[GB][03][地球重力场]
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第四章——地球正常重力场页数:20
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第三章 地球的物理性质解剖页数:26
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似大地水准面的精化页数:47
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第三章 1重力场基本理论页数:43
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第三章 1重力场基本理论页数:34
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重力勘探及其应用页数:29
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第三章思考题答案页数:9
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地球重力场
A dV V Q0 V Q
Q0 Q
Q0
在某一位置处，质点的引力位就是将单位质点从无穷远处移动 到该点所做功。 （假设无穷远处V=0） r r fM fM A Fdr 2 dr M Q r r
F m
fM 0 V A V A r
§3.1-地球及其运动的基本概念
2、地球大气
大气厚度：2000～3000km； 大气质量：3.9×1021克 从地面由低到高可分为：对流层，平流层，中层，电离层 (热层)，外层(散逸层) 对流层：海平面以上40～50km；气温随高度增加而降低； 空气对流，运动显著；湿度大；天气多变。 平流层：对流层以上50～55km，气温不受地面影响；空气 水平运动；水汽含量极少。 中 层：平流层以上80～85km，气温随高度增加而迅速下 降，空气对流。 电离层：中层顶部到800km的高空；温度随高度增加而急剧 上升，大部分空气被电离，对电磁波的传播影响较大。 外 层：电离层一上；空气十分稀薄；受地球引力小。
2、重力位的特性
gx gy gz
（1）重力位对三坐标标求偏导则得重力分量或重力加 速度分量：
W Q V x x x V W Q y y y W Q V z z z
2
算 子 Q
2Q x 2
2Q y 2
2Q z 2
2 2 0
§3.2-地球重力场的基本理论
四、重力位
1、重力位
位函数是标函数，重力是引力和离心力的合力，则 重力位就是引力位和离心力位之和： W ＝ V＋ Q
W f
dm 2 2 x y r 2
Q0 Q
Q0
在某一位置处，质点的引力位就是将单位质点从无穷远处移动 到该点所做功。 （假设无穷远处V=0） r r fM fM A Fdr 2 dr M Q r r
F m
fM 0 V A V A r
§3.1-地球及其运动的基本概念
2、地球大气
大气厚度：2000～3000km； 大气质量：3.9×1021克 从地面由低到高可分为：对流层，平流层，中层，电离层 (热层)，外层(散逸层) 对流层：海平面以上40～50km；气温随高度增加而降低； 空气对流，运动显著；湿度大；天气多变。 平流层：对流层以上50～55km，气温不受地面影响；空气 水平运动；水汽含量极少。 中 层：平流层以上80～85km，气温随高度增加而迅速下 降，空气对流。 电离层：中层顶部到800km的高空；温度随高度增加而急剧 上升，大部分空气被电离，对电磁波的传播影响较大。 外 层：电离层一上；空气十分稀薄；受地球引力小。
2、重力位的特性
gx gy gz
（1）重力位对三坐标标求偏导则得重力分量或重力加 速度分量：
W Q V x x x V W Q y y y W Q V z z z
2
算 子 Q
2Q x 2
2Q y 2
2Q z 2
2 2 0
§3.2-地球重力场的基本理论
四、重力位
1、重力位
位函数是标函数，重力是引力和离心力的合力，则 重力位就是引力位和离心力位之和： W ＝ V＋ Q
W f
dm 2 2 x y r 2
地球重力场
在重力勘探和大地测量学中，一般把大地水准面的形状作为地球 的基本形状。
