高中数学--平面几何中的向量方法ppt

方法总结：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
建立平面几何与向量的联系， 用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题；
转化
通过向量运算，研究几何元素之间 的关系，如距离、夹角等问题；
运算
把运算结果“翻译”成几何关系。
翻译
巩固新知
例3.如图，已知平行四边形 ABCD ，你能发现对角线 AC 和 BD
D
E
的难度。如果用向量方法来证明这个结论，可以
取 AB , AC 为基底，用 AB , AC 表示 DE ，BC，证明 B
C
DE 1 BC 即可。
2
例2.如图，DE是 ABC 的中位线，用向量方法证明：DE / /BC, DE 1 BC.
2
证明：如图，因为 DE 是 ABC 的中位线，
所以 AD 1 AB, AE 1 AC.
追问（1）：你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？
答：平行四边形两对角线的平方和等于各条边的平方和。
追问（2）：本题还可以选择其他基底吗？
D
C
答：如图，还可以选 AC , BD 为基底。
追问（3）：本题还有其他利用向量的方法吗？
A
B
答：坐标法（如下）
例6.如图，已知平行四边形 ABCD ，你能发现对角线 AC 和 BD 的长度与两条邻边 AB 和 AD 之间的关系吗？ 解法二：以 A 点为坐标原点，AB 为 x 轴，建立 y 如图所示的直角坐标系.
cos a b x1x2 y1y2 .
| a || b | x12 y12 x22 y22
探究新知
下面我们来通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用。
例1.如图，DE 是

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探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：向量的概念和几何表示
§ 2.1
我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量．数学中，我们把这种既有 大小，又有方向的量叫做向量．而把那些只有大小，没有方向的量称为数量． 例如，已知下列各量： ①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度； ⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有②④⑤⑨⑩， 是向量的有①③⑥⑦⑧.
明目标、知重点
填要点、记疑点
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探究点三 ：平行向量与共线向量
§ 2.1
思考 2 如果非零向量A→B与C→D是共线向量，那么点 A、B、C、D 是否一定 共线？ 答 点 A、B、C、D 不一定共线．
思考 3 若向量 a 与 b 平行(或共线)，则 b 相等，则向量 a 与 b 平行(或共线)吗？
明目标、知重点
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探究点二 ：几个向量概念的理解
§ 2.1
思考 4 在同一平面内，把所有长度为 1 的向量的始点固定在同一点，这 些向量的终点形成的轨迹是什么？
答案 单位圆
明目标、知重点
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答 向量 a 与 b 平行(或共线)，则向量 a 与 b 不一定相等；
向量 a 与 b 相等，则向量 a 与 b 平行(或共线)．
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故选 B.
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→

(1)因为E→D＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)， B→C＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， 所以E→D＝B→C，所以E→D∥B→C，即DE∥BC。 (2)连接MB，MD。
因为M为EC的中点，所以M0，12， 所以M→D＝(－1,1)－0，12＝－1，12，M→B＝(1,0)－0，12＝1，－12。 所以M→D＝－M→B，所以M→D∥M→B。 又M→D与M→B有公共点M， 所以D，M，B三点共线。
作业: P52 3 三维设计P37-38
第 6章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 6.4.1 平面几何中的向量方法
温故知新
导入新课
➢ 平面几何中的向量方法
例1 如图所示,DE是∆ABC的中位线，用向量方法证明： DE//BC,
分析：这是初中我们学习过的一个重要定理（三角形中位线定理），
证明时要添加辅助线，有一定的难度。如果用向量方法证明
➢ 求长度
例3
在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.
例2.如图，已知 ABCD中, AC、BD是 ABCD的两条对角线，求证：AC2 BD2 （2 AB2 AD2）.
解 设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b， 而|B→D|＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b ＝ 5－2a·b＝2，
D A
C B
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝12， 又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴|A→C|＝ 6，即 AC＝ 6.
➢ 求角度
【例 3】 如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点 D 在线段 BC 上,且 BD=12DC。 求: