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沪科版九年级数学下册第24章圆章节测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为3cm ，则其侧面积为（ ）cm ．A ．3πB ．6πC ．12πD ．18π2、如图，O 是△ABC 的外接圆，已知25ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．75°3、如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C．D．4、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（）A．22.5°B．45°C．90°D．67.5°AB=cm，则水的最大5、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽8深度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm6、小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为（）A．30°B．60°C．90°D．120°7、将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD 与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B，与直角三角板相切于点C，且3AB=，则光盘的直径是（）A．6 B．C．3 D．8、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．AC=．将ABC绕点A按逆时针方向旋转90︒后9、如图，在ABC中，90∠=，8BAC︒ABC︒∠=，30△，则图中阴影部分面积为（）得到AB C''A．4πB．8π-C．4π-D．10、如图，在△ABC 中，∠CAB =64°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使CC ′∥AB ，则旋转角的度数为（ ）A ．64°B ．52°C ．42°D ．36°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知ABC ，外心为O ，18BC =，60BAC ∠=︒，分别以AB ，AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD △与ACE ，连接BE ，CD 交于点P ，则OP 的最小值是______．2、半径为6cm 的扇形的圆心角所对的弧长为2πcm ，这个圆心角______度．3、如图，正方形ABCD 是边长为2，点E 、F 是AD 边上的两个动点，且AE=DF ，连接BE 、CF ，BE 与对角线AC 交于点G ，连接DG 交CF 于点H ，连接BH ，则BH 的最小值为_______．4、在平面直角坐标系中，已知点(2,8)A a b --与点(2,3)B a b -+关于原点对称，则=a ________，b =________．5、如图AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是______（写所有正确论的号）①AM 平分∠CAB ；②AC AM AM AB =；③若AB =4，∠APE =30°，则BM 的长为3π；④若AC =3BD ，则有tan ∠MAP三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在所给的88⨯的正方形网格中，按下列要求操作：（单位正方形的边长为1）（1）请在第二象限内的格点上找一点C ，使ABC 是以AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数，求点C 的坐标；（2）画出ABC 以点C 为中心，旋转180°后的A B C ''，并求A B C ''的面积．2、新定义：如图①，已知AOB ∠，在AOB ∠内部画射线OC ，得到三个角，分别为AOC ∠、BOC ∠、AOB ∠．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC 为AOB ∠的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）（阅读理解）（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）（初步应用）（2）如图①，48AOB ∠=︒，射线OC 为AOB ∠的“幸运线”，则AOC ∠的度数为______；（直接写出答案）（解决问题）（3）如图②，已知50AOB ∠=︒，射线OM 从OA 出发，以每秒10°的速度绕O 点顺时针旋转，同时，射线ON 从OB 出发，以每秒15°的速度绕O 点顺时针旋转，设运动的时间为t 秒()05t <<．若OM 、ON 、OB 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t 的值．（实际运用）（4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （0，3）,B （﹣3，5），C （﹣4，1）．（1）把△ABC 向右平移3个单位得△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1并写出点A 1的坐标；（2）把△ABC 绕原点O 旋转180°得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2．4、如图，在平面直角坐标系中，有抛物线23y ax bx =++，已知OA =OC =3OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）求过A ，B ，C 三点的圆的半径；（3）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，说明理由；5、如图，ABC 和ADE 中，AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒，连接CD ，点M ，N ，P 分别是,,DE BC CD 的中点．（1）请你判断PMN 的形状，并证明你的结论．（2）将ADE 绕点A 旋转，若8,3AB AD ==，请直接写出MNP △周长的最大值与最小值．-参考答案-一、单选题1、B【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】 解：它的侧面展开图的面积＝12×2π×2×3＝6π（cm 2）．故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．2、C【分析】由OA=OB ，25ABO ∠=︒，求出∠AOB =130°，根据圆周角定理求出ACB ∠的度数．解：∵OA=OB ，25ABO ∠=︒，∴∠BAO =25ABO ∠=︒．∴∠AOB =130°．∴ACB ∠=12∠AOB =65°．故选：C ．【点睛】此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．3、D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4、B根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒， ∴1452C AOB ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．5、B【分析】连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而得出CD 的长即可．