测量结果表明，大地水准面的形状不规则，它在南北两半球并 不对称，北极略为突出，南极略平，呈“梨”型，见下图。
1、计算正常重力值的基本公式：
g0 ge (1 sin2 1 sin2 2)
式中 g p ge ,
ge
1
（1）重力观测是在地球的自然表面上而不是在大地 水准面上进行的（自然表面与大地水准面间的 物质及测点与大地水准面间的高差会引起重力 的变化）
（2）地壳内物质密度的不均匀分布；
（3）重力日变化
3、重力异常的物理意义
A
大地水准面
σ0
△F
σ V
g0 △g
△F
g观
△σ =σ–σ0 △m=Δσ×V
g观 g0 F
（例如，△m=50万吨的球形矿体，当中心埋深为100米， 可产生355μGal 的异常，当中心埋深为1000米； 则只能 产生3.4μGal的异常，该强度的异常仪器不能观测到。）
（5）干扰场不能太强或具有明显的特征。
第二节 岩矿石密度、重力仪
三大岩类物质循环
三大岩类物质循环
一、岩（矿）石的密度及地球密度分布
（2）成岩过程中的冷凝、结晶分异作用也会造成 同一岩体不同岩相带，由边缘相到中心相， 密度逐渐增大；
C=mr ，方向垂直自转轴向外。
（二）重力场
1、重力场强度
单位质量的物体在重力场中所受的力，称为重力 场强度
P = mg
g=P/m
上式左边为重力场强度，右边为重力加速度
由上式可见：重力场强度，无论在数值上，还是 量纲上都等于重力加速度，而且两者的方向也一致。 在重力勘探中，凡是提到重力都是指重力加速度（或 重力场强度）。
地球重力场的分类
地球重力场的分类
地球的重力场可以根据不同的分类方式进行划分。
以下是两种常见的分类方式：
1. 空间分布方式：
a. 均匀重力场：也称为等势重力场，指在一个区域内重力场的引力大小和方向是均匀分布的。
在这种重力场中，重力的大小和方向在各个位置都是相等的。
b. 非均匀重力场：指在一个区域内重力场的引力大小和方向不均匀分布的情况。
在这种重力场中，不同位置的重力大小和方向可能存在差异。
2. 强度分布方式：
a. 重力加速度强度不变重力场：指在一个区域内，重力加速度的大小在不同位置上保持不变。
这种重力场在理论上比较理想，但在实际地球上并不完全存在。
b. 重力加速度强度变化重力场：指在一个区域内，重力加速度的大小在不同位置上有一定的变化。
这种重力场在实际地球上比较常见，由于地球表面不规则、存在地下大块状物质等因素，导致地球重力场的强度存在一定的不规则性。
需要注意的是，地球的重力场具有天然的复杂性，因为它受到地球内部物质分布、地球形状、海洋和大气的运动等多种因素的影响。
因此，地球的重力场往往是一个综合性的、复杂的场。
第六章——地球重力场模型
第六章 地球重力场模型随着空间技术的进步和发展，现在不但有可能根据卫星轨道根数的变化精确地确定地球动力形状因子2J ，而且有可能结合卫星测高仪、卫星追踪卫星技术、卫星重力梯度仪等空间技术的测量结果以及地面重力测量结果计算出地球大地位球函数展开的高阶项系数。
以一组数值球函数展开系数表示的地球大地位称为地球重力场模型，地球重力场模型一方面支持卫星轨道的精确计算，另一方面可以给出地面上的长波重力异常场，为研究地球内部结构及其动力学过程提供重要的地面约束条件。
6.1 大地位的球函数展开现将第二章已经讨论过的大地位球函数展开中的有关公式汇总如下。
用r 表示地球外部空间任一点P 的径矢，则根据（2.2.18）式，地球在P 点的大地位球函数展开表示为其中kM 为地球的地心引力常数，a 为地球的赤道半径，θ、λ分别为P 点的地心余纬和经度，(cos )mn P θ为cos θ的n 阶m 次伴随勒让德多项式，(cos )cos mn P m θλ、(cos )sin mn P m θλ为归一化的n 阶m 次球面函数，根据（2.2-1.3）式、（2.2-1.6）式和（2.2-1.8）式，()n P x 、()n P x 、()mn P x 、()mn P x 分别为m n c 、m n s 和mn c 、mn s 分别为大地位球函数展开系数和规一化的大地位球函数展开系数，根据（2.2.20）式，有根据（2.3.4）式、（2.3.5）式，大地位二阶球函数展开系数等于其中A 、B 、C 分别为地球绕1Ox 、2Ox 和其旋转轴3Ox 轴的转动惯量，12I 、23I 、13I 分别为地球绕相应轴的惯性积，大地位球函数展开有时写成下面的形式nm J 、nm K 与大地位球函数展开系数m n c 、m n s 之间的关系为2J 称为地球的动力形状因子。
