北京市北大附中2017-2018年高二期末考试数学(理)Word版含解析

2017-2018学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞03．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B． C．﹣+D．﹣﹣﹣4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为05．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=06．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．107．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x= D．x=﹣8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．11．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= ，||PF2|= ．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为．14．已知点A（0，2），点B（0，﹣2），直线MA、MB的斜率之积为﹣4，记点M的轨迹为C （I）曲线C的方程为；（II）设QP，为曲线C上的两点，满足OP⊥OQ（O为原点），则△OPQ面积的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量=（2，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣4）．（1）计算2﹣3和|2﹣3|；（2）求＜，＞16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= ．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞0【考点】的否定．【分析】直接利用全称的否定是特称，写出结果即可．【解答】解：因为全称的否定是特称，所以，p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x∈R，2x≤0．故选：B．3．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．【解答】解：由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =，=，可知： =+， =，==，=﹣+．故选：C．4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为0【考点】四种间的逆否关系．【分析】根据四种之间的关系，分别写出原的逆、否、逆否，再写出原的否定即可得出结论．【解答】解：原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，所以逆是：“若a、b全为0，则a2+b2=0”，选项A正确；否是：“若a2+b2≠0，则a、b不全为0”，选项B错误；逆否是：“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，选项C错误；否定是：“若a2+b2=0，则a、b不全为0”，选项D错误．故选：A．5．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的离心率，求出a，b的比值，然后求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由已知，双曲线﹣=1的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y=，即： x±y=0．故选：C6．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．10【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出△PF1F2的面积．【解答】解：由题意得 a=2，b=，c=3，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+2•|PF|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|，1∴36=4×4+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=10，∴△PF1F2面积为•|PF1|•|PF2|=5，故选：C．7．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=D．x=﹣【考点】抛物线的标准方程．【分析】求出A，B的坐标，利用两点间的距离公式结合弦长公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（1，），B（，﹣），∴|AB|==，∴=1++p，∴p=1，∴抛物线的准线方程为x=﹣．故选：D．8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】轨迹方程．【分析】根据距离相等列出方程化简求出y关于x的函数，作出图象即可得出结论．【解答】解：曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=，两边平方得：2|xy|=﹣2x﹣2y+2，即|xy|+x+y=1，①若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，∴y=，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支，②若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1=0，即（x﹣1）（y﹣1）=0，∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．作出图象如图所示：∴曲线W关于直线y=x对称；故选A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意设双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入题中的点的坐标，即可得到λ=4，将方程化成标准形式，即可得到该双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得故答案为：10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列出方程求出x的值．【解答】解：∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣411．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= 2.5 ，||PF2|= 1.5 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，结合|PF1|﹣|PF2|=1，可得结论．【解答】解：椭圆+=1中，a=2，∵P是椭圆+=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，∵|PF1|﹣|PF2|=1，∴|PF1|=2.5，||PF2|=1.5．故答案为：2.5，1.5．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．【考点】空间中的点的坐标．【分析】=（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =（1﹣λ，2λ，0）．有⊥，可得•=0，解得λ，即可得出．【解答】解： =（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =+λ=（1﹣λ，2λ，0）．∴=（1﹣λ，2λ，﹣1）．∵⊥，∴•=﹣（1﹣λ）+4λ=0，解得：λ=，∴=．故答案为：．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为（1，2]∪∪，∴＜，＞=．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明AC，CB，CC1两两垂直，以C为原点建立坐标系，求出，的坐标，计算其数量积为0得出AB1⊥C1B；（2）求出平面ABB1A1的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O．∵CC1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，∴AC，CB，CC1两两垂直，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC=3，BC=CC1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，4），=（0，﹣4，4），∴=﹣3•0+4•（﹣4）+4•4=0，∴AB1⊥BC1．（2）解：∵A1（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，0），=（0，0，4），=（0，4，﹣4）．设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，∴．令x=4得=（4，3，0）．∴cos＜＞===．∴直线C1B与平面ABB1A1所成角的正弦值为．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设出抛物线的方程，求出p的值，从而求出抛物线的标准方程即可；（2）通过讨论直线l的斜率，求出|AB|的表达式，求出k的值，从而求出|AB|即可．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），由其焦点为F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，故所求抛物线C的标准方程为y2=4x；（2）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：|AB|=4，此时△AOB的面积为S△AOB=|OF|•|AB|=×1×4=2，不符合题意，故舍去．②当直线l斜率存在时，可设其为k（k≠0），则此时直线l的方程为y=k（x﹣1），将其与抛物线C的方程：y2=4x联立化简整理可得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，（k≠0），设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由弦长公式可得：|AB|=x1+x2+p=2++2=+4，由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为d=，故△AOB的面积为S△AOB=|AB|d=2（+|k|）==4，==16，解得：k=±，k2=，又|AB|=+4=12+4=16，因此，当△AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，即可求出当|PA|最小时，点P的坐标；（II）由圆的方程为求得圆心C（3，0）、半径r为：1，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小，利用距离公式，结合配方法，即可得出结论．．【解答】解：（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，∴x=2时，|PA|最小，此时y=±2，∴点P的坐标为（2，±2）；（II）圆C：（x﹣3）2+y2=1圆心C（3，0）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．由（I），|PA|最小为，∴四边形PMAN的面积的最小值为2×=故答案为：（2，2）或（2，﹣2）；．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= 3 ．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（I）利用重心的坐标计算公式即可得出．（II）利用重心的坐标计算公式可得M坐标，可得，，再利用模的计算公式即可得出．【解答】解：（I）x G==1，y G==，z G==1，∴重心G的坐标为．（II）M，即M．=， =，∴==3．故答案分别为：；3．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知： =k+2， +=1，×k=﹣1，联立解出即可得出．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解得：c=，a=2，b=1．所求椭圆C的方程为=1．（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．则线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知：点D在直线l上，故有=k+2，①点O在椭圆C上，故有+=1，②线段OO′与直线l垂直，故有×k=﹣1，③由①③可得：x0=﹣，，将其代入②可得：k=．故所求直线l的方程为：y=x+2．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）取AB中点M，连结CM，DM，则∠CMD为所求二面角的平面角，计算出△CDM的边长，利用余弦定理求出∠CMD；（2）利用在余弦定理求出∠BCD，则B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD；（3）以A为原点建立空间直角坐标系，设，B到平面ACD的距离为h，求出，计算是否为0即可得出结论．【解答】解：（1）在图（1）中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=．当D为AB边的中点时，AD=BD=CD==，且CD⊥AB．在图（2）中取AB的中点M，连结DM，CM．∵CA=CB=1，AD=BD=，AB=1，∴DM=，CM=，且CM⊥AB，DM⊥AB．∴∠CMD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．在△CDM中，由余弦定理得cos∠CMD===．∴二面角C﹣AB﹣D的大小为arccos．（2）在图（1）中，当AD=2BD时，BD=AB=，在△BCD中，由余弦定理得：CD==．由正弦定理得：，∴sin∠BCD==．在图（2）中，∵二面角B﹣CD﹣A是直二面角，∴∠BCD为BC与平面ACD所成的角，∴点B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD=．（3）设=λ（λ＞0），则AD=，BD=．在平面ACD中过A作AC的垂线Ay，过A作平面ACD的垂线Az，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：设B到平面ACD的距离为h，则A（0，0，0），C（1，0，0），D（，，0），B（，，h）．设AB的中点为M，则M（，，），∴=（，，），=（，，0）．∵CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB，假设二面角C﹣AB﹣D是直二面角，则CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD．∵=•++0=≠0．与CM⊥AD矛盾．∴不存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角．2016年10月28日。