【详解】解：连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，如图所示：∵AB =8cm ，∴BD =12AB =4（cm ），由题意得：OB=OC=1102⨯=5cm，在Rt△OBD中，OD3=（cm），∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），即水的最大深度为2cm，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6、B【分析】由题意依据每次旋转相同角度α，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°进行分析即可得出答案.【详解】解：因为每次旋转相同角度α，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，所以每次旋转相同角度α360660︒=÷=.故选：B.【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．7、D【分析】如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，由切线的性质可知∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，即可证明Rt △OCA ≌Rt △OBA 得到∠OAC =∠OAB ，则()1==180=602OAC OAB DAC ︒-︒∠∠∠，∠AOB =30°，推出OA =2AB =6，利用勾股定理求出OB =O 的直径为【详解】解：如图所示，设圆的圆心为O ，连接OC ，OB ，∵AC ，AB 都是圆O 的切线，∴∠OCA =∠OBA =90°，OC =OB ，又∵OA =OA ，∴Rt △OCA ≌Rt △OBA （HL ），∴∠OAC =∠OAB ，∵∠DAC =60°， ∴()1==180=602OAC OAB DAC ︒-︒∠∠∠， ∴∠AOB =30°，∴OA =2AB =6，∴OB =∴圆O 的直径为故选D ．【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键．8、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．9、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2908143602π⨯=--⨯8π=-故选：B ．【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．10、B【分析】先根据平行线的性质得∠ACC ′=∠CAB =64°，再根据旋转的性质得∠CAC ′等于旋转角，AC =AC ′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC ′=∠AC ′C =64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC ′的度数，从而得到旋转角的度数．【详解】解：∵CC ′∥AB ，∴∠ACC ′=∠CAB =64°∵△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，∴∠CAC ′等于旋转角，AC =AC ′，∴∠ACC ′=∠AC ′C =64°，∴∠CAC ′=180°-∠ACC ′-∠AC ′C =180°-2×64°=52°，∴旋转角为52°．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．二、填空题1、9-【分析】由ABD △与ACE 是等腰直角三角形，得到90BAD CAE ∠=∠=︒，DAC BAE ∠=∠，根据全等三角形的性质得到ADC ABE ∠=∠，求得在以BC 为直径的圆上，由ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，得到120BOC ∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，解直角三角形即可得到结论．【详解】 解：ABD 与ACE 是等腰直角三角形，90BAD CAE ∴∠=∠=︒，DAC BAE ∴∠=∠，在DAC △与BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， DAC ∴≌()BAE SAS ，ADC ABE ∴∠=∠，90PDB PBD ∴∠+∠=︒，90DPB∴∠=︒，P∴在以BC为直径的圆上，ABC的外心为O，60BAC∠=︒，120BOC∴∠=︒，如图，当PO BC⊥时，OP的值最小，18BC=，9 BH CH∴==，12 OH OB=BH∴==OH∴=9PH=，9OP∴=-则OP的最小值是9-故答案为：9-【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2、60【分析】根据弧长公式求解即可．【详解】 解：180n r l π=， 解得，1802606n ππ⨯==⨯， 故答案为：60．【点睛】本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键.31##【分析】延长AG 交CD 于M ，如图1，可证△ADG ≌△DGC 可得∠GCD =∠DAM ，再证△ADM ≌△DFC 可得DF =DM =AE ，可证△ABE ≌△ADM ，可得H 是以AB 为直径的圆上一点，取AB 中点O ，连接OD ，OH ，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH 长度的最小值．【详解】解：延长AG 交CD 于M ，如图1，∵ABCD 是正方形，∴AD =CD =AB ，∠BAD =∠ADC =90°，∠ADB =∠BDC ，∵AD =CD ，∠ADB =∠BDC ，DG =DG ，∴△ADG≌△DGC，∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC，∴△ADM≌△CDF，∴FD=DM且AE=DF，∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°，∴△ABE≌△DAM，∴∠DAM=∠ABE，∵∠DAM+∠BAM=90°，∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°，∴点H是以AB为直径的圆上一点．如图2，取AB中点O，连接OD，OH，∵AB=AD=2，O是AB中点，∴AO=1=OH，在Rt△AOD中，OD∵DH≥OD-OH，∴DH，∴DH ，．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H 是以AB 为直径的圆上一点．4、2 2【分析】关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出a 、b 即可求得答案．【详解】解：∵点()2,8A a b --和点()2,3B a b -+关于原点对称，∴2238a b a b -=⎧⎨+=⎩， ∴22a b =⎧⎨=⎩， 故答案为：2；2．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，熟记关于原点对称点的坐标特征并运用解题是关键．5、①②④【分析】连接OM ，由切线的性质可得OM PC ⊥，继而得∥OM AC ，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得CAM OAM ∠=∠，由此可判断①；通过证明ACM AMB ∽，根据相似三角形的对应边成比例可判断②；求出60MOP ∠=︒，利用弧长公式求得BM 的长可判断③；由BD PC ⊥，AC PC ⊥，OM PC ⊥，可得∥∥BD AC OM ，继而可得PB OB AO ==，PD DM CM ==，进而有2OM BD =，在Rt PBD 中，利用勾股定理求出PD 的长，可得CM DM DP ==，由此可判断④．