当3n 时，()n P x 、()mn P x 的表达式如表6.1.1所示。
第二讲 地球重力场
地球重力场地球重力场：在地球内部及其附近存在重力作用的空间。
重力场强度:单位质量的物体在重力场中所受的重力( =G/m )重力加速度g=G/m重力加速度在数值上(包括方向)等于单位质量所受的重力，也就是等于重力场强度。
重力加速度重力重力场强度重力勘探所提的重力都是指重力加速度或重力场强度。
重力(重力加速度)单位在CGS单位制(克、厘米、秒)：“cm/s2”，“伽”或“Gal”1 cm/s2 = 1 Gal在SI单位制(千克、米、秒)：“m/s2”，“g.u.”1 m/s2 = 106 g.u.重力的变化包括随不同测点位置的空间变化以及同一测点的重力随时间的变化。
空间上:9地球形状、地形：引起约6万g.u. 的变化；9地球自转：重力有3.4万g.u. 的变化;9地下物质密度分布不均匀：能达到几千g.u.变化9人类的历史活动遗迹和建筑物等时间上：9潮汐变化：太阳、月亮等天体引力引起的重力的周期性变化，其大小可达 3 g.u.9非潮汐变化：地球形状的变化和地下物质运动等引起的非周期性变化，其变化大小一般不超过 1 g.u.海水每天有两次涨落运动，其中早晨出现的潮涨称为潮，晚上出现的潮落称为汐，总称潮汐。
地球上海潮涨落主要是由月球还是太阳引起的？月球和太阳对地球的引力不但可以引起地球表面流体的潮汐（如海潮、大气潮），还能引起地球固体部分的周期性形变（固体潮）。
太阳的质量虽比月球的质量大得多，但月球同地球的距离比太阳同地球的距离近，月球的引潮力比太阳的引潮力大。
在日、月引力作用下，地球固体表面也会像海水一样产生周期性的涨落，这就是地球的潮汐现象，称为地球固体潮。
固体潮随时间和空间的变化，除了和地球、太阳、月亮三者之间相对位置的变化有关外，还和地球内部物质的物理性质有关。
因而，利用固体潮资料可以研究地壳内部物质的物理性质和各种物质的分布规律。
它在空间上的变化主要反映地壳和上地幔区域结构的变化。
它在时间上的变化可能与某些灾难性的地震有直接和间接的联系。
地球重力场的表达方式
TP
+
1
4p R
òò
s
K
(r,y
)(T
-
TP
)ds
( ) K
(r,y
)
=
-
R2 l5
5R2r - r3 - Rr2 cosy - 3R3 cosy
2R2r 2R4 R2 - l3 + l3r + r2
K
(
R,y
)
=
-
4
1 sin3
y
+1
2
1 地球重力场的表达方法
Vening-Meinesz公式
ò ò ( ) x jP,lP
s
-
cscy
y
csc 2
-
y
tg 2
ö ø÷
¶N ¶y
ds
1 ¶N = x cosa + hsina R ¶y
sina = - cosj sin(lP - l)
siny
cosa = cosjP sinj - sinjP cosj cos(lP - l)
siny
1 地球重力场的表达方法
垂线偏差计算大地水准面
[
1 2
(j
P
+
j
)]
-
sin
2
é ëê
1 2
(j
P
- j )ùûúüýþ
y
s = sin 2
1 地球重力场的表达方法
扰动位径向梯度→扰动位
òò J
T (y )
=
=
R2
4p
6 sin
s
y
2
Trr J(y )ds
+ 2(1 - 3sin2
地球重力场的定义
地球重力场的定义地球重力场的定义地球重力场是指地球引力作用下，周围物体所受到的重力影响。
在地球表面上，重力加速度的大小约为9.8m/s²，这是由于地球质量、密度和大小等因素所决定的。
地球重力场不仅影响着人类生活，还对许多自然现象产生了重要影响。
一、地球引力的基本概念1.引力的定义引力是指物体之间由于它们之间存在质量而产生的相互吸引作用。
它是经典物理学中最基本、最普遍的力之一。
2.万有引力定律万有引力定律是牛顿在1687年发现的一条规律，它描述了两个物体之间相互作用的大小与距离平方成反比例关系。
即：F=G(m1m2/r²)，其中F表示两个物体之间相互作用产生的引力，G为万有引力常数，m1和m2分别为两个物体的质量，r为它们之间的距离。