2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB的中点的坐标是（）A．（1，1，1）B．（2，1，1）C．（1，1，2）D．（1，2，3）3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．405．（4分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中假命题是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m?β，则α⊥βD．若m∥α，α∥β，n?β，则m∥n6．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°7．（4分）“ｍ＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一个点A到平面β，平面γ的距离都等于1．则在平面α内与点A，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为．10．（4分）直线被圆x2+y2=1所截得的弦长为．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是．（只需写出一组）12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C三点共线，则x+y=．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．x04y﹣214．（4分）曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2①请写出曲线W的两条对称轴方程；②请写出曲线W上的两个点的坐标；③曲线W上的点到原点的距离的取值范围是．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅱ）求二面角O﹣EG﹣F的余弦值；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．18．（12分）已知抛物线W：y2=4x，直线x=4与抛物线W交于A，B两点．点P （x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，直线PA，PB分别与x轴交于M，N．（Ⅰ）若△PAB的面积为4，求点P的坐标；（Ⅱ）当直线PA⊥PB时，求线段PA的长；（Ⅲ）若△PMN与△PAB面积相等，求△PMN的面积．2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．1【解答】解：直线2x+y﹣1=0化为：y=﹣2x+1，则在y轴上的截距为1．故选：D．2．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB的中点的坐标是（）A．（1，1，1）B．（2，1，1）C．（1，1，2）D．（1，2，3）【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点A（1，0，1），B（3，2，1），∴线段AB的中点的坐标是（2，1，1）．故选：B．3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．【解答】解：∵圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，∴0+0﹣0+m+1=0，则实数m=﹣1，故选：B．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．40【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为2的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V=10×2×2﹣2×2×1=36．故选：C．5．（4分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中假命题是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m?β，则α⊥βD．若m∥α，α∥β，n?β，则m∥n【解答】解：由平面α，β，直线m，n，知：在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判断定理得α∥β，故A正确；在B中，若m∥n，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故B正确；在C中，若m⊥α，m?β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m∥α，α∥β，n?β，则m与n平行或异面，故D错误．故选：D．6．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120° D．150°【解答】解：椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，|MF1|+|MF2|=8，所以|MF1|=5，|MF2|=3，|F1F2|=4，则△F1MF2中最大角为：∠F1F2M=90°．故选：A．7．（4分）“ｍ＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程x2+my2=m表示双曲线，+y2=1?m＜0．∴“ｍ＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的充要条件．故选：C．8．（4分）平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一个点A到平面β，平面γ的距离都等于1．则在平面α内与点A，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图1所示，∠OCB=45°，令∠OAB=22.5°，∴AC=BC，点C满足题意；如图2所示，∠OAN=45°，令∠OMN=22.5°，则AN=AM，点M满足题意；综上，满足条件的点的个数是2个．故选：B．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为135°，经过点（1，1）且与直线l 平行的直线方程为x+y﹣2=0．【解答】解：直线l：x+y﹣1=0的斜率为k=﹣1，倾斜角为α=135°，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：135°，x+y﹣2=0．10．（4分）直线被圆x2+y2=1所截得的弦长为．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径r=1，圆心O（0，0）到直线的距离：d==，∴直线被圆x2+y2=1所截得的弦长为：|AB|=2=2=．故答案为：．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是A1、A、C、D．（只需写出一组）【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，∴A1D⊥CD，AD⊥CD，AA1⊥CD，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥AD，AA1⊥AC，∴从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点A1、A、C、D，构成一个三棱锥A1﹣ACD，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．故答案为：A1、A、C、D．12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C三点共线，则x+y=﹣．【解答】解：=（x﹣1，1，﹣1），=（3，y﹣2，2），∵A，B，C三点共线，∴存在实数k使得：=k，∴，解得k=﹣，x=﹣，y=0．∴x+y=﹣．故答案为：﹣．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．x04y﹣2【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴图标中点（0，）是椭圆上的点，则（4，﹣2），（，﹣）是双曲线上的两点．设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则，解得．∴，．则e=．故答案为：．14．（4分）曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2①请写出曲线W的两条对称轴方程x=0，y=0；②请写出曲线W上的两个点的坐标（0，0）、（1，1）；③曲线W上的点到原点的距离的取值范围是[0，] ．【解答】解：①，曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2，分析可得，有[x2+（﹣y）2]3=8x2（﹣y）2，其图象关于x轴对称，又由有[（﹣x）2+y2]3=8（﹣x）2y2，其图象关于y轴对称，则曲线W的两条对称轴方程为x=0，y=0；②，曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2，有（02+02）3=8×02×02，（12+12）3=8×12×12，点（0，0）与（1，1）都在曲线上，则曲线W上的两个点的坐标为（0，0），（1，1）；③，曲线W的方程为（x2+y2）3=8x2y2，设（x，y）是曲线W上的点，其到原点的距离为t，则t=，（t≥0）又由x2y2≤（）2，则有（x2+y2）3≤（）2，即有t6≤，变形可得：0≤t≤，即曲线W上的点到原点的距离的取值范围为[0，]．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，∵．∴=a，则a=2，即圆心C（2，2），．则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．（Ⅱ）若直线斜率不存在，则直线方程为x=1，圆心到直线x=1的距离d=2﹣1=1=r，此时满足直线和圆相切，若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时直线方程为x﹣y﹣=0，即3x﹣4y﹣3=0，则对应的切线方程为x=1或3x﹣4y﹣3=0．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．【解答】证明：（Ⅰ）∵点D，E分别是BC，PB的中点．∴DE∥PC，∵DE?平面PAC，PC?平面PAC，∴DE∥平面PAC．（Ⅱ）∵三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D是BC，∴PD⊥BC，AD⊥BC，∵PD∩AD=D，∴BC⊥平面PAD，∵BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAD．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅱ）求二面角O﹣EG﹣F的余弦值；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）F，D为所求的点．证明如下：∵四边形ABCF是等腰梯形，点O是FC的中点，点G是AB的中点，∴OG⊥FC，又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，∴OG⊥平面FCDE，同理，取DE中点M，由OM⊥平面ABCF，分别以OG、OC、OM为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，由AB=2，得G（，0，0），D（0，1，），E（0，﹣1，），F（0，﹣2，0），则=（0，3，），=（，0，0），=（0，﹣1，），∵=0，=0，∴FD⊥OG，FD⊥OE，∵EO∩OG=0，∴FD⊥平面ECO．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面EGO的一个法向量为=（0，3，），设平面EFG的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（﹣2，，﹣1），∴cos＜，＞==，∵二面角O﹣EG﹣F的平面角为钝角，∴二面角O﹣EG﹣F的余弦值为﹣．（Ⅲ）假设存在点H，使得BH∥平面EGO，设=，∴，∴=0，∵B（，1，0），C（0，2，0），=（0，3，），=（﹣，0，）+（0，﹣λ，）=（﹣，﹣λ，），=0﹣3λ+3+3λ=3，这与=0矛盾，∴在线段CD上不存在点，使得BH∥平面EGO．18．（12分）已知抛物线W：y2=4x，直线x=4与抛物线W交于A，B两点．点P （x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，直线PA，PB分别与x轴交于M，N．（Ⅰ）若△PAB的面积为4，求点P的坐标；（Ⅱ）当直线PA⊥PB时，求线段PA的长；（Ⅲ）若△PMN与△PAB面积相等，求△PMN的面积．【解答】解：（Ⅰ）由，解得，或，不妨设A（4，4），B（4，﹣4），则|AB|=4+4=8，∵点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，∴点P到直线x=4的距离d为4﹣x0，∴S△PAB=|AB|?d=×8×（4﹣x0）=4，解得x0=3，当x0=3时，y0=2，∴点P的坐标为（3，2）；（Ⅱ）∵点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，∴P点的坐标（y02，y0），∴=（4﹣y02，4﹣y0），=（4﹣y02，﹣4﹣y0），∵PA⊥PB，∴?=（4﹣y02）2﹣（4﹣y0）（4+y0）=0，解得y0=0或y0=4，∴点P的坐标为（0，0）或（4，4），舍去．∴|PA|=4，（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，P点的坐标（y02，y0），∵A（4，4），B（4，﹣4），则直线AP的方程为y﹣4=（x﹣4）=（x﹣4），直线BP的方程为y+4=（x﹣4）=（x﹣4），∵直线AP，BP分别与直线x轴交于点M，N，∴令y=0，得x M=﹣y0，x N=﹣y0，∴△PMN的面积S△PMN=?|x M﹣x N|?y0=y02，∵△PAB的面积S△PAB=|4﹣x0|×8=16﹣y02，∴16﹣y02=y02，解得y02=8，∴S△PMN=8．。

