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2025北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理领航备考路径新课标核心考点2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.古典概型、排列组合第3题第6题 第5题第5题第13题第3题2.二项式定理 第13题3.正态分布、相互独立 第8题第6题 第13题 第12题4.概率分布列、期望、方差第18题第21题 第19题第21题优化备考策略考情分析:1.概率与统计在高考命题中常整体统筹,本章在高考中至少命制一道小题,而解答题则要么倾向于考查概率和分布列,要么侧重成对数据的统计分析,有时也把二者融合命题.2.从考查内容上看,选择、填空题中主要考查排列组合、古典概型、条件概率、正态分布等,解答题常以现实生产、生活、科技等真实情境为背景,考查离散型随机变量分布列、期望、方差等,多与独立事件、超几何分布、二项分布等交汇,难度中高等.复习策略:1.重视条件概率与全概率公式等新增知识,在理解的基础上能熟练运用相关公式计算.2.本部分题目多以实际问题为背景,一般阅读量较大,需要重视阅读理解训练,抓住材料本质,提炼关键内容,通过数学建模达到处理题目信息的目的.3.提升运算正确率,理清几种特殊分布,尤其是二项分布和超几何分布,平时多注意数学运算的训练,力求会的题目做对.课标解读1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确区分“类”和“步”.2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.1 强基础 固本增分知识梳理两个基本计数原理 名称分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m 种不同的方法,在第2类方案中有n 种不同的方法完成一件事需要两个步骤,做第1步有m 种不同的方法,做第2步有n 种不同的方法结论完成这件事共有N = 种不同的方法完成这件事共有N = 种不同的方法 依据能否独立完成整件事能否逐步完成整件事 类类独立,不重不漏 步步相依,步骤完整m+n m ×n名称分类加法计数原理分步乘法计数原理推广完成一件事,可以有n类不同办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法, ……,做第n步有m n种不同的方法,那么,完成这件事共有N=m1·m2·…·m n种不同的方法微点拨1.分类加法计数原理中,完成一件事的各种方法是相互独立的.从集合角度看,如果完成一件事有A,B两类方案,集合A与B的交集为空集,在A中有m1个元素(m1种方法),在B中有m2个元素(m2种方法),则完成这件事的不同方法的种数即为集合A∪B中元素的个数,即m1+m2.2.分步乘法计数原理中,必须且只需连续完成n个步骤后才能完成这件事,各个步骤之间不重复、不遗漏.自主诊断× √ √ × 题组一基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”).(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( )(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的每种方法都能直接完成这件事.( )(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )(4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )2.如图,从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路;从甲地到丙地有2条路,从丙地到丁地有4条路.则从甲地到丁地不同的路线有( )A.11条B.12条C.13条D.14条D解析从甲到丁分为两类,第一类,从甲过乙到丁分两步,从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路,由分步乘法计数原理得,从甲到丁有6条路线;第二类,从甲过丙到丁分两步,从甲地到丙地有2条路,从丙地到丁地有4条路,由分步乘法计数原理得,从甲到丁有8条路线.再由分类加法计数原理得,从甲到丁共有6+8=14(条)路线.3.已知n是一个小于10的正整数,且由集合A={x|x∈N*,x≤n}中的元素可以排成数字不重复的两位数共20个,求n的值.解第一步:排十位上的数,有n种方法.第二步:排个位上的数,有(n-1)种方法.由n(n-1)=20,解得n=5或n=-4(舍去),故n的值是5.题组二连线高考4.(2023·全国乙,理7)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这C两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )A.30种B.60种C.120种D.240种5.(2015·四川,理6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )BA.144个B.120个C.96个D.72个解析根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4,5其中1个,末位数字为0,2,4中其中1个,分两种情况讨论:①首位数字为5时,末位数字有3种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有 =24种情况,此时比40 000大的偶数有3×24=72(个);②首位数字为4时,末位数字有2种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有 =24种情况,此时比40 000大的偶数有2×24=48(个).