二、地球重力场特点1.强度变化在不同位置处，由于地球半径和密度分布不同，地球表面上所受到的重力加速度大小也不同。
例如，在地球赤道上，重力加速度约为9.78m/s²，而在北极地区则约为9.83m/s²。
2.方向变化地球重力场的方向指向地心，因此在地球表面上垂直于水平面。
但在不同位置处，由于地球自转和引力作用的影响，重力方向也会发生微小的变化。
3.形状特征地球重力场呈现出类似于一个椭球形的形状，其中离地心较远处的引力作用较弱，而靠近地心处则较强。
三、地球重力场应用1.测量地球质量和密度通过测量不同位置处的重力加速度大小和方向等参数，可以推算出地球质量和密度分布情况。
这对于了解地球内部结构和演化历史等问题具有重要意义。
2.卫星导航系统卫星导航系统是利用卫星发射信号，在空中进行定位、导航和测量等操作的一种技术。
其中最基本的原理就是利用卫星所受到的重力影响来计算其位置信息。
3.天文学研究天文学研究中经常需要考虑重力作用的影响，例如行星运动、恒星演化等问题。
地球重力场的研究也为天文学研究提供了基础数据。
四、地球重力场研究方法1.重力仪测量法重力仪是一种专门用来测量地球重力场的仪器。
地球正常重力场概念及一级近似公式
地球正常重力场概念及一级近似公式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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地球正常重力场是指在地球表面上的一种重力场，它是由地球质量引起的，并与地球的形状和自转有关。
地球重力场的测量与重力加速度
地球重力场的测量与重力加速度地球是我们所居住的家园，它无时无刻不在产生着重力场。
在日常生活中，我们往往无法感知到地球重力的存在，但它却是影响着万事万物的力量。
如何测量地球的重力场，以及重力加速度的确定，成为了科学家长期以来努力探索的课题。
一、重力场的概念和特征重力场是指由地球或其他天体引起的一种力场。
它是空间中以物体为中心，向四周辐射的力线所形成的场。
在地球上，重力场的强度与不同地点的海拔高度、地球构造有关。
我们都知道在极地地区，重力场比赤道地区稍强，这也间接说明了地球是一个非球形的椭球体。
二、重力场测量的方法为了测量地球的重力场，科学家们开展了各种方法的研究。
其中最早且最常用的方法是重力测量仪的使用。
重力测量仪可以通过测量重力加速度来推断重力场的分布情况。
科学家可以在地球表面的不同地点进行重力测量，绘制出重力场的地图，进一步研究地球内部的结构和性质。
近年来，随着技术的发展，人们还尝试使用卫星测量重力场，这种方法不受地面地形的限制，能够提供更为全面和精确的数据。
三、重力场测量的意义和应用测量地球重力场的目的不仅仅是为了满足科学探索的需求，更重要的是它的应用价值。
首先，地球重力场的测量有助于研究地球内部的特性，包括地壳、地幔和地核的结构和分布情况。
这对于地震的预测和地质资源的开发具有重要意义。
其次，重力场的测量还可以用于导航系统的改进和定位精度的提高，比如全球定位系统（GPS）就是基于重力场进行测量和计算的。
此外，重力场的测量还被广泛应用于航天和飞行器的轨道控制和姿态稳定。
四、重力加速度的确定重力加速度是指在地球上任意一点的万有引力产生的加速度，通常用小写字母"g"表示。
我们通常将重力加速度的平均值固定为9.8米每秒²。
然而，重力加速度在不同地点会有微小的差异，受地球形状、海拔高度和地下物质分布等因素的影响。
为了精确测量和确定重力加速度，科学家们进行了一系列的实验和观测。
地球重力场分类
地球重力场分类
地球的重力场可以分为两种主要分类：地球引力和地球重力加速度。
1. 地球引力：地球引力是指地球对任何物体施加的吸引力。
根据牛顿的普遍引力定律，地球引力的大小取决于两个物体的质量和它们之间的距离。
地球引力对任何物体都存在，无论其质量大小。
地球引力使物体向地球的中心靠拢，这也是我们通常所说的重力作用。
2. 地球重力加速度：地球重力加速度是指在地球表面上物体受到的重力加速度。
由于地球的质量和大小不均匀分布，地球重力加速度在不同地点有所不同。
在标准条件下，地球重力加速度的平均值约为9.8米/秒²。
这意味着在没有其他外力作用的情况下，自由下落的物体每秒钟会增加9.8米/秒的速度。
总结：地球的重力场可以分类为地球引力和地球重力加速度。
地球引力是地球对物体施加的吸引力，而地球重力加速度是在地球表面上物体受到的重力加速度。
地球重力场对物体有着普遍的影响，并且在不同地点具有不同的强度。
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n 1 n
P
(M )
O
y
z
x
Y
X
V ( , , )
n 0
1
n 1
(a
k 0
n
nk
cos k bnk sin k ) Pnk (cos )
球谐系数分析 ank , bnk
an 0 f P (cos 1 )dm (M ) (n k )! ank 2 f 1n Pnk (cos 1 ) cos k 1dm ( n k )! ( M ) ( n k )! n bnk 2 f 1 Pnk (cos 1 )sin k 1dm ( n k )! ( M )
内容回顾
• 国家水平控制网的布设原则 • 画图说明导线测量法原理（要写出 • • • • •
相应坐标公式） 画图说明三角测量法原理（要写出 相应坐标公式） 建立国家高程控制网的主要方法 我国的高程起算面及起算点 我国已有的GPS三维网有哪些？ 请思考野外测量可以获得哪些观测值， 点的最终水平坐标和高程怎么得到？
递推公式的初始值
P0 ( x) 1, P 1 ( x) x
V ( , , )
n 0
1
n 1
(a
k 0
n
nk
cos k bnk sin k ) Pnk (cos )
球谐系数分析 ank , bnk
an 0 f P (cos 1 )dm (M ) (n k )! ank 2 f 1n Pnk (cos 1 ) cos k 1dm ( n k )! ( M ) Zn ( n k )! bnk 2 f 1 Pnk (cos 1 )sin k 1dm ( n k )! ( M ) dm( 1 ,1 , 1 )
dm 2 2 f (x y2 ) r 2 (M )
g
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
二、地球重力场模型（model of earth gravity field）
W ( x, y , z ) V ( x, y , z ) Q ( x , y , z ) dm 2 2 f (x y2 ) r 2 (M )
dm 质体对外部点的引力位： V ( x, y, z ) f r (M )
满足拉普拉斯方程：
2V 2V 2V 2 2 0 2 x y z
dm 质体对外部点的引力位： V ( x, y, z ) f r (M )
满足拉普拉斯方程：
2V 2V 2V 2 2 0 2 x y z
n 0
1
n 1
(a
k 0
n
nk
cos k bnk sin k ) Pnk (cos )
伴随勒让德多项式
Pnk (cos )
引力位球谐函数
Pn0 ( x) Pn ( x) ,0 n , x 1
递推公式
(n k 1) Pn1,k ( x) (2n 1) xPnk ( x) (n k ) Pn1,k ( x) ,0 k n Pnn ( x) (1 x 2 ) (2n 1) Pn 1,n1 ( x) , k n
2 2 fM a n n 2 1 ( ) ( C cos k S sin k ) P (cos ) ( x y ) nk nk nk n 2 k 0 2
其中，坐标系原点放在地球质心，Z轴重合于地球的主惯性轴， 又称位系数模型，n总是有限
3
2h
第四章 大地水准面与高程系统
4.1 地球重力场
《大地测量学基础》
（FOUNDATION OF GEODESY）
一系大地测量教研室
第四章 大地水准面与高程系统 内容回顾
4.1 地球重力场
内容回顾
• 国家水平控制网的布设原则 • 画图说明导线测量法原理（要写出
相应坐标公式） x P0 •12 T 画图说明三角测量法原理（要写出 T 10 1 .......... .......... 相应坐标公式） T10 • 建立国家高程控制网的主要方法 β2 P2 D β3 12 • 我国的高程起算面及起算点 D 23 β X 2 X 1 D12 cosT12 1 •2 Y 我国已有的 GPS三维网有哪些？ P Y 1 D12 sin T 12 3 P1（X1，Y1） .......... .......... .......... . • 请思考野外测量可以获得哪些观测值， o y 点的最终水平坐标和高程怎么得到？
