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数列解题方法与技巧
解题方法和技巧有很多种，以下是一些常见的数列解题方法和技巧：
1. 找规律：观察数列中的数字是否有一定的规律或者模式，例如等差数列、等比数列等。
通过找到规律可以推断出数列中的其他数字。
2. 列方程：将数列中的数字用变量表示，然后列出方程，通过求解方程来确定数列中的其他数字。
3. 递推关系：如果数列中的第n个数字可以通过前面的数字推断出来，可以利用递推关系来求解数列。
4. 数列求和公式：如果要求解数列的和，可以利用数列求和公式来计算。
5. 辅助数列：有些数列可以通过构造辅助数列来求解，例如斐波那契数列可以通过构造一个新的辅助数列来求解。
6. 数学工具：利用一些数学工具和技巧，例如数学归纳法、二项式定理等来求解数列。
7. 模拟计算：有时候可以通过模拟计算来求解数列，即通过计算数列中的前几个数字，找到数列中的规律，然后根据规律来计算其他数字。
8. 看题意：有时候可以根据题目中的提示和要求来判断数列的性质和规律，然后进一步求解。
以上是一些常用的数列解题方法和技巧，但具体的解题方法和技
巧还需要根据具体的数列问题来确定。
在解题过程中，还需注意审题、理清思路、细心计算等问题。
数列题解析常见的数学题型及解题技巧数列题解析：常见的数学题型及解题技巧数学中，数列是一种按照一定规律排列的数字序列。
数列题是中学数学常见的题型之一，考察学生对数列的理解和解题能力。
本文将介绍数列题的常见题型，并提供解题技巧。
一、等差数列1. 等差数列概念等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差。
等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d。
2. 等差数列题型及解题技巧(1) 求前n项和：可以利用等差数列的求和公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)来计算。
(2) 求项数：已知等差数列的首项和公差，求第n项可以利用通项公式an = a + (n-1)d。
(3) 求公差：已知等差数列的首项和任意两项，可以利用公式d = an - a(n-1)来计算。
二、等比数列1. 等比数列概念等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
通常用字母a表示首项，q表示公比。
等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)。
2. 等比数列题型及解题技巧(1) 求前n项和：可以利用等比数列的求和公式Sn = (a(1-q^n))/(1-q)来计算。
(2) 求项数：已知等比数列的首项和公比，可以利用通项公式an = a * q^(n-1)进行转化求解。
(3) 求公比：已知等比数列的首项和任意两项，可以通过求项数的方式来计算公比。
三、递推数列递推数列是指数列中的每一项都由前一项递推而来的数列。
递推数列题型比较灵活，常见的有斐波那契数列、阶乘数列等。
解决递推数列题目的关键是找到递推关系式，将问题转化为数列的求解问题。
四、复合数列复合数列是指数列中同时具有等差和等比特征的数列。
可以通过将复合数列拆分成等差数列和等比数列两部分来解决问题。
解决复合数列题目的关键是根据题目给出的条件，分别求解等差数列和等比数列的部分，然后将结果综合起来。
五、其他常见数列题型除了上述三种常见的数列题型外，还有一些其他常见的数列题型，如费马数列、幂次数列等。
数学数列解题技巧数列问题在数学中是一个很重要的部分，解决这类问题需要的不仅仅是数学知识，还需要一些技巧和策略。
以下是几种能帮助你迅速解决数列问题的技巧。
第一种技巧：观察序列模式数列问题的解法通常有很多种，但最重要的一种解法就是分析数列中的规律。
有时候，数列的规律并不是那么显然，但如果我们能够仔细观察数列的模式，那么就可以发现一些有用的信息。
例如，考虑这样一个数列：1, 2, 4, 7, 11, 16, ...如果你能够看出这个数列的规律，那么你就能迅速解决这个问题。
观察到第二项减去第一项等于1，第三项减去第二项等于2，第四项减去第三项等于3，以此类推。
因此，你可以猜到，第n项和前n-1项的差等于n-1。
如果我们将这个规律用数学语言表示出来，就是：a_n - a_n-1 = n-1其中，a_n 表示数列的第n项。
有些数列中的规律可能没有上面的数列那样显而易见。
但是，如果你有耐心，仔细观察，你就可能发现一些规律。
例如，你可能需要将数列的项数写下来，然后找出每一项之间的相对关系。
第二种技巧：使用标志数标志数是一种非常有用的数列解题技巧。
标志数是一个虚构的数，用于帮助你推导数列的规律。
标志数通常用字母表示，例如a、b、c等。
标志数可以用于表示某个地方的数列值，或是某个数列的差值等。
例如，考虑这个数列：2, 6, 12, 20, 30, ...如果你能够找到这个数列中的规律，则可以使用标志数帮助你推导答案。
因此，让我们设a为这个数列的第一项，然后逐一找出每个项之间的差值：6-2=4, 12-6=6, 20-12=8, 30-20=10这些差值看上去并不那么有规律，但是我们可以将它们再次相减:6-4=2, 8-6=2, 10-8=2这就让我们立刻看出了规律！相邻项的差值相等。
