离散数学刘任任版第14章答案.ppt
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湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题
习 题 十 一1．设11≥p ，证明任何p 阶图G 与G 总有一个是不可平面图。
分析： G 与G 是两个互补的图，根据互补的定义，互补的图有相同的顶点数，且G 的边数与G 的边数之和等于完全图的边数p(p-1)/2；而由推论11.2.2，有任何简单平面图G ，其顶点数p 和边数q 满足：q ≤3p-6。
证明. 若),(q p G 与),(q p G ''均是可平面图，则63-≤p q （1） 63-'≤'p q （2） 但q p p q p p --='=')1(21, （3）将（3）代入（2）有63)1(21-≤--p q p p 整理后得 q p p 21272≤+- 又由（1）有)63(21272-≤+-p p p 即 024132≤+-p p也即 224413132244131322⨯-+≤≤⨯--p .得 2731327313+≤≤-p 得112<<p此与11≥p 矛盾。
因此任何p 阶图G 与G 不可能两个都是可平面图，从而G 与G 总有一个是不可平面图。
2．证明或否定：两个p 阶极大简单平面图必同构分析：极大平面图是指添加任何一条边以后不构成平面图的平面图；两个p 阶极大简单平面图不一定同构。
解：令6=p ，三个6阶极大简单平面图321,,G G G 如下：顶点上标的数字表示该顶点的度，但显然不同构.3．找出一个8阶简单平面G ，使得G 也是平面图.分析：由第1题证明过程可知，当p<11时，G 和G 可以同时为平面图。
解：如下平面图G ，显然其补图也是平面图。
123G 3344454．证明或者否定：每个极大平面图是H 图. 分析：极大平面图是指添加任何一条边以后不构成平面图的平面图；而H 图是存在一个H 回路的图，即存在一条经过图中每一个顶点一次且仅一次的回路。
由定理11.1.2知极大平面图的每个面都是三角形，因此G 中必存在回路，利用最长回路的性质使用反证法可证明每个极大平面图都是H 图。
离散数学 习题答案(刘任任)
此为矛盾。故 A=B。
（2）
A B ( A B) ( A B) ( B A) ( B A) B A
( A B) C (( A B) ( B A)) C (( A B ) ( B A )) C (((A B ) ( B A)) C) (((A B ) ( B A)) C)
A B AC
(4) 错误。例如，令 A={2,3,4},B={1,2,3},C={3,4,5}; (5)错误。例如，令A={2,4},B={1,2},C={2,3};
8.
（1）设A=B。于是
A B ( A B) ( A B) A A 反之，设 A B 。若 A B ，则不妨 设 x A而x B 。于是， x A B, 而x A B 从而 A B
3.
(1) 错; (2) 对; (3) 对; (4) 错;
(5) 错;
(9) 对;
(6) 对;
(10) 错;
(7) 错;
(11)错;
(8) 对;
(12)对.
4.
（1）正确。因BC，所以，对任何x∈B均有x∈C， 令A∈B，故A∈C。 （2）错误。例如，令A={1}，B={{1}，2}， C={{1}，2，3}。
(B×A) 2 =(B × A) ×(A × B) ={<<2,1>,<2,1>>,<<2,1>,<2,2>>,<<2,1>,<3,1 >>,<<2,1>,<3,2>>,<<2,2>,<2,1>>,<<2,2>,< 2,2>>,<<2,2>,<3,1>>,<<2,2>,<3,2>>,<<3,1 >,<2,1>>,<<3,1>,<2,2>>,<<3,1>,<3,1>>,<< 3,1>,<3,2>>,<<3,2><2,1>>,<<3,2>,<2,2>>, <<3,2>,<3,1>>,<<3,2>,<3,2>>}
（2）
A B ( A B) ( A B) ( B A) ( B A) B A
( A B) C (( A B) ( B A)) C (( A B ) ( B A )) C (((A B ) ( B A)) C) (((A B ) ( B A)) C)
A B AC
(4) 错误。例如，令 A={2,3,4},B={1,2,3},C={3,4,5}; (5)错误。例如，令A={2,4},B={1,2},C={2,3};
8.
（1）设A=B。于是
A B ( A B) ( A B) A A 反之，设 A B 。若 A B ，则不妨 设 x A而x B 。于是， x A B, 而x A B 从而 A B
3.
(1) 错; (2) 对; (3) 对; (4) 错;
(5) 错;
(9) 对;
(6) 对;
(10) 错;
(7) 错;
(11)错;
(8) 对;
(12)对.
4.
（1）正确。因BC，所以，对任何x∈B均有x∈C， 令A∈B，故A∈C。 （2）错误。例如，令A={1}，B={{1}，2}， C={{1}，2，3}。
(B×A) 2 =(B × A) ×(A × B) ={<<2,1>,<2,1>>,<<2,1>,<2,2>>,<<2,1>,<3,1 >>,<<2,1>,<3,2>>,<<2,2>,<2,1>>,<<2,2>,< 2,2>>,<<2,2>,<3,1>>,<<2,2>,<3,2>>,<<3,1 >,<2,1>>,<<3,1>,<2,2>>,<<3,1>,<3,1>>,<< 3,1>,<3,2>>,<<3,2><2,1>>,<<3,2>,<2,2>>, <<3,2>,<3,1>>,<<3,2>,<3,2>>}
离散数学(第十四章)
8
实例
强连通
单连通
弱连通
二部图
定义14.23 设 G=<V,E>为一个无向图，若能将 V分成 V1和V2 (V1V2=V，V1V2=)，使得 G 中的每条边的两个端点都是 一个属于V1，另一个属于V2，则称 G 为二部图 ( 或称二分 图、偶图等 )，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部图G 记为<V1,V2,E>.