ank (n 请注意 k )! Cnk Cnk , Cnk 2(2n 1)( n k )! fMa n C21 C21 a21 0 bnk (n k )! S nk S nk S nk S 21 S 21 b21 , 0 2(2n 1)( n k )! fMa n
长半轴a，扁率α ，质量M 和绕其短轴旋转的角速度ω 。
正常椭球一般选取原则：①旋转轴与实际地球的自转轴
重合，且两者的旋转角速度相等；②椭球中心与地球质
心重合；③ 质量与实际地球的质量相等；④ 椭球面与 大地水准面最为接近。
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
四、正常椭球与正常重力（normal ellipsoid and gravity）
内容回顾
• 国家水平控制网的布设原则 • 画图说明导线测量法原理（要写出 • • • • •
相应坐标公式） 画图说明三角测量法原理（要写出 相应坐标公式） 建立国家高程控制网的主要方法 我国的高程起算面及起算点 我国已有的GPS三维网有哪些？ 请思考野外测量可以获得哪些观测值， 点的最终水平坐标和高程怎么得到？
质点引力位： V ( x, y, z ) fm r V F cos( F , S ) 验证： S
质 点 引 力 位
z
r
m 1
( x, y , z )
m
( , , )
y
o x
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
内容回顾
• 国家水平控制网的布设原则 • 画图说明导线测量法原理（要写出
相应坐标公式） x sin B1 画图说明三角测量法原理（要写出 D13 • D12 , T13 T12 C1 sin A1 P2（X2，Y2） 相应坐标公式） .......... .......... .......... .......... ....... • 建立国家高程控制网的主要方法 T12 B1 D12 A1 • 我国的高程起算面及起算点 P3 C 1 X3 • X 1 我国已有的 D13 cosT13 GPS三维网有哪些？ Y3 Y1 D13 sin T13 P1（X1，Y1） • 请思考野外测量可以获得哪些观测值， .......... .......... .......... . 点的最终水平坐标和高程怎么得到？ o y
离 心 力 位
z
x2 y2
m
离心力位： Q( x, y, z )
2
2
( x, y , z )
(x2 y2 )
o x
y
验证：
Q Q Q Px , Py , 0 x y z
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 重力位函数：重力等于引力与离心力之和，重力
o x
V F cos( F , S ) S
质体(M)
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
离心力位 Q( x, y, z ) 离心力：
2 P
的导数等于力在该方向上的分力。
引力位 V ( x, y, z ) 质体引力：
dm r F f 2 r r (M )
dm 质体引力位：V ( ຫໍສະໝຸດ , y, z ) f r (M )
验证：
质 体 引 力 位
z
m 1
r
dm
( x, y , z )
( , , )
y
n 1 n
一 阶项 二 阶项
a10 fMz0 ,
a 11 fMx0 ,
(M )
b11 fMy0
a21 f
(M )
z1 x1dm, b21 f
y1 z1dm, b22
1 f x1 y 2 (M )
若将坐标系原点放在地球质心，Z轴重合于 地球的主惯性轴则上述项消失。
V ( , , )
位等于引力位与离心力位之和。
重力位 W ( x, y, z )
地球引力位：
离心力位：
dm V ( x, y , z ) f r (M )
重 力 位
z
Q ( x, y , z )
2
2
( x, y, z )
(x2 y2 )
o x
F
P
y
重力位： W ( x, y , z ) V ( x, y , z ) Q ( x , y , z )