【详解】解：连接OM ，∵PE 为O 的切线，∴OM PC ⊥，∵AC PC ⊥，∴∥OM AC ，∴CAM AMO ∠=∠，∵OA OM =，OAM AMO ∠=∠，∴CAM OAM ∠=∠，即AM 平分CAB ∠，故①正确；∵AB 为O 的直径，∴90AMB ∠=︒，∵CAM MAB ∠=∠，ACM AMB ∠=∠，∴ACM AMB ∽， ∴AC AM AM AB=， ∴2·AM AC AB ＝，故②正确；∵30APE ∠=︒，∴903060MOP OMP APE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵4AB =，∴2OB =，∴BM 的长为60π22π1803⨯=，故③错误； ∵BD PC ⊥，AC PC ⊥，OM PC ⊥，∴∥∥BD AC OM ，∴PBD PAC ∽， ∴13PB BD PA AC ==， ∴13PB PA =，又∵AO BO =，AO BO AB +=，AB PB PA +=，∴PB OB AO ==，又∵∥∥BD AC OM ，∴PD DM CM ==，设BD a =，则3AC a =，∴22OM BD a =＝，在Rt PBD 中，2PB BO OM a ===，∴PD =，∴CM DM DP ===，由①可得CAM OAM ∠=∠，tan tan CM MAP CAM AC ∠=∠==， 故④正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．三、解答题1、（1）图见解析，点C 的坐标为()1,1-（2）图见解析，4【分析】（1）根据题意，腰长为无理数且ABC 为以AB 为底的等腰三角形，只在第二象限，作图即可确定点，然后写出点的坐标即可；（2）现确定旋转后的点，然后依次连接即可，根据旋转前后三角形的面积不变，利用表格及勾股定理确定三角形的底和高，即可得出面积．（1）解：如图所示，点C 的坐标为()1,1-；BC AC =（2）如图所示：点A '的坐标()0,2-，点B '的坐标为()20,，∵旋转180°后的A B C ''的面积等于ABC 的面积，AB CD ===∴11422A B C S AB CD ''=⋅=⨯=△， ∴''A B C 的面积为4．【点睛】题目主要考查等腰三角形的定义及旋转图形的作法，理解题意，熟练掌握在坐标系中旋转图形的作法是解题关键．2、（1）是；（2）16°或24°或32°；（3）2或207或54；（4）18011． 【分析】（1）根据幸运线定义即可求解；（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；（3）根据幸运线定义得到方程求解即可；（4）利用时针1分钟走0.5︒，分针1分钟走6︒，可解答问题．【详解】解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；故答案为：是；（2）①设∠AOC =x ，则∠BOC =2x ，由题意得，x +2x =48°，解得x =16°，②设∠AOC=x，则∠BOC=x，由题意得，x+x=48°，解得x=24°，③设∠AOC=x，则∠BOC=12x，由题意得，x+12x=48°，解得x=32°，故答案为：16°或24°或32°；（3）OB是射线OM与ON的幸运线，则∠BOM=12∠MON，即50-10t=12（50-10t+15t），解得t=2；∠BOM=13∠MON，即50-10t=13（50-10t+15t），解得t=207；∠BOM=23∠MON，即50-10t=23（50-10t+15t），解得t=54；故t的值是2或207或54；（4）时针1分钟走300.560︒=︒，分针1分钟走360660︒=︒，设小丽帮妈妈取包裹用了x分钟，则有0.5x+3×30=6x，解得：x=180 11．【点睛】本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．3、（1）图见解析；A1（3，3）；（2）见解析【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（3，3）；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．【点睛】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．4、（1）y=-x2+2x+3；（2（3）点P（1，4）或（-2，-5）．【分析】（1）3=OC=OA=3OB，故点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求解；（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），即可求解；（3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：（1）令x=0，则y=3，则点A的坐标为（3，0），根据题意得：OC=3=OA=3OB，故点B、C的坐标分别为：（-1，0）、（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），把（3，0）代入得-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），=（3）过点A、C分别作直线AC的垂线，交抛物线分别为P、P1，设点P(x，-x2+2x+3)，过点P作PQ⊥y轴于点Q，∵OA =OC，∠PAC=90°，∴∠ACO=∠OAC=45°，∵∠PAC=90°，∴∠PAQ =45°，∴△PAQ 是等腰直角三角形，∴PQ =AQ =x ，∴AQ +AO =x +3=-x 2+2x +3，解得：1210x x ==，(舍去)，∴点P (1，4)；设点P 1(m ，-m 2+2m +3)，过点P 1作P 1D ⊥x 轴于点D ，同理得△P 1CD 是等腰直角三角形，且点P 1在第三象限，即m <0，∴P 1D =CD =m 2-2m -3，DO =-m ，∴DO +OC = P 1D ，即-m +3= m 2-2m -3，解得：1223m m =-=，(舍去)，∴点P (-2，-5)；综上，点P （1，4）或（-2，-5）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆的基本知识等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．5、（1）MPN ∆是等腰直角三角形，证明见解析（2）MNP ∆ 【分析】（1）连接BD ，CE ，根据SAS 证明BAD CAE ∆≅∆得BD=CE ，根据三角形中位线性质可证明PM=PN ；90MPN ∠=︒，进而可得结论；（2）当BD 最小时即点D 在AB 上，此时MNP ∆周长最小，当点D 在BA 的延长线上时，BD 最大，此时MNP ∆周长最大，均为2)PN ，求出BD 的长即可解决问题．（1）连接BD ，CE ，如图，∵AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒，∴90,90BAD CAD CAE CAD ∠+∠=︒∠+∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴BAD CAE ∆≅∆∴BD=CE，ABD ACE ∠=∠∵点M ，N ，P 分别是,,DE BC CD 的中点∴MP //EC ，12MP CE =，PN//BD ，PN=12BD∴PM=PN，,NPD DCE DPN PNC PCN ∠=∠∠=∠+∠∵PN//BD∴∠PNC=∠DBC∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECA+∠ACD+∠PCN+∠PNC=∠ACB+∠DBC+∠ABD=∠ACB+∠ABC=90° ∴MP PN ⊥∴MPN ∆是等腰直角三角形；（2）由（1）知，MPN ∆是等腰直角三角形∴MN∴MPN ∆的周长为22)MN PN PM PN PN ++=+= ∵12PN BD =∴MPN ∆ 当BD 最小时即点D 在AB 上，此时MNP ∆周长最小，∵AB=8，AD=3∴BD 的最小值为AB-AD=8-3=5∴MNP ∆ 当点D 在BA 的延长线上时，BD 最大，此时MNP ∆周长最大，∴BD=AB+AD=8+3=11∴MNP ∆ 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理的应用等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．。
