黑龙江省牡丹江市第三高级中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理

2018-2019学年度第二学期期中试题高二文科数学试卷考试时间:120分钟 分值：150分一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为( )A ．40B ．48C ．50D ．802．10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a3．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为∧∧∧+=a x b y 必过点( )A.(2,2)B. (1.5 ,4)C.(1.5 ,0)D.(1,2)4. 从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论不正确．．．的是（ ） A. A 与B 互斥且为对立事件 B. B 与C 互斥且为对立事件 C. A 与C 存在有包含关系 D. A 与C 不是对立事件5. 从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（ ）．A. 1B.21 C. 31D. 6．现有五个球分别记为A ，C ，J ，K ，S ，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则K 或S 在盒中的概率是（ ）．A.101 B. 53 C. 103 D.1097．下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是( )A ．11y x=- B ．cos y x = C ．ln(1)y x =+ D ．2x y -= 8. 若命题“p ∧q ”为假，且“¬p ”为假，则( )A ．p 或q 为假B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假9.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )A ．∀x ∈R ，|x |>0B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0C ．∀x ∈R ，|x |≤0D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤010．下列各式：①1{0,1,2}∈；②{0,1,2}∅⊆；③{1}{0,1,2004}∈；④{0,1,2}{0,1,2}⊆； ⑤{0,1,2}{2,0,1}=，其中错误的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11．三个数23.0=a ，3.0log 2=b ，3.02=c 之间的大小关系是（ ）A ．a < c < bB ．a < b < cC ． b < a < cD ． b < c < a12．已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A ．()x f 是偶函数B ．()x f 的值域为[)+∞-,1C ．()x f 是周期函数D ．()x f 是增函数二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．将某班的60名学生编号为：01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是________． 14．掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是__________________15．如右图，在一个边长为a 、b （a ＞b ＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为31a与21a ，高为b ，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________. 16．函数1313)(+-=x x x f 的值域为___ ____.三、解答题(共6小题，共70分)17．（10分）过点P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求PM PN ⋅的最小值及相应的α的值。

2018-2019学年度第二学期期末试题高二理科数学试卷一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合{}|04P x R x =∈≤≤，{}|3Q x R x =∈<，则P Q =U （ ） A. []3,4B. (]3,4-C. (],4-∞D.()3,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】先解含绝对值不等式可化简集合Q 得()3,3Q =-，然后由并集的定义可求得P Q ⋃。

【详解】{|3}(3,3)Q x R x =∈<=- 。

由题意得，[]0,4P =，()3,3Q =-，∴(]3,4P Q ⋃=-，故选B .【点睛】高考对集合的考查，难度不大，一般都是以小题的形式考查。

本题考查含绝对值不等式的解法及集合的运算。

意在考查学生的运算能力和转化能力。

2.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“a＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a∈R ，则“a＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．3.已知集合A ＝{x|y B ＝{y|y ＋φ)}，则A∩B 中元素的个数为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用定义域的的要求可以求出A 集合，利用三角函数的性质求出B 集合，再计算A 与B 的交集的元素个数即可.【详解】集合A 满足－2x ＋x ＋6≥0，(x －3)(x ＋2)≤0，－2≤x≤3，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3}，B ＝[，所以A∩B＝{－2，－1，0，1，2}，可知A∩B 中元素个数为5. 【点睛】本题考查集合间的交集关系的求解，本题难点在于无理数与有理数的比大小，属于简单题.4.函数()ln xf x e x =在1x =处的切线方程是()A. ()1y e x =-B. 1y ex =-C. ()21y e x =-D.e y x =-【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，切点切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．【详解】求曲线y ＝e xlnx 导函数，可得f ′（x ）＝e xlnx xe x+∴f ′（1）＝e ，∵f （1）＝0，∴切点（1，0）．∴函数f （x ）＝e xlnx 在点（1，f （1））处的切线方程是：y ﹣0＝e （x ﹣1）， 即y ＝e （x ﹣1） 故选：A ．