综上,比40 000大的偶数共有72+48=120(个).2 研考点 精准突破考点一 分类加法计数原理例1(1)甲、乙、丙三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有( )A.4种B.6种C.10种D.16种B 解析 分两类:甲第一次踢给乙时,有3种满足条件的传递方式(如图);同理,甲第一次踢给丙时,满足条件的也有3种传递方式,由分类加法计数原理,可知不同传递方式的种数为3+3=6.故选B .(2)椭圆 1(m>0,n>0)的焦点在x轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为 .10 解析因为椭圆的焦点在x轴上,所以m>n,以m的值为标准分类,分为四类.第一类:m=5时,n有4种选择;第二类:m=4时,n有3种选择;第三类:m=3时,n有2种选择;第四类:m=2时,n有1种选择.由分类加法计数原理,符合条件的椭圆共有4+3+2+1=10(个).[对点训练1](2024·江苏宿迁模拟)如图,一条电路从A处到B处接通时,可以有 种不同的线路(每条线路仅含一条通路).9解析依题意按上、中、下三条线路可分为三类:上线路中有2种;中线路中只有1种;下线路中有2×3=6(种).根据分类加法计数原理,共有2+1+6=9(种).考点二 分步乘法计数原理例2(1)(2024·辽宁大连模拟)某天的值日工作由4名同学负责,且其中1人负责清理讲台,另1人负责扫地,其余2人负责拖地,则不同的分工方法共有12 种.解析根据题意,分3步分析:③剩下的2人负责拖地,有1种情况,则有4×3×1=(12)种不同的分工方法.(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项恰好报一人,且每人至多参加120 一项,则共有 种不同的报名方法.解析每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目有4种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有6×5×4=120(种).变式探究1(换条件)本例(2)中若将条件“每项恰好报一人,且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项,每项人数不限”,则有多少种不同的报名方法?解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同的报名方法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有36=729(种).变式探究2(换条件)本例(2)中若将条件“每项恰好报一人,且每人至多参加一项”改为“每项恰好报一人,但每人参加的项目不限”,则有多少种不同的报名方法?解每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参加,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有63=216(种).[对点训练2](多选题)现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个BD 工厂,则下列说法正确的是( )A.所有可能的方法有34种B.若甲工厂必须有同学去,则不同的安排方法有37种C.若同学A必须去甲工厂,则不同的安排方法有12种D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种解析A.三位同学依次选择都有4种方法,根据分步乘法计数原理所有可能的方法有4×4×4=64(种),A错误;B.因为所有可能的方法有64种,甲工厂没有同学去有3×3×3=27(种),故甲工厂必须有同学去有64-27=37(种),B正确;C.同学A必须去甲工厂,另外两名同学到工厂各有4种方法,故有4×4=16(种),C错误;D.三名同学所选工厂各不相同,不同的安排方法有 =24(种),D正确.故选BD.考点三 两个计数原理的综合应用(多考向探究预测)考向1与数字有关的问题例3用0,1,2,3,4,5这六个数字.(1)可以组成多少个数字不重复的三位数;(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数;(3)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数.解(1)若组成的数字为数字不重复的三位数,则首位数字不为零,个位和十位的数字无限制,所以组成数字不重复的三位数个数为5×5×4=100(个).(2)若组成的数字为数字允许重复的三位数,则首位数字不为零,个位和十位的数字无限制,所以组成数字允许重复的三位数的个数为5×62=180(个).(3)若组成的数字为数字不重复的小于1 000的自然数,分以下三种情况讨论:①数字为个位数,共6个;②数字为两位数,则首位不能为零,个位无限制,共5×5=25(个);③数字为三位数,由(1)知,共有100个.综上所述,数字不重复的小于1 000的自然数个数为6+25+100=131(个).[对点训练3](2024·河南新乡模拟)用0,2,3,4,5五个数组成无重复数字的四位数,则四位数共有 个,其中偶数共有 个.9660 解析由题可知,满足条件的四位数共有4×4×3×2=96(个);其中偶数分为个位数是0和个位数不是0,若这个偶数的个位数是0,则有考向2涂色(种植)问题例4(2024·河北唐山模拟)如图,某城区的一个街心花园共有五个区域,中心区域⑤是代表城市特点的标志性塑像,要求在周围①②③④四个区域内种植鲜花,现有四个品种的鲜花供选择,要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同,则不同的种植方法共有( ) A.48种 B.60种C.84种D.108种C 解析由题意可知:四个区域最少种植两种鲜花,最多种植四种,所以分以下三种情况讨论:综上,不同的种植方法的种数为12+48+24=84(种).[对点训练4](2024·江苏常州模拟)中国是世界上最早发明雨伞的国家,伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞,其伞面被伞骨分成8个区域,每个区域分别印有数字1,2,3,…,8,现准备给该伞面的每个区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,相邻两个区域所涂颜色不能相同,对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择,则不同的涂色方案有( ) A.1 050种 B.1 260种C.1 302种 D.1 512种C 解析由题意可得,只需确定区域1,2,3,4的颜色,即可确定整个伞面的涂色.先涂区域1,有7种选择;再涂区域2,有6种选择;当区域3与区域1涂的颜色不同时,区域3有5种选择,剩下的区域4有5种选择.当区域3与区域1涂的颜色相同时,剩下的区域4有6种选择.故不同的涂色方案有7×6×(5×5+6)=1 302(种).本 课 结 束。
