作业要求
1.第三、四、五章的作业中，有关使用各种算法的习题，可以采用类似于教材中例题的做法，写出每种算法的迭代过程；
2.希望大家最迟在第九周星期三完成，由班长或学习委员收齐后交给我，好在第九周上机时发还给大家；
3.在此之后，我会将作业答案以word文档的形式上传，方便大家对照与参考。你们完成作业的时候要用作业本，不要给我电子版或者打印版。
《机械优化设计》作业
第一章 绪论
1.有一薄铁皮，宽b =14cm ，长L =24cm ，制成如图所示的梯形槽，求边长x 和倾斜角α为多大时，槽的容积最大？试写出此问题的优化设计模型并指出该问题属于哪一类的优化设计问题。
2.已知某约束优化问题的数学模型为
22
1221122123142min ()(3)(4):()50
() 2.50
()0
()0
F x x D R D g x x g x x g x g x =-+-∈⊂=--≥=--≥=≥=≥x x x x x x
(1)该问题是线性规划问题还是非线性规划问题？
(2)按一定比例画出目标函数F (X )的值分别等于1，2，3时的三条等值钱，并在图上划出可行域。
(3)在图上确定无约束最优解和约束最优解。
(4)若在该问题中又加入等式约束h (X )=x 1-x 2=0，其约束最优解X *、F (X *)又为多少?
第二章 机械优化设计的数学基础
1.已知函数221212131()222
f x x x x x =+--x ，试求： 1)将函数写成矩阵形式；
2)求函数在点x (0)=[-2,4]T 处的梯度及在该点处沿梯度方向的方向导数；
3)写出函数的Hessian 矩阵，并求函数的极值点与极值，并指出是极大值还是极小值。
2.试求约束最优化问题
221212
1122132min ()810..()3260
()0
()0
F x x x x s t g x x g x g x =+--=+-≤=-≤=-≤x x x x
满足Kuhn-Tucker 条件的点。
第三章 一维搜索方法
1.用进退法确定函数f (x )=3x 3-8x +9的一维优化初始区间，给定初始点x 0=0，初始进退距h 0=0.1。
2.以上题中得到的区间为初始单峰区间，分别用黄金分割法和二次插值法求解min f (x )=3x 3-8x +9，给定精度ε=0.05，要求写出具体计算过程。
3.设有函数f (x )=x 12+x 22-8x 1-12x 2+52，已知初始迭代点：x (0)=[0,0]T ，迭代方向S (0)=[0.707，0.707]T ，用0.618法作一维搜索，求其最优步长α*。
第四章 无约束优化方法
1.已知目标函数f (x )=2x 12+2x 1x 2+6x 22+2x 1+3x 2+3和一个方向S 1=[1,0]T 。试求共轭于S 1的另一个方向。
2.证明向量S 1=[1 0]T 与S 2=[1 -2]T 是关于2112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
共轭的，但不是正交的，而S 1=[1 0]T 与S 2=[0 1]T 是正交的，但不是2112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
共轭的。 3.试用共轭梯度法、DFP 变尺度法及Powell 法求min 221212131()222f x x x x x =
+--x ，给定初始点为x (0)=[-2,4]T ，ε=0.001。
第五章 机械优化设计实用技术
1.已知不等式约束优化问题
12
2211221min ()..()0()0
f x x s t
g x x g x =+=-≤=-≤x x x
试写出内点惩罚函数、外点惩罚函数和混合惩罚函数，并分别给出内点法、外点法和混合法的初始迭代点。
2.分别用内点法、外点法求
2212
1122min ()..()20()0
f x x s t
g x g x =+=-≥=≥x x x
