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2016-2017学年度下学期高三第一次模拟考试试题数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，则（ ）A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P C Q ⊆D ．R Q C P ⊆2.复数2()12miA Bi m AB R i -=+∈+、、，且0A B +=，则m 的值是（ ）A ．23-B ．23C ．23.设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），则1210,,,x x x 的均值和方差分别为（ ）A ．1a +，4B ．1a +，4a +C ．1,4D ．1，4a +4.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是3a 与7a 的等比中项，832S =，则10S 等于（ ）A ．18B ．24 C.60 D ．905.设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，若12(0,2)F F b ，是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =B ．y = C. y x = D ．y x = 6.在ABC ∆中，O 为其内部一点，且满足30OA OC OB ++=，则AOB ∆和AOC ∆的面积比是（ ）A ．3：4B ．3:2 C.1:1 D ．1:37.圆2244100x y x y +---=上的点到直线80x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ）A ．18 B．．8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π B ．3π C.103π D ．6π 9.若变量,x y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则222x x y ++的最大值是（ ）A ．4B ．9 C.16 D ．18 10.设2log 3a =，43b =，3log 4c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c a b << C.a b c << D ．c b a << 11.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（ ）A．(12+米 B ．2米C.(1米 D．(2米 12.已知椭圆的左焦点为1F ，有一小球A 从1F 处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到1F 时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ） A ．13 B．2C.35 D ．23 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.等比数列{}n a 的公比0q >，已知21a =，216n n n a a a +++=，则{}n a 的前4项和4S = ．14.如图所示，输出的x 的值为 ．15.方程18|cos()||log |2x x π+=的解的个数为 ．（用数值作答）16.已知四面体ABCD ，4AB =，6AC AD ==，60BAC BAD ∠=∠=°，90CAD ∠=°，则该四面体外接球半径为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数2()2cos cos f x x x x a =++，且当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为2.（1）求a 的值；（2）先将函数()y f x =的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图象向右平移12π个单位，得到函数()y f x =的图象，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.18. 某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求,x y 的值. 19. 如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，//FD EA ，且112FD EA ==.（1）求多面体EABCDF 的体积；（2）记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明.20. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，12,F F 是椭圆的左、右焦点，过2F 作直线l 交椭圆于A B 、两点，若1F AB ∆的周长为8.（1）求椭圆方程；（2）若直线l 的斜率不为0，且它的中垂线与y 轴交于Q 点，求Q 点的纵坐标的范围； （3）是否在x 轴上存在点(,0)M m ，使得x 轴平分AMB ∠？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21. 已知方程320(,,)x ax bx c a b c R +++=∈.（1）设4a b ==，方程有三个不同实根，求c 的取值范围； （2）求证：230a b ->是方程有三个不同实根的必要不充分条件.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线12cos :3sin x C y φφ=⎧⎨=⎩（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A B C D 、、、依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π.（1）求A B C D 、、、的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲设不等式2|1||2|0x x -<--+<的解集为M ，,a b M ∈. （1）证明：1||364a b +<； （2）比较|14|ab -与2||a b -的大小，并说明理由.2016-2017学年度下学期高三第一次模拟考试试题数学（文科）参考答案一、选择题1-5: BAACB 6-10:DCBCD 11、12：DC二、填空题13.15214.17 15.12 16.三、解答题17.解：（1）2()2cos cos f x x x x a =++cos221x x a =++， 所以()2sin(2)16f x x a π=+++，因为[0,]2x π∈，所以2[,]666x πππ7+∈. min ()112f x a =-++=，所以2a =.（2）依题意得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=， 4266x k πππ-=+或54266x k πππ-=+，所以212k x ππ=+或24k x ππ=+，所以12x π=或4x π=. 所以，所有根的和为3π. 18.解：（1）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本， 设抽样学历为本科的人数为m . ∴30505m=，解得3m =. ∴抽取了学历为研究生2人，学历为本科的3人. 分别记作12S S 、；123B B B 、、. 从中任取2人的所有基本条件共10个：11(,)S B 、12(,)S B 、13(,)S B 、21(,)S B 、22(,)S B 、23(,)S B 、12(,)S S 、12(,)B B 、23(,)B B 、13(,)B B ，其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：11(,)S B 、12(,)S B 、13(,)S B 、21(,)S B 、22(,)S B 、23(,)S B 、12(,)S S ，∴从中任取1人，至少有1人的学历为研究生的概率为710. （2）依题意得：10539N =， 解得78N =.∴35～50岁中被抽取的人数为78481020--=， ∴482010805020x y==++，解得40x =，5y =.∴40x =，5y =.19.解：（1）如图，连接ED ， ∵EA ⊥底面ABCD 且//FD EA ， ∴FD ⊥底面ABCD ，∴FD AD ⊥， ∵DC AD ⊥，FD CD D =∩， ∴AD ⊥平面FDC . ∴13E FCD FDC V AD S -∆==•112212323⨯⨯⨯⨯=， 13E ABCDABCD V EA S -==•1822233=⨯⨯⨯=， ∴多面体EABCDF 的体积2810333E FCD E ABCD V V V --=+=+=多面体.（2）如图，取线段CD 的中点Q ，连接KQ ，直线KQ 即为所求的直线.20.解：（1）依题意得48a =，12e =，解得2a =，1c =，b = 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）当k 不存在时，Q 为坐标原点，0Q y =，当k 存在时，由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，（*）设弦AB 有中点为(,)P P P x y ，则22434P k x k=+，23(1)34P p k y k x k -=-=+， 则222314:()()3434PQ k k l y x k k k +=--++， 令0x =，有2313344Q k y k kk==++[(0,1212∈-∪， 综上所述，Q的纵坐标的范围为[1212-. （3）存在4m =满足条件，假设存在m 使得x 轴平分AMB ∠，则0MA MB k k +=， 即1212000y y x m x m--+=⇒--1221(1)()(1)()0k x x m k x x m --+--=，有12122(1)()20x x m x x m -+++=，将（2）中（*）式代入有2228248680k k m m mk --++=， 解得4m =.21.解：设32()f x x ax bx c =+++.（1）当4a b ==时，方程32440x x x c +++=有三个不同实根， 等价于函数32()440f x x x x c =+++=有三个不同零点，3'()384f x x x =++，令'()0f x =得12x =-或223x =-，()f x 与'()f x 的区间(,)-∞+∞上情况如下：所以，当0c >时且32027c -<时，存在1(4,2)x ∈--，22(2,)3x ∈--，32(,0)3x ∈-， 使得123()()()0f x f x f x ===. 由()f x 的单调性知，当且仅当32(0,)27c ∈时，函数32()44f x x x x c =+++有三个不同零点.即方程32440x x x c +++=有三个不同实根.