W
s
g
1
W ( x, y, z ) const
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
P
(M )
O
y
z
x
Y
X
V ( , , )
n 0
1
n 1
(a
k 0
n
nk
cos k bnk sin k ) Pnk (cos )
球谐系数分析 ank , bnk
an 0 f P (cos 1 )dm (M ) (n k )! ank 2 f 1n Pnk (cos 1 ) cos k 1dm ( n k )! ( M ) ( n k )! n bnk 2 f 1 Pnk (cos 1 )sin k 1dm ( n k )! ( M )
内容回顾
• 国家水平控制网的布设原则 • 画图说明导线测量法原理（要写出 • • • • •
相应坐标公式） 画图说明三角测量法原理（要写出 相应坐标公式） 建立国家高程控制网的主要方法 我国的高程起算面及起算点 我国已有的GPS三维网有哪些？ 请思考野外测量可以获得哪些观测值， 点的最终水平坐标和高程怎么得到？
递推公式的初始值
P0 ( x) 1, P 1 ( x) x
V ( , , )
n 0
1
n 1
(a
k 0
n
nk
cos k bnk sin k ) Pnk (cos )
球谐系数分析 ank , bnk
an 0 f P (cos 1 )dm (M ) (n k )! ank 2 f 1n Pnk (cos 1 ) cos k 1dm ( n k )! ( M ) Zn ( n k )! bnk 2 f 1 Pnk (cos 1 )sin k 1dm ( n k )! ( M ) dm( 1 ,1 , 1 )
dm 2 2 f (x y2 ) r 2 (M )
g
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
二、地球重力场模型（model of earth gravity field）
W ( x, y , z ) V ( x, y , z ) Q ( x , y , z ) dm 2 2 f (x y2 ) r 2 (M )
dm 质体对外部点的引力位： V ( x, y, z ) f r (M )
满足拉普拉斯方程：
2V 2V 2V 2 2 0 2 x y z
dm 质体对外部点的引力位： V ( x, y, z ) f r (M )
满足拉普拉斯方程：
2V 2V 2V 2 2 0 2 x y z
n 0
1
n 1
(a
k 0
n
nk
cos k bnk sin k ) Pnk (cos )
伴随勒让德多项式
Pnk (cos )
引力位球谐函数
Pn0 ( x) Pn ( x) ,0 n , x 1
递推公式
(n k 1) Pn1,k ( x) (2n 1) xPnk ( x) (n k ) Pn1,k ( x) ,0 k n Pnn ( x) (1 x 2 ) (2n 1) Pn 1,n1 ( x) , k n
2 2 fM a n n 2 1 ( ) ( C cos k S sin k ) P (cos ) ( x y ) nk nk nk n 2 k 0 2
其中，坐标系原点放在地球质心，Z轴重合于地球的主惯性轴， 又称位系数模型，n总是有限
3
2h
第四章 大地水准面与高程系统
4.1 地球重力场
《大地测量学基础》
（FOUNDATION OF GEODESY）
一系大地测量教研室
第四章 大地水准面与高程系统 内容回顾
4.1 地球重力场
内容回顾
• 国家水平控制网的布设原则 • 画图说明导线测量法原理（要写出
相应坐标公式） x P0 •12 T 画图说明三角测量法原理（要写出 T 10 1 .......... .......... 相应坐标公式） T10 • 建立国家高程控制网的主要方法 β2 P2 D β3 12 • 我国的高程起算面及起算点 D 23 β X 2 X 1 D12 cosT12 1 •2 Y 我国已有的 GPS三维网有哪些？ P Y 1 D12 sin T 12 3 P1（X1，Y1） .......... .......... .......... . • 请思考野外测量可以获得哪些观测值， o y 点的最终水平坐标和高程怎么得到？