m 2 ( j 1,2,...,m ) ( 2) m d ( v ) ( i 1, 2,...,n) ( 3) m 2m
n i 1 m ij j 1 ij i ij i, j
(4) 平 行 边 的 列 相 同
13
无向图的关联矩阵
例如 M(G)=
211000 010111 000011 000000 001100
1. 删除顶点及删除边 Gv ——从G中将v及关联的边去掉 GV——从G中删除V中所有的顶点 Ge ——将e从G中去掉 GE——删除E中所有边 2. 点割集与边割集 点割集与割点 定义14.16 G=<V,E>, VV V为点割集——p(GV)>p(G)且有极小性 v为割点——{v}为点割集 定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
6
有向图的连通性
定义14.20 D=<V,E>为有向图 vi vj（vi 可达 vj）——vi 到vj 有通路 vi vj（vi 与vj 相互可达） 性质 具有自反性(vi vi)、传递性 具有自反性、对称性、传递性 vi 到vj 的短程线与距离 类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同 (无向图中d(vi,vj)，有向图中d<vi,vj>) 及 d<vi,vj>无对称性
实例
强连通
单连通
弱连通
二部图
定义14.23 设 G=<V,E>为一个无向图，若能将 V分成 V1和V2 (V1V2=V，V1V2=)，使得 G 中的每条边的两个端点都是 一个属于V1，另一个属于V2，则称 G 为二部图 ( 或称二分 图、偶图等 )，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部图G 记为<V1,V2,E>.
m 2 ( j 1,2,...,m ) ( 2) m d ( v ) ( i 1, 2,...,n) ( 3) m 2m
n i 1 m ij j 1 ij i ij i, j
(4) 平 行 边 的 列 相 同
13
无向图的关联矩阵
例如 M(G)=
211000 010111 000011 000000 001100
1. 删除顶点及删除边 Gv ——从G中将v及关联的边去掉 GV——从G中删除V中所有的顶点 Ge ——将e从G中去掉 GE——删除E中所有边 2. 点割集与边割集 点割集与割点 定义14.16 G=<V,E>, VV V为点割集——p(GV)>p(G)且有极小性 v为割点——{v}为点割集 定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
6
有向图的连通性
定义14.20 D=<V,E>为有向图 vi vj（vi 可达 vj）——vi 到vj 有通路 vi vj（vi 与vj 相互可达） 性质 具有自反性(vi vi)、传递性 具有自反性、对称性、传递性 vi 到vj 的短程线与距离 类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同 (无向图中d(vi,vj)，有向图中d<vi,vj>) 及 d<vi,vj>无对称性
清华离散数学(第2版)：14.3.1-2
13
群中的术语(续 群中的术语 续)
定义14.16 设G是群,x∈G,n∈Z,则 x 的 n 次幂 xn 定 是群, ∈ , ∈ , 定义 是群 义为
n=0 e xn = xn1 x n > 0 ( x1 )m m = n, n < 0
n∈Z
实例 在<Z3,⊕ >中有 23=(21)3=13=1⊕1⊕1=0 ⊕ 中有 ⊕ ⊕ 在 <Z,+> 中有 (2)3=23=2+2+2=6
8
实例
其中为矩阵乘法 为矩阵乘法, 设半群 V1=<S,>,独异点 V2=<S,,e>. 其中 为矩阵乘法, , e 为2阶单位矩阵 且 阶单位矩阵, 阶单位矩阵
a 0 | a, d ∈ R S = 0 d
a 0 a 0 f 0 d = 0 0
( x1 x 2 ... x n ) 1 = x n x n1 ... x 2 x1
1
1
1
1
等式(5)只对交换群成立 如果G是非交换群 是非交换群, 等式 只对交换群成立. 如果 是非交换群,那么 只对交换群成立
( xy ) = ( xy )( xy )...( xy )
n n个
17
群的性质---群方程存在唯一解 群的性质 群方程存在唯一解
3
实例
是半群, 是普通 例1 (1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>是半群,+是普通 是半群 加法, 其中除<Z 外都是独异点. 加法 其中除 +,+>外都是独异点 外都是独异点 (2) 设n是大于 的正整数 是大于1的正整数 是大于 的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),>都是半群 和 都是半群 和独异点,其中+和 分别表示矩阵加法和矩阵乘法 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. 和独异点,其中 和分别表示矩阵加法和矩阵乘法 (3) <P(B),⊕>为半群,也是独异点,其中⊕为集合的对称 为半群, ⊕ 为半群 也是独异点,其中⊕ 差运算. 差运算 (4) <Zn, ⊕>为半群,也是独异点,其中 n={0,1, … , n1}, 为半群, 为半群 也是独异点,其中Z , 为模n加法 加法. ⊕为模 加法 (5) <AA,>为半群,也是独异点,其中为函数的复合运算 为半群, 为半群 也是独异点,其中为函数的复合运算. (6) <R*,>为半群,其中 为非零实数集合,运算定义 为半群, 为非零实数集合, 为半群 其中R*为非零实数集合 如 下:x, y∈R*, xy = y. ∈ 4
湘潭大学计算机科学与技术刘任任版离散数学课后习题答案---第三学期--代数结构
习题十六（整 数）1. 请推导出本节定理16.1.3中计算k S 和k T 的递推公式.分析：本题主要是考察矩阵的推导过程。
