云南省曲靖一中2018届高三4月高考复习质量监测卷(七)数学(文)试卷(扫描版)

云南省曲靖市2018届高三数学上学期第四次月考试题 文一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合1{1}A xx=≥，{ln 1}B x x =≤，则A B =（ ） A ．(0,]e B ．(,1]-∞ C ．(0,1] D ．1[,1]e2.设1z i =+，则z z ∙=（ ） A ． B ． C ． D ．3.已知命题:p 方程sin x x =在(0,)+∞上有解，命题:q x R ∀∈，有210x x ++>恒成立，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 4.设向量(1,2)AB =，(2,3)AC =，则cos BAC ∠=（ ）A．65 B．65C. 65 D．65- 5.设3log 5a =，159()25b =，251()5c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a << C. a c b << D ．c b a << 6.若不等式244sin sin x x θθ+<+对任意(0,)θπ∈恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(5,1)- B．(2,2)- C. (,5)(1,)-∞-+∞ D．(,2)(222,)-∞---+∞7.设实数,x y 满足202400x y x y x --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．4B ．165 C. 689D ．0 8.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的最小正周期为π，且图象向右平移6π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图象，则ϕ=（ ）A ．6π B ．3πC. 23π D ．56π9.若正实数,x y 满足lg(2)lg lg(2)x y x y +=+，则2x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．510.一个四棱锥的三视图如图所示，关于这个四棱锥，下列说法正确的是（ ）AB C. 侧面四个三角形都是直角三角形 D ．侧面三角形中有且仅有一个等腰三角形11.若11()21xf x e =-+，那么(21)(12)2()f x f x f x ---≤的解集为（ ） A ．(,1]-∞ B ．1(,1]2 C. []0,1 D ．1(0,]212.在锐角ABC ∆中，060A =，4AC =，BC =P 满足(1)3AP AB AC λλ=+- ()R λ∈，则点P 的轨迹与直线,AB AC 所围成的封闭区域的面积为（ ）A ．53B ．3 C. 3 D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则126a a a = ．14.在矩形ABCD 中，3AB =，2AD =，P 为矩形内部一点，且1AP =，则AP AC ∙的取值范围是 ．15.已知偶函数()f x （x R ∈）满足(1)(1)f x f x -=+，且当[]0,1x ∈时，2()f x x =，则()y f x =的图象与()y f x =的图象的交点个数为 ．16.正四面体ABCD 的棱长为a ，其外接的体积与内切球的体积之比是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①202000sin 1cos 29sin1cos 29+-； ②202000sin 15cos 15sin15cos15+-； ③202000sin 11cos 19sin11cos19+-； ④22sin (12)cos 42sin(12)cos 42-+--； ⑤22sin (40)cos 70sin(40)cos 70-+-- （1）从上述5个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）式的计算结果把该同学的发现推广为一个三角恒等式； （3）证明这个结论.18. 已知数列{}n a 满足13a =，132n n a a +=-（1）证明{1}n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）证明1211134n a a a +++<. 19. 在锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，(2,cos())m b c C π=--，(cos ,)n A a =，且m n ⊥（1）求角A 的大小；（2）求函数22sin cos(2)3y B B π=+-的值域.20. 如图，在边长为4的菱形ABCD 中，6AC =，现沿对角线BD 把ABD ∆折起，折起后使ADC ∠的余弦值为716（1）求证：平面ABD ⊥平面CBD ；（2）若M 是AB 的中点，求三棱锥A MCD -的体积 21. 已知函数ln ()a x f x x+=在点(,())e f e 处的切线与直线210x e y ++=平行. （1）求a 的值；（2）若函数()f x 在区间(,1)m m +上不单调，求实数m 的取值范围； （3）求证：对任意(1,)x ∈+∞，(,1]b ∈-∞时，2()1bf x x >+恒成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系xOy 的原点O 和极坐标系的极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）（1）在极坐标系下，曲线C 与射线4πθ=和射线4πθ=-分别交于,A B 两点，求AOB ∆的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()26f x x x =+-的最小值为a . （1）求a 的值；（2）求函数y =的最大值.试卷答案一、选择题1-5:CBBBD 6-10:ABDCB 11、12：AC【解析】1．(01]A =，，(0e]B =，，则(01]AB =，，故选C ．2．1i z =+，则(1i)(1i)2z z =+-=，故选B ． 3．由题意知p 假q 真，所以()p q ⌝∧为真，故选B ． 