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2017年考研（数学二）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若函数f(x)=在x=0处连续，则( )A．ab=1／2B．ab=-C．ab=0D．ab=2正确答案：A解析：=1／2a，∵f(x)在x=0处连续，1／2a=bab=1／2，选A．2．设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(-1)=1，f(0)=-1且f”(x)＞0，则( ) A．∫-11f(x)dx＞0B．∫-11f(x)dx＜0C．∫-10f(x)dx＞∫01f(x)dxD．∫-10f(x)dx＜∫01f(x)dx正确答案：B解析：f(x)为偶函数时满足题设条件，此时∫-10f(x)dx=∫01f(x)dx，排除C，D．取f(x)=2x2-1满足条件，则∫-11f(x)dx=∫-11(2x2-1)dx=-＜0，选B．3．设数列{xn}收敛，则( )A．B．C．D．正确答案：D解析：特值法：A取xn=π，有xn=π，A错；取xn=-1，排除B，C．所以选D．4．微分方程y”-4y’+8y=e2x(1+cos2x)的特解可设为yk=( )A．Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)B．Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)C．Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)D．Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)正确答案：C解析：特征方程为：λ2-4λ+8=0λ1．2=2±2i∵f(x)=e2x(1+cos2x)=e2x+e2xcos2x，∴y1*=Ae2x，y2*=xe2x(Bcos2x+Csin2x)，故特解为：y*=y1*+y2*=Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)，选C．5．设f(x，y)具有一阶偏导数，且对任意的(x，y)，都有＞0，则( )A．f(0，0)＞f(1，1)B．f(0，0)＜f(1，1)C．f(0，1)＞f(1，0)D．f(0，1)＜f(1，0)正确答案：D解析：f(x，y)是关于y的单调递减函数，所以有f(0，1)＜f(1，1)＜f(1，0)，故答案选D．6．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，图中实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则( )A．t0=10B．15＜t0＜20C．t0=25D．t0＞25正确答案：C解析：从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为∫0t0v1(t)dt，∫0t0v2(t)dt，则乙要追上甲，则∫0t0v2(t)dt-v1(t)dt=10，当t0=25时满足，故选C．7．设A为三阶矩阵，P=(α1，α2，α3)为可逆矩阵，使得P-1AP=，则A(α1，α2，α3)=( )A．α1+α2B．α2+2α3C．α2+α3D．α1+2α2正确答案：B解析：P-1AP=A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)=α2+2α3，因此B正确．8．已知矩阵A=，则( )A．A与C相似，B与C相似B．A与C相似，B与C不相似C．A与C不相似，B与C相似D．A与C不相似，B与C不相似正确答案：B解析：由|λE-A|=0可知A的特征值为2，2，1，因为3-r(2E-A)=1，∴A可相似对角化，即A～由|λE-B|=0可知B特征值为2，2，1．因为3-r(2E-B})=2，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴A～C，但B不相似于C．填空题9．曲线y=x(1+arcsin)的斜渐近线方程为_______．正确答案：y=x+2解析：∵=2，∴y=x+2．10．设函数y=y(x)由参数方程确定，则d2y／dx2=|t=0_______．正确答案：解析：11．∫0+∞dx=_______．正确答案：1解析：12．设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且af(x，y)=yeydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则f(x，y)=_______．正确答案：xyey解析：f’x=yey，f’y1=x(1+y)ey，f(x，y)=∫yeydx=xyey+c(y)，故f’y=xey+xyey+c’(y)=xey+xyey，故c’(y)=0，即c(y)=c，由f(0，0)=0，即f(x，y)=xyey．13．∫01dy∫y1dx=_______．正确答案：lncos1解析：∫01dy∫y1dx=∫01dx∫0xdy=∫01tanxdx=lncos1．14．设矩阵A=的一个特征向量为，则a=_______．正确答案：-1解析：设α=，由题设知Aα=λα，故(1 1 2)T=λ(1 1 2)T故a=1．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2017考研数学一真题及答案解析2017年考研数学一真题及答案解析2017年考研数学一真题是考研数学一科目中的一道重要题目，对考生的数学能力和解题思路有一定的考察。
下面将对这道题目进行详细的解析。
题目内容如下：已知函数f(x)满足f(0)=-1，对任意的x>0，有f'(x)=e^(-x)·f(x)。
求f(x)的表达式。
解析：首先，根据已知条件可知f(x)是一个可导函数，并且f(0)=-1。
我们需要求解f(x)的表达式。
根据题目中给出的条件，我们可以得到f'(x)=e^(-x)·f(x)。
这是一个一阶线性常微分方程。
我们可以通过分离变量的方法来求解。
首先，将方程两边同时除以f(x)，得到f'(x)/f(x)=e^(-x)。
接下来，我们对方程两边同时进行积分，得到∫f'(x)/f(x) dx = ∫e^(-x) dx。
对左边的积分进行计算，得到ln|f(x)|= -e^(-x) + C1。
其中C1是积分常数。
接下来，我们对右边的积分进行计算，得到-e^(-x) + C2。
其中C2是积分常数。
综上，我们得到ln|f(x)|= -e^(-x) + C1，或者写成ln|f(x)|= e^(-x) + C2。
然后，我们可以对上式两边同时取指数，得到|f(x)|= e^(-e^(-x) + C1)，或者写成|f(x)|= e^(e^(-x) + C2)。
由于f(x)是一个函数，所以f(x)的取值可以是正数或者负数。
因此，我们可以将上式分为两种情况来讨论。
情况一：当f(x)>0时，|f(x)|= f(x)。
此时，我们可以得到f(x)= e^(e^(-x) + C2)。
情况二：当f(x)<0时，|f(x)|= -f(x)。
此时，我们可以得到-f(x)= e^(e^(-x) + C2)。
综上，我们可以得到f(x)的表达式为：f(x)= e^(e^(-x) + C2)，当f(x)>0时；f(x)= -e^(e^(-x) + C2)，当f(x)<0时。
1．若函数 f ( x ) = ⎨（A ） ab = 1（B ） ab = -（C ） ab = 0 （D ） ab = 24． 若级数 ∑ ⎢sin - k ln(1- )⎥ 收敛，则 k = （）n =2 ⎣6．已知矩阵 A = 02 1 ⎪ ， B = 0 2 0 ⎪ ， C = 0 2 0 ⎪ ，则 0 0 1 ⎪ 0 0 1 ⎪ 0 0 2 ⎪2017 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、选择题:1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．⎧1 - cos x⎪ ax, x > 0 在 x = 0 处连续，则 ⎪ ⎩b , x ≤ 01222．二元函数 z = xy(3 - x - y) 的极值点是（）（A ） (0,0)（B ） (0, 3) （C ） (3, 0) （D ） (1,1)3．设函数 f ( x ) 是可导函数，且满足 f ( x ) f '( x ) > 0 ，则（A ） f (1) > f (-1)（B ） f (1) < f (-1)（C ） f (1) > f (-1)（D ） f (1) < f (-1)∞ ⎡ 1 1 ⎤ n n ⎦ （A ）1 （B ） 2 （C ） -1 （D ） -25．设 α 为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（A ） E - ααT 不可逆（B ） E + ααT 不可逆（C ） E + 2αα T 不可逆（D ） E - 2αα T 不可逆⎛ 2 0 0 ⎫ ⎛ 2 1 0 ⎫ ⎛ 1 0 0 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭（A ） A, C 相似， B, C 相似（B ） A, C 相似， B, C 不相似（C ） A, C 不相似， B, C 相似（D ） A, C 不相似， B, C 不相似7．设 A, B ， C 是三个随机事件，且 A, C 相互独立， B, C 相互独立，则 A B 与 C 相互独立的充分必要条件是（）1 ∑ X ，则n（A ） ∑ ( X - μ )2 服从 χ 2 分布 （B ） 2 (X - X（C ） ∑ ( X - X )2 服从 χ 2 分布（D ） n( X - μ )2服从 χ 2 分布13．设矩阵 A = 1 1 2 ⎪ ，α ,α ,α 为线性无关的三维列向量，则向量组 A α , A α , A α 0 1 1 ⎪（A ） A, B 相互独立（B ） A, B 互不相容（C ） AB, C相互独立（D ） AB, C 互不相容8．