解：由（P154）T V S U q q q k k kk k ⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪121101101101 () 有T V S U T V S U q q T V T q S U S k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪=++⎛⎝ ⎫⎭⎪----------11111111111102 ()比较(2)式两端，可知U S V T T q T V S q S U k k k k k k k k kk k k ==⎧⎨⎩=+=+⎧⎨⎩------11111134 ()() 由(3)有U S V T k k k k ----==⎧⎨⎩1212 (5) 由(4)和(5)得S q S S T q T T k k k k k k k k =+=+⎧⎨⎩----12126 () 由(3)可令S U T V 01017==⎧⎨⎩ () 又由(1)有T V S U q 11111110⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪ 于是 S U T V S T q 0101111011====⎧⎨⎩==⎧⎨⎩ 这样，对任意k ≥2， 由(6)可求出S k 和 T k 。
2. 求1331和5709的最大公因数，并表为它们的倍数之和.分析：本题主要是考察用辗转相除法来求两个数的最大公因数。
解：用辗转相除法求最大公因数，逐次得出商及余数并计算S k 和T k 。
今列表如下： k 0 1 2 3 4 5 r k 385 176 33 11 0 q k 4 3 2 5 3S k 0 1 3 7 38 空T k 1 4 13 30 163 空 由上表知，最大公因数为 r 411=, 且有r S T 44144415709113313857091631331=-⋅+-⋅=-⨯+⨯-()() 3. 求证：任意奇数的平方减1必是8的倍数.分析：本题首先根据奇数的概念，然后进行变形即得。
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A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
第23页/共292页
1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
第28页/共292页
1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
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（2）因为两个权对应的顶点所放左右位置不同。
（3）画出的最优树可能不同，最佳前缀码并不唯一，
但有一点是共同的，就是它们的权相等，即它们都应
该03是.02.2最021优树。
28
五、树的遍历
遍历：对一棵根树的每个顶点访问且仅访问一次称为遍
历一棵树。
对2元有序正则树的遍历方式： ① 中序遍历法：访问次序为：左子树、树根、右子树 ② 先序遍历法：访问次序为：树根、左子树、右子树 ③ 后序遍历法：访问次序为：左子树、右子树、树根
树枝：生成树TG的边。 弦：G中不在TG中的边。 生成树的余树(补)：TG的所有弦的集合的导出 子图。余树不一定是树,也不一定连通。
03.02.2021
7
二、生成树
a
a
a
d
e b
图G
d
e
e
cb
cb
c
生成树TG
生成树TG的补
无向连通图如果本身不是树，它的生成树是不唯一的， 但所有连通图都具有生成树。
（本书树根为第0层。）
03.02.2021
14
一、有向树
根树可看成是家族树： (1) 若从a到b可达，则称a是b的祖先， b是a的后代； (2) 若<a , b >是根树中的有向边，则称a是b的父亲，
b是a的儿子； (3) 若b、c同为a的儿子，则称b、c为兄弟。
根子树：根树T 中，任一不为树根的顶点v及其所有 后代导出的子图, 称为T 的以v为根的子树。
二元前缀码:若i (i=1,2,…,m)中只出现0与1两个符号， 则称B为二元前缀码。
03.02.2021
24
四、最佳前缀码
例：判断下列符号串集合是否是前缀码。 {1，11，101，0010} {1，01，001，000} {00，11，011，0100，0101} {0，10，110，1111}
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课件
例3 对任意两个集合A, B,试证 A (A B) A B
证明 对于任意的x
x A (A B)
x {x x A x ( A B)} x {x x A (x A B)} x {x x A (x A x B)} x {x x A (x A x B)} x {x x A x B}
课件
例10 求图的最小生成树
A 1B34 Nhomakorabea5
2 E
6
1A 2
B
E
4
6
C7 D
C
D
课件
例11
• 无向树T有7片树叶, 3个3度顶点,其余的 都是4度顶点，则T有几个4度顶点？
• 解:设T有x个4度顶点 顶点度数之和： 7+3*3+4x 由树的性质可得总边数： 7+3+x-1 由握手原理可得： 7+3*3+4x=2(7+3+x-1)
求g f
g f { 1,b , 2,b , 3,b }
课件
例12 求复合函数
X {1,2,3}, Y {p, q}, Z {a,b} f { 1, p , 2, p , 3, q } g { p,b , q,b }
求g f
g f { 1,b , 2,b , 3,b }
课件
例: 求幺元、零元、逆元
x A B 因为 x 是任意的,所以有
x ((x A (A B)) (x A B)) 的真值为T,
因此 A ( A B)课件 A B
例4 判断关系的性质
R1 { a, a , a,b , b,b , c,c }
a
1 1 0
M R 1 0 1 0
0 0 1
《离散数学》课后习题答案
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
刘任任离散数学答案
刘任任离散数学答案【篇一：湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题17】设g是群，a,b?g.试证：(a?1)?1?a(ab)?1?b?1a?1证明：设e是单位元（下同），直接根据定义即有：? a?1a?e, (ab)(b?1a?1)?a(bb?1)a?1?(ae)a?1?aa?1?e,? (a?1)?1?a, (ab)?1?b?1a?12. 试举一个只有两元素的群。
解：设g??{0, 1}, ? ?，并且g的单位元为0,则可以确定乘法表中的三个元素，0?0=0；0?1=1；1?0=1；由群的定义，任意元素都有逆元，0的逆元为0，1的逆元为1，因此1?1=0?1易知，单位元e?0，运算满足封闭性和结合律，且1?1。
故g是群。
3. 设a?{1,2,3,4}的乘法表为1234124132123434321431 42问：a是否成为群？若不是群，结合律是否成立？a有无单位元?解：如果a是一个群，则一定有单位元i，乘法表中第i行第i列元素保持不变，而定义的乘法表不满足此性质。
因此a无单位元，故a 不成群。
且4?(2?3)?4?2?(3?4)?1,无结合律。
4. 设g是群.试证：若对任何a,b?g，均有a3b3?(ab)3,a4b4?(ab)4,a5b5?(ab)5，则g是交换群.证明：利用消去律，将各等式降阶。
? a3b3?(ab)3?a(ba)2b, ?a2b2?(ba)2 (1)5554444又 ? ab?(ab)?a(ba)b, ?ab?(ba) (2)22222222因此， ab?(ba)?(ba)(ba)?(ab)(ab)?a(ba)b, 于是，2222得 ab?ba, 再由(1)知，b2a2?a2b2?(ba)2?baba, 故有 ab?ba. 44(2)422(1)5. 设g是群.试证：若对任何a?g，有a?1?a，则g是交换群。
?1?1?1证明：利用群的性质(3),(4),对任意a, b?g，有ab?ab?(ba)?ba。
离散数学刘任任版第14章答案.ppt
9．
（1）xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x，y）的一个解释。 • （a）若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下，
对任意的 x, y D , G(x, y) 即 yxG(x, y) 是真命题。 • （b）若xyG(x, y) 在 I 下的为假,则在 I 下,必存在
(5)对任意的正实数，都存在大于该实数的实数。 解：P(x) : x是正实数，Q(x) : x是实数,G(x, y) : x y
x(P(x) y(Q( y) G( y, x))).
(6)对任意给 0,x0 (a,b),都存在N,使当n N时有: | f (x0 ) fn (x) | .
x 和y 的作用域： (R(x, y) Q(x, z)
x 的作用域： H (x, y)
5．设谓词公式。判定以下改名是否正确 ：
x (P(x, y) Q(x, z))
(1)u(P(u, y) Q(x, z))
错误
(2)u(P(u, y) Q(u, z))
正确
(3) x(P(u, y) Q(u, z))
包含变量x，y的母式，设f是不出现在M（x, y）中的函数符号。证
明：G恒真当且仅当 xyM (x, f (x)) 恒真。
证：设 G xyM (x，y) 恒真。若 xM (x, f (x))
不真，
则存在一个解释I, 使得对任意的 x0 D（论域），M (x0 , f (x0 ))为假。 于是，G在I下也为假。此为矛盾。
（1）x(F(x) G(x))
（2） F( y) G( y)
（3） xF(x)
前提引入 US，（1） 前提引入
（4） F(y)
ES,(3)
离散数学 第十四章的课件
无序积——AB={(x,y) | xAyB} – 设A，B为任意的两个集合，称{{a,b}|a∈A∧b∈B}为 A与B的无序积，记作A&B. – 通常，将无序积中的无序对{a,b},记为(a,b),并且允许 a=b. 且无论a,b是否相等均有(a,b)=(b,a),因而 A&B=B&A.
3
14.1 图
定理14.4 设G为任意n阶无向简单图，则△(G)≤n-1.
证 因为G既无平行边也无环，所以G中任何顶点v至多与 其余的n-1个顶点均相邻，于是d(v)≤n-1，由于v的任意性， 所以△(G)≤n-1.
19
例14.2 判断下列各非负整数列哪些是可图化的？
(1) (5,5,4,4,2,1)
(2) (5,4,3,2,2)
8
相关概念
8. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图)
v的邻域 N(v) {u | u V (G) (u, v) E(G) u v} v的闭邻域 N(v) N(v) {v}
v 的关联集 I (v) {e | e E(G) e与v关联}
v1的邻域 NG (v1) v1的闭邻域 NG (v1) v1的关联集 IG (v1)
图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性. 能找到多条同构的必要条件，但它们全不是充分条件：
① 边数相同，顶点数相同; ② 度数列相同; ③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等 若破坏必要条件，则两图不同构 判断两个图同构是个难题
21
图同构的实例
(1)
(2)
(3)
(4)
图中，(1)与(2)不同构（度数列不同），(3)与(4)也不同构.
度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
13
3
14.1 图
定理14.4 设G为任意n阶无向简单图，则△(G)≤n-1.
证 因为G既无平行边也无环，所以G中任何顶点v至多与 其余的n-1个顶点均相邻，于是d(v)≤n-1，由于v的任意性， 所以△(G)≤n-1.
19
例14.2 判断下列各非负整数列哪些是可图化的？
(1) (5,5,4,4,2,1)
(2) (5,4,3,2,2)
8
相关概念
8. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图)
v的邻域 N(v) {u | u V (G) (u, v) E(G) u v} v的闭邻域 N(v) N(v) {v}
v 的关联集 I (v) {e | e E(G) e与v关联}
v1的邻域 NG (v1) v1的闭邻域 NG (v1) v1的关联集 IG (v1)
图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性. 能找到多条同构的必要条件，但它们全不是充分条件：
① 边数相同，顶点数相同; ② 度数列相同; ③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等 若破坏必要条件，则两图不同构 判断两个图同构是个难题
21
图同构的实例
(1)
(2)
(3)
(4)
图中，(1)与(2)不同构（度数列不同），(3)与(4)也不同构.