沪科版九年级数学下册第24章圆单元测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，3AP =，7BP =，30APC ∠=︒，则CD 的长为（ ）A ．B ．CD ．83、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy 中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．4、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．105、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（）A．80°B．70°C．60°D．50°6、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC=130°，则∠AOC的度数为（）A．25°B．80°C．130°D．100°7、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置8、在△ABC中，CA CB关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定9、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于（）A ．10B ．C ．D ．1210、如图，边长为5的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（ ）A ．54 B ．1 C ．2 D ．52第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如果点()3,2A -与点B 关于原点对称，那么点B 的坐标是______．2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 为x 轴正半轴上一点．已知点)(0,2A ，)(0,8B ，M 为ABP △的外接圆．（1）点M的纵坐标为______；（2）当APB∠最大时，点P的坐标为______．3、如图，一次函数1=+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，作ABO的外接圆C，y x则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）4、如图，将Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与零刻度线的一端重合，∠ABC＝38°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是 ___．5、如图，以面积为20cm 2的Rt △ABC 的斜边AB 为直径作⊙O ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，若CD AB =AC ＋BC ＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在所给的88⨯的正方形网格中，按下列要求操作：（单位正方形的边长为1）（1）请在第二象限内的格点上找一点C ，使ABC 是以AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数，求点C 的坐标；（2）画出ABC 以点C 为中心，旋转180°后的A B C ''，并求A B C ''的面积．2、已知，P 是直线AB 上一动点（不与A ，B 重合），以P 为直角顶点作等腰直角三角形PBD ，点E 是直线AD 与△PBD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，直线BE 与直线PD 相交于点F ．（1）如图，当点P 在线段AB 上运动时，若∠DBE ＝30°，PB ＝2，求DE 的长；（2）当点P 在射线AB 上运动时，试探求线段AB ，PB ，PF 之间的数量关系，并给出证明．3、如图，正方形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴的负半轴上，顶点CD 在第二象限．将正方形ABCD 绕点A 按顺时针方向旋转，B 、C 、D 的对应点分别为B 1、C 1、D 1，且D 1、C 1、O 三点在一条直线上．记点D 1的坐标是（m ，n ），C 1的坐标是（p ，q ）．（1）设∠DAD 1＝30°，n ＝2，求证：OD 1的长度；（2）若∠DAD 1＜90°，m ，n 满足m +n ＝﹣4，p 2+q 2＝25，求p +q 的值．4、如图，ABC 和ADE 中，AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒，连接CD ，点M ，N ，P 分别是,,DE BC CD 的中点．（1）请你判断PMN 的形状，并证明你的结论．（2）将ADE 绕点A 旋转，若8,3AB AD ==，请直接写出MNP △周长的最大值与最小值．5、如图，已知线段4MN =，点A 在线段MN 上，且1AM =，点B 为线段AN 上的一个动点．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，旋转角分别为α和β．若旋转后M 、N 两点重合成一点C （即构成ABC ），设AB x =．（1）ABC 的周长为_______；（2）若270αβ+=︒，求x 的值．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2、A【分析】过点O 作OE CD ⊥于点E ，连接OD ，根据已知条件即可求得,OD OP ，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得OE ，根据勾股定理即可求得DE ，根据垂径定理即可求得CD 的长．【详解】解：如图，过点O 作OE CD ⊥于点E ，连接OD ，AB 是O 的直径，3AP =，7BP =，115,53222OD AB OP AB AP ∴===-=-= OE CD ⊥，30APC ∠=︒112OE OP ∴==在Rt ODE △中，DE =OE CD ⊥2CD DE ∴==故选A【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．3、C【分析】利用中心对称图形的定义：旋转180︒能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故A 错误．B 、不是中心对称图形，故B 错误．C 、是中心对称图形，故C 正确．D 、不是中心对称图形，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．4、A【分析】根据直径所对的圆角为直角，可得90C ∠=︒ ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴90C ∠=︒ ，∵∠BAC ＝30°，BC ＝2，∴24AB BC ==．故选：A【点睛】本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．5、A【分析】根据三角形旋转得出DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，根据点A ，D ，E 在同一条直线上利用邻补角关系求出18050ADC EDC ∠=︒-∠=︒，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC =50°，由此即可求解．【详解】证明：∵ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，∴DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，∴∠ADC =∠DAC ，∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴18050ADC EDC ∠=︒-∠=︒，∴∠DAC =50°，∴∠BAD =∠BAC -∠DAC =80°故选A ．