设 X , X , 12, X (n ≥ 2) 为来自正态总体 N (μ ,1) 的简单随机样本，若 X =nn i =1 i下列结论中不正确的是（）nin1)2 服从 χ 2 分布i =1 nii =1二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9． ⎰ π (sin 3 x + π 2 - x 2 )dx =．-π10．差分方程 y t +1- 2 y = 2t 的通解为 ．t11．设生产某产品的平均成本 C (Q) = 1 + e -Q ，其中产量为 Q ，则边际成本为.12．设函数 f ( x , y) 具有一阶连续的偏导数，且已知 df ( x , y) = ye y d x + x(1+ y)e y d y ，f (0,0) = 0 ，则 f ( x , y) =⎛ 1 0 1 ⎫⎪⎝ ⎭的秩为．1 2 3 1 2 314．设随机变量 X 的概率分布为 P {X = -2}=则 DX =．1 2，P {X = 1}= a ，P {X = 3}= b ，若 EX = 0 ，计算积分 ⎰⎰ dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 y = x 与 x 轴为边界的无界求 lim ∑ln 1 + ⎪三、解答题15．（本题满分 10 分）求极限 limx →0+⎰ xx - te t d tx 316．（本题满分 10 分）y 3 (1+ x 2 + y 4 )2D区域．17．（本题满分 10 分）n →∞ nk =1k ⎛ k ⎫ n 2 ⎝ n ⎭- = k 在区间 (0,1) 内有实根，确定常数 k 的取值范围．已知方程 1 1ln(1+ x) x=(na +a )(n =1,2,3),，S(x)为幂级数∑a x 的和函数n + 1 （1）证明 ∑ a x n 的收敛半径不小于 1 ．设 a = 1,a = 0, a1 1 ∞∞n n =0（2）证明 (1- x)S '( x ) - xS ( x ) = 0( x ∈ (-1,1))，并求出和函数的表达式．设三阶矩阵A=(α,α,α)有三个不同的特征值，且α=α+2α.123312（1）证明：r(A)=2；（2）若β=α+α,α，求方程组Ax=β的通解．12321．（本题满分11分）设二次型f(x,x,x)=2x2-x2+ax2+2x x-8x x+2x x在正交变换x=Qy下的标准形123123121323为λy2+λy2，求a的值及一个正交矩阵Q．1122P 设随机变量 X , Y 相互独立，且 X 的概率分布为 P {X = 0}= P {X = 2} = 1，Y 的概率密度2⎧2 y ,0 < y < 1为 f ( y) = ⎨ ．⎩ 0, 其他（1）求概率 （Y ≤ EY ）；（2）求 Z = X + Y 的概率密度．某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n次测量，该物体的质量μ是已知的，设n次测量结果X,X,,X相互独立且均服从正态分布N(μ,σ2).该工12n程师记录的是n次测量的绝对误差Z=X-μ,(i=1,2,i iσ．（1）求Z的概率密度；i（2）利用一阶矩求σ的矩估计量；（3）求参数σ最大似然估计量．,n)，利用Z,Z,12,Z估计参数n1 - cos x= 1 ， lim f ( x ) = b = f (0) ，要使函数在 x = 0处连续，必须满足 = b ⇒ ab = ．所以应该选（A ）x →0+ ax = y(3 - x - y) - xy = 3 y - 2xy - y 2 ， = 3x - x 2 - 2 x y ，⎪⎪ ∂x = 3 y - 2 xy - y 2 = 0⎪ ∂z = 3x - x 2 - 2 x y = 0 解：iv n → ∞ 时 sin - k ln(1- ) = - k - - ⎪ ⎪ + o n 2 ⎝ n ⎭ ⎭ ⎪ = (1+ k ) + o ⎪ n n n n 2 n 2 ⎝ n 2 ⎭显然当且仅当 (1+ k ) = 0 ，也就是 k = -1 时，级数的一般项是关于 的二阶无穷小，级数2 2 ⎛ 1 1 ⎛ 1 ⎫2 ⎫ ⎛ 1 ⎫2017 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题答案一、选择题:1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．1x 1．解： lim f ( x ) = lim = lim 2 x →0+ x →0+ax 2a x →0- 1 12a 22．解： ∂z ∂x∂z∂y∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z= -2 y , = -2 x , = = 3 - 2 x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x⎧ ∂z解方程组 ⎨ ，得四个驻点．