度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
13
离散数学习题解答 第十四章习题解答(2)
而对任意一个阶大于2的元素b∈G,必有b≠b1, b-1 ∈G,即(b,b-1)成对出现，这种元素个数 为偶数；个数记为2q;
单位元e的阶为1; ∵G中元素个数为偶数=1+p+2q;
∴p为奇数，即阶为2的元素个数为奇数.
14.20G为群，a,b∈G,已知ab = ba,a的阶为n， b的阶为m，证明：
证明：设(a) (b)={e,x}.则存在r,t Z, s.t. x=ar=bt,且0< r< p. Qp为素数, (r,p)=1.
存在n,m Z, s.t. mr + np = 1.
Q a=amr+np=amr·anp=(bt)m · e=btm (b),矛盾.
Q (a) (b)={e}.
4.设G是rs阶循环群，H1和H2分别为G的r阶 和s阶子群，证明：G= H1H2
(2)当b为G的一个子群的生成元时，(k,n)=r.
解答：设H为G的一个子群，b为H的生 成元，记H的阶为p.
则由拉格朗日定理可得r =|G|/|H|,即n=pr.
b为H的生成元 bp = (ak)p = e (n/p)|k r|k.
(k,n)=r.
n |kp
补充题：
1.[H1;·] [H2; ·]是[G; · ]的子群，[H1 H2; 是否为群[G; · ]的子群？说明理由.
14.12将下述置换分解为不含公共元的循环 置换，然后再将其分c e) = (a f) (f b) (c e).
14.13已知置换δ =(1 2 … n), S = (1 2 3)(4 5),
T = (1 4)(3 2)(1 6).
求：(1)δ-1
(1)( n, m ) =1时，ab阶为nm.
单位元e的阶为1; ∵G中元素个数为偶数=1+p+2q;
∴p为奇数，即阶为2的元素个数为奇数.
14.20G为群，a,b∈G,已知ab = ba,a的阶为n， b的阶为m，证明：
证明：设(a) (b)={e,x}.则存在r,t Z, s.t. x=ar=bt,且0< r< p. Qp为素数, (r,p)=1.
存在n,m Z, s.t. mr + np = 1.
Q a=amr+np=amr·anp=(bt)m · e=btm (b),矛盾.
Q (a) (b)={e}.
4.设G是rs阶循环群，H1和H2分别为G的r阶 和s阶子群，证明：G= H1H2
(2)当b为G的一个子群的生成元时，(k,n)=r.
解答：设H为G的一个子群，b为H的生 成元，记H的阶为p.
则由拉格朗日定理可得r =|G|/|H|,即n=pr.
b为H的生成元 bp = (ak)p = e (n/p)|k r|k.
(k,n)=r.
n |kp
补充题：
1.[H1;·] [H2; ·]是[G; · ]的子群，[H1 H2; 是否为群[G; · ]的子群？说明理由.
14.12将下述置换分解为不含公共元的循环 置换，然后再将其分c e) = (a f) (f b) (c e).
14.13已知置换δ =(1 2 … n), S = (1 2 3)(4 5),
T = (1 4)(3 2)(1 6).
求：(1)δ-1
(1)( n, m ) =1时，ab阶为nm.
离散数学_刘任任_课后答案习题14
习题十四1．试判断下列语句是否为命题，并指出哪些是简单命题，哪些是复合命题。
（1）2是有理数。
解：是命题，且为简单命题（2）计算机能思考吗？解：非命题（3）如果我们学好了离散数学，那么，我们就为学习计算机专业课程打下了良好的基础。
解：是命题，且为复合命题。
（4）请勿抽烟！解：非命题。
（5）X+5＞0解：非命题。
（6）π的小数展开式中，符号串1234出现奇数次。
解：是命题，且为简单命题。
（7）这幅画真好看啊！解：非命题。
（8）2050年元旦的那天天气晴朗。
解：是命题，且为简单命题。
（9）李明与张华是同学解：是命题，且为简单命题。
（10）2既是偶数又是质数。
解：是命题，且为复合命题。
2．讨论上题中命题的真值，并将其中的复合命题符号化。
解：（1）F （3）T （6）不知真假（8）不知真假（9）真或假，视情况而定（10）T （3）P：我们学好了离散数学。
Q：我们为学习计算机专业课程打下了良好的基础。
P→Q（10）P：2是质数；Q：2是偶数；P∧Q3．将下列命题符号化（1）小王很聪明，但不用功解：P：小王很聪明；Q：小王不用功；P∧Q（2）如果天下大雨，我就乘公共汽车上班。
解：P：天下大雨；Q：我乘公共汽车上班；P→Q（3）只有天下大雨，我才乘公共汽车上班解：P：天下大雨；Q：我乘公共汽车上班；Q→P（4）不是鱼死，就是网破解：P：鱼死；Q：网破；P∨Q（5）李平是否唱歌，将看王丽是否伴奏而定。
解：P：李平唱歌Q：王丽伴奏P Q4．求下列命题公式的真值表： （1）P →(Q ∨R)()11110000110110000111110111001111111101QVR P QVR R Q P →(2)P ∧（QV ⌝R ）解：()11011010111001111011000100010110000101110111777R Q P R QV R R Q P ∨∧（3）())(Q Q P P →→∧解：()())((111101001111110001QQ P P Q P P Q P Q P →→∧→∧→（4）()Q Q P ∧→7解：()()011001000011101001Q Q P Q P Q P Q P ∧→⌝→⌝→（5）()()Q P Q P ∧↔∨11100001111100101)()(Q P Q P Q P Q P Q P ∧↔∨∧∨5．