（2）当24120a b ∆=-<时，2'()320f x x ax b =++>，(,)x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增， 所以()f x 不可能有三个不同零点.当24120a b ∆=-<时，2'()32f x x ax b =++只有一个零点，记作0x ，当0(,)x x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 在区间0(,)x -∞上单调递增； 当0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在区间0(,)x +∞上单调递增. 所以()f x 不可能有三个不同零点.综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->. 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件.当4a b ==，0c =时，230a b ->，322()44(2)f x x x x x x =++=+只有两个不同零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件. 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.即230a b ->是方程320x ax bx c +++=有三个不同实根的必要而不充分条件. 22.解：（1）依题意得A B C D 、、、的极坐标为(2,)3π，5(2,)6π，4(2,)3π，11(2,)6π， 所以A B C D 、、、的直角坐标为，(，(1,-，1)-.（2）设00(,)P x y ，其中002cos 3sin x y φφ=⎧⎨=⎩.则2222||||||||t PA PB PC PD =+++=22004416x y ++， 所以23220sin [32,52]t φ=+∈，故取值范围是[32,52]. 23.解：（1）证明：记()|1||2|f x x x =--+，则3,2()21,213,1x f x x x x ≤-⎧⎪=---<<⎨⎪-≥⎩，所以解得1122x -<<，故11(,)22M =-.所以11||||||3336a b a b +≤+1111132624<⨯+⨯=. （2）由（1）得214a <，214b <.22|14|4||ab a b ---=2222(1816)4(2)ab a b a ab b -+--+224(1)(1)0a b =-->.所以|14|2||ab a b ->-.。
2016年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．若集合A={x|x+2＜0}，B={x|﹣4＜x＜3}，则集合A∩B为（）A．{x|x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣4＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜3}2．已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）A．B．C．﹣ D． i3．已知命题p：“∀a＞0，有e a≥1成立”，则￢p为（）A．∃a≤0，有e a≤1成立B．∃a≤0，有e a≥1成立C．∃a＞0，有e a＜1成立D．∃a＞0，有e a≤1成立4．设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣5．已知向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，则向量与向量的夹角θ的值为（）A．B．C． D．6．若实数x，y满足，则z=x+2y的最小值是（）A．0 B．C．5 D．17．已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A．9 B．9+C．12D．128．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A ．﹣1B ．﹣2C ．2D ．9．已知直线l ：kx+y ﹣2=0（k ∈R ）是圆C ：x 2+y 2﹣6x+2y+9=0的对称轴，过点A （0，k ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．210．已知SC 是球O 的直径，A ，B 是该球面上的两点，△ABC 是边长为的正三角形，若三棱锥S ﹣ABC 的体积为，则球O 的表面积为（ ）A ．16πB ．18πC ．20πD ．24π11．设函数f （x ）的定义域为R ，f （x ）=且对任意的x ∈R 都有f （x+1）=f （x ﹣1），若在区间[﹣1，3]上函数g （x ）=f （x ）﹣mx ﹣m 恰有四个不同零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[0，]B ．[0，）C ．（0，]D ．（0，]12．若函数f （x ）=﹣lnx 在x=x 0处取得最大值，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x 0）＜x 0B ．f （x 0）=x 0C ．f （x 0）＞x 0D ．f （x 0）=﹣x 0二、填空题:本大题共4小题。
2017-2018学年 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合R U =，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=01|x x x A ，{}1|≥=x x B ，则集合{}0|≤x x 等于（ ）A. B AB. B AC. ()B A C UD. ()B A C U 【答案】D考点：1、不等式的解法；2、集合的并集与补集运算． 2.复数311i z +=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A. i -1 B. i +1 C. i 2121+ D. i 2121- 【答案】D 【解析】试题分析：因为()()311111111122i z i i i i i +====++--+，所以1122z i =-，故选A ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数． 3.下列有关的说法正确的是（ ）A. “若12=x ，则1=x ”的否为：“若12=x ，则1≠x ”；B. “1=m ”是“直线0=-my x 和直线0=+my x 互相垂直”的充要条件；C. “R x ∈∃，使得012<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，均有012<++x x ”； D. “已知y x ,为一个三角形的两内角，若y x =，则y x sin sin =”的逆为真. 【答案】D 【解析】试题分析：A 中，的否为“若21x ≠，则1≠x ”，故A 错；B 中，若两直线垂直，则有21m =，即1m =±，所以“1=m ”是“直线0=-my x 和直线0=+my x 互相垂直”的充分不必要条件，故B 错； C 中，的否定为“R x ∈∀，均有210x x ++≥ ”， 故C 错；D 中，的逆为“已知y x ,为一个三角形的两内角，若y x sin sin =，则y x =”，是真，故D 正确，故选D ．考点：1、真假的判定；2、充分条件与必要条件．4.对于实数a 和b ，定义运算b a *，运算原理如右图所示，则式子22ln 21e *⎪⎭⎫⎝⎛-的值为（ ）A. 8B. 10C. 12D. 23【答案】C考点：1、程序框图；2、新定义；3、指数函数和对数函数的性质．5.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若()622+-=b a c ，3π=C ，则ABC∆的面积是（ ） A.3 B.239 C.233 D.33 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得22226c a b ab =+-+，又由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，所以6ab =，所以1sin 2ABC S ab C ∆=3==，故选C ． 考点：1、余弦定理；2、三角形面积公式．6.已知双曲线122=-by x 的两条渐近线的夹角为︒60，且焦点到一条渐近线的距离大于b +122，则b =（ ） A. 3 B. 31 C.3 D.33 【答案】C考点：1、双曲线的方程及几何性质；2、点到直线的距离；3、两条直线的夹角公式． 7.右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 1B. 31C. 21D.23 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图，知该几何体为四棱锥，其底面面积为111S =⨯=，高为1h =，所以棱锥的体积为1133V Sh == ，故选B ． 考点：1、空间几何体的三视图；2、四棱锥的体积．8.在区间[]1,1-内随机取两个实数x ，y ，则满足12-≥x y 的概率是（ ） A.92 B. 97 C. 61 D. 56【答案】D 【解析】试题分析：由题意，知1111x y -≤≤-≤≤⎧⎨⎩的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足12-≥x y 的区域即为图中阴影部分，面积为()12331111102112()|33x dx x x --⨯+-=+-=⎰，所以所求概率为105346P ==，故选D ．考点：1、几何概型；2、定积分． 9.已知函数()⎩⎨⎧<≤+=,0,ln ,0,1x x x kx x f 则下列关于函数()[]1+=x f f y 的零点的个数的判断正确的是 （ ）A ．当0>k 时，有3个零点；当0<k 时，有2个零点B ．当0>k 时，有4个零点；当0<k 时，有1个零点C ．无论k 为何值，均有2个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点 【答案】B考点：1、分段函数；2、复合函数的零点．【考点点睛】函数零点的基本问题之一是零点的个数，包括：①直接求零点的个数；②求在某区间内的零点个数；③已知零点个数,求参数的值(或取值范围)．解决该类问题常用到：函数()()()F x f x g x =-的零点、函数()y f x =的图像与函数()y g x =的图像交点的横坐标．10.如图是函数()()⎪⎭⎫⎝⎛≤+=22sin πϕϕx A x f 图像的一部分，对不同的[]b a x x ,,21∈，若()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（ ）A. ()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-12,125ππ上是减函数B. ()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛65,3ππ上是减函数 C. ()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-12,125ππ上是增函数 D. ()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛65,3ππ上是增函数 【答案】C考点：1、正弦函数的图象与性质；2、函数的单调性．