第一节算法与程序框图[考纲传真] 1.了解算法的含义，了解算法的思想.2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：依次、条件、循环.3.了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．1．常用程序框及其功能2．三种基本逻辑结构(1)依次结构：依据步骤依次执行的一个算法，称为具有“依次结构”的算法，或者称为算法的依次结构．其结构形式为(2)选择结构：须要进行推断，推断的结果确定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构．其结构形式为(3)循环结构：指从某处起先，依据肯定条件反复执行某些步骤的状况．反复执行的处理步骤称为循环体．其基本模式为3．基本算法语句任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它分别是：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句．4．赋值语句(1)一般形式：变量＝表达式．(2)作用：将表达式所代表的值赋给变量．5．条件语句(1)I f－T h en－Else语句的一般格式为：I f条件T h en语句1Else语句2End I f(2)I f－T h en语句的一般格式是：I f条件T h en语句End I f6．循环语句(1)F or语句的一般格式：F or循环变量＝初始值To终值循环体Ne xt(2)Do Loop语句的一般格式：Do循环体Loop W h ile 条件为真[基础自测]1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个程序框肯定包含依次结构，但不肯定包含条件结构和循环结构．( ) (2)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．( ) (3)输入框只能紧接起先框，输出框只能紧接结束框．( ) (4)在赋值语句中，x ＝x ＋1是错误的．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．如图所示的程序框图的运行结果为( )A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5 B [因为a ＝2，b ＝4，所以输出S ＝24＋42＝2.5.故选B ．]3．依据下列算法语句，推断当输入x 的值为60时，输出y 的值应为( )A ．25B ．30C ．31D ．61 C [该语句表示分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6×x －50，x ＞50，则当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝31，所以输出y 的值为31.故选C.]4．执行如图所示的程序框图，假如输入的a ＝－1，b ＝－2，那么输出的a 的值为( )A．16 B．8 C．4 D．2B[初始值：a＝－1，b＝－2.第一次循环：a＝(－1)×(－2)＝2，b＝－2；其次次循环：a＝2×(－2)＝－4，b＝－2；第三次循环：a＝(－4)×(－2)＝8＞6，此时循环结束，输出a ＝8.故选B．]5．如图为计算y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的推断框内应填________．x＜0[由条件结构可知，当x＜0时，y＝－x，当x≥0时，y＝x，故推断框内应填x＜0.]程序框图的执行问题1.阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c的值分别是21,32,75，则输出的a，b，c分别是( )A．75,21,32 B．21,32,75C．32,21,75 D．75,32,21A[当a＝21，b＝32，c＝75时，依次执行程序框图中的各个步骤：x＝21，a＝75，c＝32，b＝21，所以a，b，c的值依次为75,21,32.]2．(2024·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，假如输入的a＝－1，则输出的S＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5B [当K ＝1时，S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝2； 当K ＝2时，S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝3； 当K ＝3时，S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝4； 当K ＝4时，S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝5； 当K ＝5时，S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝6；当K ＝6时，S ＝－3＋1×6＝3，执行K ＝K ＋1后，K ＝7>6，输出S ＝3.结束循环． 故选B ．]3．执行如图所示的程序框图，若输出的y ＝12，则输入的x 的最大值为________．