用真值表方法验证下列基本等值式 （1）分配律解：1）)()()(R P Q P R Q P ∨∧∨⇔∧∨1100000000111100111111000111111110010001001111111111110101)()()(R P Q P R P Q P R Q P R Q R Q P ∨∧∨∨∨∧∨∧∴)()(R P Q P R Q P ∨∧∨⇔∧∨ （2）De Morgen 律ⅰ) ()Q P Q P ⌝∨⇔∧77 ⅱ) ()Q P Q P 777∧⇔∨ⅰ) ()111100010110101101001000011177777Q P Q P Q P Q P Q P ∨∧∧ⅱ) ()111100101100100101000011177777QP Q P Q P Q P Q P ∧∨∨ (3) 吸收律ⅰ)()P Q P P ⇔∨∧ ⅱ) ()P Q P P ⇔∧∨ⅰ) ()011000011111101Q P P Q P Q P ∨∧∨ⅱ) ()01000011111001Q P P Q P Q P ∧∨∧6．用等值演算的方法证明下列等值式： （1）()()P Q P Q P ⇔∧∨∧7解：()()()P Q Q P Q P Q P ⇔∨∧⇔∧∨∧77 （2）()()()()R Q P R P Q P ∧→⇔→∧→( 解：()()))(()(7)7()7()()(R Q P R Q P R P Q P R P Q P ∧→⇔∧∨⇔∨∧∨⇔→∧→（3）())(7)()(7Q P Q P Q P ∧∧∨⇔↔解：()())7()7(7)()(7)(7P Q Q P P Q Q P Q P ∨∧∨⇔→∧→⇔↔()()()()⇔∧∨∧⇔∨∨∨⇔P Q Q P P Q Q P 77)7(7)7(7()()()∧∨∧∨⇔∨∧∧∨∧)7()(7)7()7(Q Q Q P P Q P Q Q P()()()()Q P Q P P Q Q P P Q P P ∧∧∨⇔∨∧∨⇔∨∧∨7)77()77()7(7．设A 、B 、C 为任意命题公式，试判断以下的说法是否正确，并简单说明之。
离散数学答案版(全)
第一章命题逻辑内容：命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法等证明方法。
教学目的：1. 熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。
2. 熟练掌握常用的基本等价式及其应用。
3. 熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。
4. 熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。
5. 熟练掌握形式演绎的方法。
教学重点：1 .命题的概念及判断2 .联结词，命题的翻译3. 主析（合）取范式的求法4. 逻辑推理教学难点：1. 主析（合）取范式的求法2. 逻辑推理1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母 A , B,…，Z或带下标的大写字母或数字表示,如A i, [10], R等，例如A1：我是一名大学生。
A1：我是一名大学生.[10]:我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词1.2.1否定联结词「P1.2.2合取联结词A1.2.3 析取联结词V1.2.4 条件联结词—125126 与非联结词T性质：(1)P T P=「( PAP)二「P；(2)(P T Q)T( P T Q) -「( P T Q) - PAQ；(3)( P T P)T( Q TQ) -「P T「Q= P V Q。
127 或非联结词J性质:(1) P J P=「( P V Q) =「P;(2)( P J Q )；( P J Q) =「( P J Q) = P V Q;(3)( P J P)J( Q J Q) =「P Q=P V-Q) = PAQ1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2 ）如果P是公式，则「P是公式；（3）如果P、Q是公式,则PAQ、PVQ、P > Q、P Q都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用（1）、（2）、（3）所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
《离散数学》完整课件
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
离散数学习题答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版离散数学习题答案习题一：P121.判断下列句子哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？(1)中国有四大发明。
(2)5是无理数。
(3)3是素数或4是素数。
(4)x2+3<5，其中x是任意实数。
(5)你去图书馆吗？(6)2与3都是偶数。
(7)刘红与魏新是同学。
(8)这朵玫瑰花多美丽呀！(9)吸烟请到吸烟室去！(10)圆的面积等于半径的平方乘π。
(11)只有6是偶数，3才能是2的倍数。
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
(13)2025年元旦下大雪。
1、2、3、6、7、10、11、12、13是命题。
在上面的命题中，1、2、7、10、13是简单命题；1、2、10是真命题；7的真值现在还不知道。
2.将上题中是简单命题的命题符号化。
(1)p：中国有四大发明。
(2)q：5是无理数。
(7)r：刘红与魏新是同学。
(10)s：圆的面积等于半径的平方乘π。
(1)t：2025年元旦下大雪。
3.写出下列各命题的否定式，并将原命题及其否定式都符号化，最后指出各否定式的真值。
“5是有理数”的否定式是“5不是有理数”。
解：原命题可符号化为：p：5是有理数。
其否定式为：非p。
非p的真值为1。
4.将下列命题符号化，并指出真值。
(1)2与5都是素数。
(2)不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数。
(3)虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数。