【方法点睛】根据函数的图象确定函数sin()y A x ωϕ=+中的参数主要方法：（1）A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）ω的值主要由周期T 的值确定，而T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ值的确定主要是由图象的特殊点的坐标确定．11.一个空间四边形ABCD 的四条边及对角线AC 的长均为2，二面角B AC D --的余弦值为31，则下列论断正确的是（ ） A.空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为π3 B. 空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为π4 C. 空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球上且此球的表面积为π33 D. 不存在这样的球使得空间四边形ABCD 的四个顶点在此球面上【答案】A考点：1、球的表面积；2、二面角．【方法点睛】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．12.设函数()x f 在R 上存在导数()x f '，R x ∈∀，有()()2x x f x f =+-，在()+∞,0上()x x f <'，若()()m m f m f 484-≥--，则实数m 的取值范围为（ ）A. []2,2-B. [)+∞,2C. [)+∞,0D. (][)+∞-∞-,22, 【答案】B 【解析】试题分析：设()()212g x f x x =-，则()()g x g x -+＝()()()221122f x x f x x ---+-＝()()f x f x -+－20x =，所以函数()()212g x f x x =-为奇函数．因为在),0(+∞上x x f <')(，所以当时0x > ，()()0g x f x x ''=-< ，即函数()()212g x f x x =-在),0(+∞上为减函数，所以函数()()212g x f x x =-在R 上为减函数，所以()()()()()221144422g m g m f m m f m m --=----+ ＝()()4f m f m --－()84m -0≥ 所以()()442g m g m m m m -≥⇒-≤⇒≥，所以实数m 的取值范围为),2[+∞，故选B ．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、不等式的解法．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知312sin =α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos 2πα=_________. 【答案】32考点：1、二倍角；2、诱导公式．【方法点睛】(1)三角函数式的化简与求值，一般是先用诱导公式将“负角”化“正角”，“大角”化“小角”，再用同角三角函数基本关系式进行化简和求值；(2)和积转换：利用2sin c ()os θθ±＝12sin cos θθ±的关系进行变形、转化．14.61⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中含3x 的项的系数为__________.【答案】15 【解析】试题分析：因为二项展开式的通项为3662166((1)r rrr r rr T C xC x --+==-，令3632r -=，得2r =，所以该二项展开式中含3x 的项的系数为226(1)15C -=．考点：二项式定理．15.如右图，AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，点P 在射线OC 上，则⋅的最小值为__________.【答案】81- 【解析】考点：平面向量的数量积公式．【一题多解】因为AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，则1O A O B ==，0OA OB ⋅=．又因为OC 为斜边AB 的高，所以C 是AB 的中点，所以1122OC OA OB =+．设22OP OP OA OB λλλ==+，则(1)22AP OP OA OA OB λλ=-=-+，所以(1)2222AP OP OA OB OA OB λλλλ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝2221222OA OB λλλ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21222λλλ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211122228λλλ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭18≥-，所以AP OP 的最小值为18-．16.若对(]2,01∈∀x ，[]2,12∈∃x ，使016843ln 41212212111≥-+++-x x ax x x x x x 成立，则a的取值范围是_____________. 【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,81【解析】试题分析：因为10x >，则原不等式可化为2221113484ln 16x ax x x x +≥--+，令3()4ln 16f x x x x =--+（(]0,2x ∈），则2243(1)(3)()1x x f x x x x --'=-+=．当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当12x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得最大值，(1)14f =．令2()48g x x ax =+（[1,2]x ∈），因为对(]2,01∈∀x ，[]2,12∈∃x ，使22111124ln 34x x x x x -++＋128ax x －1160x ≥成立，所以max max ()()g x f x ≥．因为()888()g x x a x a '=+=+，①当1a ≥-时，()0g x '≥，函数()g x 单调递增，所以max ()(2)1616g x g a ==+， 则由161614a +≥解得18a ≥-，满足条件；②当21a -<<-时，()8[()]g x x a '=--，则当x a =-时，()g x 取得最小值，(2)16160g a =+≤，(1)840g a =+≤，舍去；③当2a ≤-时，经验证也不符合条件，舍去．综上可得，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,81．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、导数与函数最值的关系；3、不等式恒成立． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项和为n S ，点()n n S a ,在函数2121812++=x x y 的图像上；数列{}n b 满足()n n n n b a a b a b =-=++1111,，其中*∈N n . （I ） 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）设nn n b a c =，求证：数列{}n c 的前n 项和()*∈>N n T n 95.【答案】（Ⅰ）1412-⎪⎭⎫⎝⎛⋅=n n b ；（Ⅱ）见解析．（Ⅱ）∵()1412--==n nnn n b a c ， ∴()()12241243245431--⋅-+⋅-++⋅+⋅+=n n n n n L T ，()()()n n n n n n n L T 4124324524344122⋅-+⋅-+⋅-++⋅+=--，两式相减得：()()3543523541244421312-<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--++++=--n nn n n n L T ，∴95>n T . 考点：1、n a 与n S 的关系；2、等比数列；3、错位相减法求数列和．【方法点睛】利用11(1),n nn S n a S S -=⎧=⎨-⎩来实现n a 与n S 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意1n n n a S S -=-不能用来求解首项1a ，首项1a 一般通过11a S =来求解．运用错位相减法求数列的前n 项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列．18.（本小题满分12分）今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁. 私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力. 为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（I ）完成被调查人员的频率分布直方图；（II ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为 ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望. 【答案】（I ）见解析；（II ）分布列见解析，56=ξE ． 【解析】试题分析：（I ）根据调查表得到各组的频率，从而画出频率分布直方图；（II ）先得出ξ的所有可能取值，然后求出各个可能取值的概率，从而画出分分布列，求得数学期望．考点：1、频率分布直方图；2、随机变量ξ的分布列和数学期望．【思路点睛】求离散型随机变量的分布列的三个步骤：(1)找：找出随机变量X 的所有可能取值i x (i ＝1,2n ⋯，，)，并确定i X x ＝的意义；(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X 取每一个值的概率()i P X x ＝＝i p (1,2i n ⋯＝，，)；(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质．19.（本小题满分12分）正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，221,//,===⊥CD AD AB CD AB CD AD ，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合.