【点睛】本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．6、D【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B 的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠B +∠ADC =180°，∵∠ADC=130°，∴∠B=50°，由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=100°，故选：D．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．8、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB，根据三角形切线的判定即可判断AB是C的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接CO,=，点O为AB中点．CA CB∴⊥CO ABCO为⊙C的半径，∴是C的切线，AB∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．9、D【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB，OC，∴∠BOC=60°．∵OB=OC，BC=6，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=6．∴⊙O的直径等于12．故选：D．【点睛】本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．10、A【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．【详解】解：如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∵CH 是等边△ABC 的对称轴，∴HB =12AB ，∴HB =BG ，又∵MB 旋转到BN ，∴BM =BN ，在△MBG 和△NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MBG ≌△NBH （SAS ），∴MG =NH ，根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，此时∵∠BCH =12×60°=30°，CG =12AB =12×5=2.5，∴MG =12CG =54，∴HN =54，故选A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题1、()3,2-【分析】关于原点对称的点坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；进而求出点B 坐标．【详解】解：由题意知点B 横坐标为033-=-；纵坐标为()022--=；故答案为：()3,2-．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标知识．解题的关键在于熟练记忆关于原点对称的点坐标中相对应的坐标互为相反数．2、5 (4，0)【分析】（1）根据点M 在线段AB 的垂直平分线上求解即可；（2）点P 在⊙M 切点处时，APB ∠最大，而四边形OPMD 是矩形，由勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∵⊙M 为△ABP 的外接圆，∴点M 在线段AB 的垂直平分线上，∵A (0，2)，B (0，8)，∴点M 的纵坐标为：8252+=， 故答案为：5；（2）过点)(0,2A ，)(0,8B ，作⊙M 与x 轴相切，则点M 在切点处时，APB ∠最大，理由：若点P'是x轴正半轴上异于切点P的任意一点，设AP'交⊙M于点E，连接AE，则∠AEB=∠APB，∵∠AEB是ΔA P'E的外角，∴∠AEB>∠A P'B，∵∠APB>∠A P'B，即点P在切点处时，∠APB最大，∵⊙M经过点A(0，2)、B(0，8)，∴点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y=5上，∵⊙M与x轴相切于点P，ＭP⊥x轴，从而MP=5，即⊙M的半径为5，设AB的中点为D，连接MD、AM，如上图，则MD⊥AB，AD=BD=12AB=3，BM=MP=5，而∠POD=90°，∴四边形OPMD是矩形，从而OP=MD，由勾股定理，得MD4=，∴OP=MD=4，∴点P的坐标为(4，0)，故答案为：(4，0)．【点睛】本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．3、3π【分析】先求出A 、B 、C 坐标，再证明三角形BOC 是等边三角形，最后根据扇形面积公式计算即可．【详解】过C 作CD ⊥OA 于D∵一次函数1y =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当0x =时，1y =，B 点坐标为（0,1）当0y =时，y =A 点坐标为∴2,1AB OB OA ===，∵作ABO 的外接圆C ，∴线段AB 中点C 的坐标为1)2,112OC BC AB OB ==== ∴三角形BOC 是等边三角形∴120ACO ∠=︒∵C 的坐标为1)2∴12CD =∴2120111360223AOC ACO S S S ππ︒=-=⨯⨯-=︒扇形故答案为：3π【点睛】 本题主要考查了一次函数的综合运用，求扇形面积．用已知点的坐标表示相应的线段是解题的关键． 4、76°或142°【分析】设AB 的中点为O ，连接OD ，则∠BOD 为点D 在量角器上对应的角，根据圆周角定理得∠BOD =2∠BCD ，根据等腰三角形的性质分BC 为底边和BC 为腰求∠BCD 的度数即可．【详解】解：设AB 的中点为O ，连接OD ，则∠BOD 为点D 在量角器上对应的角，∵Rt△ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，∴A 、C 、B 、D 四点共圆，圆心为点O ，∴∠BOD =2∠BCD ，①若BC 为等腰三角形的底边时，如图射线CD 1，则∠BCD 1=∠ABC =38°，连接OD 1，则∠BOD 1=2∠BCD 1=76°；②若BC 为等腰三角形的腰时，当∠ABC 为顶角时，如图射线CD 2，则∠BCD 2=（180°-∠ABC ）÷2=71°，连接OD 2，则∠BOD 2=2∠BCD 2=142°，当∠ABC 为底角时，∠BCD =180°-2∠ABC =104°，不符合题意，舍去，综上，点D 在量角器上对应的度数是76°或142°，故答案为：76°或142°．【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．5、##【分析】连接CO ，延长交O 于点E ，连接DE ，先根据圆周角定理和圆的性质可得,90AB CE CDE =∠=︒，再根据特殊角的三角函数值可得30DCE ∠=︒，从而可得15BAC ACO ∠=∠=︒，作15ABF BAC ∠=∠=︒，交AC 于点F ，从而可得,30AF BF BFC =∠=︒，然后在Rt BCF 中，利用直角三角形的性质和勾股定理可得2,BF BC CF ==，设cm(0)BC x x =>，从而可得(2cm AC x =，利用直角三角形的面积公式可求出x 的值，由此即可得．