1 [由程序框图知，当x ≤2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＝12，x ∈Z ，得π6x ＝π6＋2k π(k ∈Z )或π6x ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，即x ＝1＋12k (k ∈Z )或x ＝5＋12k (k ∈Z )，所以x m ax ＝1；当x ＞2时，y ＝2x＞4≠12.故输入的x 的最大值为1.][规律方法] 1.解决“结果输出型”问题的思路(1)要明确程序框图的依次结构、条件结构和循环结构．留意区分当型循环和直到型循环，循环结构中要正确限制循环次数，要留意各个框的依次．(2)要识别运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)依据题目的要求完成解答并验证． 2．确定限制循环变量的思路结合初始条件和输出结果，分析限制循环的变量应满意的条件或累加、累乘的变量的表达式．程序框图的功能识别【例1】 假如执行如图的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B ．A ＋B2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数C [易知A ，B 分别为a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数．故选C.][律方规法] 对于辨析程序框图功能问题，可将程序多执行几次，即可依据结果作出推断．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )A ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 017项和B ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和C ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和C[由程序框图可得S＝1＋5＋9＋…＋4 033，故该算法的功能是求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和．故选C.]程序框图的补充与完善【例2】(2024·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满意3n－2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A．A>1 000和n＝n＋1 B．A>1 000和n＝n＋2C．A≤1 000和n＝n＋1 D．A≤1 000和n＝n＋2D[因为题目要求的是“满意3n－2n＞1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满意时，输出n，所以内填入“A≤1 000”．故选D．] [规律方法] 完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析限制循环的变量应满意的条件或累加、累乘的变量的表达式．(2024·长沙一模)1927年德国汉堡高校的学生考拉兹提出一个猜想：对于随意一个正整数，假如它是奇数，对它乘3再加1，假如它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.该猜想看上去很简洁，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开拓全新的领域”．至于如此简洁明白的一个命题为什么能够开拓一个全新的领域，这也许与其蕴含的“奇偶归一”思想有关．如图是依据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果i分别为( ) A．a是偶数 6 B．a是偶数8C．a是奇数 5 D．a是奇数7D[由已知可得，①处应填写“a是奇数”．a＝10，i＝1；a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a ＝8，i ＝4；a ＝4，i ＝5；a ＝2，i ＝6；a ＝1，i ＝7，退出循环，输出的i ＝7.故选D ．]1.(2024·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4B [由程序框图的算法功能知执行框N ＝N ＋1i计算的是连续奇数的倒数和，而执行框T＝T ＋1i ＋1计算的是连续偶数的倒数和，所以在空白执行框中应填入的吩咐是i ＝i ＋2，故选B ．]2.(2024·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [假设N ＝2，程序执行过程如下：t ＝1，M ＝100，S ＝0，1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2，2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，3>2，输出S ＝90<91.符合题意． ∴N ＝2成立．明显2是最小值． 故选D ．]3．(2024·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )A ．7B ．12C ．17D ．34C [因为输入的x ＝2，n ＝2，所以k ＝3时循环终止，输出s .依据程序框图可得循环体中a ，s ，k 的值依次为2,2,1(第一次循环)；2,6,2(其次次循环)；5,17,3(第三次循环)．所以输出的s ＝17.]4．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14B [a ＝14，b ＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b ＝18－14＝4； 其次次循环：14≠4且14>4，a ＝14－4＝10； 第三次循环：10≠4且10>4，a ＝10－4＝6； 第四次循环：6≠4且6>4，a ＝6－4＝2； 第五次循环：2≠4且2<4，b ＝4－2＝2；第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B．]。