2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=（a2﹣1）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．±1 D．﹣12．已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+y2=1 D．x2+y2=23．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．4x±9y=0 B．9x±4y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=04．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A．B．C．8cm2 D．4cm26．（sinx+acosx）dx=2，则实数a等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．7．如果存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）=cos2（ωx+φ）（ω，φ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1，0）），那么ω的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．③D．③④二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．复数=______．10．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为______，S4的值为______．11．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为______．12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数）和直线l：3x+4y﹣10=0，则直线l与圆C相交所得的弦长等于______．13．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），=______．14．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有a n=，+1为奇数的正整数，当a1=11时，a2016=______；若存在m∈N*，当n＞m且a n 其中k为使a n+1为奇数时，a n恒为常数p，则p的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos=．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求c的值．16．等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，{b n}的公比．（1）求a n与b n．（2）证明：小于．17．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．18．已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．19．已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；（3）若关于x的方程=f（x）+在区间（0，e）上有两个不相等的实根，求实数b的取值范围．20．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0，为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T=a0+a1+…+a5，x n=，y n=（a0+a1+…+a n），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P n（x n，y n）（n=0，1，2，…，5）的折线．（I）求f（0）和f（1）的值；P n的斜率为k n（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（II）设P n﹣1（III）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=（a2﹣1）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．±1 D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】由纯虚数的概念知实部为零，虚数不为零求解．【解答】解：∵z=（a2﹣1）+（a+1）i，又∵z是纯虚数∴得a=1故选B2．已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+y2=1 D．x2+y2=2【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】利用x=ρcosθ，ρ2=x2+y2，将曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，两边同乘ρ，化成直角坐标方程．【解答】解：曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，所以ρ2=2ρcosθ，它的直角坐标方程是：x2+y2=2x，即：（x﹣1）2+y2=1．故选A．3．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．4x±9y=0 B．9x±4y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：∵双曲线﹣=1，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，即3x±2y=0．故选：C．4．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【分析】利用诱导公式把要求的式子化为cos（2x﹣），再利用二倍角公式求得它的值．【解答】解：∵已知sin（）=，∴sin2x=cos（2x﹣）=1﹣2 =1﹣2×=，故选B．5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A．B．C．8cm2 D．4cm2【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知可求出正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，故左视图是长方形，长为，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：设正六棱柱的底面边长和侧棱长均为a，则体积V=Sh=6×=，解得a=2，故左视图是长方形，长为，宽为2，面积为×2=故选A6．（sinx+acosx）dx=2，则实数a等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．【考点】定积分．【分析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数进行代入计算，根据等式=2，列出关于a的方程，从而求解．【解答】解：∵=2，∴==（﹣cosx）+（asinx）=0﹣（﹣1）+a=2，∴a=1，故选B．7．如果存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）=cos2（ωx+φ）（ω，φ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1，0）），那么ω的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】化简函数的表达式为一个角的三角函数的形式，通过周期的范围，确定ω的范围，利用图象经过点（1，0），以及，缩小ω的范围，根据ω为整数，求出ω的值．【解答】解：由f（x）=cos2（ωx+φ）=及图象知：函数的半周期在（，1）之间，即得，正整数ω=2或3；由图象经过点（1，0），所以知2ω+2ϕ=（2k+1）π（k∈Z），2ω=﹣2ϕ+（2k+1）π由图象知，即，得cos2ω＜0，又ω为正整数，所以ω=2，故选B8．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．③D．③④【考点】棱锥的结构特征．【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假．【解答】解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，∴AC=BC=，AB=当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确故选D二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．复数=﹣1+i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】结合=i，i2=﹣1，结合复数代数形式的混合运算的运算法则，易化简复数式，得到管好．【解答】解：==i•（1+i）=﹣1+i故答案为：﹣1+i10．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a1和q的值，则S4的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a3=2，则S4=4a3=4×2=8，5S2=5×2S3=5×2×2=20，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a3=2，S4=5S2，得：，整理得，解得，q=±2．因为数列{a n}的各项均为正数，所以q=2．则．故答案为；．11．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】由已知中圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2，由半径长、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出BC的长，进而求出AC长，由切割线定理，得到切线AD的长．【解答】解：∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2∴BC=2=2又∵AB=3，∴AC=5又∵AD为圆O的切线ABC为圆O的割线由切割线定理得：AD2=AB•AC=3×5=15∴AD=12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数）和直线l：3x+4y﹣10=0，则直线l与圆C相交所得的弦长等于4．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由题意将圆C化为一般方程坐标，然后再计算直线l与圆C相交所得的弦长．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），∴（x+1）2+（y﹣2）2=25，∴圆心为（﹣1，2），半径为5，∵直线l的方程为：3x+4y﹣10=0，∴圆心到直线l的距离d==1，∴直线l与圆C相交所得的弦长L=2×=4．故答案为：4．13．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），=3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质，求出A、B的坐标，然后求比值即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，又，可得，则，故答案为：3．=，14．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有a n+1其中k为使a n为奇数的正整数，当a1=11时，a2016=98；若存在m∈N*，当n＞m且a n +1为奇数时，a n恒为常数p，则p的值为1或5．【考点】数列的应用．【分析】由题设分别求出a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，仔细观察能够发现{a n }从第3项开始是周期为6的周期数列，故a 2016=a 6=98，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ，知a n =p ，a n +1=3p +5，a n +2=，再由数列{a n }的各项均为正整数，能求出p ．【解答】解：由题设知，a 1=11， a 2=3×11+5=38， a 3==19，a 4=3×19+5=62， a 5==31，a 6=3×31+5=98， a 7=49，a 8=3×49+5=152， a 9==19，∴{a n }从第3项开始是周期为6的周期数列， a 2016=a 6=98，若存在m ∈N *，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ， 则a n =p ，a n +1=3p +5，a n +2=，∴（3﹣2k ）p=﹣5，∵数列{a n }的各项均为正整数， ∴当k=2时，p=5， 当k=3时，p=1．故答案为：98，1或5．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos =．（Ⅰ）求cosB 的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求c 的值． 