【详解】解：如图，连接CO ，延长交O 于点E ，连接DE ，,AB CE 都是O 的直径，,90AB CE CDE ∴=∠=︒， 32CD AB =CD CE ∴=在Rt CDE △中，cos DCE CD CE ∠== 30DCE ∴∠=︒，CD 平分ACB ∠，且90ACB ∠=︒，45ACD ∴∠=︒，15ACO ACD DCE ∴∠=∠-∠=︒，OA OC =，15BAC ACO ∴∠=∠=︒，如图，作15ABF BAC ∠=∠=︒，交AC 于点F ，,30AF BF BFC ABF BAC ∴=∠=∠+∠=︒，∴在Rt BCF 中，2,BF BC CF ==，(2AC AF CF BF CF BC ∴=+=+=+，设cm(0)BC x x =>，则(2cm AC x =，1202Rt ABC S AC BC =⋅=， 1(2202x x ∴⋅=，解得x =0x =-（不符题意，舍去），则(2(3AC BC x x +=++==，故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、圆周角定理、含30角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形是解题关键．三、解答题1、（1）图见解析，点C 的坐标为()1,1-（2）图见解析，4【分析】（1）根据题意，腰长为无理数且ABC 为以AB 为底的等腰三角形，只在第二象限，作图即可确定点，然后写出点的坐标即可；（2）现确定旋转后的点，然后依次连接即可，根据旋转前后三角形的面积不变，利用表格及勾股定理确定三角形的底和高，即可得出面积．（1）解：如图所示，点C 的坐标为()1,1-；BC AC =（2）如图所示：点A '的坐标()0,2-，点B '的坐标为()20,，∵旋转180°后的A B C ''的面积等于ABC 的面积，AB CD ===∴11422A B C S AB CD ''=⋅=⨯=△， ∴''A B C 的面积为4．【点睛】题目主要考查等腰三角形的定义及旋转图形的作法，理解题意，熟练掌握在坐标系中旋转图形的作法是解题关键．2、（1（2）PF =AB -PB 或PF =AB +PB ，理由见解析【分析】（1）根据△PBD 等腰直角三角形，PB ＝2，求出DB 的长，由⊙O 是△PBD 的外接圆，∠DBE ＝30°，可得答案；（2）根据同弧所对的圆周角，可得∠ADP =∠FBP ，由△PBD 等腰直角三角形，得∠DPB =∠APD =90°，DP =BP ，可证△APD ≌△FPB ，可得答案．【详解】解：（1）由题意画以下图，连接EP ，∵△PBD 等腰直角三角形，⊙O 是△PBD 的外接圆，∴∠DPB =∠DEB =90°，∵PB ＝2，∴DB ，∵∠DBE ＝30°，∴1122DE DB ==⨯=（2）①点P 在点A 、B 之间，由（1）的图根据同弧所对的圆周角相等，可得：∠ADP =∠FBP ，又∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APD =90°，DP =BP ，在△APD 和△FPB 中ADP FBP DP BPDPB APD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∵AP +PB =AB∴FP +PB =AB ，∴FP =AB -PB ，②点P 在点B 的右侧，如下图：∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APF =90°，DP =BP ，∵∠PBF+∠EBP =180°，∠PDA +∠EBP =180°，∴∠PBF =∠PDA ，在△APD 和△FPB 中DPB APF DP BPPBF PDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∴AB +PB =AP ，∴AB +PB =PF ，∴PF = AB +PB ．综上所述，FP =AB -PB 或PF = AB +PB ．【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做题的关键是注意（2）的两种情况．3、（1）4；（2）-1或-7【分析】（1）如图，130DAD ∠=︒且11D C O 、、三点在一条直线上的情况，连接1D O ，过点D 向x 作垂线交点为E ，在直角三角形1D EO 中，1130AD E AOD ∠=︒=∠，11sin30D E OD =︒，可求1D O 的长； （2）如图，过点1D 向x 作垂线交点为N ，过点1C 作x 轴垂线交于点G ，作11D M C G ⊥交点为M ；由111111111AND C MD AD N C D M AD C D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，知111AND C MD ≌，11D N D M =，点G 坐标为()4,0G -，得4p =-，由2225p q +=知q 的值，从而得到p q +的值．【详解】解：（1）∵∠DAD 1＝30°且D 1、C 1、O 三点在一条直线上∴如图所示，连接1OD ，过点1D 向x 作垂线交点为E∴1130AD E AOD ∠=︒=∠∵12n D E ==111sin302D E OD ∴=︒= 14OD ∴=．（2）如图过点1D 向x 作垂线交点为N ，过点1C 作x 轴垂线交于点G ，作11D M C G ⊥交点为M11190AND D MC ∠=∠=︒，111111190AD N ND C ND C C D M ∠+∠=∠+∠=︒111AD N C D M ∴∠=∠在1AND 和11C MD 中111111111AND C MD AD N C D M AD C D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()111AND C MD AAS ∴≌11D N D M ∴=G 点横坐标可表示为14m NG m D M m n +=+=+=-()4,0G ∴-4p ∴=-2225p q +=3q ∴=±∴p +q =-7或-1．【点睛】本题考查了锐角三角函数值，三角形全等,图形旋转的性质等知识．解题的关键与难点是找出线段之间的关系．4、（1）MPN ∆是等腰直角三角形，证明见解析（2）MNP ∆【分析】（1）连接BD ，CE ，根据SAS 证明BAD CAE ∆≅∆得BD=CE ，根据三角形中位线性质可证明PM=PN ；90MPN ∠=︒，进而可得结论； （2）当BD 最小时即点D 在AB 上，此时MNP ∆周长最小，当点D 在BA 的延长线上时，BD 最大，此时MNP ∆周长最大，均为2)PN ，求出BD 的长即可解决问题．（1）连接BD ，CE ，如图，∵AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒，∴90,90BAD CAD CAE CAD ∠+∠=︒∠+∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴BAD CAE ∆≅∆∴BD=CE，ABD ACE ∠=∠∵点M ，N ，P 分别是,,DE BC CD 的中点∴MP //EC ，12MP CE =，PN//BD ，PN=12BD∴PM=PN，,NPD DCE DPN PNC PCN ∠=∠∠=∠+∠∵PN//BD∴∠PNC=∠DBC∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECA+∠ACD+∠PCN+∠PNC=∠ACB+∠DBC+∠ABD=∠ACB+∠ABC=90° ∴MP PN ⊥∴MPN ∆是等腰直角三角形；（2）由（1）知，MPN ∆是等腰直角三角形∴MN∴MPN ∆的周长为22)MN PN PM PN PN ++=+= ∵12PN BD =∴MPN ∆ 当BD 最小时即点D 在AB 上，此时MNP ∆周长最小，∵AB=8，AD=3∴BD 的最小值为AB-AD=8-3=5∴MNP ∆周长最小为25=22⨯ 当点D 在BA 的延长线上时，BD 最大，此时MNP ∆周长最大，∴BD=AB+AD=8+3=11∴MNP ∆ 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理的应用等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．5、（1）4（2）53【分析】（1）由旋转知：AM =AC =1，BN =BC ，将△ABC 的周长转化为MN ；（2）由α+β=270°，得∠ACB=90°，利用勾股定理列方程即可．（1）解：由旋转知：AM=AC=1，BN=BC=3-x，∴△ABC的周长为：AC+AB+BC=MN=4；故答案为：4；（2）解：∵α+β=270°，∴∠CAB+∠CBA=360°-270°=90°，∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=180°-90°=90°，∴AC2+BC2=AB2，即12+（3-x）2=x2，解得53x ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，证明∠ACB=90°是解题的关键．。