4．向量(12)AB =，，(23)AC =，，则8cos ||||AB AC BAC AB AC ∠==B ． 5．3log 5a =，125593=255b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，251=5c ⎛⎫⎪⎝⎭，所以11a c b ><<，，所以c b a <<，故选D ．6．因为(0π)θ∈，，则当sin 1θ=时，4sin sin θθ+取得最小值为5，则245x x +<，所以实数x 的取值范围是(51)-，，故选A ．7．画出可行域如图1，则目标函数22x y +的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，所以22x y +的最小值为165，故选B ．8．已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+><<，的最小正周期为π，所以2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+，那么图象向右平移π6个单位后得到函数π()sin 2cos 23g x x x ϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭的图象，则ππ2π32k k ϕ-+=+∈Z ，，因 为0πϕ<<，所以5π6ϕ=，故选D ． 9．正实数x y ，满足lg(2)lg lg(2)x y x y +=+，则22x y xy +=，则212x y +=，12(2)2x y x y +=+ 2114442y x x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，所以2x y +的最小值为4，故选C ． 10．还原四棱锥，如图，由主视图可知，PA ⊥底面A B CD A B A D A D D C ⊥⊥，，，212PA AB BC CD AD =====，，，计算可知B 正确，故选B ．11．由11()2e 1x f x =-+，则函数()f x 是奇函数且在R 上单调递增，所以不等式(21)f x --(12)2()f x f x -≤等价于2(21)2()f x f x -≤，即21x x -≤，解得1x ≤，故选A ．12．在锐角ABC △的边AB 上取一点M ，使13A M AB =，若动点P 满足3A P AB λ=+(1)()AC λλ-∈R ，则(1)()AP AM AC λλλ=+-∈R ，所以点P 的轨迹是直线MC ，所以与直线AB AC ，所围成的封闭区域是三角形AMC ，由已知条件可知AMC S △故选C ． 二、填空题13. 8 14. 15. 4 16. 27 【解析】13．等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=， 解得1182a q ==，，则1268a a a =．14．||cos AP AC AC PAC =∠，画图分析可知||cos AP AC AC PAC =∠的范围是(2． 15．因为()()f x x ∈R 是偶函数，所以()f x 的图象关于y 轴对称，又(1)(1)f x f x -=+，所以()f x 的图象关于1x =对称，且当[01]x ∈，时，2()f x x =，画出()y f x =与5log y x =的图象可知交点有4个．16．正四面体ABCD 的棱长为a ，其外接球的半径为R =，其内切球的半径为r =，所以 327V R V r ⎛⎫== ⎪⎝⎭外内． 三、解答题17． （Ⅰ）解：选择②，2213sin 15cos 15sin15cos151sin3024︒+︒-︒︒=-︒=．（Ⅱ）解：223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+︒--︒-=． （Ⅲ）证明：22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-2211sin sin sin sin 22αααααα⎫⎫=++-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=++-2233sin cos 44αα=+ 34=． 18．证明：（Ⅰ）由132n n a a +=-得113(1)n n a a +-=-，所以{1}n a -是以2为首项，3为公比的等比数列，且1123n n a --=， 所以1231n n a -=+． （Ⅱ）1111123123n n n a --=<+， 所以2112111111112333n n a a a -⎛⎫+++<++++ ⎪⎝⎭111313311243413n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫==-<⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭． 19．解：（Ⅰ）由m n ⊥，则0m n =，即(2)cos cos 0b c A a C --=， 由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0B C A A C --=， 2sin cos sin()0B A A C -+=，2sin cos sin B A B =，在锐角三角形ABC 中，sin 0B >，∴1cos 2A =，故π3A =．（Ⅱ）在锐角三角形ABC 中，π3A =，故ππ62B <<，所以2π112sin cos 21cos 2cos 222cos 21322y B B B B B B B ⎛⎫=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭ πsin 216B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ππ62B <<，所以ππ5π2666B <-<，所以3πsin 21226B ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭≤，所以函数2π2sin cos 23y B B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的值域为322⎛⎤⎥⎝⎦，．20．