【考点】余弦定理；二倍角的余弦． 【分析】（I ）根据，结合cosB=1﹣2sin 2，可求cosB 的值；（II 由余弦定理可得c 的值． 【解答】解：（I ）∵，∴，∴sin =∴cosB=1﹣2sin 2=； （II ）∵a=3，b=2，cosB=∴由余弦定理可得8=9+c 2﹣2c∴c2﹣2c+1=0∴c=1．16．等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，{b n}的公比．（1）求a n与b n．（2）证明：小于．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解答时：（1）利用b2+S2=12和数列{b n}的公比．即可列出方程组求的q、a2的值，进而获得问题的解答；（2）首先利用等差数列的前n项和公式计算出数列的前n项和，然后利用放缩法即可获得问题的解答．【解答】解：（I）由已知可得．解得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6∴a n=3+（n﹣1）3=3n∴b n=3n﹣1（2）证明：∵∴∴==∵n≥1∴0＜∴故．17．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）先证明四边形ADGB是平行四边形，可得AB∥DG，从而证明AB∥平面DEG．（Ⅱ）过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再证BH⊥EG，从而可证EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．（Ⅲ）分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．求出平面DCF的法向量为n=（x，y，z），则由求得二面角C﹣DF﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG．又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．（Ⅲ）分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．设平面DCF的法向量为n=（x，y，z），∵，∴，即，令z=1，得n=（﹣1，2，1）．设二面角C﹣DF﹣E的大小为θ，则，∴二面角C﹣DF﹣E的余弦值为．18．已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，结合垂心的定义和向量垂直的条件，化简整理计算即可得到所求直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，故椭圆方程为．（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为M（0，1），F（1，0），故k PQ=1．于是设直线l的方程为y=x+m，由得3x2+4mx+2m2﹣2=0．由△＞0，得m2＜3，且，．由题意应有，又，故x1（x2﹣1）+y2（y1﹣1）=0，得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0．即．整理得．解得或m=1．经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去m=1．当时，所求直线l存在，且直线l的方程为．19．已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；（3）若关于x的方程=f（x）+在区间（0，e）上有两个不相等的实根，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的定义域，求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数的符号得原函数的单调区间；（2）把原函数求导后直接得到斜率的表达式，代入k≤后把参数a分离出来，然后利用二次函数求最值得到实数a的最小值；（3）把f（x）=lnx+代入方程=f（x）+，整理后得b=lnx﹣x2+，讨论原方程的根的情况，引入辅助函数h（x）=lnx﹣x2﹣b+，求导得到函数在（0，+∞）上的最大值，由最大值大于0，等于0，小于0分析b的取值情况．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx+（a＞0）的定义域为（0，+∞），则f′（x）=﹣=，因为a＞0，由f′（x）＞0得x∈（a，+∞），由f′（x）＜0得x∈（0，a），所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．（2）由题意，以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k满足k=f′（x0）=≤（x0＞0），所以a≥﹣x02+x0对x0＞0恒成立．又当x0＞0时，﹣x02+x0=﹣（x0﹣1）2+≤，所以a的最小值为．（3）由=f（x）+，化简得b=lnx﹣x2+，（x∈（0，+∞））．令h（x）=lnx﹣x2+，则h′（x）=﹣x=，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．所以h（x）在x=1处取得极大值即最大值，最大值为h（1）=ln1﹣×12﹣b+=﹣b．故当﹣b＞0，即b＜0时，y=h（x）的图象与x轴恰有两个交点，方程=f（x）+有两个实根，当b=0时，y=h（x）的图象与x轴恰有一个交点，方程=f（x）+有一个实根，当b＞0时，y=h（x）的图象与x轴无交点，方程=f（x）+无实根．20．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0，为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T=a0+a1+…+a5，x n=，y n=（a0+a1+…+a n），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P n（x n，y n）（n=0，1，2，…，5）的折线．（I）求f（0）和f（1）的值；P n的斜率为k n（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（II）设P n﹣1（III）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．【考点】数列与解析几何的综合．【分析】（I）直接根据定义即可得到f（0）和f（1）的值；（II）先根据两点式写出直线的斜率，再根据a0，a1，a2，a3，a4，a5，是按从小到大的顺序排列即可得到结论；（III）由于f（x）的图象是连接各点P n（x n，y n）（n=0，1，…，5）的折线，把问题转化为证明f（x n）＜x n（n=1，2，3，4）；再对f（x）的表达式进行放缩即可得到结论．【解答】解：（I）解：f（0）==0，f（1）==1．（II）解：k n=，n=1，2， (5)因为a1＜a2＜a3＜a4＜a5，所以k1＜k2＜k3＜k4＜k5．（III）证明：由于f（x）的图象是连接各点P n（x n，y n）（n=0，1，…，5）的折线，要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（x n）＜x n（n=1，2，3，4）．事实上，当x∈（x n﹣1，x n）时，f（x）=（x﹣x n﹣1）+f（x n﹣1）=f（x n﹣1）+f（x n）＜+=x．下面证明f（x n）＜x n．对任何n（n=1，2，3，4），5（a1+…+a n）=[n+（5﹣n）]（a1+…+a n）=n（a1+…+a n）+（5﹣n）（a1+…+a n）≤n（a1+…+a n）+（5﹣n）na n=n[a1+…+a n+（5﹣n）a n]＜n（a1+…+a n+a n+1+…+a5）=nT．所以f（x n）=＜=x n．2016年9月29日。

北京师大附中2017—2018学年度第二学期统练1高二数学（理）2018.3本试卷共6页,100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(共6小题,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1. 在复平面内,复数13-iz =对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2. 已知曲线2122y x =-上一点1)2P -,则过点P 的切线的倾斜角为 （A ）30︒（B ）45︒ （C ）60︒ （D ）120︒3. 下列函数中,在区间0+∞（，）上单调递增的是（A ）2y x =-（B ）12log y x =（C ）1()2x y =（D ）1y x x=-4. 函数()ln 2f x x =,则()f x '=（A ）14x（B ）12x（C ）2x（D ）1x5. 下列结论：①(sin )cos x x '=;②211();x x '=③31(log );3ln x x '=④1(ln )x x'=.其中正确的有 （A ）3个（B ）2个（C ）1个（D ）0个 6. 已知,A B 是函数2x y =的图象上的相异两点,若点,A B 到直线12y =的距离相等,则点,A B 的横坐标之和的取值范围是（A ）(,1)-∞- （B ）(,2)-∞-（C ）(,3)-∞-（D ）(,4)-∞-二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) 7. 已知函数()sin ,f x x =则()2f π'=______.8. 已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切,则a 的值为______.9. 若函数()x x f x e ae -=+的导函数是奇函数,并且曲线()y f x =的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标是______. 10. 函数cos 1xy x=-的导数是______. 11. 已知32()(1)3,f x x x f x '=++则(1)f '的值为______.12. 函数32()39f x x x x =+-的单调增区间是______.13. 已知函数(),bf x ax x=+其中,a b 为常数.曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是320.x y -+=则()f x 的解析式是______.14. 如图,函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是5,y x =-+则(3)(3)f f '+=______.三、解答题(共4小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)15. 已知曲线3(),f x x x =-求过点(1,0)A 且与曲线3()f x x x =-相切的直线方程.16. 如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AA ⊥平面,ABCD //AB CD ,,AB AD ⊥1AD CD ==,12AA AB ==,E 为1AA 的中点.（Ⅰ）求四棱锥1C AEB B -的体积;（Ⅱ）设点M 在线段1C E 上,且直线AM 与平面11BCC B 所成角的正弦值为13,求线段AM 的长度;（Ⅲ）判断线段1B C 上是否存在一点N ,使得//NE CD ?（结论不要求证明）17. 设F 为抛物线2:2C y x =的焦点,,A B 是抛物线C 上的两个动点,O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线AB 经过焦点F ,且斜率为2,求AB ; （Ⅱ）当OA OB ⊥时,求OA OB ⋅的最小值.18. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ,（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设直线y kx =C 交于,M N 两点.若直线3x =上存在点P ,使得四边形PAMN 是平行四边形,求k 的值.北师大附高二年级第一次统练数学学科测试答案（理工类）2018.3一、选择题:本大题共6小题.二、填空题:本大题共8小题.7.0 8.2 9.ln 2 10.2(1)sin cos (1)x x xx -+-11.6-12.(,3)-∞-和(1,)+∞ 13.1()4f x x x=+14.1三、解答题:15. 解:2()31f x x '=-设切点坐标为3000(,)x x x -,200()31k f x x '==-,则切线方程为320000()(31)()y x x x x x --=--,因为切线过点(1,0)A ,所以3200000()(31)(1)x x x x --=--, 解得0011,2x x ==-当01x =时,切线方程为220x y --=； 当012x =-时,切线方程为410x y +-=.16. 解:（Ⅰ）∵1AA ⊥平面,ABCD AD ⊂平面,ABCD ∴1.AA AD ⊥又∵1,AB AD AA AB A ⊥⋂=, ∴AD ⊥平面11ABB A . ∵//AB CD ,∴四棱锥1C AEB B -的体积1113C AEB B AEB B V S AD -=⋅11[(12)2]1132=⨯⨯+⨯⨯=.（Ⅱ）以A 为原点,以AD 为x 轴,以1AA 为y 轴,以AB 为z 轴,建立空间直角坐标系, ∵1AD CD ==,12AA AB ==,E 为1AA 的中点,∴11(0,0,2),(0,2,2),(1,2,1),(1,0,1),(0,1,0),B B C C E1(0,2,0),(1,0,1)BB BC ==-. 设点(,,)M a b c ,∵点M 在线段1C E 上,∴1,0,EM EC λλ=> ∴(,1,)(1,1,1)(,,),a b c λλλλ-== 得(,1,),M λλλ+∴(,1,),AM λλλ=+ 设平面11BCC B 的一个法向量为(,,),n x y z = 由1200n BB y n BC x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩,取1,z =得(1,0,1).n = ∵直线AM 与平面11BCC B 所成角的正弦值为13,∴1cos ,32n AM n AM n AM⋅<>===⋅, 解得1=3λ.∴141(,,),333AM =则1(AM ==∴线段AM（Ⅲ）线段1B C 上不存在点N ,使得//NE CD . 17. （Ⅰ）由题意,抛物线C 的方程为22y x =,则其焦点坐标为1(,1)2F ,则直线AB 的方程为12()212y x x =-=-.