2020-2021学年沪教新版九年级下册数学《第24 圆》单元测试卷一．选择题1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOC＝63°，∠BCA＝25°，则∠BOC的度数为（）A．100°B．110°C．113°D．120°3．如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB→BC→CD→DA连续翻转（小正方形起始位置在AB边上），那么这个小正方形翻转到DA边的终点位置时，它的方向是（）A．B．C．D．4．如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC 关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）5．如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在上，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P＝50°，则∠DOE的度数为（）A．130°B．50°C．60°D．65°6．下列说法中正确的是（）A．直角三角形只有一条高B．三角形任意两个内角的和大于第3个内角C．在同圆中任意两条直径都互相平分D．如果一个多边形的各边都相等，那么它是正多边形7．下列图形中，旋转120°后可以和原图形重合的是（）A．正七边形B．正方形C．正五边形D．正三角形8．有下列说法：①轴对称的两个三角形形状相同；②面积相等的两个三角形是轴对称图形；③轴对称的两个三角形的周长相等；④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是形状相同的．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm10．设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（）A．h＝R+r B．R＝2r C．r＝a D．R＝a二．填空题11．如图，A，B，C是⊙O上顺次三点，若AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形，正方形，正n边形的一边，则n＝．12．如图，AB是⊙O的弦，连接OA，OB．若AB＝OA＝2，则∠AOB＝度．13．如图，AB，AC分别是⊙O的切线和割线，且∠C＝45°，∠BDA＝60°，CD＝，则切线AB的长是．14．如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径．若∠BCD＝35°，则∠ABC的大小等于度．15．已知扇形的圆心角为120°，面积为π，则扇形的半径是．16．如图，△ABC的周长为24cm，AC＝8cm，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，则△BMN的周长为cm．17．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝70°，则∠D＝°．18．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果AB＝8cm，CD＝2cm，那么⊙O 的半径是cm．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA 绕着点C逆时针旋转90°至线段CB，连接BO，则BO的最小值是．20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tan A＝，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，点F是DE上一动点，以点F为圆心，FD为半径作⊙F，当FD＝时，⊙F与Rt△ABC的边相切．三．解答题21．如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形EFGC，点E在AD上，延长AD交FG于点H．求证：△EDC≌△HFE．22．如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，PC＞PD．（1）试说明：△PAC∽△PDB；（2）设PA＝4，PB＝3，CD＝8，求PC、PD的长．23．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径．24．如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．25．如图，BD＝OD，∠B＝38°，求∠AOD的度数．26．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠DAB＝60°，求AD的长．27．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的长．28．如图①，已知圆锥的母线长l＝16cm，若以顶点O为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角θ＝270°．（1）求圆锥的底面半径；（2）求圆锥的表面积．参考答案与试题解析一．选择题1．解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A．2．解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠BCA＝50°，∴∠BOC＝∠AOC+∠BOA＝113°，故选：C．3．解：根据题意分析可得：小正方形沿着正方形ABCD的边AB⇒BC⇒CD⇒DA⇒AB连续地翻转，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方，如图所示：回到DA边的终点位置时它的方向是向下．故选：C．4．解：∵点C的坐标为（2，1），∴点C′的坐标为（﹣2，1），∴点C″的坐标的坐标为（2，﹣1），故选：A．5．解：如图，连接OA、OB、OC，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵DE切⊙O于C，∴OC⊥DE，∴∠DCO＝∠ECO＝90°，∵PA、PB、DE是⊙O的切线，切点是A、B、C，∴∠AEO＝∠CEO，∠CDO＝∠BDO，∵∠AOE＝180°﹣∠OAE﹣∠AEO，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠CEO，∴∠AOE＝∠COE，同理可证：∠COD＝∠BOD，∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝∠AOB＝×130°＝65°．故选：D．6．解：A、直角三角形有3条高，故原命题错误，不符合题意；B、钝角三角形的两个较小的锐角的和小于最大的钝角，故原命题错误，不符合题意；C、在同圆中任意两条直径都互相平分，正确，符合题意；D、如果一个多边形的各角相等，各边都相等，那么它是正多边形，故原命题错误，不符合题意；故选：C．7．解：∵正三角形的中心角为120°，∴正三角形旋转120°可以和原图形重合，故选：D．8．解：①轴对称的两个三角形形状相同，故正确；②面积相等的两个三角形形状不一定相同，故不是轴对称图形，故错误；③轴对称的两个三角形的周长相等，故正确；④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是形状相同的，故正确．故选：B．9．解：连接OA，则OA＝10cm，∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm，∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm，在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（cm），∵OC＝10cm，∴CD＝OC﹣OD＝4cm，故选：C．