（Ⅰ）证明：在菱形ABCD 中，记AC BD ，的交点为O ，4AD =，∴3OA =，OD =翻折后变成三棱锥A BCD -，在ACD △中，22272cos 16162441816AC AD CD AD CD ADC =+-∠=+-⨯⨯⨯=， 所以在AOC △中，22218OA OC AC +==，所以OA OC ⊥， 又AO BD ⊥，OCBD O =，∴AO ⊥平面BCD ，又AO ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面CBD ．（Ⅱ）解：因为M 是AB 的中点，所以A B ，到平面MCD 的距离相等， 11137223A MCD B MCD A BCD BCD V V V S AO ---===⨯=△所以． 21．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为ln ()a x f x x +=，所以21ln ()a x f x x --'=，根据题意，21(e)e f '=-， 所以221e e a -=-，所以1a =． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得2ln ()xf x x-'=，定义域为(0)+∞，， 当(01)x ∈，时，()0f x '>，()f x 在(01)，上为增函数， 当(1)x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 在(1)+∞，上为减函数，所以函数()f x 在1x =处取得极值，又函数()f x 在区间(1)m m +，上不单调， 所以011m m <<<+，所以01m <<． （Ⅲ）证明：当1x >时，21ln 2(1ln )(1)()211b x b x x f x b x x x x+++>⇔>⇔>++， 所以(1]b ∈-∞，时，原不等式等价于(1ln )(1)2x x x++>恒成立，令(1ln )(1)()x x g x x ++=，则2ln ()x xg x x-'=， 令()ln h x x x =-，则1()10h x x'=->在(1)x ∈+∞，上恒成立， 所以()h x 在(1)x ∈+∞，上是增函数，(1)1h =，所以()0g x '>，所以()g x 在(1)x ∈+∞，上是增函数，所以()(1)2g x g >=，即原不等式恒成立． 22．【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线C 在直角坐标系下的普通方程为2214x y +=，将其化为极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=，分别代入π4θ=和π4θ=-，得228||||5OA OB ==， ∵π2AOB ∠=， ∴AOB △的面积14||||25S OA OB ==． （Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得2560t +-=， 即121265t t t t +==-，∴12||||AB t t =-==． 23．【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）方法1：∵360()|||26|603363x x f x x x x x x x -+⎧⎪=+-=-+<⎨⎪->⎩，≤，，≤，，，∴()f x 在(0]-∞，上是减函数，在(03]，上是减函数，在(3)+∞，上是增函数， 则min ()(3)3f x f ==， ∴3a =．方法2：∵|||26|(|||3|)|3|x x x x x +-=+-+-|(3)||3|3|3|303x x x x --+-=+-+=≥≥， 当且仅当(3)0330x x x x -⎧⇒=⎨-=⎩≤，时取等号， ∴3a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得y =[34]，，且0y >， 由柯西不等式可得：y ==5=，当且仅当时等号成立，即84[34]25x =∈，时，函数取最大值5．曲靖一中高考复习质量监测卷四文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．(01]A =，，(0e]B =，，则(01]AB =，，故选C ．2．1i z =+，则(1i)(1i)2z z =+-=，故选B ． 3．由题意知p 假q 真，所以()p q ⌝∧为真，故选B ． 4．向量(12)AB =，，(23)AC =，，则8cos ||||AB AC BAC AB AC ∠==B ． 5．3log 5a =，125593=255b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，251=5c ⎛⎫⎪⎝⎭，所以11a c b ><<，，所以c b a <<，故选D ．6．因为(0π)θ∈，，则当sin 1θ=时，4sin sin θθ+取得最小值为5，则245x x +<，所以实数x 的取值范围是(51)-，，故选A ．7．画出可行域如图1，则目标函数22x y +的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，所以22x y +的最小值为165，故选B ． 8．已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+><<，的最小正周期为π，所以2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+，那么图象向右平移π6个单位后得到函数π()sin 2cos 23g x x x ϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭的图象，则ππ2π32k k ϕ-+=+∈Z ，，因为0πϕ<<，所图1以5π6ϕ=，故选D ． 9．正实数x y ，满足lg(2)lg lg(2)x y x y +=+，则22x y xy +=，则212x y +=，12(2)2x y x y +=+ 2114442y x x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥，所以2x y +的最小值为4，故选C ． 10．还原四棱锥，如图2，由主视图可知，PA ⊥底面A B CD A B A D A D D C ⊥⊥，，，212PA AB BC CD AD =====，，，计算可知B 正确，故选B ．11．