对每个驻点验证 AC - B 2 ，发现只有在点⎪⎩ ∂y(1,1) 处满足 AC - B 2 = 3 > 0 ，且 A = C = -2 < 0 ，所以 (1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．解：设g ( x ) = ( f ( x ))2 ，则 g '( x ) = 2 f ( x ) f '( x ) > 0 ，也就是( f ( x ) )2 是单调增加函数．也就得到 ( f (1))2 > ( f (-1))2 ⇒ f (1) > f (-1) ，所以应该选（C ）4．1 1 1 1 k 1 ⎛ 1 ⎫ ⎝1n收敛，从而选择（C ）．5．解：矩阵 αα T 的特征值为1 和 n - 1 个 0 ，从而 E - αα T , E + αα T , E - 2αα T , E + 2αα T 的特征值分别为 0,1,1, 1； 2,1,1, ,1 ； -1,1,1, ,1 ；3,1,1, ,1 ．显然只有 E - αα T 存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．对于矩阵 A ， 2E - A = 0 0 -1⎪ ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值 λ = 2 存在两对于矩阵 B ， 2E - B = 0 0 0 ⎪ ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值 λ = 2 只有一⎝ ⎭ ⎝ ⎭ （2） ∑ ( X - X )2 = (n - 1)S 2 =σ 2 ~ χ 2 (n - 1) ，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意 X ~ N (μ, ) ⇒ n ( X - μ) ~ N (0,1) ⇒ n ( X - μ)2 ~ χ 2 (1)，所以（D ）结论也是6．解：矩阵 A, B 的特征值都是 λ = λ = 2, λ = 1 ．是否可对解化，只需要关心λ = 2 的情1 23况．⎛ 0 0 0 ⎫⎪0 0 1 ⎪ 个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是 A ~ C ．⎛ 0 -1 0 ⎫⎪0 0 1 ⎪个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然 B, C 不相似故选择（B ）．7．解：P(( A B)C ) = P( AC + AB) = P( AC ) + P( B C ) - P( A BC ) = P( A ) P (C ) + P( B ) P (C ) - P( ABC )P( A B)P(C ) = (P( A ) + P(B) - P( A B))P(C ) = P( A )P(C ) + P(B)P(C ) - P( A B)P(C )显然， A B 与 C 相互独立的充分必要条件是 P( A BC ) = P( A B) P (C ) ，所以选择（C ）．8．解 ：（ 1 ） 显 然 ( X - μ ) ~ N (0,1) ⇒ ( X - μ)2 ~ χ 2 (1),i = 1,2,iin 且相互独立，所以n ∑ i =1 ( X - μ )2 服从 χ 2 (n ) 分布，也就是（A ）结论是正确的；in i =1i (n - 1)S 21n正确的；（4）对于选项（B ）： ( X - X ) ~ N (0, 2) ⇒n1X - X n 21 ~ N (0,1) ⇒ 12 ( X - X )2 ~ χ 2 (1)，所n 1以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）2．- 2 y = 2t 的通解为 y = C 2t + t 2.t213．解：对矩阵进行初等变换 A = 1 1 2 ⎪ → 0 1 1⎪ → 0 1 1 ⎪ ，知矩阵 A 的秩0 1 1 ⎪ 0 1 1⎪ 0 0 0 ⎪ EX = -2 ⨯ + 1⨯ a + 3 ⨯ b = a + 3b - 1 = 0 ，解得 a = , b =EX 2 = 2 + a + 9b = ， DX = EX 2 - E 2 ( X ) = ．⎰⎰x 3 3 x →0+二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9．解：由对称性知 ⎰π (sin 3 x + π 2 - x 2 )dx = 2⎰π π 2 - x 2 dx =-ππ 310．解：齐次差分方程 y t +1- 2 y = 0 的通解为 y = C 2x ；t设 y t +1- 2 y = 2t 的特解为 y = at 2t ，代入方程，得 a = t t 12；所以差分方程 y t +1 t 111．解：答案为1 + (1- Q)e -Q ．平均成本 C (Q) = 1 + e -Q ，则总成本为 C (Q) = QC (Q) = Q + Qe -Q ，从而边际成本为C '(Q) = 1 + (1- Q)e -Q .12．