因此我们可以使用这个规律来生成您的解：a_1=2, a_2=a_1+4=6, a_3=a_2+6=12, a_4=a_3+8=20 以此类推。
高中物理数学高中数列10种解题技巧
当涉及到高中物理和数学中的数列问题时，以下是10种解题技巧：
确定数列类型：首先，确定数列是等差数列、等比数列还是其他类型的数列。
这将有助于你选择正确的解题方法。
寻找通项公式：对于等差数列和等比数列，寻找通项公式是解题的关键。
通过观察数列中的规律，尝试找到递推关系式，从而得到通项公式。
求和公式：对于需要求和的数列，使用相应的求和公式可以简化计算过程。
例如，等差数列的求和公式是Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，d表示公差。
利用递推关系求解：对于一些复杂的数列问题，可以利用递推关系式逐步求解。
通过已知的前几项，推导出后续项的值。
利用数列性质：数列有许多性质和特点，例如对称性、周期性等。
利用这些性质可以简化问题，找到解题的突破口。
利用数列图像：将数列表示为图像，有时可以更直观地理解数列的规律。
通过观察图像，可以得到一些有用的信息。
利用数列的性质进行变形：有时，对数列进行一些变形可以使问题更容易解决。
例如，将等差数列转化为等比数列，或者将复杂的数列转化为简单的数列。
利用数列的对称性：如果数列具有对称性，可以利用对称性来简化问题。
例如，利用等差数列的对称性可以减少计算量。
利用数列的周期性：如果数列具有周期性，可以利用周期性来简化问题。
通过观察周期内的规律，可以推断出整个数列的性质。
多角度思考：对于复杂的数列问题，尝试从不同的角度思考，采用不同的解题方法。
有时，换一种思路可能会带来新的启示。
高中数学数列方法及技巧1高中数学数列方法和技巧一.公式法如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式.注意等比数列公示q的取值要分q=1和q≠1.二.倒序相加法如果一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.三.错位相减法如果一个数列的各项和是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.四.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.用裂项相消法求和时应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也可能前面剩两项,后面也剩两项,前后剩余项是对称出现的.五.分组求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和然后相加减.2高中数学数列问题的答题技巧高中数列，有规律可循的类型无非就是两者，等差数列和等比数列，这两者的题目还是比较简单的，要把公式牢记住，求和，求项也都是比较简单的，公式的运用要熟悉。
题目常常不会如此简单容易，稍微加难一点的题目就是等差和等比数列的一些组合题，这里要采用的一些方法有错位相消法。
题目变化多端，往往出现的压轴题都是一些从来没有接触过的一些通项，有些甚至连通项也不给。
针对这两类，我认为应该积累以下的一些方法。
对于求和一类的题目，可以用柯西不等式，转化为等比数列再求和，分母的放缩，数学归纳法，转化为函数等方法等方法对于求通项一类的题目，可以采用先代入求值找规律，再数学归纳法验证，或是用累加法，累乘法都可以。
总之，每次碰到一道陌生的数列题，要进行总结，得出该类的解题方法，或者从中学会一种放缩方法，这对于以后很有帮助。
3高考数学解题方法解题过程要规范高考数学计算题要保证既对且全，全而规范。
应为高考数学计算题表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学试卷非智力因素失分的一大方面。
高考数列解题技巧数列是高中数学的重要内容之一，也是高考数学的热点之一。
在解决数列问题时，学生需要掌握一些常用的解题技巧，以提高解题效率和准确性。
1. 公式法公式法是解决数列问题的基本方法之一。
对于等差数列和等比数列，学生需要熟记它们的通项公式和求和公式，以便在解题时能够迅速运用。
例如，对于等差数列{an}，其通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1为首项，d为公差。
求和公式为S_n=n/2(a_1+a_n)。
2. 裂项相消法裂项相消法是一种常用的求和技巧，适用于一些看似复杂的数列求和问题。
通过将每一项都拆分成两个部分，然后抵消掉中间的部分，可以简化计算过程。
例如，对于数列1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n+1)，学生可以使用裂项相消法进行求和。
将每一项都拆分成两个部分，即分子和分母，然后抵消掉中间的部分，得到结果为1-1/(n+1)。
3. 错位相减法错位相减法是一种常用的求和方法，适用于一些周期性变化的数列。
通过错位相减法，可以将一个复杂的数列转化为一个简单的数列，从而简化计算过程。
例如，对于数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n，学生可以使用错位相减法进行求和。
将每一项都乘以10，得到数列10, 5, 3, 2, ..., 1/n，然后将两个数列相减，得到结果为9+4+2+...+1-1/n。