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基本知识的考查．5.若复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+是纯虚数，则实数m 的值为()A. 1或2B. 12-或2 C. 12-D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义可得2m 2﹣3m ﹣2＝0且m 2﹣3m +2≠0然后求解． 【详解】∵复数z ＝（2m 2﹣3m ﹣2）+（m 2﹣3m +2）i 是纯虚数 ∴2m 2﹣3m ﹣2＝0且m 2﹣3m +2≠0 ∴m 12=-故选：C ． 【点睛】本题主要考查了纯虚数的概念，解题的关键是要注意m 2﹣3m +2≠0，属于基础题.6.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A. 10种B. 20种C. 25种D. 32种【答案】D 【解析】每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有5232=种，应选D.7.设函数()2010x xf xx-⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x+<的x的取值范围是（）A. (]1-∞-， B. ()0+∞， C. ()10-， D. ()0-∞，【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x+<成立，一定会有2021xx x<⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x的图像画出来，观察图像可知会有2021xx x<⎧⎨<+⎩，解得0x<，所以满足()()12f x f x+<的x的取值范围是()0-∞，，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.8.函数()32292f x x x=+-在区间[]4, 2-上的最大值和最小值分别为()A. 25,-2B. 50,-2C. 50,14D. 50,-14 【答案】B【解析】【分析】求导，分析出函数的单调性，进而求出函数的极值和两端点的函数值，可得函数f （x ）＝2x 3+9x 2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值． 【详解】∵函数f （x ）＝2x 3+9x 2﹣2， ∴f ′（x ）＝6x 2+18x ，当x ∈[﹣4，﹣3），或x ∈（0，2]时，f ′（x ）＞0，函数为增函数； 当x ∈（﹣3，0）时，f ′（x ）＜0，函数为减函数；由f （﹣4）＝14，f （﹣3）＝25，f （0）＝﹣2，f （2）＝50，故函数f （x ）＝2x 3+9x 2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为50，﹣2， 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值及函数的单调性问题，属于中档题．9.函数y =2x sin2x 的图象可能是A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．10.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( ) A. cos 2y x =，x ∈R B. 2log y x =，x ∈R 且x≠0C. 2x x e e y --=,x ∈RD. 3+1y x =，x ∈R 【答案】B 【解析】【详解】首先判断奇偶性：A,B 为偶函数，C 为奇函数，D 既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C 、D ， 对于先减后增，排除A ，故选B.考点：函数的奇偶性、单调性.11.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A. 50-B. 0C. 2D. 50【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．12.设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值【答案】D 【解析】试题分析：Q 函数()f x 满足2'()2()x e x f x xf x x +=，()2'xe xf x x⎡⎤∴=⎣⎦，令()()2F x x f x =，则()()()2',24?22x e e F x F f x ===，由()()2'2x e x f x xf x x +=，得()()32'x e F x f x x-=，令()()2xx e F x ϕ=-，则()()()()2'2',x xe x x e F x x xϕϕ-=-=∴在()0,2上单调递减，在()2,+?上单调递增，()x ϕ∴的最小值为()()()22220,0eF x ϕϕ=-=∴≥.又()()0,'0,x f x f x >∴≥∴在()0,+?单调递增，()f x \既无极大值也无极小值，故选D.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则. 【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数()()2F x x f x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13.在732x⎛⎝的展开式中常数项是__________．【答案】14 【解析】172137722177(2)()(1)2kkkkk kk k T C x x C x----+=-=-⋅⋅⋅ ，令7210,62k k -==，则展开式中得常数项为667(1)214C -⨯⨯=.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项.根据通项公式1C r n r rr n T ab -+=,根据所求项的要求，解出r ，再给出所求答案.14.把6个学生分配到3个班去，每班2人，其中甲必须分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有__________种. 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，分3步分析：①、让甲分到一班，②、再从除了甲、乙、丙之外的3个人种任意选出2个人，分到三班，③、最后再把剩下的3个人选出2个人分到二班，剩余的一个分到一班，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分3步分析： ①、让甲分到一班，只有1种方法；②、再从除了甲、乙、丙之外的3个人种任意选出2个人，分到三班，有C 32＝3种安排方法；③、最后再把剩下的3个人选出2个人分到二班，剩余的一个分到一班，有C 32＝3种安排方法；则不同的分法有1×3×3＝9种； 故答案为：9．