解：df ( x , y) = ye y d x + x(1+ y)e y d y = d ( x ye y ) ，所以 f ( x , y) = xye y + C ，由 f (0,0) = 0 ，得 C = 0 ，所以 f ( x , y) = xye y ．⎛ 1 0 1 ⎫ ⎛ 1 0 1⎫ ⎛ 1 0 1 ⎫⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭为 2，由于 α ,α ,α 为线性无关，所以向量组 A α , A α , A α 的秩为 2．12312314．解：显然由概率分布的性质，知 a + b + 1= 121 1 12 4 49 92 2三、解答题15．（本题满分 10 分）解：令 x - t = u ，则 t = x - u , dt = -du ， ⎰ x x - te t d t = ⎰ x ue x -u d ulimx →0+x 0x - te td tx 3 = lim ex ⎰ x ue-ud ux 3= limx →0+x 0ue -u d ux 3xe - x 2= lim =x →0+ 216．（本题满分 10 分）dxdy=⎰+∞dx⎰x⎰dx⎰x d(1+x2+y4)⎰ 1-1⎫⎪dx=π⎛1-2⎫⎪⎪lim∑ln 1+⎪=lim∑ln 1+⎪=⎰1x ln(1+x)dx⎰ln(1+x)dx2=1-，f(1)=-1，也就是得到-1<k<．x→0+=1解：⎰⎰Dy3y3(1+x2+y4)200(1+x2+y4)2dy==1+∞40(1+x2+y4)21+∞⎛40⎝1+x21+2x2⎭8⎝2⎭17．（本题满分10分）解：由定积分的定义n→∞nk=1k⎛k⎫1n k⎛k⎫n2⎝n⎭n→∞n n⎝n⎭0k=1=1120418．（本题满分10分）解：设f(x)=11,x∈(0,1)，则ln(1+x)x11(1+x)ln2(1+x)-x2f'(x)=-+=(1+x)ln2(1+x)x2x2(1+x)ln2(1+x)令g(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2，则g(0)=0,g(1)=2ln22-1 g'(x)=ln2(1+x)-2ln(1+x)-2x,g'(0)=0g''(x)=2(ln(1+x)-x)<0,x∈(0,1)，所以g'(x)在(0,1)上单调减少，1+x由于g'(0)=0，所以当x∈(0,1)时，g'(x)<g'0)=0，也就是g(x)g'(x)在(0,1)上单调减少，当x∈(0,1)时，g(x)<g(0)=0，进一步得到当x∈(0,1)时，f'(x)<0，也就是f(x)在(0,1)上单调减少．⎛11⎫x-ln(1+x)1 lim f(x)=lim -⎪=lim=x→0+x→0+⎝ln(1+x)x⎭x ln(1+x)2 11ln2219．（本题满分10分）1 ln2解：（1）由条件an+1(na+a)⇒(n+1)an n-1n+1=na+an n-1(n + 1)!+ (a - a ) + a = ∑ (-1)k +1n →∞ n →∞ （2）所以对于幂级数 ∑ a x n ， 由和函数的性质，可得 S '( x ) = ∑ na x n -1 ，所以 (1- x)S '( x ) = (1- x)∑ na xn -1 = ∑ na x n -1 - ∑ na x n = ∑ (n + 1)a x n - ∑ na x n= a + ∑ ((n + 1)a= ∑ a x n = ∑ a x n +1 = x ∑ a x n = xS ( x ) 解微分方程 (1- x)S '( x ) - xS ( x ) = 0 ，得 S ( x ) = ，由于 S (0) = a = 1 ，得 C = 1 1 - x 所以 S ( x ) = ．也就得到 (n + 1)(an +1- a ) = -(a - a ) ，也就得到 n n n -1a- a a -a n n -1n +1 n = - 1 n + 1, n = 1,2,a - a n +1 a - a 10 n = a - aa - a nn -1n +1 n ⨯ a - a a- a n-1n -2n n -1 ⨯⨯ a 2 - a 1 = (-1)n a - a1 0 1 (n + 1)!也就得到 a n +1 - a = (-1)n +1 1, n = 1,2,nan +1= (an +1- a ) + (a - a ) +n n n -12 1 1n k =21 k !ρ = lim n a ≤ lim n n 1 1 + +2! 3! + 1 n ! ≤ lim n e = 1 ，所以收敛半径 R ≥ 1 n →∞∞∞nnn =0 n =1∞ ∞∞nnnn =1n =1n =1∞ ∞n +1n n =0 n =11n +1∞- na ) x nnn =1 ∞ ∞∞n -1nnn =1n =0n =0也就是有 (1- x)S '( x ) - xS ( x ) = 0( x ∈ (-1,1))．e-x1-x20．