由11()2e 1xf x =-+，则函数()f x 是奇函数且在R 上单调递增，所以不等式(21)f x -- (12)2()f x f x -≤等价于2(21)2()f x f x -≤，即21x x -≤，解得1x ≤，故选A ．12．在锐角ABC △的边AB 上取一点M ，使13AM AB =，若动点P 满足3AP AB λ=+ (1)()AC λλ-∈R ，则(1)()AP AM AC λλλ=+-∈R ，所以点P 的轨迹是直线MC ，所以与直线AB AC ，所围成的封闭区域是三角形AMC ，由已知条件可知AMC S =△故选C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=， 解得1182a q ==，，则1268a a a =．14．||cos AP AC AC PAC =∠，画图分析可知||cos AP AC AC PAC =∠的范围是(2． 15．因为()()f x x ∈R 是偶函数，所以()f x的图象关于y 轴对称，又(1)(1)f x f x -=+，所以()f x 的图象关于1x =对称，且当[01]x ∈，时，2()f x x =，画出()y f x =与5log y x =的图象可知交点有4个．16．正四面体ABCD 的棱长为a ，其外接球的半径为R =，其内切球的半径为r =，所以327V R V r ⎛⎫== ⎪⎝⎭外内． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）图2（Ⅰ）解：选择②，2213sin 15cos 15sin15cos151sin3024︒+︒-︒︒=-︒=．…………………………………（3分）（Ⅱ）解：223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+︒--︒-=．……………………………（6分）（Ⅲ）证明：22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-2211sin sin sin sin 22αααααα⎫⎫=++-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=+++-2233sin cos 44αα=+ 34=．……………………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）由132n n a a +=-得113(1)n n a a +-=-，所以{1}n a -是以2为首项，3为公比的等比数列，且1123n n a --=，所以1231n n a -=+．……………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）1111123123n n n a --=<+， 所以2112111111112333n n a a a -⎛⎫+++<++++ ⎪⎝⎭111313311243413n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫==-<⎪⎪⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭．…………………………………………………………（12分）解：（Ⅰ）由m n ⊥，则0m n =，即(2)cos cos 0b c A a C --=， 由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0B C A A C --=， 2sin cos sin()0B A A C -+=，2sin cos sin B A B =，在锐角三角形ABC 中，sin 0B >，∴1cos 2A =，故π3A =．…………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）在锐角三角形ABC 中，π3A =，故ππ62B <<， 所以2π12s 3y B⎛⎫=+-=-++=-+ ⎪⎝⎭πsin 216B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ππ62B <<，所以ππ5π2666B <-<，所以3πsin 21226B ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭≤，所以函数2π2sin cos 23y B B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的值域为322⎛⎤⎥⎝⎦，．………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在菱形ABCD 中，记AC BD ，的交点为O ，4AD =，∴3OA =，OD =翻折后变成三棱锥A BCD -，在ACD △中，22272cos 16162441816AC AD CD AD CD ADC =+-∠=+-⨯⨯⨯=， 所以在AOC △中，22218OA OC AC +==，所以OA OC ⊥， 又AO BD ⊥，OCBD O =，∴AO ⊥平面BCD ，又AO ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面CBD ．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为M 是AB 的中点，所以A B ，到平面MCD 的距离相等，11137223A MCD B MCD A BCD BCD V V V S AO ---===⨯=△所以．…………………………（12分）21．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为ln ()a x f x x +=，所以21ln ()a x f x x --'=，根据题意，21(e)e f '=-， 所以221e e a -=-，所以1a =．……………………………………………………………（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得2ln ()xf x x -'=，定义域为(0)+∞，， 当(01)x ∈，时，()0f x '>，()f x 在(01)，上为增函数， 当(1)x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 在(1)+∞，上为减函数，所以函数()f x 在1x =处取得极值，又函数()f x 在区间(1)m m +，上不单调， 所以011m m <<<+，所以01m <<．