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排． 15.()02121xx dx -++=⎰_________________．【答案】13【解析】 【分析】根据微积分基本定理计算即可【详解】01-⎰（x 2+2x +1）dx ()(320321111|0[(1)1)1333x x x -⎛⎫⎤=++=-⨯-+-+-=⎪⎦⎝⎭． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了微积分基本定理，关键是找到原函数，属于基础题．16.已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R)，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________. 【答案】4 【解析】'()(1ln )f x a x =+，由()f x 的图像在1x =处的切线方程为20x y -=，易知(1)=2f ，即2b =，'(1)2f =，即2a =，则4a b +=，故答案为4.三解答题(共6小题，共70分)17.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，直线l的极坐标方程为ρcos ()4πθ-＝22.(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．【答案】（1）2213x y += （2）32【解析】试题分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C 的普通方程．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P 到直线l 的距离的最大值．试题解析：⑴由cos 224πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得()cos sin 4ρθθ+=， ∴:l 40x y +-=由3x cos y sin θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得:C 2213x y +=⑵在:C 2213x y +=上任取一点()3cos ,sin Pθθ，则点P 到直线l 的距离为2sin 43cos sin 432d πθθθ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==≤32． 7分∴当sin =3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－1，即56θπ=-时，max 32d =. 10分考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，2.点到直线距离公式.18.在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是.(Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X 的分布列及数学期望； (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率. 【答案】(Ⅰ)X 的分布列数学期望4EX =；(Ⅱ)3281. 【解析】试题分析：(Ⅰ)先定出X 的所有可能取值，易知本题是6个独立重复试验中成功的次数的离散概率分布，即为二项分布.由二项分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根据比赛获胜的规定，教师甲前四次投球中至少有两次投中，后两次必须投中，即可能的情况有1.前四次投中2次（六投四中）；2.前四次投中3次（六投五中）3.前四次都投中（六投六中）.其中第1种情况有24C 种可能，第2中情况有14C （或34C ）种可能.将上述三种情况的概率相加即得到教师甲获胜的概率.试题解析：(Ⅰ)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知，2~(6,)3X B6621()()()(0,1,2,3,4,5,6)33kk k P X k C k -==⋅⋅=3分X 的分布列为：6分12916(01112260316042405192664)4729729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. 或因为2~(6,)3X B ，所以2643EX =⨯=.即X 的数学期望为4. 7分(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则224156*********()()()()()3333381P A C C =⋅⋅+⋅⋅+=11分 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281. 考点：1.二项分布；2.离散型随机变量的分布列与期望；3.随机事件的概率. 19.某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率； (Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；(Ⅲ)随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率. 【答案】（1）1315（2）,POD123//BCPOD,//,CD BO AO CD AO ==ADCOAD CD =（3）1810【解析】本题考查离散型随机变量的分布列，考查等可能事件的概率，考查独立重复试验的概率公式，本题是一个概率的综合题目（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A ，事件A 包括两种情况，一是抽到的是一个一等品，二是抽到的是一个二等品，这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．（II）由题意知X的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率，写出变量的概率，写出分布列．（III）随机选取3件产品，这三件产品都不能通过检测，包括两个环节，第一这三个产品都是二等品，且这三件都不能通过检测，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．解（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A事件A等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”…………2分(Ⅱ) 由题可知X可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C CP XC===,21463103(1)10C CP XC===,12463101(2)2C CP XC===,03463101(3)6C CP XC===.X0 1 2 3P故X的分布列为(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，3111()()303810P B=⋅=.20.