（I ） 当点M 是EC 中点时，求证：ADEF BM 平面//； （II ）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）43．∴()1,2,0M 为BC 的中点，221==∆∆CDM DBM S S ，B 到面DEM 的距离2=h ， ∴3431=⋅⋅=∆-h S V DEM BDE M 考点：1、直线与平面平行的判定；2、二面角；3、三棱锥的体积．20.（本小题满分12分）如图，x DP ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且DP DM 2=，当点P 在圆122=+y x 上运动时.（I ）求点M 的轨迹C 的方程；（II ）过点()t T ,0作圆122=+y x 的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ；（Ⅱ）()3,0-或()3,0．考点：1、椭圆的方程；2、轨迹方程；3、直线与圆、椭圆的位置关系． 21.（本小题满分12分）已知函数()()R a x ax x x f ∈-++=,1ln 2. （I ）当41=a 时，求函数()x f y =的极值； （II ）是否存在实数()2,1∈b ，使得当(]b x ,1-∈时，函数()x f 的最大值为()b f ？若存在，求实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】（I ）极小值为432ln -，极大值为0；（II ）()+∞-,2ln 1． 【解析】试题分析：（I ）把41=a 代入()f x 的表达式中求导，求得其单调区间，从而确定其极值；（II ）先求导，然后分0a ≥与0a <两种情况讨论其单调性，求得实数a 的取值范围． 试题解析：（I ）当41=a 时，()()x x x x f -++=2411ln ， 则()12111-++='x x x f ，化简得()()()()1121->+-='x x x x x f ………… 2分∴函数()x f 在()0,1-，()+∞,1上单调递增，在()1,0上单调递减， ………… 4分且()()432ln 1,00-==f f . ∴函数()x f y =在1=x 处取到极小值为432ln -，在0=x 处取到极大值为0． ………… 6分考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、导数与函数极值的关系；3、导数与函数最值的关系．【技巧点睛】由函数的极值、最值逆求参数的值(或取值范围)问题，往往需要对参数进行分类讨论，如何划分参数讨论的区间成为思维的难点．由于这类问题涉及函数的单调区间，因此分类的标准是使函数在指定的区间内其导数()f x '的符号能够确定为正或为负．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲.如图，在正ABC ∆中，点E D ,分别在边AC BC ,上，且CA CE BC BD 31,31==，BE AD ,相交于点P .求证：（I ）四点E C D P ,,,共圆； （II ）CP AP ⊥.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析．考点：1、四点共圆的性质；2、正弦定理．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程.已知直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.23,211:t y t x l （t 为参数），曲线⎩⎨⎧==,sin ,cos :1θθy x C （θ为参数）.（I ）设l 与1C 相交于B A ,两点，求AB ； （II ）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍，纵坐标压缩为原来的23倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 【答案】（I ）1；（II ）()1246-．考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、三角函数的图象与性质． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲. 已知函数()a a x x f +-=2.（I ）若不等式()6≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，求实数a 的值；（II ）在（I ）的条件下，若存在实数n 使()()n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（I ）1=a ；（II ）[)+∞,4． 【解析】试题分析：（I ）由62≤+-a a x 得a a x -≤-62，根据题意即可求出结果；（II ）利用零点分段法将()n ϕ写成分段函数形式，从而得到其最小值，进而求得m 的取值范围．考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题．。
辽宁省重点高中协作校2017届高三上学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2|15,|4A x x B x x =-<<=≥，则()R C A B = （ ） A ． ()2,1-- B ．()2,5 C ．(]2,1-- D ．()[),25,-∞+∞ 2. 设i 为虚数单位，则复数174i-的共轭复数为（ ） A ．4i + B ．4i - C ．4i -+ D ．4i --3. 已知函数()121log ,11,12x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎪≤⎩，则()()4f f =（ ）A ．3-B ．18C ．3D ．84. 设向量,a b满足a = 1a b =，则2a b -= （ ） A．．12 C． D ．85. 如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP 累计同比贡献率，以下结论正确的是 （ ）A ．2015年前三个季度中国GDP 累计比较2014年同期增速有上升的趋势B ．相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP 的贡献率明显增加 C. 相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对GDP 的贡献率明显增加 D ．相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对GDP 的贡献率明显增加6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4 C.8 D．7. 抛物线24y x =上有两点,A B 到焦点的距离之和为7，则,A B 到y 轴的距离之和为 （ ）A ．8B ．7 C.6 D ．58. 若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod 4=.下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i =（ ）A ．4B ．8 C.16 D ．329. 设,x y 满足约束条件2601010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，若z ax y =+仅在点74,33⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值，则a的值可以为（ ）A ．4B ．2 C. 1 D ．2-10. 已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当1x >时，()()282xf x x f =--,则当1x <-时,()f x 的表达式为（ ）A ．()286xf x x -=--- B ．()286x f x x -=--+C.()286xf x x -=++ D ．()286x f x x -=-+-11. 飞机的航线和山頂在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15000m ，速度为1000/km h ,飞行员先看到山顶的俯角为18 ，经过108s 后又看到山顶的俯角为78 ，则山顶的海拔高度为 （ ）A ．()15cos 78km -B ．()15sin 78km -C. ()15cos 78km -D ．()15sin 78km -12. 已知函数()341f x x ax =-+存在()n n N ∈个零点对应的实数a 构成的集合记为()A n ，则（ ）A ．()(]0,3A =-∞B ．(){}12A = C.()()23,A =+∞ D ．()()33,A =+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数()1sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为 ．14. 球O 被平面α所截得的截面圆的面积为π，且球心到α，则球O 的表面积为 ． 15. 函数()21sin 2log sin cos xf x x x+=+的最大值为 ．16. 直线2y b =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左支、右支分别交于,B C 两点，A 为右顶点，O 为坐标原点，若AOC BOC ∠=∠，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在等差数列{}n a 中，公差10,7d a ≠=，且2510,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；（2）若15n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 某重点高中拟把学校打造成新型示范高中，为此制定了很多新的规章制度，新规章制度实施一段时间后，学校就新规章制度的认知程度随机抽取100名学生进行问卷调查，调查卷共有20个问题，每个问題5分，调查结束后，发现这100名学生的成绩都在[]75,100内，按成绩分成5组：第1组[)75,80，第2 组[)80,85第3组[)85,90丿，第4组[)90,95，第5组[]95,100，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙上分别在第3,4,5组，现在用分层抽样的方法在第3,4,5组共选取6人对新规取章制度作深入学习.（1）求这100人的平均得分(同—组数据用该区间的中点值作代表) ； （2）求第3,4,5组分别选取的人数；(3) 若甲、乙、丙都被选取对新规章制度作深人学习，之后要从这6人随机选取人2再全面考查他们对新规章制度的认知程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率. 