…………………………………………………（8分）（Ⅲ）证明：当1x >时，21ln 2(1ln )(1)()211b x b x x f x b x x x x+++>⇔>⇔>++， 所以(1]b ∈-∞，时，原不等式等价于(1ln )(1)2x x x++>恒成立，令(1ln )(1)()x x g x x ++=，则2ln ()x xg x x -'=，令()ln h x x x =-，则1()10h x x'=->在(1)x ∈+∞，上恒成立， 所以()h x 在(1)x ∈+∞，上是增函数，(1)1h =，所以()0g x '>，所以()g x 在(1)x ∈+∞，上是增函数，所以()(1)2g x g >=，即原不等式恒成立．………………………………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线C 在直角坐标系下的普通方程为2214x y +=，将其化为极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=，分别代入π4θ=和π4θ=-，得228||||5OA OB ==， ∵π2AOB ∠=， ∴AOB △的面积14||||25S OA OB ==．………………………………………………（5分）（Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得2560t +-=， 即1212655t t t t+=-=-，∴12||||AB t t =-==．…………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）方法1：∵360()|||26|603363x x f x x x x x x x -+⎧⎪=+-=-+<⎨⎪->⎩，≤，，≤，，，∴()f x 在(0]-∞，上是减函数，在(03]，上是减函数，在(3)+∞，上是增函数， 则min ()(3)3f x f ==，∴3a =．…………………………………………………………………………………（5分）方法2：∵||x x xx x+-=+-|(x x x--+-≥≥，当且仅当(3)0330x x x x -⎧⇒=⎨-=⎩≤，时取等号，∴3a =．…………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得y =[34]，，且0y >， 由柯西不等式可得：y==5，当且仅当=时等号成立，即84[34]25x=∈，时，函数取最大值5．………………………………………………………………………………………（10分）。

云南省曲靖市第一中学2018届高三4月高考复习质量监测卷（七）文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|1}A x x =≤，2{|log 1}B x x =≤，则AB =（ ）A ． (1,2]B ．(0,1]C ． [1,1]-D ．(0,2]2.如图所示的程序中，如果输入的x 等于2018，程序运行后输出的结果是（ ）A ．2018B ．-2018C ．2019D ．-2019 3.已知复数2()z ai a R =+∈，则|(1)|4i z -=，则a 的值为（ ） A ． 2 B ．2± C ．0 D ． 1±4.若抛物线2x y =在1x =处的切线的倾斜角为θ，则sin 2θ=（ ）A ．45 B ．12 C.45- D ．12- 5.已知P ：函数()(1)xf x a =-为增函数，1:[,1]2q x ∀∈，10ax -≤，则p 是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要6.如图，正方形BCDE 和ABFG 的边长分别为2a ，a ，连接CE 和CG ，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是（ ）A ．35 B ．38 C.310 D ．3207.一个几何体的三视图如图所示（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体的体积是（ ）A ． 72B ．48 C. 27 D ．368.若直线:2(0,0)l ax by a b -=>>平分圆22240x y x y +-+=，则11a b+的最小值为（ ）A．．2 C.1(32+ D．3+9.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，3sin 5sin C B =，则角A =（ ）A ．3πB ．23π C. 34π D ．56π10.若不等式2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域为三角形且其面积等于43，则12z x y =-的最小值为（ ） A ． -2 B ．53-C.-3 D ．1 11.设双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为21,F F ，过2F 的直线交双曲线右支于,A B 两点，则11||||AF BF +的最小值为（ ）A ．16B ． 12 C. 11 D ．19212.不等式xe x ax +>的解集为P ，且[0,2]P ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ． (,1)e -∞- B ．(1,)e -+∞ C. (,1)e -∞+ D ．(1,)e ++∞ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2,1)a =，(,2)b x =-，()a a b ⊥+，则实数x 的值是 ．14.将容量为n 的样本中得数据分成5组，绘制频率分布直方图，若第1至第5个长方形得面积之比为3：3：6：2：1，且最后两组数据的频数之和等于20，则n 的值等于 ．15.已知函数()cos(2)(||)2f x x πθθ=+<的图像向左平移3π个单位长度后关于原点对称，则()12f π的值等于 ． 16.