已知函数()f x xlnx=.(1)讨论函数()f x的单调性;(2)对于任意正实数x,不等式()12f x kx>-恒成立,求实数k的取值范围.【答案】（1）在1(0,)e上单调递减,在1(,)e+∞上单调递增（2）(),1 2ln -∞- 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负即可求出单调区间；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可； 【详解】(1)因为()f x xlnx =.所以()1f x lnx '=+, 令()0f x '=,得1x e=, 当1(0,)x e∈时,()0f x <′;当1(,)x e∈+∞时,()0.f x '> 所以函数()f x 在1(0,)e上单调递减,在1(,)e+∞上单调递增.(2)由于0x >,()12f x kx >-恒成立,所以12k lnx x<+. 构造函数()12k x lnx x=+,所以221121()22x k x x x x '-=-=.令()0k x '=,解得12x =,当1(0,)2x ∈时,()0k x '<,当1()2,x ∈+∞时,()0k x '>.所以函数()k x 在点12x =处取得最小值,即1 1)22(k ln =-.因此所求k 的取值范围是(),1 2ln -∞-.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查计算能力和分析问题的能力，以及转化思想，属于中档题．21.已知函数()ln f x x bx c =+-，()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为40x y ++=． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 在定义域内恒有()2ln f x x kx ≥+成立，求k 的取值范围．【答案】（1）()ln 23f x x x =--;（2） ()f x 的单调增区间为1(0,)2，单调减区间为1(,)2+∞; （3）2(,2]e -∞--． 【解析】【试题分析】（1）借助导数的几何意义建立方程组求解；（2）先求导再借助导数与函数单调性之间的关系求解；（3）先将不等式进行等价转化，再分离参数借助导数知识求其最值，即可得到参数的范围。

2018-2019学年度第二学期期末试题高二文科数学试卷一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1.已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A. {}12x x -<< B. {}12x x -≤≤C. }{}{|12x x x x <-⋃ D. }{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥【答案】B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2.若1tan 3θ=-，则cos2θ=() A. 45-B. 15-C.15D.45【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式可知22cos 2cos sin θθθ=-，配凑出分母22cos sin 1θθ+=，分子分母同时除以2cos θ可构造出关于tan θ的式子，代入求得结果.【详解】2222222211cos sin 1tan 49cos 2cos sin 1cos sin 1tan 519θθθθθθθθθ---=-====+++本题正确选项：D【点睛】本题考查三角函数值的求解，涉及到二倍角公式的应用、正余弦齐次式的求解问题；关键是能够通过配凑出分母22cos sin 1θθ+=得到关于正余弦的齐次式.3.设R x ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系. 详解：绝对值不等式1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<，由31x <⇔1x <.据此可知1122x -<是31x <的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是()A. 11y x=- B. cos y x =C. 2xy -=D.ln(1)y x =+【答案】C 【解析】【分析】分别判断四个选项函数的单调性，从而可得正确结果. 【详解】当()1,1x ∈-时，1y x =-单调递减，则11y x=-在()1,1-上单调递增，A 错误； cos y x =在()1,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，B 错误； 122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭，则其在()1,1-上单调递减，C 正确； 1t x =+在()1,1-上单调递增，又ln y t =单调递增，由复合函数单调性可知()ln 1y x =+在()1,1-上单调递增，D 错误本题正确选项：C【点睛】本题考查函数单调性的判断，属于基础题.5. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=3． 故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．6.已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为()A. a b c >>B. c a b >>C. c b a >>D.b ac >>【答案】B 【解析】 【分析】根据对数运算法则和对数函数单调性可知337log 5log 12c a =>=>，根据指数函数单调性可知1b <，从而得到三个数的大小关系.【详解】337log log 312a =>=，133317log log 5log 52c a ==>=；10311144b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c a b ∴>>本题正确选项：B【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够根据函数单调性确定临界值，属于基础题.7.函数()sin xf x ae x =-在0x =处有极值,则a 的值为()A. 1-B. 0C. 1D. e【答案】C 【解析】 【分析】根据导数与极值的关系可知()00f '=，解方程求得结果. 【详解】由题意得：()cos xf x ae x '=-()f x Q 在0x =处有极值 ()0cos010f a a '∴=-=-=，解得：1a =经检验满足题意，本题正确选项：C【点睛】本题考查导数与极值之间的关系，属于基础题.8.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5 C. 2D. 1【答案】B 【解析】由面积公式得：1122B =，解得sin B =所以45B o =或135B =o ，当45B o =时，由余弦定理得：21245AC =+-o =1，所以1AC =，又因为AB=1，，所以此时ABC ∆为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以135B =o ，由余弦定理得：212AC =+-o =5，所以AC = B.考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.9.若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）B. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值。