(4)3是偶素数。
(5)4既不是素数，也不是偶数。
a：2是素数。
b：5是素数。
c：π是无理数。
d：e是无理数。
f：2是最小的素数。
g：2是最小的自然数。
h：3是偶数。
i：3是素数。
j：4是素数。
k：4是偶数。
解：（1）到（5）的符号化形式分别为a∧b，c∧d，f∧非g，h∧i，非j∧非k。
这五个复合命题的真值分别为1，1，1，0，0。
5.将下列命题符号化，并指出真值。
a：2是偶数。
b：3是偶数。
c：4是偶数。
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x 和y 的作用域： (R(x, y) Q(x, z)
x 的作用域： H (x, y)
5．设谓词公式。判定以下改名是否正确 ：
x (P(x, y) Q(x, z))
(1)u(P(u, y) Q(x, z))
错误
(2)u(P(u, y) Q(u, z))
正确
(3) x(P(u, y) Q(u, z))
x0 D或y0 D, 使得G（x0,y）或G（x, y0）为假，
于是，此xo或yo亦弄假 yxG(x, y)
（2） xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x, y）的一个解释。
（a)若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下,有
8．
• (1) x(G(x) H ) xG(x) H
• (2) x(G(x) H ) xG(x) H
• 证明（1）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
• 证明（2）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x))
(2)有些实数是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : 是有理数。
xyPx Q(x)。
(3)并非所有实数都是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x)) (4)如果明天天气好, 有一些学生将去公园. 解 : P(x) : x是公园, S(x) : x是学生,W :明天天气好. W x(P(x) S(x))
离散数学
习题解答
1、
(1)xRx xSx
解：R(a) R(b) R(c) S(a) S(b) S(c)
(2)xPx Q(x)
解：P(a) Q(a)) P(b) Q(b) P(c) Q(c)
(3)xP(x) xP(x)
解：P(a) P(b) P(c)) P(a) P(b) P(c)
在谓词逻辑中基本语句的形式化
设D是论域： （1）“D中所有x都有性质F”
（2）“D中有的x具有性质F”
（3）“D中所有x而言，如果x有性质F，则x就有 性质G”
（4）“D中有的x具有性质F，又有性质G”
（5）“对于D中的所有x和y而言，若x有性质 F,y有性质G，则x与y有关系H”
（6）“对于D中的所有x而言，若x有性质F, 就存在y有性质G，并且x与y有关系H”
x 的作用域为：(F(x) yH (x，y))
y 的作用域为：H(x,y)
(5) xF (x) G(x, y)
解：自由变元:y与G(x,y)中的x,约束变元:F(x)中的x
x 的作用域：F(x)
(6) xy(R(x, y) Q(x, z)) xH(x, y)
解：自由变元:Z与H(x,y)中的y;约束变元:x,y。
2、指出下列命题的真值：
(1)x
(P R(
Q(x)) R(e)其中, P :"3 2",Q(x) x) :" x 5",e : 5,论域D {2,3,6}
:"
x
3",
解 : 假.(当x为 2时不成立).
(2) x(P(x) Q(x) 其中，P(x) :" x 3",Q(x) :" x 4",论域D {2}。
（7）“存在D中的x有性质F，并且对D中所 有y而言，如果y有性质G，则x与y就有关系 H”
（8）“D中存在着x与y，x有性质F，y有性 质G，并且x与y有关系H”
(2) x(P(x) y(Q( y)) (xP(x) Q(z))
解：自由变元z，约束为元：x，y。第一个的作用域
为 Px yQy中的Px
解 : G(x, y) : x y, S(x) : x (a,b)
x0 (G( ,0) S(x0 ) Nn(G(n, N ) G( ,| f (x0 ) fn (x) |)))
4.指出下列公式中的自由变元和约束变元,并指出各量词的作用域.
(1)x(P(x) Q(x)) xR(x) Q(z) 解 :自由变元z,约束变元x,第一个x的作用域是(P(x) Q(x)), 第二个是R( x) ;
错误ห้องสมุดไป่ตู้
(4) u(P(x, y) Q(x, z))
错误
(5) y(P( y, y) Q( y, z))
错误
6．
(1) 解：真 (2) 解：假 (3) 解：真 (4) 解：真
• 7.判断下列公式的恒真性和恒假性 • (1) 解：恒真 • (2) 解：恒真 • (3) 解：恒真 • (4) 解：恒假 • (5) 解：满足
9．
（1）xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x，y）的一个解释。 • （a）若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下，
对任意的 x, y D , G(x, y) 即 yxG(x, y) 是真命题。 • （b）若xyG(x, y) 在 I 下的为假,则在 I 下,必存在
(5)对任意的正实数，都存在大于该实数的实数。 解：P(x) : x是正实数，Q(x) : x是实数,G(x, y) : x y
x(P(x) y(Q( y) G( y, x))).
(6)对任意给 0,x0 (a,b),都存在N,使当n N时有: | f (x0 ) fn (x) | .