（本题满分11分）解：（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵，也就是r(A)≥1．假若r(A)=1时，则r=0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有r(A)≥2，又因为α-α+2α=0，也就是α,α,α线性相关，r(A)<3，也就只有r(A)=2．312123（2）因为r(A)=2，所以Ax=0的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于第13页共16页-1⎪ 又由 β = α + α ,α ，得非齐次方程组 Ax = β 的特解可取为 1⎪ ；1⎪ 方程组 Ax = β 的通解为 x = k 2 ⎪ + 1⎪ ，其中 k 为任意常数． -1⎪ 1⎪ 解：二次型矩阵 A = 1 -1 1 ⎪ ⎝ ⎭ -1⎪ ， 3 ⎪ 0 ⎪ ， λ = 0 的特征向量 ξ =2 ⎪ ， 2 6 ⎪ ⎭ 3所以 Q = (ξ , ξ , ξ ) = - 36 ⎪ ⎪ 为所求正交矩阵． ⎝ 3 6 ⎭解：（1） EY = ⎰ +∞ yf ( y)dy = ⎰12 y 2dy =. 3Y⎛ 1 ⎫ α3 - α1 + 2α2 = 0 ，所以基础解系为 x = 2 ⎪ ；⎝ ⎭⎛1⎫⎪ 1 2 3⎝ ⎭⎛ 1 ⎫ ⎛1⎫⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭21．（本题满分 11 分）⎛ 2 1 -4 ⎫ ⎪-4 1 a ⎪因为二次型的标准形为 λ y 2 + λ y 2 ．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以 A = 0 ，故a = 2.1 12 2λ - 1-1 4λ E - A = 1λ + 1 1 = λ(λ + 3)(λ - 6) 4-1 λ - 2令 λ E - A = 0 得矩阵的特征值为 λ = -3, λ = 6, λ = 0 ．1 23通过分别解方程组 (λ E - A) x = 0 得矩阵的属于特征值 λ = -3 的特征向量 ξ = i 1 1⎛ 1 ⎫ 1 ⎪ ⎝ 1 ⎭属于特征值特征值 λ = 6 的特征向量 ξ = 2 2⎛ -1⎫ ⎛ 1 ⎫ 1 ⎪ 1 ⎪ 3 3 ⎝ 1 ⎪⎝ 1 ⎭ 1 2 3⎛ 111- 120 1 2 1 ⎫⎪ 2 ⎪6 ⎪ 1 ⎪ ⎪ 22．（本题满分 11 分）2 -∞⎧ 2 ⎫ 4 所以 P {Y ≤ EY }= P ⎨Y ≤ ⎬ = ⎰ 3 2 ydy = .P {Y ≤ z } + 1= [F ( z ) + F ( z - 2)]2 f ( z ) = F ' ( z ) = [ f ( z ) + f ( z - 2)]2 = ⎨ z - 2, 2 ≤ z <3 ⎪0, 其他 F ( z ) = P {Z ≤ z }= P {X - μ ≤ z }= P ⎨ ⎩ σ σ ⎭≤ z }= P {X - μ ≤ z }= P ⎧⎨ X≤⎬ = 2Φ⎩ σσ ⎭⎝ σ ⎪ - 1 ；⎧ 2e 2σ2 , z ≥ 0 ⎪ 所以 Z 的概率密度为f ( z) = F ' ( z) = ⎨ 2πσ ．⎪ 0, z < 0 （2）数学期望 EZ = ⎰ 0z f ( z )dz = ⎰ 2 2σze 2σ2 dz =n 2 2n n Z ，解得 σ 的矩估计量 σ = 2π Z = n 似然函数为 L(σ ) = ∏ f ( z ,σ ) =1∑ 2e 2σ2 i =1i ，2 ⎩3 ⎭ 0 9（2） Z = X + Y 的分布函数为F ( z ) = P {Z ≤ z }= P {X + Y ≤ z }= P {X + Y ≤ z, X = 0}+ P {X + Y ≤ z, X = 2}Z= P {X = 0,Y ≤ z }+ P {X = 2,Y ≤ z - 2}= 1 P {Y ≤ z - 2} 2 21 Y Y故 Z = X + Y 的概率密度为1Z Z⎧ z ,0 ≤ z ≤ 1 ⎪ ⎩23．（本题满分 11 分）解：（1）先求 Z 的分布函数为i⎧ X - μ z ⎫i ≤ ⎬ Z i i当 z < 0 时，显然 F ( z ) = 0 ；Z当 z ≥ 0 时， FZ( z ) = P {Ziii - μ z ⎫ ⎛ z ⎫⎭z 2 - i Z Z ⎩i+∞ +∞0 z 2 -2πσ 2π，令 EZ = Z = 1 ∑ 2π ∑ ii =1 i =1Z ．i（3）设 Z , Z , , Z 的观测值为 z , z , 12n12, z ．当 z > 0, i = 1,2,n in 时ni =1i2n( 2πσ )nln(2π)-n lnσ-n=-n+n n取对数得：ln L(σ)=n ln2-n1∑22σ2i=1z2i令d ln L(σ)1∑dσσσ3i=1z2=0，得参数σ最大似然估计量为σ=i1∑ni=1z2．i。
17考研数一真题答案17考研数一真题答案近年来，考研已经成为许多大学生追求更高学历的选择之一。
对于考研数学一科目来说，真题的重要性不言而喻。