2018—2019学年度第一学期期中试题数学学科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1.已知全集U R =，集合{|1}A x x =<，{|2}B x x =?，则()U A B ?ð（ ） A. {|1}x x ³ B. {|12}x x <? C. {|12}x x? D. {|2}x x £ 【答案】C【解析】【分析】由题意，全集U R =，根据集合{|1}A x x =<，{|2}B x x =?，求得A B È，再根据补集的运算，即可求解.【详解】由题意，全集U R =，集合{|1}A x x =<，{|2}B x x =?，则{|1A B x x ?<或2}x ³，所以(){|12}U A B x x ??ð，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知(,3)a x =, (3,1)b =, 且a b ^, 则x 等于 ( )A. 1B. －1C. 9D. －9【答案】B【解析】【分析】根据向量的垂直的性质，利用向量的数量积等于零，即可求解.【详解】由题意，向量(,3)a x =,(3,1)b =,因为a b ^, 所以3310a b x ?+?，解得1x =-，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的垂直的性质和向量的数量积的运算问题，其中解答中熟向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A. B. C. 12 D. 13【答案】B【解析】【分析】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即2a b =，再根据椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即2a b =，则椭圆的离心率为2c e a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的几何性质，合理应用,,a b c 的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.双曲线22149x y -=的渐近线方程是（ ） A. 94y x =? B. 49y x =? C. 23y x =? D. 32y x =? 【答案】D【解析】【分析】利用双曲线方程直接求解双曲线的渐近线方程即可． 【详解】双曲线22149x y -=的渐近线方程为：y=±32x ． 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．5.下列说法错误．．的是 （ ） A. “1sin 2q =”是“30q =?”的充分不必要条件； B. 如果命题“p Ø”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题．C. 若命题p ：2,10x R x x $?+<，则2:,10p x R x x ??+?；D. 命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ¹，则0ab ¹”【答案】A【解析】【分析】对于A 中，“1sin 2q =”是“030q =”的必要不充分条件；对于B 中，根据简单的复合命题的真假关系，可得是正确的；对于C 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得是正确额的；对于D 中，根据命题的否命题的定义，可得是正确；【详解】对于A 中，“1sin 2q =”是“030q =”的必要不充分条件，所以不正确； 对于B 中，如果命题“p Ø”与命题“p 或q ”都是真命题，可得p 是假命题，q 一定是真命题，所以是正确的；对于C 中，若命题2:,10p x R x x $?+<，，根据全称命题与存在性命题的关系， 可得2:,10p x R x x ??+?是正确的；对于D 中，根据命题的否命题的定义，可知命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ¹，则0ab ¹”是正确；故选A.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中熟记充要条件的判定方法、复合命题的真假判定、全称命题与存在性命题的关系，以及否命题的概念是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.要得到2sin(2)3y x p =-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( ) A. 向右平移3p 个单位 B. 向右平移23p 个单位 C. 向左平移3p 个单位 D. 向左平移23p 个单位 【答案】A【解析】【分析】由题意，将函数sin 2y x =的图像向右平移3p 个单位，得2sin(2)3y x p =-，得到答案. 【详解】由题意，将函数sin 2y x =的图像向右平移3p 个单位，得2sin[2()]sin(2)33y x x p p =-=-， 所以只需将函数sin 2y x =的图象向右平移3p 个单位，即可得到2sin(2)3y x p =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答中熟记三角函数的图象变换的规则是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知P 是椭圆22+12516x y =上一点，F 1、F 2是焦点，∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积( ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16【答案】D【解析】【分析】 设12,PF m PF n ==，在12Rt PF F D 中，由勾股定理可得()2222m n c +=，利用椭圆的定义得122PF PF a +=，即2m n a +=，联立解答mn 即可. 