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形E 为PC 的中点，且142PD AD AB ===.（1）过点A 作一条射线AG ，使得AG BD ，求证: 平面PAG 平面BDE ； （2）若点F 为线段PC 上一点，且DF ⊥平面PBC ，求四棱锥F ABCD -的体积.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且椭圆C 与圆()22:34M x y +-=的公共弦长为4.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，过椭圆C 的右顶点A 作直线l 与圆2285x y +=相切并交椭圆C 于另一点B ,求OA OB的值.21. 已知函数()ln ()x kf x k R x x=-∈的最大值为()h k . （1）若1k ≠,试比较()h k 与21k e的大小；（2）是否存在非零实数a ，使得()kh k ae>对k R ∈恒成立，若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为12sin cos ρθθρ⎛⎫=++⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的参数方程；（2）在曲线C 上任取一点(),P x y ，求34x y +的最大值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式x m x -<的解集为()1,+∞. （1）求实数m 的值； （2）若不等式51211a m a x x x x-+<+--<对()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.辽宁省重点高中协作校2017届高三上学期期末考试数学（文）试题参考答案一、选择题1-5:CBDAB 6-10: CDCAA 11-12：DD二、填空题13. 6 14.64π 15.12三、解答题17. 解：(1) 2510,,a a a 成等比数列,()()()277974d d d ∴++=+,又()27250,2,25,62n n n n d d a n S n n ++≠∴=∴=+==+ .(2)由（1）可得()()5511252722527n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，51111115 (27991125271449)n nT n n n ⎛⎫∴=-+-++-= ⎪+++⎝⎭. 18. 解：(1) 这100人的平均得分为:75808085859090959510050.010.070.060.040.0287.2522222x +++++⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭.(2) 第3组的人数为0.06510030⨯⨯=；第4组的人数为0.04510020⨯⨯=；第5组的人数为0.02510010⨯⨯=，故共有60人，用分层抽样在这三个组选取的人数分别为3,2,1. (3) 记其他3人为、丁、戊、己，则所有选取的结果为(甲、乙)、(甲、丙)、(甲、丁)、（甲、戊）、（甲、己）、（乙、丙）、(乙、丁)、(乙、戊)、(乙、己 )、(丙、丁)、(丙、戊)、(丙、己）、(丁、戊)、（丁、己 )、(戊、己)共15种情况，其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况，故所求概率为124155P ==. 19. 解：(1) 证明: 在矩形ABCD 中，连接AC 和BD 交于点O ，连接OE ，则O 是AC 的中点，由于E 是PC 的中点，所以OE 是PAC ∆的中位线，则OE PA 又OE ⊂平面,BDE PA ⊄平面BDE ，所以PA 平面BDE .又AG BD ,同理得AG 平面BDE .因为PA AG A = ，所以平面PAG 平面BDE.(2) DF ⊥ 平面,PBC DF PC ∴⊥.在Rt PDC ∆中，44,8,5FC PD CD PC DF FC PC ==∴=∴==∴==∴= .过F 作FK PD 交CD 于K ，则4164.55FK PD =⨯=⊥ 底面,ABCD FK ∴⊥底面ABCD .116512483515F ABCD V -∴=⨯⨯⨯=.20. 解：(1) 椭圆C 与圆M 的公共弦长为4，∴椭圆C 经过点()2,3±. 所以22491a b +=，又12c a =，222,a b c =+解得2216,12a b ==，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=. (2)右顶点()4,0A ，设直线l 的方程为()4y k x =-，因为直线l 与圆2285x y +=相切，2191,3k k =∴=∴=±.联立()143y x =±-与2211612x y +=消去y 得231323680x x --=，设()00,B x y ，则由韦达定理得003683684,43131x OA OB x =-∴==-. 21. 解：(1)()2221ln 1ln 'x k x kf x x x x--+=+=, 令()'0,f x >得10k x e +<<，令()'0,f x <得1k x e +>，故函数()f x 在()10,k e +上单调递增，在()1,k e ++∞上单调递减，故()()111k k h k f e e++==.当1k >时，()21211121,,;k k k k k h k e e e +>+∴<∴>当1k <时，()21211121,,k k k k k h k e e e+<+∴>∴<.(2)由（1）知()11,1k k k ke h k e ae a +=>∴<.设()()()1,'kkk e ke g k g k a a+=∴=，令()'01g k k =⇒=-.当0a >时，令()'0g k >得1k >-；令()'0g x <得()()()min 111,1,,k g k g g k ea ea ⎛⎫<-∴=-=-∴∈-+∞ ⎪⎝⎭.故当0a >时，不满足()k h k ae >对k R ∈恒成立. 当0a <时，同理可得()()max 1111g k g a ea e=-=-<⇒<-.故存在非零实数a ，且a 的取值范围为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.22. 解：(1) 由12sin cos ρθθρ⎛⎫=++⎪⎝⎭得()2222sin cos 1,222x y x y ρρθρθ=++∴+=++,即()()22114x y -+-=,故曲线C 的参数方程为12cos (12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数). (2) 由（1）可设点P 的坐标为()[)12cos ,12sin ,0,2θθθπ++∈，()()max 3436cos 48sin 710sin ,3471017x y x y θθθϕ∴+=+++=++∴+=+=.23. 解：（1）由x m x -<得22x m x -<,即22mx m >,而不等式x m x -<的解集为()1,+∞,则1是方程22mx m =的解，解得2(0m m ==舍去).（2）2,m =∴ 不等式51211a m a x x x x-+<+--<对()0,x ∈+∞恒成立等价于，不等式5122a x x a -<+--<+对()0,x ∈+∞恒成立，设()21,02123,2x x f x x x x -<<⎧=+--=⎨≥⎩，则()(]1,3.23,51,14f x a a a ∈-∴+>-≤-∴<≤.。
2017年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.若集合A={1，2}，B={1，2，4}，C={1，4，6}，则（A∩B）∪C=（）A.{1}B.{1，4，6}C.{2，4，6}D.{1，2，4，6}【答案】D【解析】解：根据题意，集合A={1，2}，B={1，2，4}，则集合A∩B={1，2}，又由C={1，4，6}，则（A∩B）∪C={1，2，4，6}；故选：D．根据题意，由交集的定义可得A∩B={1，2}，进而结合集合的并集的定义，计算可得（A∩B）∪C，即可得答案．本题考查集合的交集、并集运算，关键是掌握集合的交集、并集的定义．2.在等差数列{a n}中，a3+a6=11，a5+a8=39，则公差d为（）A.-14B.-7C.7D.14【答案】C【解析】解：∵a3+a6=11，a5+a8=39，则4d=28，解得d=7．故选：C．利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．3.在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1-30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】解：将运动员按成绩由好到差分成6组，则第1组为（130，130，133，134，135），第2组为（136，136，138，138，138），第3组为（141，141，141，142，142），第4组为（142，143，143，144，144），第5组为（145，145，145，150，151），第6组为（152，152，153，153，153），故成绩在区间[130，151]内的恰有5组，故有5人．故选：C．根据系统抽样方法的特征，将运动员按成绩由好到差分成6组，得出成绩在区间[130，151]内的组数，即可得出对应的人数．本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．4.若函数f（x）=3cos（ωx-）（1＜ω＜14）的图象关于x=对称，则ω等于（）A.2B.3C.6D.9【答案】B【解析】解：∵f（x）=3cos（ωx-）（1＜ω＜14）的图象关于x=对称，∴ω-=kπ，k∈Z，即ω=12k+3．∵1＜ω＜14，∴由此求得ω=3，故选：B．由题意可得ω-=kπ，k∈Z，由此求得ω的值．本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．5.函数的零点所在区间为（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【答案】B【解析】解：函数是单调减函数，因为f（1）=1＞0，f（2）=1-＜0，∴f（1）f（2）＜0，可知函数的零点所在区间为：（1，2）．故选：B．判断函数的单调性，利用函数的零点定理判断求解即可．本题考查函数的零点定理的应用，值域函数的单调性的判断，考查计算能力．6.在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcos A+acos B=c2，a=b=2，则△ABC 的周长为（）A.7.5B.7C.6D.5【答案】D【解析】解：∵bcos A+acos B=c2，a=b=2，∴由余弦定理可得：b×+a×=c2，整理可得：2c2=2c3，∴解得：c=1，则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5．故选：D．