4. 倒序相加法倒序相加法是一种求解递推关系式的常用方法。
通过将一个数列的顺序倒过来，然后将正序和倒序的两个数列相加，可以得到一个常数列的和，进而求出原数列的和。
例如，对于数列a_n=S_{n-1}+S_n，学生可以使用倒序相加法求解。
将数列a_n的顺序倒过来得到a_n=S_n+S_{n-1}......(B)，然后将(A)式和(B)式相加得到2a_n=2S_n+S_{n-1}+S_{n-2}+......+S_2+S_1=S_n+S_{n-1}+......+S_2+S_1+ S_0=2^n-1。
数学必备技巧解决初中数列题的常用方法数列作为初中数学中的重要内容，经常在考试中出现。
解决数列题需要一些技巧和方法，本文将介绍几种常用的解题方法，帮助初中生们更好地应对数列题。
一、等差数列的解题方法等差数列是最常见的数列类型之一。
解决等差数列的题目，我们可以通过以下几种方法来进行推导和计算。
1. 特定项求解法：对于等差数列an=a1+(n-1)d，已知首项a1和公差d，如果要求第n项an的值，可以直接代入公式进行计算。
2. 公式法：等差数列有一个通用的求和公式Sn=n/2(a1+an)，利用这个公式可以快速求解等差数列的前n项和。
3. 差项法：对于等差数列，相邻两项之间的差值始终是一个固定的数字，即公差d。
因此，如果已知相邻两项的差值，可以通过差项来推导出其他项的值。
二、等比数列的解题方法等比数列也是常见的数列类型之一。
解决等比数列的题目，我们可以通过以下几种方法来进行推导和计算。
1. 递推法：对于等比数列，每一项都是前一项乘以相同的比率q。
因此，可以通过递推的方式求得第n项的值：an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2. 公式法：等比数列也有一个通用的求和公式Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。
利用这个公式可以快速求解等比数列的前n项和。
3. 比值法：对于等比数列，相邻两项之间的比值始终是一个固定的数字，即公比q。
如果已知相邻两项的比值，可以通过比值来推导出其他项的值。
三、特殊数列的解题方法除了等差数列和等比数列，还存在一些特殊的数列类型，如等差数列与等比数列的混合、递推式中包含二次项等。
针对这些特殊数列的题目，我们可以采用以下方法来解题。
1. 混合法：对于混合数列，可以将其分解为等差和等比两个部分进行求解，再将结果合并。
2. 矩阵法：对于递推式中包含二次项的数列，可以使用矩阵的方法来求解。
将数列的递推式表示成矩阵形式，然后通过求矩阵的幂得到数列的通项式。
3. 倒推法：有时候，我们可以从题目给出的末项或者求和结果出发，逆向推导数列的各项的值。
高考数学数列解题技巧必备各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。
下面是小编给大家整理的一些高考数学数列解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。
高考数学重点：数列公式及结论总结数学中有很多的概念和公式，只有理解这些概念，才能正确解题。
数列中有很多性质和公式，这些是我们做题的基础，很多同学觉得数列的性质公式太多太杂，记不住。
其实按照一定方法将数列性质公式进行归纳总结，记住它们就简单多了。
下面是小编为大家整理的高中数列基本公式,希望对大家有帮助。
一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0)，Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q≠1时，Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{anbn}、、仍为等比数列。
数列解题思路与技巧数列解题是高中数学中的一个重要内容。
随着中考、高考对数学知识的要求日益提高，我们需要不断提高自己的数列解题能力。
本文将分享一些数列解题的思路与技巧，希望能给大家提供一些帮助。
一、数列的定义与分类数列是一组有序的、按照某种规律排列的数字。
通常用a1、a2、a3……an 表示，其中a1 为首项，an 为末项，n 为项数。
数列可分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等多种类型。
在解决数列问题时，要首先确定所给数列的类型。
二、等差数列的解题思路与方法等差数列常见的应用有求和、求公差、求项数等。
其中，求和是最常见的问题。
下面我们将讨论如何解决等差数列求和的问题。
1. 求和公式对于首项为a1，公差为d，末项为an，项数为n 的等差数列，它的前n 项和可以用以下公式表示：Sn=n/2(2 × a1+(n-1) × d)其中，Sn 表示前n 项的和。
这是一个经典的求和公式，掌握之后可以大幅提高求和的效率。
2. 已知首项、末项和项数，求和如果已知首项、末项和项数，我们可以通过求出公差来使用求和公式计算和。
例如，已知首项为1，末项为100，项数为20，求和。
首先，根据公式an=a1+(n-1)×d，可以求出公差为5。
然后，代入公式Sn=n/2(2 × a1+(n-1) × d)，得到Sn=20/2(2 ×1+(20-1) × 5)=1010。
因此，所求和为1010。
3. 已知首项、公差和项数，求和如果已知首项、公差和项数，我们可以直接使用求和公式计算和。