由2212y x y x=-⎧⎨=⎩消去y ,得24610.x x -+= 设点1122(,),(,)A x y B x y , 则0,∆>且12123214x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩,所以52AB .（Ⅱ）设直线OA 的方程为,0,y kx k =≠ ∵OA OB ⊥,∴直线OB 的方程为1y x k=-,由22y kx y x =⎧⎨=⎩,解得222x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即222(,)A k k ,则24244OA k k =+,由212y x k y x⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得222x k y k ⎧=⎨=⎩,即2(2,2)B k k -,则24244OB k k =+,∴2422422441()()(44)16(2)OA OB k k k k k k ⋅=++=++22116(2)64k k ≥+⋅=, 当且仅当1k =±时取等号, ∴OA OB ⋅的最小值为8.18. 解:（Ⅰ）由题意得2,c a e a ===,所以c =. 因为222a b c =+,所以1=b , 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形,则//PA MN ,且=PA MN .所以直线PA 的方程为(2)y k x =-,所以(3,),P k PA 设1122(,),(,)M x y N x y . 由22344y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(41)8380k x kx +++=, 由0∆>,得212k >. 且1212283841k x x x x k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪+⎩. 所以22221212226432(1)[()4](1)(41)k k x x x x k k -++-⋅++因为=PA MN ,. 整理得421656330k k -+=,解得k =或k =经检验均符合0∆>,但k =PAMN 是平行四边形,舍去.所以k =,或k =。

2017-2018学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知复数z1，z2互为共轭复数，若，则z2＝（）A．B．C．D．2．（3分）在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据（x i，y i），i＝1，2，…，n；③求线性回归方程；④选用线性回归方程并求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图，确定存在线性关系．若根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则下列操作顺序正确的是（）A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①3．（3分）等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e+14．（3分）若随机变量X～B（n，p），且，，则P（X＝1）＝（）A．B．C．D．5．（3分）下面几个推理过程是演绎推理的是（）A．在数列{a n}中，根据a1＝1，，计算出a2，a3，a4的值，然后猜想{a n}的通项公式B．某校高二共8个班，一班51人，二班52人，三班52人，由此推测各班人数都超过50人C．因为无限不循环小数是无理数，而π是无限不循环小数，所以π是无理数D．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质6．（3分）将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么k的值为（）A．0B．1C．2D．37．（3分）在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（）A．ρ＝2B．θ＝C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2 8．（3分）如右图是正态分布相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是（）A．σ1＞σ2＞σ3B．σ3＞σ2＞σ1C．σ1＞σ3＞σ2D．σ2＞σ1＞σ3 9．（3分）现有五张卡片，其中两张上写着数字5，三张上写着数字8，从这五张卡片中选出四张组成一个四位数，那么这样的四位数共有（）A．4个B．6个C．10个D．14个10．（3分）已知f（n）＝+++…+，则（）A．f（n）中共有n项，当n＝2时，f（2）＝+B．f（n）中共有n+1项，当n＝2时，f（2）＝++C．f（n）中共有n2﹣n项，当n＝2时，f（2）＝++D．f（n）中共有n2﹣n+1项，当n＝2时，f（2）＝++11．（3分）已知函数f（x）的导函数f'（x）是二次函数，且y＝f'（x）的图象关于y轴对称，f'（3）＝0，若f（x）的极大值与极小值之和为4，则f（0）＝（）A．2B．0C．﹣2D．﹣412．（3分）如图所示，一质点P（x，y）在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点Q（x，0）的运动速度V＝V（t）的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）学校食堂在某天中午备有5种素菜，3种荤菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐种．14．（3分）在复平面内，若复数z同时满足下列条件：①z+2i∈R；②z﹣2对应的点在第三象限．试写出一个满足条件的复数z＝．15．（3分）曲线（t为参数，t∈R）与x轴的交点坐标是．16．（3分）在的展开式中，第三项与第五项的系数相等，则n＝；展开式中的常数项为．17．（3分）观察下列等式：1＝1；1﹣4＝﹣（1+2）；1﹣4+9＝1+2+3；1﹣4+9﹣16＝﹣（1+2+3+4）……根据上述规律，第6个式子为；第n个式子为．18．（3分）若曲线y＝f（x）上存在唯一的点P，使得在点P的切线与曲线y＝f（x）有且只有一个公共点，则称曲线y＝f（x）存在“真切”线，给出下列曲线：①y＝x2；②y ＝x3；③y＝lnx；④y＝﹣x2﹣lnx则存在“真切”线的所有曲线的序号为三、解答题（本题共4小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（9分）已知x∈R，a＝x2+，b＝2﹣x，c＝x2﹣x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于1．20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y＝f（x）在点A处的切线斜率为一1．（I）求a的值并求该切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[一1，1]上的最小值和最大值；（Ⅲ）证明：当x＞0时，x2＜e x21．（12分）某书店打算对A，B，C，D四类图书进行促销，为了解销售情况，在一天中随机调查了15位顾客（记为a i，i＝1，2，3，…，15）购买这四类图书的情况，记录如下（单位：本）：（I）若该书店每天的人流量约为100人次，一个月按30天计算，试估计A类图书的月销量（单位：本）；（Ⅱ）书店进行促销活动，对购买过两类以上（含两类）图书的顾客赠送5元电子红包．现有甲、乙、丙三人，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中B类图书，为提高书店销售业绩，应继续向其推荐哪类图书？（结果不需要证明）22．（13分）已知函数f（x）＝mlnx，m∈R．（I）若函数y＝f（x）+x的最小值为0，求m的值；（Ⅱ）若函数y＝f（x）与的图象在（1，0）处有公切线l．（i）求m的值；（ii）求证：y＝f（x）与y＝h（x）的公切线只有l一条．2017-2018学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵＝，又z1，z2互为共轭复数，∴z2＝1+．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．【考点】BP：回归分析．【解答】解：对两个变量进行回归分析时，首先收集数据（x i，y i），i＝1，2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后对所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①故选：D．【点评】本题考查可线性化的回归分析，考查进行回归分析的一般步骤，是一个基础题，这种题目若出现在大型考试中，则是一个送分题目．3．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【解答】解：（e x+2x）dx＝（e x+x2）＝e+1﹣1＝e，故选：C．【点评】本题考查定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．4．【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【解答】解：∵随机变量X～B（n，p），且，，∴，解得n＝5，p＝，∴P（X＝1）＝＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．【考点】F5：演绎推理．【解答】解：∵A与B都是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；C为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；D：由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；故选：C．【点评】本题考查简单的演绎推理，易错点在于混淆合情推理与演绎推理的概念，属于基础题．6．【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【解答】解：由C5k（）k（）5﹣k＝C5k+1（）k+1•（）5﹣k﹣1，即C5k＝C5k+1，k+（k+1）＝5，k＝2．故选：C．【点评】明确题设含义，将问题转化为二项分布模型求解，二项分布是一种常见的、重要的离散型随机变量的概率分布，解题时确定变量服从二项分布是解题的关键．7．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【解答】解：点（2，）在直角坐标系下的坐标为（2，2），即（0，2）∴过点（0，2）且与x轴平行的直线方程为y＝2．即为ρsinθ＝2．故选：D．【点评】极坐标是高中选修的内容，站在高考的角度，对于这方面知识的考查并不难，大多比较基础，学生只要掌握课本中基本的转换，方程，习题等就可以解决绝不多数问题．8．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【解答】解：由正态分布曲线的特点：σ越小，分布越集中在μ附近，图象越高瘦，σ越大，分布越分散，图象越矮胖可知，σ1＞σ2＞σ3 ．故选：A．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的几何意义，是基础题．9．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：若选3个8，一个5，则组成一个四位数有4个，即5888，8588，8858，8885，若选2个8，2个5，则组成的一个四位数有6个，即5588，5858，5885，8855，8585，8558，故这样的四位数共有4+6＝10个，故选：C．【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题10．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：分母n，n+1，n+2…n2构成以n为首项，以1为公差的等差数列项数为n2﹣n+1故选：D．【点评】本题主要等差数列通项公式的简单运用，考查考生的基本运算的能力、对公式的基本运用的能力．11．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：函数f（x）的导函数f'（x）是二次函数，且y＝f'（x）的图象关于y轴对称，f'（3）＝0，则f'（﹣3）＝0，可设导函数为：f'（x）＝ax2﹣9a，函数的解析式设为：f（x）＝ax3﹣9ax+b，若f（x）的极大值与极小值之和为4，则f（3）+f（﹣3）＝4，可得：9a﹣27a﹣9a+27a+2b＝4，解得b＝2．则f（0）＝b＝2．故选：A．【点评】本题考查函数的极值以及函数的导数的应用，函数的奇偶性的应用，考查分析问题解决问题的能力．12．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；62：导数及其几何意义．【解答】解：由图可知，当质点P（x，y）在两个封闭曲线上运动时，投影点Q（x，0）的速度先由正到0，到负数，再到0，到正，故A错误；在第2个圈的交点后的那一段图象q的位移一直在增大，相同时间内速度也在增大，最后那段斜率越来越大，其投影Q的速度必定越来越小，故D不正确；质点P（x，y）在开始时沿直线运动，故投影点Q（x，0）的速度为常数，因此C是错误的．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义在函数图象上的应用．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13．【考点】D3：计数原理的应用．【解答】解：要配成一种套餐，需要分三个步骤完成：第一步：从5种素菜中任选一种有5种选法；第二步：从3种荤菜中任选一种有3种选法；第三步：从2种汤中任选一种有2种选法．根据分步计数原理，共可以配制出5×3×2＝30种不同的套餐．故答案为：30【点评】本题考查了分步计数原理．属基础题．14．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：设z＝x+yi，由题意可得：x+（y+2）i∈R，则y+2＝0，即y＝﹣2；x﹣2+yi对应的点在第三象限，即，可取x＝0（不唯一）．则满足条件的复数z＝﹣2i．故答案为：﹣2i．【点评】本题主要考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．15．