由已知利用余弦定理可求c的值，进而可得周长的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.设向量=（2tanα，tanβ），向量=（4，-3），且+=，则tan（α+β）等于（）A. B.- C. D.-【答案】A【解析】解：由题意可得+=（2tanα+4，tanβ-3）=，∴tanα=-2，tanβ=3，∴tan（α+β）===，故选：A．利用两个向量坐标形式的运算法则，两角和的正切公式，求得tan（α+β）的值．本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两角和的正切公式，属于基础题．8.当双曲线M：的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为（）A.y=B.y=C.y=D.y=【答案】C【解析】解：由题意可得c2=m2+2m+6=（m+1）2+5，可得当m=-1时，焦距2c取得最小值，双曲线的方程为=1，即有渐近线方程为y=±2x．故选：C．由题意可得c2=m2+2m+6=（m+1）2+5，可得m=-1取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率．本题考查双曲线的渐近线的斜率的求法，注意运用二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．9.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A.6π+12B.6π+24C.12π+12D.24π+12【答案】A【解析】解：由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，V==6π+12，故选A．由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，利用体积公式，即可得出结论．本题考查了常见几何体的三视图与体积计算，属于基础题．10.设正数x，y满足-1＜x-y＜2，则z=x-2y的取值范围为（）A.（0，2）B.（-∞，2）C.（-2，2）D.（2，+∞）【答案】B【解析】解：由＜＜＞＞，得可行域如图：令z=x-2y，由图可知，当z=x-2y过A（2，0）时，z有最大值2，∴z＜2，故选B．由约束条件作出可行域，z=x-2y，化为直线方程的斜截式，求出z的范围得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g （x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[-2π，2π]，则2x1-x2的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数的图象向左平移个单位，可得y=的图象，再向上平移1个单位，得到g（x）=+1的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[-2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，，即，，由x1，x2∈[-2π，2π]，得：x1，x2∈{-，-，，}，当x1=，x2=-时，2x1-x2取最大值，故选：A由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[-2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，，结合x1，x2∈[-2π，2π]，可得答案．本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，函数图象的变换，三角函数的图象和性质，难度中档．12.已知函数的最大值为f（a），则a等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵f （x）=-•-2x，∴f （1）=-f （1）-2，解得：f （1）=-，故f（x）=-x2，f （x）=，令f （x）＞0，解得：x＜，令f （x）＜0，解得：x＞，故f（x）在[0，）递增，在（，+∞）递减，故f（x）的最大值是f（），a=，故选：B．求出函数的导数，计算f（1）的值，从而求出函数f（x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值点即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.sin63°cos18°+cos63°cos108°= ______ ．【答案】【解析】解：sin63°cos18°+cos63°cos108°=sin63°cos18°+cos63°cos（90°+18°）=sin63°cos18°-cos63°sin18°=sin（63°-18°）=sin45°=．故答案为：．利用诱导公式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.设函数f（x）=，则f（3）+f（4）= ______ ．【答案】4【解析】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（9）=1+log69，f（4）=1+log64，∴f（3）+f（4）=2+log69+log64=2+log636=2+2=4．故答案为：4．先分别求出f（3）=f（9）=1+log69，f（4）=1+log64，由此能求出f（3）+f（4）．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为______ ．【答案】【解析】解：设该女五第一天织布x尺，则=5，解得x=，∴该女子前3天所织布的总尺数==．故答案为：．利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.在R t△AOB中，，，，AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，若，则向量在向量上的投影为______ ．【答案】或【解析】解：在R t△AOB中，，∴∠AOB=，∵，，∴AB==5，∵AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，建立如图所示的坐标系，则A（，0）、B（0，2）、设D（m，n），则△OAD∽△BAO，∴=，∴AD=1，∴=，即（m-，n）=（-，2），求得m=，n=，∴D（，）．则=λ•=λ（，）=（λ，λ），=（-λ，-λ）．∵=λ•（-λ）-，∴λ=，或λ=，则向量在向量上的投影为ED=|-|=|（，）-（λ，λ）|=|（（1-λ），）（1-λ）|．当λ=时，ED=|（，）|=；当λ=时，ED=|（，）|=，故答案为：或．由题意可得∠AOB=，建立如图所示的坐标系，利用三角形相似，求出AD的值，可得D、E的坐标，由，求得λ的值，可得向量在向量上的投影为ED=|-|的值．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.设函数为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）在区间（a+1，+∞）上的单调性，并用定义法证明．【答案】解：（1）∵为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴，∴a=0．（2）函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．证明：设1＜x1＜x2，则．∵1＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，＞，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．【解析】（1）利用为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f（-x）=-f（x），即可求实数a的值；（2）利用函数单调性的定义进行证明．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断和证明，要求熟练掌握函数单调性的定义及证明过程．18.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C为锐角且asin A=bsin B sin C，．（1）求C的大小；（2）求的值．【答案】解：（1）由已知，asin A=bsin B sin C，利用正弦定理可得：a2=b2sin C=2a2sin C，由于：sin C=，C为锐角，解得：C=．（2）由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcos C=3a2-2a×=3a2-a2，故解得：．【解析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2=b2sin C=2a2sin C，可求sin C=，结合C为锐角，可求C的值．（2）由余弦定理即可解得的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.已知等差数列{a n}的公差d＞0，且a1•a6=11，a3+a4=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．【答案】解：（1）∵a1•a6=11，a3+a4=12=a1+a6．∴a1，a6是x2-12x+11=0方程的两根，且a1＜a6，解得a1=1，a6=11．∴11-1=5d，即d=2，∴a n=2n-1．（2）=-．∴数列{}的前n项和T n=++…+=-．【解析】（1）利用等差数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．（2）利用“累加求和”方法即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P=80+4，Q=a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？【答案】解：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，∴万元．（2），依题意得，故．令，，则，当，即x=128时，f（x）max=282万元．所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．【解析】（1）由甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，把a的值代入即可得出．（2），依题意得，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了函数的应用、二次函数的单调性，考查了换元方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知曲线f（x）=x3+ax2+3x-（a＞-2）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴转成的三角形的面积为．