ank (n 请注意 k )! Cnk Cnk , Cnk 2(2n 1)( n k )! fMa n C21 C21 a21 0 bnk (n k )! S nk S nk S nk S 21 S 21 b21 , 0 2(2n 1)( n k )! fMa n
长半轴a，扁率α ，质量M 和绕其短轴旋转的角速度ω 。
正常椭球一般选取原则：①旋转轴与实际地球的自转轴
重合，且两者的旋转角速度相等；②椭球中心与地球质
心重合；③ 质量与实际地球的质量相等；④ 椭球面与 大地水准面最为接近。
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
四、正常椭球与正常重力（normal ellipsoid and gravity）
内容回顾
• 国家水平控制网的布设原则 • 画图说明导线测量法原理（要写出 • • • • •
相应坐标公式） 画图说明三角测量法原理（要写出 相应坐标公式） 建立国家高程控制网的主要方法 我国的高程起算面及起算点 我国已有的GPS三维网有哪些？ 请思考野外测量可以获得哪些观测值， 点的最终水平坐标和高程怎么得到？
质点引力位： V ( x, y, z ) fm r V F cos( F , S ) 验证： S
质 点 引 力 位
z
r
m 1
( x, y , z )
m
( , , )
y
o x
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
内容回顾
• 国家水平控制网的布设原则 • 画图说明导线测量法原理（要写出
相应坐标公式） x sin B1 画图说明三角测量法原理（要写出 D13 • D12 , T13 T12 C1 sin A1 P2（X2，Y2） 相应坐标公式） .......... .......... .......... .......... ....... • 建立国家高程控制网的主要方法 T12 B1 D12 A1 • 我国的高程起算面及起算点 P3 C 1 X3 • X 1 我国已有的 D13 cosT13 GPS三维网有哪些？ Y3 Y1 D13 sin T13 P1（X1，Y1） • 请思考野外测量可以获得哪些观测值， .......... .......... .......... . 点的最终水平坐标和高程怎么得到？ o y
离 心 力 位
z
x2 y2
m
离心力位： Q( x, y, z )
2
2
( x, y , z )
(x2 y2 )
o x
y
验证：
Q Q Q Px , Py , 0 x y z
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 重力位函数：重力等于引力与离心力之和，重力
o x
V F cos( F , S ) S
质体(M)
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
离心力位 Q( x, y, z ) 离心力：
2 P
的导数等于力在该方向上的分力。
引力位 V ( x, y, z ) 质体引力：
dm r F f 2 r r (M )
dm 质体引力位：V ( ຫໍສະໝຸດ , y, z ) f r (M )
验证：
质 体 引 力 位
z
m 1
r
dm
( x, y , z )
( , , )
y
n 1 n
一 阶项 二 阶项
a10 fMz0 ,
a 11 fMx0 ,
(M )
b11 fMy0
a21 f
(M )
z1 x1dm, b21 f
y1 z1dm, b22
1 f x1 y 2 (M )
若将坐标系原点放在地球质心，Z轴重合于 地球的主惯性轴则上述项消失。
V ( , , )
位等于引力位与离心力位之和。
重力位 W ( x, y, z )
地球引力位：
离心力位：
dm V ( x, y , z ) f r (M )
重 力 位
z
Q ( x, y , z )
2
2
( x, y, z )
(x2 y2 )
o x
F
P
y
重力位： W ( x, y , z ) V ( x, y , z ) Q ( x , y , z )
W
s
g
1
W ( x, y, z ) const
4.1 地球重力场 Earth Gravity Field