

这两个过程可以合起来，形成一个从家到学校的直线路程。

这个合成的过程就像是向量的加法。

如果你把它们放在一起，这个合成向量就等于你从家到学校的直线距离。

2.2 向量的长度向量的长度（或者说“模”）就是你从出发点到终点的实际距离。

就像你从家到学校的距离，不管你是绕路还是直走，最终的距离还是你实际走过的长度。

3. 三角不等式的内容现在我们进入正题——三角不等式。

这个不等式就像是一个简单的规则，告诉我们两个向量加起来的长度永远不会超过这两个向量各自长度的和。

3.1 三角不等式的直观理解想象一下，你正在玩一场接力赛。

你和你的队友每个人都需要跑一定的距离。

现在，假设你们可以选择最短的跑法，那么你们总能跑得比直接从起点到终点更快。

换句话说，跑两段距离的总和总是大于等于从起点到终点的直线距离。

这就是三角不等式的直观感受。

3.2 三角不等式的数学证明接下来，我们用一点点数学来证明这个不等式。

假设你有两个向量 ( mathbf{a} ) 和( mathbf{b} )。

我们要证明的是：[ | mathbf{a} + mathbf{b} | leq | mathbf{a} | + | mathbf{b} | ]。

其中，( | mathbf{a} | ) 和 ( | mathbf{b} | ) 分别是向量 ( mathbf{a} ) 和 ( mathbf{b} )的长度。

向量解决不等式
向量在解决不等式问题时，主要用途是作为连接不同问题之间的桥梁，或者作为创造新的解题方法的工具。

以下是一个使用向量来解决不等式问题的简单例子。

例题：设a, b, c, d是实数，且a²+ b²= c²+ d²。

我们需要证明：ac + bd ≥√(a²+ b²) * √(c²+ d²)。

证明：为了证明这个不等式，我们可以构造两个向量并用向量的点积来进行证明。

设向量A = (a, b)，向量B = (c, d)。

根据向量点积的定义，向量A与向量B的点积为a*c + b*d。

由于$a^2 + b^2 = c^2 + d^2$，根据向量的模长公式，我们可以得到向量A 的模为√(a²+ b²)，向量B的模为√(c²+ d²)。

根据向量点积的性质，当两个向量的模长确定时，它们的点积取得最大值当且仅当这两个向量是共线的，并且它们的方向相同。

因此，向量A与向量B的点积不大于√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d^2)。

整理上述不等式，我们可以得到ac + bd ≥√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d²)。

因此，我们证明了给定的不等式。

教学内容：第一部分：自我介绍及课堂纪律要求第二部分：课程介绍1、教材及参考书、参考视频说明2、课程教学说明3、本课程学习导入第一节饭店产品及其构成、性质一、饭店产品内涵饭店产品是有形设施设备和无形服务的结合。

（一）饭店产品的品质、品味与品牌品质是通过控制管理而形成稳定的产品质量，是饭店产品的基础。

品位是对产品赋予文化内涵而形成特色和成熟的风格，是对标准化产品的超越。

品牌则是在品质、品位的基础上形成的市场的认可度、美誉度和消费者的忠诚度。

星级是不是品牌？（二）饭店产品的层次1.饭店产品的核心饭店产品的核心是饭店产品最基本的效用和功能，即饭店顾客餐饮等最基本需要的实现。

2.饭店产品核心的表现形式服务是饭店核心产品的表现形式，也是促进饭店市场营销交换的实现、创造饭店利润价值空间以及确立饭店产品差异性的关键组成部分之一。

3.饭店产品的附加价值饭店产品的附加价值，既包括顾客通过购买饭店产品而获得的较高享受和满足的精神文化氛围，也包括为了满足个别宾客的需要而提供的特殊和临时性的服务。

饭店产品服务构成分析核心服务第二节饭店产品的功能结构及其演变一、饭店产品功能结构分析1 主体功能2 选择功能额外创收和辅助性作用吸引力和影响力重要形象和卖点3支持功能不可或缺起保障作用的功能智能化加以解决二、饭店产品功能结构划分方式1 实用功能、外观功能与象征功能2 标识功能惯例功能3 平行功能和上下位功能三功能结构演变既有“公共场所”，又有“私人空间”住宿的基本功能，又有强烈的体验性什么是体验？第三节饭店产品的创新开发生命周期理论典型的四个阶段导入期成长期成熟期衰退期必须运用创新观念一、饭店产品创新明确两个概念饭店产品创新：在功能、结构、技术、规格、实物、符号、服务等方面与老产品有显著差异。

饭店新产品有差别或完全不同什么是“新”？顾客界面创新二、饭店产品开发过程六大过程1 分析可行性2构思开发新产品的方案3挑选最佳方案4组织开发新产品5试销新产品6正式推出新产品三、饭店产品开发的保障条件1 观念创新2知识创新3技术创新4管理创新5组织机构和结构创新6制度创新7环境创新四、饭店创新的特征1 新颖性2变革性3协同性4延续性5价值型6风险性五饭店产品创新的着力点1 物质环境时代设计思想、材料与施工技术进步2服务氛围人文价值和境界观念与思想的集中体现3消费氛围物质环境和服务氛围的历史积淀七天连锁酒店7天连锁酒店在2010年11月20日在纽约证交所成功上市。

向量法证明不等式(精选多篇)第一篇：向量法证明不等式向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈r，i=1，…，n)规定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可记为(a，b)，表示两向量的内积)，有由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.一、利用向量模的和与和向量的模的不等式(即例1设a，b，c∈r+，求证：(a+b+c)≤++≤.证明：先证左边，设m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，则由综上，原不等式成立.点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.作单位向量j⊥acj(ac+cb)=jabjac+jcb=jabjcb=jab|cb|cos(π/2-∠c)=|ab|cos(π/2-∠a)即|cb|sinc=|ab|sinaa/sina=c/sinc其余边同理在三角形abc平面上做一单位向量i,i⊥bc,因为ba+ac+cb=0恒成立，两边乘以i 得i*ba+i*ac=0①根据向量内积定义，i*ba=c*cos(i,ab)=c*sinb,同理i*ac=bcos(i,ac)=b(-sinc)=-bsinc代入①得csinb-bsinc=0所以b/sinb=c/sinc类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sina=b/sinb,所以a/sina=b/sinb=c/sinc步骤1记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。