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：曲线（t为参数，t∈R）的直角坐标方程为：x+5y﹣3＝0，取y＝0，得x＝3，∴曲线与x轴的交点坐标是：（3，0）．故答案为：（3，0）．【点评】本题考查曲线与x轴的交点坐标的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：根据题意，的展开式的通项T r+1＝∁n r（x）n﹣r（）r＝∁n r x n﹣2r，若其第三项与第五项的系数相等，则有∁n2＝∁n4，解可得n＝6，则其展开式的通项T r+1＝C6r x6﹣2r，令6﹣2r＝0，可得r＝3，则有T4＝C63＝20，即其展开式的常数项为20；故答案为：6，20．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式．17．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：由等式：1＝1，1﹣4＝﹣（1+2），1﹣4+9＝（1+2+3），1﹣4+9﹣16＝﹣（1+2+3+4），…可见第n个等式左侧是通项为（﹣1）n+1n2的前n项和，右侧为（﹣1）n+1（1+2+3+…+n），所以第6个式子为：1﹣4+9﹣16+25﹣36＝﹣（1+2+3+4+5+6）第n个等式为：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1n2＝（﹣1）n+1（1+2+3+…+n）．故答案为：1﹣4+9﹣16+25﹣36＝﹣（1+2+3+4+5+6），1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1n2＝（﹣1）n+1（1+2+3+…+n）．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．18．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：①y＝x2的导数为y′＝2x，设P（m，m2），切线的斜率为k＝2m，切线方程为y﹣m2＝2m（x﹣m），即为y＝2mx﹣m2，代入方程y＝x2，可得x2﹣2mx+m2＝0，解得唯一解x＝m，即满足新定义，故①存在“真切”线；②y＝x3的导数为y′＝3x2，当x＝0时，切线的斜率为0，可得原点处的切线为y＝0，显然与y＝x3的交点唯一，满足定义，故②存在“真切”线；③y＝lnx的导数为y′＝，设P（m，lnm），可得切线方程为y﹣lnm＝（x﹣m），联立y＝lnx，可得lnx﹣lnm＝（x﹣m），即为lnx﹣x＝lnm﹣1，由y＝lnx﹣x的导数为y′＝﹣，显然x＝m为函数y的极大值点，且为最大值点，可得lnx﹣x＝lnm﹣1，只有一解x＝m，满足定义，故②存在“真切”线；④y＝﹣x2﹣lnx的导数为y′＝﹣2x﹣＜0，可得函数y在（0，+∞）递减，设P（m，﹣m2﹣lnm），可得切线方程为y+m2+lnm＝（﹣2m﹣）（x﹣m），联立y＝﹣x2﹣lnx，可得﹣x2﹣lnx+m2+lnm＝（﹣2m﹣）（x﹣m），即为﹣x2﹣lnx+（2m+）x＝m2﹣lnm+1，由y＝﹣x2﹣lnx+（2m+）x的导数为y′＝﹣2x﹣+2m+，由y′＝0，可得x＝m，或x＝，当m＝即m＝，存在P（，﹣﹣ln）处的切线与y＝﹣x2﹣lnx只有一个交点，故④存在“真切”线．故答案为：①②③④．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查化简转化思想，属于中档题．三、解答题（本题共4小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．【考点】FC：反证法．【解答】证明：假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a+b+c＜3而a+b+c＝2x2﹣2x++3＝2+3≥3，两者矛盾；故a，b，c至少有一个不小于1．【点评】本题考查反证法的运用，注意用反证法时，需要首先否定原命题，特别是带至少、最多词语一类的否定．20．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝e x﹣ax，得f′（x）＝e x﹣a，设A（0，m），则由已知得f′（0）＝﹣1，即1﹣a＝﹣1，解得a＝2．∴f（x）＝e x﹣2x，f′（x）＝e x﹣2，此时A（0，1）故在点A处的切线方程为y＝﹣x+1；（Ⅱ）解：令f′（x）＝0，得x＝ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴当x∈[﹣1，ln2）时，f（x）单调递减；x∈（ln，2，1]时，f（x）单调递增，故当x＝ln2时，f（x）有最小值，f（ln2）＝2﹣2ln2＝2﹣ln4；又f（﹣1）＝e﹣1+2，f（1）＝e﹣2，显然f（﹣1）＞f（1），故f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为；（Ⅲ）证明：令g（x）＝e x﹣x2，则g'（x）＝e x﹣2x，由（Ⅱ）得，g'（x）＝f（x）≥f（ln2）＝2﹣ln4＞0．故g（x）在R上单调递增．又g（0）＝1＞0．∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x．【点评】本题考查导数的几何意义、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（I）（本）答：A类图书的月销量约为1000本（2分）（II）顾客购买两类（含两类）以上图书的概率为X可取0，5，10，15（4分），，，，（8分）所以X的分布列为所以．（10分）（III）图书D．（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（I）根据题意，f（x）＝mlnx，则函数y＝f（x）+x＝mlnx+x，其导数，分2种情况讨论：①当m≥0时，函数y在（0，+∞）上单调递增，此时无最小值，舍去；②当m＜0时，由y'＝0，得x＝﹣m．当x∈（0，﹣m）时，y'＜0，原函数在（0，﹣m）上单调递减；当x∈（﹣m，+∞）时，y'＞0，原函数在（﹣m，+∞）单调递增，所以当x＝﹣m时，函数y取最小值，即mln（﹣m）﹣m＝0，解得m＝﹣e，（II）（i）由f（x）＝mlnx，得，所以f'（1）＝m，由，得，所以，由已知有f'（1）＝h'（1），解得；（ii）设函数f（x）与h（x）上各有一点，，则f（x）以点A为切点的切线方程为，h（x）以点B为切点的切线方程为，由两条切线重合，得，消去x1，整理得，即，令，得，所以函数ϕ（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．又ϕ（1）＝0，所以函数ϕ（x）有唯一零点x＝1，从而方程组（*）有唯一解，即此时函数f（x）与h（x）的图象有且只有一条公切线．【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性以及切线方程，涉及参数的讨论，属于综合题．。

2017-2018学年北京市首都师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．（5分）复数=（）A．B．C．D．2．（5分）在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ=2cosθ，则下列各点在圆C上的是（）A．B．C．D．3．（5分）直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的弓形面积是（）A．20 B．C．D．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．15．（5分）用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）时，第二步证明由“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1 D．2k+16．（5分）如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，则F（x）=f（x）﹣kx有（）A．1个极大值点，2个极小值点B．2个极大值点，1个极小值点C．3个极大值点，无极小值点D．3个极小值点，无极大值点7．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．98．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）向量对应的复数为1+4i，向量对应的复数为﹣3+6i，则向量对应的复数为．10．（5分）如图的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，恰有2名学生在乙组的概率为．11．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，则离心率e的取值范围是．12．（5分）如图给出一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为a ij（i ≥j，i，j∈N*），则a53等于，a mn=（m≥3）．13．（5分）表达式1+中“…”即代表无限次重复，它可以通过方程1+=x，求得x=．类似上述过程，则=．14．（5分）设函数y=f（x）图象上在不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=（|AB|为A与B之间的距离）叫作曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”．若函数y=x2图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则φ（A，B）=；设A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=e x上两点，且x1﹣x2=1，若m•φ（A，B）＜1恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题.本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．16．（12分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．17．（14分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）求BC与平面EAC所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且抛物线的焦点是椭圆M的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．20．（13分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k=1，2，3，…，n），试证：（1）；（2）．2017-2018学年北京市首都师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．（5分）复数=（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：===﹣．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（5分）在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ=2cosθ，则下列各点在圆C上的是（）A．B．C．D．【分析】把各个点的坐标（ρ，θ）代入圆的方程进行检验，若点的坐标满足方程，则此点在圆上，否则，此点不在圆上．【解答】解：把各个点的坐标（ρ，θ）代入圆的方程进行检验，∵1=2cos（﹣），∴选项A中的点的坐标满足圆C的方程．∵1≠2cos（），∴选项B 中的点的坐标不满足圆C的方程．∵≠2cos，∴选项C中的点的坐标不满足圆C的方程．∵≠2cos，∴选项D中的点的坐标不满足圆C的方程．综上，只有选项A中的点的坐标满足圆C的方程为ρ=2cosθ，故选：A．【点评】本题考查圆的极坐标方程的特征，以及判断一个点是否在圆上的方法，就是把此点的坐标代入圆的方程，若点的坐标满足方程，则此点在圆上，否则，此点不在圆上．3．（5分）直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的弓形面积是（）A．20 B．C．D．【分析】先求出直线y=2x+3与抛物线y=x2的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可．【解答】解：解得直线y=2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为：（﹣1，1）（3，9）∴直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的弓形面积S=∫（2x+3﹣x2）dx=（x2+3x ﹣）|=（9+9﹣9）﹣（1﹣3+）=故选：C．【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及会利用定积分求图形面积的能力．属于基础题．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1【分析】由几何体的三视图得到该几何体的直观图，由此能求出结果．【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是如图所求的三棱锥S﹣ABC，∴此几何体的体积为：V==．故选：A．【点评】本题考查三棱锥的三视图的识别，三棱锥的体积，平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法．5．（5分）用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）时，第二步证明由“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1 D．2k+1【分析】分别计算n=k和n=k+1时不等式的左边项数，从而得出答案．【解答】解：当n=k时，不等式左边为1++…+，共有2k﹣1项，当n=k+1时，不等式左边1++…+，共有2k+1﹣1项，∴增加的项数为2k+1﹣2k=2k，故选：B．【点评】本题考查了数学归纳法的证明步骤，属于基础题．6．（5分）如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，则F（x）=f（x）﹣kx有（）A．1个极大值点，2个极小值点B．2个极大值点，1个极小值点C．3个极大值点，无极小值点D．