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线:20l x y -=交椭圆于,A B 两点，若||||2AF BF +=，点P 到直线l取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 记n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知122n n S n +=--，数列{}n b 满足2log (1)n n b a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11{}n n b b +的前n 项和n T . 18. 某地随着经济的发展，居民收入逐年增大，下表是该地一农业银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表：为了研究方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2012t x =-，得到下表：（1）求y 关于t 的线性回归方程； （2）求y 关于x 的线性回归方程；（3）用所求回归方程预测，到2020年底，该地储蓄存款额大约可达多少？（附：线性回归方程y bx a =+，^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，x by a ^^-=） 19. 在四棱锥P ABCD -中，AD AB ⊥，//AD BC ，PDA ∆，PAB ∆都是边长为1的正三角形.（1）证明：平面PDB ⊥平面ABCD ； （2）求点C 到平面PAD 的距离.20. 已知抛物线2:2C x y =，直线:2l y x =-，设P 为直线l 上的动点，过P 作抛物线的两条切线，切点分布为,A B .（1）当点P 在y 轴上时，求线段AB 的长； （2）求证：直线AB 恒过定点. 21. 已知函数1()ln (1)()f x a x a x a R x=+-+∈. （1）1a >时，求函数()f x 的单调区间； （2）设,[1,3]m n ∃∈，使不等式|()()|(ln3)(2)2ln3f m f n k a ->+--对任意的(2,4)a ∈恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l 过点)6A π且倾斜角为3π. （1）求直线l 的极坐标方程；（2）若以直线Ox 为x 轴，O 为原点建立直角坐标系，曲线C 的参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），直线l 交曲线C 于,A B 两点，求弦长||AB . 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()|21|,f x x x x R =++∈. （1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若()()|1|g x f x ax x =---，0a >，求()g x 的值域.试卷答案一、选择题1-5: BDBAA 6-10:CDCBA 11、12：CC 二、填空题13. 32-14. 100 15. 1 16. 0⎛ ⎝⎦三、解答题17. 解：（Ⅰ）∵122n n S n +=--， 当1n =时，111a S ==；当n 2≥时，1n n n a S S -=-，∴21n n a =-， 1n =时也满足21n n a =-=1，∴21n n a =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知21n n a =-，∵2log (1)n n b a =+，∴2log (2)n n b n ==， ∴11111(1)1n n b b n n n n +==-++，∵12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++， ∴111111*********111n nT n n n n =-+-+-++-=-=+++． 18. 解：（Ⅰ）3t =，367.25y ==，51120i i i t y ==∑，52155i i t ==∑，∵1221ˆni ii nii x ynx y bxnx ==-=-∑∑，∴120537.2ˆ 1.25559b-⨯⨯==-⨯， ∵ˆˆay bx =-，∴ˆ7.2 1.23 3.6a =-⨯=， ∴ 1.2 3.6y t =+．（Ⅱ）∵2012t x =-与 1.2 3.6y t =+，∴ 1.2(2012) 3.6y x =-+，即 1.22410.8y x =-． （Ⅲ）将2020x =代入 1.22410.8y x =-，有13.2y =， 所以到2020年底，该地储蓄存款额大约可达13.2亿元． 19. （Ⅰ）证明：如图，连接BD ，∵PAB △，PAD △都是正三角形， ∴1AD AB PD PB ====，设O 为BD 的中点，∴PO BD ⊥，AO BD ⊥，在Rt ADB △中，1AD AB ==，∴BD =，∵O 为BD 的中点，∴OA =，在等腰PDB △中，1PD PB ==，BD ，∴PO ，在POA △中，PO =，OA =1PA =， ∵222PO OA PA +=，∴PO OA ⊥，又∵PO BD ⊥，BD OA O BD ABCD OA ABCD =⊂⊂，平面，平面， ∴PO ⊥平面ABCD ， 又∵PO ⊂平面PDB ， ∴平面⊥PDB 平面ABCD ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DO PO =设点C 到平面PAD 的距离为d ，则ACD P PAD C V V --=，即2111111332d ⨯=⨯⨯⨯∴d =∴点C 到平面PAD20. （Ⅰ）解：设21112A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，22212B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，212y x =的导数为y x '=， 以A 为切点的切线方程为21111()2y x x x x -=-，即21112y x x x =-，同理以B 为切点的切线方程为22212y x x x =-，∵(02)P -，在切线方程上， ∴21122x -=-，22122x -=-，∴2212124(0)x x x x ==<，AB x ∥轴， ∴12|||||22|4AB x x =-=+= （Ⅱ）证明：设()P x y ，，由（Ⅰ）得2112221212y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，∴121222x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由已知直线AB 的斜率必存在，设AB 的方程为y kx b =+， 由212y kx b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得2220x kx b --=， ∴122x x k +=，122x x b =-， ∴()P k b -，，由P 在直线2y x =-上可得2b k =-，则AB 方程为(2)y kx k =+-，即(1)20k x y -+-=， ∴直线AB 过定点(1，2)．