（1）求实数a的值；（2）若a＞0，且对∀x1，x2∈[-1，1]，2＜恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）f（x）=x3+ax2+3x-的导数为f （x）=x2+2ax+3，在点（1，f（1））处的切线斜率为4+2a，切点为（1，a+），即有在点（1，f（1））处的切线方程为y-（a+）=（4+2a）（x-1），令x=0，得y=-a-；由y=0，得x=，则有三角形的面积为•=，解方程可得a=或a=-；（2）对∀x1，x2∈[-1，1]，2＜恒成立，即为（2）max＜，由f （x）=x2+x+3＞0，即f（x）在[-1，1]递增，即有f（x）的最大值为f（1）=3，最小值为f（-1）=-，可得f（x1）-f（x2）≤3-（-）=，即有（2）max==，即＜，解得m＞4．则m的取值范围是（4，+∞）．【解析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，分别令x=0，y=0，求得与x，y轴的交点，运用三角形的面积公式，解方程可得a的值；（2）对∀x1，x2∈[-1，1]，2＜恒成立，即为（2）max＜，由f（x）在[-1，1]递增，可得最值，进而得到（2）max，即可得到m的范围．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数恒成立问题的解法，注意转化为求函数的最值问题，考查单调性的运用，属于中档题．22.在直角坐标系x O y中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ-4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于M，N两点，若|MN|≥2，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）根据题意，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，曲线C1的极坐标方程ρ（ρ-4sinθ）=12，可得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2-4y=12，设点P（x ，y ），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2-4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x-3）2+（y-1）2=4；（2）直线l的普通方程为：y=ax，设圆心到直线的距离为d，由弦长公式可得，|MN|=2≥2，可得圆心（3，1）到直线的距离为d=≤，即为4a2-3a≤0，解得实数a的取值范围为：[0，]．【解析】（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解不等式即可得到取值范围．本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．23.已知函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2-m＜f（x），∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）原不等式等价于＜①，或②，或＞③．解①求得＜，解②求得，解③求得＜，因此不等式的解集为，．（2）∵f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，∴m2-m＜2，解得-1＜m＜2，即实数m的取值范围为（-1，2）．【解析】（1）原不等式等价于＜①，或②，或＞③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为2，可得m2-m＜2，由此解得实数m 的取值范围．本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。
辽宁省抚顺市数学高三第一次联合调研考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·湖南模拟) 已经集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·佛山模拟) 复数为虚数单位)的共轭复数（）A .B .C .D .3. （2分）小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A . 30%B . 10%C . 3%D . 不能确定4. （2分） (2016高一上·贵阳期末) 已知正方形ABCD的边长为1，则• =（）A . 1B .C .D . 25. （2分）设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（）A . 若b⊂α，c∥α，则b∥cB . 若c∥α，α⊥β，则c⊥βC . 若b⊂α，b∥c，则c∥αD . 若c∥α，c⊥β，则α⊥β6. （2分）已知a>0，x、y满足约束条件，若的最小值为，则a= （）A .B .C . 1D . 27. （2分）定义行列式运算：将函数的图象向左平移个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一下·蚌埠期末) 等差数列满足，，则其前5项和（）A . 9B . 15C . 25D . 509. （2分） (2016高一上·延安期中) 函数y=2﹣|x|的图象大致是（）A .B .C .D .10. （2分）已知四面体A-BCD的棱长均为2，其正视图是边长为2的等边三角形（如图，其中BC为水平线），则其侧视图的面积是（）A .B .C .D .11. （2分）若双曲线右顶点为，过其左焦点作轴的垂线交双曲线于两点，且，则该双曲线离心率的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·鸡西期末) 若函数恰有三个零点,则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）角θ其终边上一点P(x,)，且cosθ=x，则sinθ的值为________14. （1分） (2017高一下·西安期末) 一个等比数列前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为________．15. （1分） (2018高二下·黑龙江期中) 已知，若对任意的，均有恒成立，则实数的取值范围是________．16. （1分） (2017高二上·长春期中) 已知抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，且C上的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）关于直线y=x+m对称，并且，那么m=________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）已知a，b，c为△ABC三个内角所对的边．（1）若满足条件asinA=bsinB．求证：△ABC为等腰三角形．（2）若a+b=ab，边长c=2，角C= ，求△ABC的面积．18. （10分）某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了25件灯具进行测试，结果如下：（Ⅰ）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；（Ⅱ）在北方工厂使用寿命不低于600小时的样本灯具中随机抽取两个灯具，求至少有一个灯泡使用寿命不低于700小时的概率．19. （10分） (2019高三上·深圳期末) 如图，在三棱柱中，，，为的中点，点在平面内的射影在线段上.（1）求证：；（2）若是正三角形，求三棱柱的体积.20. （10分）(2016·静宁模拟) 已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）对一切的x，2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．21. （10分）(2018·六安模拟) 已知动点到点的距离比到直线的距离小1，动点的轨迹为 .（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于，两个不同点，且，证明：直线经过一个定点.22. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1:x=-2，圆C2:(x-1)2+(y+2)2=1，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C1, C2的极坐标方程.（2）若直线C3的极坐标方程为，设C2,C3的交点为M,N，求△C2MN的面积.23. （10分） (2017高一上·上海期中) 若实数x、y、m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（1）若x2﹣1比3远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab ．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。
辽宁省抚顺市高三第一次模拟考试数学试题（文）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数（是虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案.，.故选：B.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，集合，，所以．故选：D．3.在等差数列中，前项和满足，则的值是A. 5B. 7C. 9D. 3【答案】A【解析】因为，所以，即选A.4.军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：（1）甲的平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是29；（3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是18．则这4个结论中，正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】根据茎叶图知甲的平均成绩大约二十几，乙的平均成绩大约十几，因此（1）对；甲的成绩的极差是37-8=29，（2）对；乙的成绩的众数是21，（3）对；乙的成绩的中位数是．（4）错，选C.5.已知向量，，向量与的夹角为，则的值为（）A. B. C. 7 D. 13【答案】B【解析】由题意，可知，∴．∴．∴．故选：B．6.实数，满足约束条件，则的最小值是（）A. 5B. 4C.D.【答案】C【解析】由题意，作出约束条件，所表示的平面区域，如图所示，由目标函数，可得直线，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最小值，联立，解得，所以目标函数的最小值为，故选：C．7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体积为23＝4．故选：B．8.执行如图的程序框图，则输出的的值是（）A. 30B. 126C. 62D.【答案】C【解析】由题意，模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，此时，不满足条件，退出循环，输出的值为62．故选：C．9.学校根据课程计划拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行，现在小芳和小敏都已经报名参加此次的研学旅行，则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】小芳和小敏报名方法共有种，其中两人选择的恰好是同一研学旅行主题的有种，因此所求概率为，选B.10.在三棱锥中，已知，，点，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A. 直线直线B. 直线直线C. 直线直线D. 直线直线【答案】D【解析】由题意，如图所示，因为，，∴，得，取中点，连接，，则，，又∵，∴平面，则，∵，分别为棱，的中点，∴，则．故选：D．11.已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，直线并代入并整理得：，设，，则，∴，解得．所以该抛物线的准线方程为，故选D。