3个极小值点，无极大值点【分析】对函数F（x）=f（x）﹣kx，求导数，根据条件判断f′（x）与k的关系进行判断即可．【解答】解：∵直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，∴kx+m=f（x）有两个根，且f（x）≥kx+m，由图象知m＞0，则f（x）＞kx，即F（x）=f（x）﹣kx＞0，则函数F（x）=f（x）﹣kx，没有零点，函数f（x）有1个极大值点，2个极小值点，则F′（x）=f′（x）﹣k，，结合图象，函数F（x）=f（x）﹣kx有1个极大值点，函数F（x）=f（x）﹣kx有2个极小值点，故选：A．【点评】本题主要考查函数零点的判断以及极值的判断，利用图象求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．7．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．8．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是（）A．B．C．D．【分析】由题意可得△P1P2B∽△AD1B，设出P1B=x，则P1P2=x，P2到平面AA1B1B 的距离为x，求出四面体的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．【解答】解：由题意在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，△P1P2B∽△AD1B，设P1B=x，x∈（0，1），则P1P2=x，P2到平面AA1B1B的距离为x，所以四面体P1P2AB1的体积为V==，当x=时，体积取得最大值：．故选：A．【点评】本题考查正方形中，几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）向量对应的复数为1+4i，向量对应的复数为﹣3+6i，则向量对应的复数为﹣4+2i．【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出，得到向量的代数形式的表示式即可．【解答】解：∵向量对应的复数为1+4i，向量对应的复数为﹣3+6i，∴=﹣3+6i﹣1﹣4i=﹣4+2i．故答案为：﹣4+2i．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了向量的减法运算，是基础题．10．（5分）如图的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，恰有2名学生在乙组的概率为．【分析】由书籍可得成绩不低于10分且不超过20分的学生，甲组有2个，乙组有3个，进而可得答案．【解答】解：成绩不低于10分且不超过20分的学生甲组有2个，乙组有3个，从中任意抽取3名，共有=10种不同取法，其中恰有2名学生在乙组有=6种不同取法，故从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，恰有2名学生在乙组的概率P==，故答案为：【点评】本题考查的知识点是茎叶图和古典概型，难度不大，属于基础题．11．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，则离心率e的取值范围是（1，2] ．【分析】双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，取双曲线的渐近线，则必有，再利用离心率计算公式即可得到双曲线离心率e的取值范围．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，取双曲线的渐近线．∴，∴=2．∴双曲线离心率e的取值范围是（1，2]．故答案为（1，2]．【点评】熟练掌握过原点的直线与双曲线的渐近线及双曲线的关系、离心率的计算公式是解题的关键．12．（5分）如图给出一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则a53等于，a mn=（m≥3）．【分析】①利用已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，即可求出a53；②由①可得：利用等差数列的通项公式求出每一行的第一个数，从第三行起每一行的公比，再利用等比数列的通项公式即可求出a mn．【解答】解：①第k行的所含的数的个数为k，∴前n行所含的数的总数=1+2+…+n=．a53表示的是第5行的第三个数，由每一列数成等差数列，且第一列是首项为，公差d==的等差数列，∴第一列的第5 个数==；又从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，由第三行可知公比q==，∴第5行是以为首项，为公比的等比数列，∴a53=×=．②a mn表示的是第m行的第n个数，由①可知：第一列的第m 个数==，∴a mn==．故答案分别为，．【点评】数列掌握等差数列和等比数列的通项公式是解题的关键．13．（5分）表达式1+中“…”即代表无限次重复，它可以通过方程1+=x，求得x=．类似上述过程，则=3．【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，则3+2=m2，即3+2m=m2，解得，m=3，m=﹣1舍去．故答案为：3【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．14．（5分）设函数y=f（x）图象上在不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=（|AB|为A与B之间的距离）叫作曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”．若函数y=x2图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则φ（A，B）=；设A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=e x上两点，且x1﹣x2=1，若m•φ（A，B）＜1恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，1] ．【分析】（1）由求导公式求出y′、点A、B的坐标，由导数的几何意义求出切线的斜率k A，k B的值，由两点间的距离公式求出|AB|，求出代入φ（A，B）=求值即可；（2）求出y′=e x，由定义求出两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，代入t•φ（A，B）＜1化简，根据恒成立求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，y=x2，则y′（x）=2x，且A（0，0），B（1，1），∴k A=2×0=0，k B=2×1=2，且|k A﹣k B|=2，又|AB|==，∴φ（A，B）===；（2）由y=e x得y′（x）=e x，∵A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=e x上两点，且x1﹣x2=1，∴φ（A，B）===，∵m•φ（A，B）＜1恒成立，∴m||＜，则m＜=，∵＞1，∴m≤1，则实数m的取值范围是（﹣∞，1]，故答案为：；（﹣∞，1]．【点评】本题考查新定义的函数的性质与应用问题，导数的几何意义，两点间的距离公式，以及恒成立问题，解题时应根据函数的新定义的内容进行分析、判断，属于中档题．三、解答题.本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则依题设d＞0．运用已知条件列方程组可求a1，d，从而可得a n；（Ⅱ）设c n=，则c1+c2+…+c n=a n+1，易求c n，进而可得b n，由等比数列的求和公式可求得结果；【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则依题设d＞0．由a2+a6=14，可得a4=7．由a3a5=45，得（7﹣d）（7+d）=45，可得d=2．∴a1=7﹣3d=1．可得a n=2n﹣1．（Ⅱ）设c n=，则c1+c2+…+c n=a n+1，即c1+c2+…+c n=2n，可得c1=2，且c1+c2+…+c n+c n+1=2（n+1）．∴c n=2，可知c n=2（n∈N*）．+1∴b n=2n+1，∴数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列．∴前n项和S n==2n+2﹣4．【点评】本题考查等差数列的通项公式及数列求和，考查学生的运算求解能力．16．（12分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）=．（2）有可能的取值是1，2，3又则P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，所以X的分布列为：EX=1×+2×+3×=．【点评】本小题主要考查分步计数原理、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．17．（14分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）求BC与平面EAC所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，又AC⊥FB，利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，利用与平面ACE的法向量所成的角即可得出；（Ⅲ）分别求出两个平面的法向量，，若此两个平面垂直，则必有有解，否则两个平面不垂直．【解答】（Ⅰ）证明：不妨设BC=1，∵AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理可得AC2=22+12﹣2×2×1×cos60°=3，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又∵AC⊥FB，CB∩BF=B，∴AC⊥平面FBC．（Ⅱ）解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC．∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD．∴CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C﹣xyz．在等腰梯形ABCD中，可得CB=CD．设BC=1，所以．∴，，．设平面EAC的法向量为n=（x，y，z），则有∴取z=1，得n=（0，2，1）．设BC与平面EAC所成的角为θ，则==．所以BC与平面EAC所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．证明如下：假设线段ED上存在点Q，设（0≤t≤1），所以．设平面QBC的法向量为=（a，b，c），则有，所以取c=1，得=．要使平面EAC⊥平面QBC，只需=0，即，此方程无解．所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用平面的法向量表示线面角和二面角公式、余弦定理和勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理是解题的关键．18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【分析】（I）化简f（x）=x2﹣2lnx，求出f′（x）=x﹣，求出斜率以及切点坐标，然后求解切线方程．（Ⅱ）由f′（x）=x﹣=，求出定义域，极值点，通过①0＜a≤1，②1＜a ＜e2，③a≥e2，判断函数的单调性求解函数的最值即可．（III）由（II）可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，推出求解即可．【解答】解：（I）a=2，f（x）=x2﹣2lnx，f′（x）=x﹣，f′（1）=﹣1，f（1）=，f（x）在（1，f（1））处的切线方程为2x+2y﹣3=0…..（3分）（Ⅱ）由f′（x）=x﹣=，由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，得x=，①若≤1即0＜a≤1在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增，因此，f（x）在区间[1，e]的最小值为f（1）=．②若1，即1＜a＜e2，在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（）=．③若，即a≥e2，在（1，e）上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，因此，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=﹣a．综上，当0＜a≤1时，f min（x）=；当1＜a＜e2时，f min（x）=a（1﹣lna）；当a≥e2时，f min（x）=e2﹣a．…．（9分）（III）由（II）可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则∴即，此时，e．所以，a的取值范围为（e，）…..（14分）【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，函数的单调性的判断，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．19．（14分）已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且抛物线的焦点是椭圆M的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为，易求椭圆的焦点，从而可得c值，由离心率可得a，由b2=a2﹣c2可求得b值；（Ⅱ）分情况进行讨论：当直线l存在斜率时设直线方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，有△＞0①，设A、B、P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），由四边形OAPB为平行四边形及韦达定理可把x0，y0表示为k，m的式子，代入椭圆方程关于k，m的方程，从而利用点到直线的距离公式点O到直线l的距离为k的函数，根据函数结构特点即可求得其最小值；当直线l不存在斜率时点O 到直线l的距离易求，综上即可得到答案．