解：真。
3、在一阶逻辑中，将下列命题符号化： • （1）凡有理数均可表示为分数。 • 解：P(x)： x是有理数； • Q（x）:x可表示为分数。
x(P(x) Q(x))
(2)有些实数是有理数。
解：P(x) : x是实数，Q(x) : 是有理数。
xyPx Q(x)。
(3)并非所有实数都是有理 数。
第二个的作用域为第二个P(x)；第二个的作用域的 作用域为 Q(y)
(3) x(P(x) Q(x)) yR( y) s(z)
解：自由变元z，约束为元：x，y。
x的作用域为(P(x) Q(x))
y 的作用域为R(y)
(4) x(F(x) yH (x, y)) 解：无自由变元，约束为元：x，y。
x 的作用域： H (x, y)
5．设谓词公式。判定以下改名是否正确 ：
x (P(x, y) Q(x, z))
(1)u(P(u, y) Q(x, z))
错误
(2)u(P(u, y) Q(u, z))
正确
(3) x(P(u, y) Q(u, z))
x0 D或y0 D, 使得G（x0,y）或G（x, y0）为假，
于是，此xo或yo亦弄假 yxG(x, y)
（2） xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x, y）的一个解释。
（a)若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下,有
8．
• (1) x(G(x) H ) xG(x) H
• (2) x(G(x) H ) xG(x) H
• 证明（1）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
• 证明（2）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x))
(2)有些实数是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : 是有理数。
xyPx Q(x)。
(3)并非所有实数都是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x)) (4)如果明天天气好, 有一些学生将去公园. 解 : P(x) : x是公园, S(x) : x是学生,W :明天天气好. W x(P(x) S(x))
离散数学
习题解答
1、
(1)xRx xSx
解：R(a) R(b) R(c) S(a) S(b) S(c)
(2)xPx Q(x)
解：P(a) Q(a)) P(b) Q(b) P(c) Q(c)
(3)xP(x) xP(x)
解：P(a) P(b) P(c)) P(a) P(b) P(c)
在谓词逻辑中基本语句的形式化
设D是论域： （1）“D中所有x都有性质F”
（2）“D中有的x具有性质F”
（3）“D中所有x而言，如果x有性质F，则x就有 性质G”
（4）“D中有的x具有性质F，又有性质G”
（5）“对于D中的所有x和y而言，若x有性质 F,y有性质G，则x与y有关系H”
（6）“对于D中的所有x而言，若x有性质F, 就存在y有性质G，并且x与y有关系H”
x 的作用域为：(F(x) yH (x，y))
y 的作用域为：H(x,y)
(5) xF (x) G(x, y)
解：自由变元:y与G(x,y)中的x,约束变元:F(x)中的x
x 的作用域：F(x)
(6) xy(R(x, y) Q(x, z)) xH(x, y)
解：自由变元:Z与H(x,y)中的y;约束变元:x,y。
2、指出下列命题的真值：
(1)x
(P R(
Q(x)) R(e)其中, P :"3 2",Q(x) x) :" x 5",e : 5,论域D {2,3,6}
:"
x
3",
解 : 假.(当x为 2时不成立).
(2) x(P(x) Q(x) 其中，P(x) :" x 3",Q(x) :" x 4",论域D {2}。
（7）“存在D中的x有性质F，并且对D中所 有y而言，如果y有性质G，则x与y就有关系 H”
（8）“D中存在着x与y，x有性质F，y有性 质G，并且x与y有关系H”
(2) x(P(x) y(Q( y)) (xP(x) Q(z))
解：自由变元z，约束为元：x，y。第一个的作用域
为 Px yQy中的Px
解 : G(x, y) : x y, S(x) : x (a,b)
x0 (G( ,0) S(x0 ) Nn(G(n, N ) G( ,| f (x0 ) fn (x) |)))
4.指出下列公式中的自由变元和约束变元,并指出各量词的作用域.
(1)x(P(x) Q(x)) xR(x) Q(z) 解 :自由变元z,约束变元x,第一个x的作用域是(P(x) Q(x)), 第二个是R( x) ;
错误ห้องสมุดไป่ตู้
(4) u(P(x, y) Q(x, z))
错误
(5) y(P( y, y) Q( y, z))
错误
6．
(1) 解：真 (2) 解：假 (3) 解：真 (4) 解：真
• 7.判断下列公式的恒真性和恒假性 • (1) 解：恒真 • (2) 解：恒真 • (3) 解：恒真 • (4) 解：恒假 • (5) 解：满足
9．
（1）xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x，y）的一个解释。 • （a）若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下，
对任意的 x, y D , G(x, y) 即 yxG(x, y) 是真命题。 • （b）若xyG(x, y) 在 I 下的为假,则在 I 下,必存在
(5)对任意的正实数，都存在大于该实数的实数。 解：P(x) : x是正实数，Q(x) : x是实数,G(x, y) : x y
x(P(x) y(Q( y) G( y, x))).
(6)对任意给 0,x0 (a,b),都存在N,使当n N时有: | f (x0 ) fn (x) | .
解：真。
3、在一阶逻辑中，将下列命题符号化： • （1）凡有理数均可表示为分数。 • 解：P(x)： x是有理数； • Q（x）:x可表示为分数。
x(P(x) Q(x))
(2)有些实数是有理数。
解：P(x) : x是实数，Q(x) : 是有理数。
xyPx Q(x)。
(3)并非所有实数都是有理 数。
第二个的作用域为第二个P(x)；第二个的作用域的 作用域为 Q(y)
(3) x(P(x) Q(x)) yR( y) s(z)
解：自由变元z，约束为元：x，y。
x的作用域为(P(x) Q(x))
y 的作用域为R(y)
(4) x(F(x) yH (x, y)) 解：无自由变元，约束为元：x，y。