21. 解：（Ⅰ）已知函数定义域为(0)+∞，，22221(1)1(1)[(1)1]()1a a x ax x a x f x a x x x x -+---+'=-+-==， 已知1a >，令()0f x '=，11x =，211x a =-，当2a =时，121x x ==，()0f x '≤，()f x 在(0)+∞，上递减；当12a <<时，21111x x a =>=-， ∴()f x 在(01)，上递减，在111a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上递增，在11a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭，上递减， 当2a >时，12111x x a =>=-， ∴()f x 在101a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上递减，在111a ⎛⎫⎪-⎝⎭，上递增，在(1)+∞，上递减． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当(24)a ∈，时，()f x 在(1)+∞，上递减， 当[13]x ∈，时，max ()(1)112f x f a a ==-+=-， min 110()(3)ln333ln3333f x f a a a a ==++-=-+，原问题等价于：对任意的(24)a ∈，，恒有10(ln 3)(2)2ln 32ln 333k a a a a ⎛⎫+--<--+- ⎪⎝⎭成立， 即42466(2)883223(2)3(2)3(2)aa a k a a a a ----->===------，当4a =时，463(2)a a --取得最大值103-，∴103k >-． 22. 解：（Ⅰ）设l 上动点()M l ρθ，，与x 轴交于B ，则1OB =， 又在△OMB中，1πsin 2ππ3sin sin 33ρρθθ⎛⎫=⇒-= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭（Ⅱ）C 的普通方程是24y x =与l的直角坐标方程y =-240y --=，2=8∆，16||.3AB ==∴ 23. 解：（Ⅰ）4()5|21|5521563f x x x x x x x ⇒+-⇒-+-⇔-≤≤≤≤≤≤，∴其解集为46.3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（Ⅱ）∵0a >，1(2)211()|21||1|(2)21(2)22a x x a g x x ax a x x a a x x ⎧-+⎪⎪⎪=+--=+-<⎨⎪⎪--<-⎪⎩，≥，，≤，，，221a a ⎛⎤>-∞+ ⎥⎝⎦∴①当时，其值域是，；0212a a ⎡⎫<<--+∞⎪⎢⎣⎭②当时，其值域是，；2[22]a =-③当时，其值域是，.。

云南省曲靖市第一中学2018届高三4月高考复习质量监测卷（七）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要2. 设是虚数单位，是的展开式的各项系数和，则的共轭复数的值是（）A. B. C. 8 D. -83. 已知，则（）A. B. C. D.4. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）学_科_网...学_科_网...A. B. C. 1 D.5. 我校高三8个学生参加数学竞赛的得分用茎叶图表示，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（）A. 91 9.5B. 91 9C. 92 8.5D. 92 86. 有一类双曲线和椭圆有相同的焦点，在其中有一双曲线且过点，则在中任取一条双曲线其离心率不大于的概率为（）A. B. C. D.7. 阅读如图所示的程序，若输入的数据中，，，则输出的值为（）A. 4B. 6C. 7D. 58. 已知，若，且是锐角，则的值等于（）A. B. C. D.9. 设，满足，若函数存在零点，则一定错误的是（）A. B. C. D.10. 双曲线的一个焦点是抛物线的焦点，是的一条渐近线且与圆相交于两点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.11. 在直角中，，，为直线上的点，且，若，则的最大值是（）A. B. C. 1 D.12. ，对于，均有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为__________．14. 已知，用秦九昭法计算，其中乘法的次数是__________．15. 在几何体中，是正三角形，平面平面，且，，则的外接球的表面积等于__________．16. 若，，，则的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前20项和.18. 曲一中某研究性学习小组对学习数学的练习时间与进步率的关系进行研究，他们分别记录了同班5个同学一周内的学习时间与周测成绩进步率，得到如下资料.（1）从5个同学中任选2个，记其进步率分别为，求事件“均不小于25”的概率；（2）若进步率与学习时间服从线性关系，求出关于的线性回归方程；（3）在这5个同学中任取3个，其中进步率超过25的有个同学，求的数学期望.参考公式：回归直线方程是，其中19. 如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.（1）求的长，并证明平面；（2）若，试确定的值，使得到平面的距离为.20. 在中，，，其周长是，是的中点，在线段上，满足. （1）求点的轨迹的方程；。