辽宁省抚顺市2019届高三第一模拟考试数学文试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试题册上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试题册上无效．4．考试结束后，将本试题册和答题卡一并交回．第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数A ．B ．C ．D ．2．已知集合，{}(1)(2)0B x x x =+-<，则=A ．（0，2）B ．（，2）C ．{0，1}D ．{1}3．在等差数列中，前项和满足，则的值是A ．5B ．7C ．9D ．34．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：（1）甲的平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是29；（3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是18．则这4个结论中，正确结论的个数为A ．1B ．2C ．3D ．45．已知向量=（，），，向量与的夹角为，则的值为A．B．C．D．6．实数，满足约束条件22010220x yx yx y+-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≥≤，则的最小值是A．B．C．D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．4B．6C．2D．88．执行右面的程序框图，则输出的的值是A．30B．126C．62D．1269．学校根据课程计划拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行，现在小芳和小敏都已经报名参加此次的研学旅行，则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率为A．B．C．D．10．在三棱锥中，已知，，点，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是A．直线直线B．直线直线C．直线直线D．直线直线11．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为A ．B ．C ．D ．12．若函数32()ln f x x x x x ax =-+-有两个不同的零点，则实数的取值范围是A ．（，）B ．（，C ．，）D ．（，）第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数是奇函数，且当时，则的值是 ．14．若，则的值是 ．15．在平面直角坐标系中，过轴上的点作双曲线C ：，的一条渐近线的垂线，垂足为，若，，则双曲线C 的离心率的值是 ．16．在各项为正数的等比数列中，若与的等比中项为，则的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知，，分别是的三个内角，，的对边，若，角是最小的内角，且34sin 3cos c a B b A =+． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值．18．（本小题满分12分）“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：、步，（说明：“”表示大于或等于，小于，以下同理），、步，、步，、步，、步，且、、三种类别的人数比例为1∶4∶3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若以大学生M抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M的参与“微信运动”的位微信好友中，每天走路步数在的人数；（Ⅱ）若在大学生M该天抽取的步数在的微信好友中，按男女比例分层抽取人进行身体状况调查，然后再从这位微信好友中随机抽取人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．19．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．20．（本小题满分12分）已知点（2，1）在椭圆：22221(0)x ya ba b+=>>上，，是长轴的两个端点，且．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知点（1，0），过点（2，1）的直线与椭圆的另一个交点为，若点总在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数：()ln 3(0)f x x ax a =--≠．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数有最大值，且，求实数的取值范围．※考生注意：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为122x t y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（为参数）． （Ⅰ）求曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设为曲线上在第二象限内的点，且在点处的切线与直线平行，求点的直角坐标．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数1()||||f x x a x a=++-． （Ⅰ）当=1时，解不等式；（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围．2019年抚顺市高中毕业生模拟考试数学参考答案与评分标准 （文科）一、选择题（每小题5分，共60分）B D AC B C A C B CD D二、填空题（每小题5分，共20分）13、；14、；15、；16、三、解答题17．解：（Ⅰ）由34sin 3cos c a B b A =+、及正弦定理得3sin()4sin sin 3sin cos A B A B B A +=+ ……3分由于，整理可得，又，因此得 ……6分（Ⅱ）因为角是最小的内角，所以，又由（Ⅰ）知，因此得 ……9分 由余弦定理得2224141021410725b =+-⨯⨯⨯=，即 ……12分18．解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走步的人数：男12人，女14人……2分，位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走步的人数约为：人……4分；（Ⅱ）该天抽取的步数在的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人. ……6分列出6选2的所有情况15种……8分，至少1个女性有9种……10分 ，设“其中至少有一位女性微信好友被采访”为事件A ，则所求概率 ……12分19．（Ⅰ）证明：取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在中，因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以且，又F 为的中点，，所以且，即且，故四边形为平行四边形，所以 ……3分，又平面，平面，所以平面……6分（Ⅱ）解：设O 为BC 的中点，因棱柱底面是正三角形，所以有，且平面 ……8分于是11111123323B ACF A B CF B CF V V S AO --==⨯⨯=⨯⨯= ……12分 20．解：（Ⅰ）由已知可得(2,1)(2,1)3a a ---⋅--=-，解得，又点在椭圆上，即，解得，所以椭圆的标准方程为 ……4分（Ⅱ）设，当直线垂直于轴时，点在以为直径的圆上，不合题意，因此设直线的方程为，代入椭圆方程消去得2222(41)4(24)4(441)0k x k k x k k ++-+--= ……6分则有，即， ……8分又点总在以为直径的圆内，所以必有，即有1111(1,)(1,1)10x y x y -=+-<……10分 将，代入得222248344104141k k k k k k ----++<++，解得， 所以满足条件的直线的斜率的取值范围是……12分21．解： （Ⅰ）的定义域为（0，），由已知得 ……2分当时，恒成立，所以，在内单调递增，无减区间；当时，令，得，所以当时，单调递增；当时，单调递减 ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在内单调递增，无最大值 ……7分当时，函数在取得最大值， 即max 11()()ln4ln 4f x f a a a==-=--， 因此有，得……10分设，则，所以在内单调递增，又，所以，得，故实数的取值范围是（0，1）……12分22．解：（Ⅰ）由已知得，得，即，所以的参数方程为（为参数）……3分直线的直角坐标方程为……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线是以C （0，1）为圆心、半径为1的圆， 设点，因为点在第二象限，所以直线的斜率……7分得，得点的直角坐标为（，）……10分23．解：（Ⅰ）时，，当1()1125x f x x x x -=---+=-≤时，≥，解得； 当11()1125x f x x x -<<=+-+=时,≥，解集为； 当1()1125x f x x x x =++-=≥时,≥，解得； 综上：当=1时，不等式的解集为 ……5分（Ⅱ）显然有，由绝对值的三角不等式得1111()||||||||||||2f x x a x x a x a a a a a a=++-+-+=+=+≥≥……7分 所以，解得，即……10分。