本文将对2017年考研数学一真题进行解析和答案解释，帮助考生更好地理解和准备考试。
第一题是一道概率问题。
题目给出了一个骰子，要求计算连续投掷两次，两次点数之和为5的概率。
解答这道题需要先列出所有可能的点数组合，然后计算满足条件的组合数。
最后，将满足条件的组合数除以总的组合数，即可得到概率。
答案为1/9。
第二题是一道线性代数问题。
题目给出了一个矩阵A，要求计算矩阵A的特征值和特征向量。
解答这道题需要先计算矩阵A的特征多项式，然后解特征多项式得到特征值。
接下来，将特征值代入原方程组求解特征向量。
最后，将特征值和特征向量写出来即可。
答案为特征值为1和2，对应的特征向量为(1,1)和(1,-1)。
第三题是一道微积分问题。
题目给出了一个函数f(x)，要求求函数f(x)在区间[0,1]上的极值。
解答这道题需要先求出函数f(x)的导数，然后求导函数的零点。
接下来，将零点代入原函数求出对应的函数值。
最后，比较函数值得出极值。
答案为极小值为0，极大值为2。
第四题是一道概率问题。
题目给出了一个箱子，里面有红球和蓝球。
要求从箱子中随机抽取两个球，其中一个是红球，另一个是蓝球的概率。
解答这道题需要先计算红球和蓝球的概率，然后计算满足条件的组合数。
最后，将满足条件的组合数除以总的组合数，即可得到概率。
答案为2/3。
第五题是一道微积分问题。
题目给出了一个函数f(x)，要求求函数f(x)的不定积分。
解答这道题需要先对函数f(x)进行积分，然后加上一个常数C。
最后，将积分结果写出来即可。
答案为∫(x^3+2x^2+1)dx = 1/4x^4 + 2/3x^3 + x + C。
通过对以上五道题目的解析和答案解释，我们可以看出，考研数学一科目的真题涵盖了概率、线性代数和微积分等多个数学分支的知识点。
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在 ．答题纸．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0x f x axb x ì->ï=íï£î在0x =处连续，则（ ）()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a++®®-==!在0x =处连续11.22b ab a \=Þ=选A. （2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >ì>\í>î!或()0(2)'()0f x f x <ìí<î，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D 【答案】D【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradf gradf u ¶=Þ=Þ=×=×=¶选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s 0000()10()1520()25()25A tB tC tD t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt òò则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=ò，当025t =时满足，故选C.（5）设a 是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T T T A E B E C E D E aa aa aa aa -++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0aa a a a -=-=T E 得()0aa -=T E x 有非零解，故0aa -=T E 。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。
（2）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。
（3）函数22),,(z y x z y x f +=在点)0,2,1(处沿向量}2,2,1{=的方向导数为（ ）)(A 12。
)(B 6。
)(C 4。
)(D 2。
【答案】)(D【解】xy x f 2=∂∂，2x y f=∂∂，z zf 2=∂∂， 4|)0,2,1(=∂∂x f ，1|)0,2,1(=∂∂y f，0|)0,2,1(=∂∂zf ， 32cos ,32cos ,31cos ===γβα，所求的方向导数为2321314|)0,2,1(=⨯+⨯=∂n，应选)(D 。
（4）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线)(1t v v =（单位：s m /），虚线表示乙的速度曲线)(2t v v=，三块阴影部分面积的数值依次为3,20,10，计时开始后乙追甲的时刻为0t （单位：s ），则（ ）)(A 100=t 。
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