10．解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，设OE＝r，AO＝R，AD＝h，∴h＝R+r，故A正确；∵AD⊥BC，∴∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°，在Rt△AOE中，∴R＝2r，故B正确；∵OD＝OE＝r，∵AB＝AC＝BC＝a，∴AE＝AC＝a，∴（a）2+r2＝（2r）2，（a）2+（R）2＝R2，∴r＝，R＝a，故C错误，D正确；故选：C．二．填空题11．解：如图，连接OA，OC，OB．∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，由题意得30°＝，∴n＝12，故答案为：12．12．解：∵OA＝OB，AB＝OA，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，故答案为：60．13．解：过点A作AM⊥BD与点M．∵AB为圆O的切线∴∠ABD＝∠C＝45°（弦切角等于所夹弧所对的圆周角）∵∠BDA＝60°∴∠BAD＝75°，∠DAM＝30°，∠BAM＝45°设AB＝x，则AM＝x，在直角△AMD中，AD＝x由切割线定理得：AB2＝AD•ACx2＝x（x+）解得：x1＝6，x2＝0（舍去）故AB＝6．故答案是：6．14．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵直线CD与⊙O相切，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝35°，∴∠A＝35°，∴∠ABC＝55°．故答案为：55°．15．解：∵S＝，扇形∴r2＝＝＝3，∴r＝（负值舍去），故答案为．16．解：设⊙O与△ABC与各边的切点分别为D、E、F，⊙O与MN相切于G点，如图，∴AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，∵AC＝8，即AF+CF＝8，∴AD+CE＝8，∵△ABC的周长为24，∴AB+BC+AC＝24，∴AB+BC＝16，即BD+AD+BE+CE＝16，∴BD+BE＝8，∵⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，∴MD＝MG，NG＝NE，∴△BMN的周长＝BM+BN+MN＝BM+BN+MG+NG＝BM+BN+MD+NE＝BD+BE＝8（cm）．故答案为8．17．解：在圆内接四边形ABCD中，∠B＝70°，∴∠D＝180°﹣70°＝110°，故答案为：110．18．解：连接OA，如图所示：∵半径OC⊥AB，AB＝8cm，∴AD＝BD＝AB＝4（cm），设⊙O的半径为rcm，则OD＝（r﹣2）cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为5cm，故答案为：5．19．解：设C（0，m），过点B作BM⊥y轴，垂足为点M，∴∠BMC＝90°，∴∠MCB+∠B＝90°，∵线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，∴∠BAC＝90°，CB＝CA，∴∠MCB+∠ACO＝90°，∴∠B＝∠ACO，∵∠AOC＝90°，∴△AOC≌△CMB（AAS），∴MC＝OA，MB＝OC，∵点C（0，m），点A（1，0），∴点B的坐标为（m，m+1），∴点B的运动轨迹是直线y＝x+1，∵直线Y＝x+1交x轴于E（﹣1，0），交y轴于F（0，1），∴OE＝OF＝1，EF＝，过点O作OT⊥EF于T．则OT＝EF＝，根据垂线段最短可知，当点B与点T重合时，OB的值最小，最小值为，故答案为：．20．解：如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，∴DF＝HF，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tan A＝＝，∴AC＝4，AB＝5，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，∴∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，∵FH⊥AC，CD⊥AC，∴FH∥CD，∴△EFH∽△EDC，∴＝，∴＝，解得：DF＝；如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AB相切时，延长DE交AB于H，∵∠A＝∠D，∠AEH＝∠DEC∴∠AHE＝90°，∴点H为切点，DH为⊙F的直径，∴△DEC∽△DBH，∴＝，∴＝，∴DH＝，∴DF＝，综上所述，当FD＝或时，⊙F与Rt△ABC的边相切，故答案为：或．三．解答题21．证明：∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到，∴FE＝AB＝DC，∠F＝∠EDC＝90°，FH∥EC，∴∠FHE＝∠CED．在△EDC和△HFE中，，∴△EDC≌△HFE（AAS）．22．（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△PAC∽△PDB；（2）解：由相交弦定理得到，PA•PB＝PC•PD，即3×4＝PC×（8﹣PC），解得，PC＝2或6，则PD＝6或2，∵PC＞PD，∴PC＝6，PD＝2．23．解：设圆形切面的半径为r，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD＝BD＝AB＝×10＝5cm，∵最深地方的高度是3cm，∴OD＝r﹣3，在Rt△OBD中，OB2＝BD2+OD2，即r2＝52+（r﹣3）2，解得r＝（cm），∴输水管的半径为cm．24．解：（1）结论：四边形ABDF是菱形．∵CD＝DB，CE＝EA，∴DE∥AB，AB＝2DE，由旋转的性质可知，DE＝EF，∴AB＝DF，AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形，∵BC＝2AB，BD＝DC，∴BA＝BD，∴平行四边形ABDF是菱形．（2）连接BF，AD交于点O．∵四边形ABDF是菱形，∴AD⊥BF，OB＝OF，AO＝OD，设OA＝x，OB＝y，则有，∴x+y＝4，∴x2+2xy+y2＝16，∴2xy＝7，＝×BF×AD＝2xy＝7．∴S菱形ABDF25．解：∵BD＝OD，∠B＝38°，∴∠DOB＝∠B＝38°，∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2×38°＝76°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝76°，∴∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠ADO＝180°﹣76°﹣76°＝28°．26．（1）证明：连接OC，如图1所示：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥DC，∴CD⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；（2）解：连接BC，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC＝，AD＝CD＝3．27．解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G；∴∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠DCB，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴∠CBO+∠BCO＝∠ABC+∠DCB＝（∠ABC+∠DCB）＝90°．∴cm．28．解：（1）由题意2πr＝，∴r＝12．（2）圆锥的表面积＝π•122+•2π•12•16＝336π．。