【解答】解：（I）设椭圆方程为，由已知抛物线的焦点为（，0），则c=，由e=，得a=2，∴b2=2，所以椭圆M的方程为；（II）当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，则由消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）=8（2+4k2﹣m2）＞0，①设A、B、P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），则：x0=x1+x2=﹣，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由于点P在椭圆M上，所以．从而，化简得2m2=1+2k2，经检验满足①式．又点O到直线l的距离为：d===≥=，当且仅当k=0时等号成立，当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为（﹣2，0）或（2，0），直线l的方程为x=±1，所以点O到直线l的距离为1．所以点O到直线l的距离最小值为．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想、函数思想，韦达定理、判别式解决该类题目的基础，要熟练掌握．20．（13分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k=1，2，3，…，n），试证：（1）；（2）．【分析】（Ⅰ）利用新定义直接利用等差数列，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）利用某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，通过公差为0，大于0．小于0，分别求解该数列的通项公式；（Ⅲ）（1）判断k=n时，，然后证明k＜n时，利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可；（2）通过数列求和，以及绝对值三角不等式和放缩法，利用裂项法求和，证明．【解答】（本题14分）解：（Ⅰ）数列为三阶期待数列…（1分）数列为四阶期待数列，…..…..（3分）（其它答案酌情给分）（Ⅱ）设等差数列a1，a2，a3，…，a2k（k≥1）的公差为d，+1=0，∵a1+a2+a3+…+a2k+1∴，所以a1+kd=0，=0，∴a k+2=d，…（4分）即a k+1当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，…（5分）当d＞0时，据期待数列的条件①②得：，∴，即=0得，即，由a k+1∴．…（7分）当d＜0时，同理可得，即，由a k+1=0得，即∴．…（8分）（Ⅲ）（1）当k=n时，显然成立；…（9分）当k＜n时，据条件①得S k=a1+a2+…+a k=﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|=|a1+a2+…+a k|=|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|=|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+|a k+2|+…+|a n|=1，∴．…（11分）====．…（14分）【点评】本题考查新数列新定义的应用，数列求和的方法，放缩法以及绝对值三角不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，难度较大，考查计算能力．。

北京师大附中2017～2018学年度第一学期高中二年级年级期末考试数学试卷(理科)说明:1.本试卷满分150分,考试时间120分钟.2.请将答案填写在答题纸上,考试结束后,请监考人员只将答题纸收回.一、选择题(每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的—项,请将答案填在答题纸上)1.已知命题:p n ∀∈N ,2n n >,则¬p 是( ) A.n ∀∈N ,2n n … B.n ∀∈N ,2n n < C.n ∃∈N ,2n n … D.n ∃∈N ,2n n >2.已知向量a=(l,m,2),b=(-2,-l,2),且1cos ,3a b =那么实数m=( ) A.-4 B.4 C.14 D.14-3.如果命题“p 或q ”是真命题,“非p ”是假命题,那么( ) A.命题p 一定是假命题 B.命题q 一定是假命题 C.命题q 一定是真命题 D.命题q 是真命题或者是假命题4.已知直线l 1:ax ＋(a ＋1)y ＋1=0,l 2:x ＋ay ＋2=0,则“a=-2”是“l 1⊥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知双曲线2222:1x y C a b -=(a>0,b>0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点,则C 的方程为( )A.221810x y -=B.22145x y -= C.22154x y -= D.22143x y -= 6.已知点A(6,0),抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,点P 在抛物线C 上,若点F 恰好在PA 的垂直平分线上,则PA 的长度为( )A.23B.25C.5D.67.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,下列结论不正确．．．的是( )A.C 1D 1⊥B 1CB.BD 1⊥ACC.BD 1∥B 1CD.∠ACB 1=60°8.已知点A(-l,-l).若曲线G 上存在两点B,C,使△ABC 为正三角形,则称G 为Γ型曲线.给定下列四条曲线:①y=-x ＋3(0≤x ≤3)； ②；()2220y x x=--剟③()01y x x =-剟； ④.()299024y x x =-剟其中,Γ型曲线的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题(每小题5分,共30分,请将答案填在答题纸上) 9.已知21i ia =-+,其中i 为虚数单位,a ∈R,则a=________. 10.若点P(2,2)为抛物线y 2=2px 上一点,则抛物线焦点坐标为________；点P 到抛物线的准线的距离为________.11.已知点F,B 分别为双曲线2222:1x y C a b-=(a>0,b>0)的焦点和虚轴端点,若线段FB 的中点在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率是________.12.如图,在三棱锥A -BCD 中,2BC DC AB AD ====,BD=2,平面ABD ⊥平面BCD,O 为BD 中点,点P,Q 分别为线段AO,BC 上的动点(不含端点),且AP=CQ,则三棱锥P-QCO 体积的最大值为________.13.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知点A(1,0,2),B(0,2,1).点C,D 分别在x 轴,y 轴上,且AD ⊥BC,那么CD 的最小值是________.14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f(x)=x 2-ax ＋a,其中a ∈R . ①f(-1)=________；②若f(x)的值域是R ,则a 的取值范围是________.三、解答题(共80分,请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题13分)已知圆C 经过坐标原点O 和点(4,0),且圆心在x 轴上. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点(1,2),且l 与圆C 相交所得弦长为23,求直线l 的方程.16.(本小题13分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,23AC =,13AA =,AB=2,点D 在棱B 1C 1上,且B 1C 1=4B 1D.(Ⅰ)求BD ⊥A 1C ；(Ⅱ)求:直线BD 与平面A 1BC 的夹角的正弦值.17.(本小题13分)已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线方程是12x =-,O 为坐标原点.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)若过点A(2,0)的直线l 与抛物线相交于B,C 两点,求证:∠BOC 为定值.18.(本小题14分)如图,在四棱锥E-ABCD 中,平面ABE ⊥底面ABCD,侧面AEB 为等腰直角三角形,2AEB π∠=,底面AB CD 为直角梯形,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB=2CD=2BC=2.(Ⅰ)求证:BC ⊥平面ABE ；(Ⅱ)求:平面DEC 与平面ABE 所成的锐二面角的大小；(Ⅲ)在线段EA上是否存在点F,使EC∥平面FBD？若存在,求出EFEA值；若不存在,说明理由.19.(本小题14分)已知椭圆2222:1x yCa b+=(a>b>0)的右顶点为A(2,0),离心率为12.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若经过点(1,0)直线l与椭圆C交于点E、F,且165EF=,求直线l的方程；(Ⅲ)过定点M(0,2)的直线l1与椭圆C交于G,H两点(点G在点M,H之间).设直线l1的斜率k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形.如果存在,求出m的取值范围,如果不存在,请说明理由.20.(本小题13分)若数列A:a1,a2,…,a n(n≥3)中ai∈N*(1≤i≤n)且对任意的2≤k≤n-1,a k＋1＋a k-1>2a k 恒成立,则称数列A为“U-数列”.(Ⅰ)若数列1,x,y,7为“U-数列”,写出所有可能的x,y；(Ⅱ)对所有可能的“U-数列”A:a1,a2,a3,a4,记M=max{a1,a2,a3,a4},其中max{x1,x3,…,x s}表示；x1,x2,…,x s这s个数中最大的数,则M的最小值是________________(直接写出答案)；(Ⅲ)若“U-数列”A:a1,a2,…,a n中,a1=1,a n=2017,求n的最大值.参考答案一、选择题(每小题4分,共40分。

北京市东城区2017-2018学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）（考试时间120分钟 满分100分）一、选择题（每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

） 1. 在复平面内，复数112i-对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知32()21f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a = A.23B.14C.83D.123. 二项式61(2)x x-展开式中的常数项为 A. －160B. －180C. 160D. 1804. 用反证法证明命题：“1234,,,a a a a 至少有一个数大于25”时，假设正确的是 A. 假设1234,,,a a a a 都大于25 B. 假设1234,,,a a a a 都小于或等于25 C. 假设1234,,,a a a a 至多有一个数大于25 D. 假设1234,,,a a a a 至少有两个数大于255. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，不同的分法种数为 A. 6B. 12C. 60D. 906. 如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，E 是MN 的三等分点，且13NE NM =，用向量,,OA OB OC 表示OE 为A. 16OE OA OB OC =++ B. 111333OE OA OB OC =++ C. 111663OE OA OB OC =++ D. 111633OE OA OB OC =++ 7. 利用数学归纳法证明“*(1)(2)()213(21),n n n n n n n N +++=⨯⨯⨯⨯-∈”时，从“n k =”变到“1n k =+”时，左边应增乘的因式是A. 21k +B. 2(21)k +C. 1k +D. 2(1)k +8. 若函数3()63f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是 A. (0,1)B. (,1)-∞C. (0,)+∞D. 1(0,)2二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。

2017-2018学年下学期北京市东城区高二年级期末考试数学试卷（理科）（附答案）2017-2018学年下学期北京市东城区高二年级期末考试数学试卷（理科）（附答案）第一部分（选择题共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 复数z ＝－1+2i ，则z 在复平面内对应的点所在象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 直线+=-=t y t x 211,233（t 为参数）的斜率为 A. 33-B. 23-C.33 D.21 3. 在10)2(-x 的展开式中，6x 的系数为A. 41016CB. 41032CC. 6108C - D. 61016C -4. 一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为 A. 4种B. 12种C. 24种D. 120种5. 在极坐标系中，点)3,2(π到直线2cos =θρ的距离为 A.21 B. 1C. 2D. 36. 袋子中装有大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为A.154 B.2512 C.158 D.53 7. 函数x e y x cos ||-=的图象大致为8. 甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表：告诉了甲，只将号数告诉了乙。

下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定。

” 乙对甲说：“本来我不能确定，但是现在我能确定了。

” 甲对乙说：“哦，那我也能确定了！”根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是A. 4排8号B. 3排1号C. 1排4号D. 1排5号第二部分（非选择题共76分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。