例如，已知首项为3，公差为2，项数为10，求和。
代入公式Sn=n/2(2 × a1+(n-1) × d)，得到Sn=10/2(2 ×3+(10-1) × 2)=65。
因此，所求和为65。
三、等比数列的解题思路与方法等比数列也是数列中重要的一类。
数列的解题技巧编稿：林景飞审稿：张扬责编：严春梅【命题趋向】从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中与之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、（或），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意和两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如与的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【考点透视】1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。
本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【例题解析】考点一：正确理解和运用数列的概念与通项公式理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.1．（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则____________；____________（答案用n表示）.……思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是1，3,6,10, …，推测出第n层的球数。
解答过程：显然.第n堆最低层（第一层）的乒乓球数，，第n堆的乒乓球数总数相当于前n堆乒乓球的低层数之和，即所以：2．（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第____________行；第61行中1的个数是____________．第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…… …………………………………思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。
解：第1次全行的数都为1的是第=1行，第2次全行的数都为1的是第=3行，第3次全行的数都为1的是第=7行，······，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是25=32．考点二：数列的递推关系式的理解与应用在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为常见的类型进行解题。
如叠加法：若且；我们可把各个关系式列出来进行叠加求和，可得到数列的通项.，，，…，∴再看叠乘法：且，可把各个商列出来求积。
另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。
3．（2007年北京卷理）数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．思路启迪：（1）由成公比不为的等比数列列方程求；（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：（I），，，因为成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．（II）当时，由于，，，，所以．又，，故．当时，上式也成立，所以．小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.4．数列满足，，…．若，则( )（Ａ）（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.解答过程1：，.相叠加得.，.，，，.解答过程2：由得：，，因为，所以.解答过程3：由得：从而；；…；.叠加得：.，，从而.小结：数列递推关系是近几年高考数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。
对连续两项递推，可转化为；对连续三项递推的关系，如果方程有两个根，则上递推关系式可化为或.考点三：数列的通项与前n项和之间的关系与应用与的关系：，数列前n项和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合。
解决含与的式子问题时，通常转化为只含或者转化为只的式子.5．（2006年辽宁卷）在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）(A)(B) (C)(D)命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。
过程指引：因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择答案C.6.已知在正项数列中，表示前n项和，且，求.思路启迪：转化为只含或者只含的递推关系式.解答过程1：由已知，得当时，；当时，，代入已知有，即.，又，故.∴数列是首项为，公差的等差数列，故.解答过程2：由已知，得当n=1时，；当时，因为，所以.，，因为，所以，所以.考点四：数列中与n有关的等式的理解与应用对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为得到另外的式子。
也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.7．（2006年福建卷）已知数列满足()（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足(),证明:是等差数列;思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。
把递推关系式变形转化。
解答过程：（I）解：∵，∴是以为首项，2为公比的等比数列。
∴即（）（II）证法一：∵，∴即∴①②②－①，得，即③④③－④，得，即故是等差数列.考点五：等差、等比数列的概念与性质的理解与应用在等差、等比数列中，已知五个元素或，中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。
本着化多为少的原则，解题时需抓住首项和公差（或公比）。
另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如（1）等差数列中，若，则；等比数列中，若，则.（2）等差数列的前n项为，则成等差数列，且公差为；等比数列中（）的前n项和为，则成等比数列，且公比.（3）在等差数列中，项数n成等差的项也成等差数列.（4）在等差数列中，；.在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.8．（2006年江西卷）已知等差数列的前n项和为，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则＝（）A．100 B. 101 C.200 D.201命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。
过程指引：依题意，，故选A9．（2007年安徽卷文、理）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加, 因此，历年所交纳的储备金数目, ，… 是一个公差为的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为（）,那么, 在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变成，……. 以表示到第年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出与（）的递推关系式；（Ⅱ）求证，其中{}是一个等比数列，{}是一个等差数列.命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.解：（I）我们有（II），对反复使用上述关系式，得=…=①在①式两端同乘1+r，得②②－①，得即记，，则，其中{}是等比数列，且首项为，公比为；是等差数列，且首项为，公比为.点评：解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．考点六：等差、等比数列前n项和的理解与应用等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解。
等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数；等比数列的前n项和公式（），因此可以改写为是关于n的指数函数，当时，.10．（2007年广东卷理）已知数列的前n项和,第k项满足,则k=（）A．9 B．8 C．7D．6思路启迪：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．解：此数列为等差数列，，由5<2k-10<8得到k=8．11．（2007年湖北卷文）已知数列和满足:且是以q为公比的等比数列.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若证明数列是等比数列；（Ⅲ）求和：.命题目的：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解法1：（I）证：由，有，．（II）证：，，，．∴是首项为5，以为公比的等比数列．（III）由（II）得，，于是．当时，．当时，．故解法2：（I）同解法1（I）．（II）证：，又，是首项为5，以为公比的等比数列．（III）由（II）的类似方法得，，，．．下同解法1．考点七：数列与函数的迭代问题由函数迭代的数列问题是近几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学试题中.12．（2006年山东卷）已知数列中，，点在直线y=x上，其中n=1,2,3….(Ⅰ)令，求证是等比数列；(Ⅱ)求数列的通项；(III)设、分别为数列、的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由.思路启迪：利用等比的定义证明是等比数列；对可由已知用叠加法求出求。