【详解】由椭圆22+12516x y =，可得2222225,16,9a b c a b ===-=， 所以5,4,3a b c ===，所以12,PF m PF n==， 在12Rt PF F D 中，由勾股定理可得()222236m n c+==， 又122PF PF a +=，所以10m n +=， 联立221036m n m n ì+=ïí+=ïî，解得32mn =，所以12PF F D 的面积1162S mn ==，故选D. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，及其简单的几何性质的应用，同时椭圆的定义的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.等差数列{}n a 的前10项和为30,前20项和为100,则它的前30项和是A. 210B. 170C. 130D. 260【答案】A【解析】【分析】由等差数列{}n a 的前n 项和的性质，232,,n n n n n S S S S S --成等差数列，即可得出.【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和的性质，232,,n n n n n S S S S S --成等差数列，所以30301002(10030)S +-=?，解得30210S =，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和及其性质，其中熟记等差数列通项公式和前n 项的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ( )A. 16B. 23C. 13D. 1 【答案】C【解析】【分析】由几何体的三视图可知，该三棱锥的底面是等腰直角三角形，高为2的三棱锥，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据几何体的三视图可知该三棱锥表示底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥， 所以其体积为11111123323V Sh ==创创=，故选C. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.10.已知0.32a =，2log 0.3b =，20.3c =，则（ ）A. c b a <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】C【解析】【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，直接求解即可.【详解】由题意，可得0.30221a =>=，22log 0.3log 10b =<=，200.30.31c =<=，即1a >，0b <，(0,1)c Î，所以b c a <<，故选C.【点睛】本题主要考查了指数幂与对数式的比较大小问题，其中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.过抛物线24y x =的焦点的直线l 交抛物线于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，如果126x x +=，则PQ =( )A. 9B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的方程，算出焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-，利用抛物线的定义求得弦长，即可求解.【详解】由题意，抛物线的方程为24y x =，可得2412p p =?， 所以抛物线的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-， 根据抛物线的定义，可得11221,122p p PF x x QF x x =+=+=+=+， 所以12()2PF QF x x +=++，又因为PQ 过抛物线的焦点F ，且126x x +=， 所以12()28PQ PF QF x x =+=++=，故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用，以及抛物线的焦点弦问题，其中解答中熟记抛物线的定义，合理利用焦点弦的性质求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 12.已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 12 【答案】A【解析】【分析】 由题意，54x <，则1540,054x x->>-，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，54x <，则1540,054x x ->>-，则11142453[(54)]331454554y x x x x x x =-+=-++=--++?=---， 当且仅当15454x x-=-，即1x =时等号成立， 所以函数14245y x x =-+-的最大值为1，故选A. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最大值问题，其中解答中根据题设条件，合理构造基本不等式的使用条件，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.极坐标方程cos r q =化为直角坐标方程为___________【答案】22x y x +=【解析】【分析】由题意，根据极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y r q r qì=ïí=ïî，代入即可求解. 【详解】由题意，根据极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y r q r qì=ïí=ïî， 则2cos cos r q r r q =?，所以22x y x +=.【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.直线过点(3,4)-，且在两坐标轴上的截距相等的直线一般式方程：___________【答案】430x y +=或10x y +-=【解析】【分析】根据题意，根据在坐标轴上的截距相等，分类讨论，即可求解所求直线的方程. 【详解】由题意，当直线过原点时，此时所求直线的斜率为43k =-，所以所求直线的方程为43y x =-，即430x y +=；当直线不过原点时，设直线的方程为1(0)x y a a a +=?，又由直线过点(3,4)-， 代入得3411a a a-+=?，即直线的方程为10x y +-=， 所以直线过点(3,4)-，且在两坐标轴上的截距相等方程为430x y +=或10x y +-=.【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中根据直线在坐标轴上的截距相等，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.15.椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +-=的最大距离是_______【解析】【分析】设与20x y +-=平行且与椭圆221164x y +=相切的直线方程为20x y c ++=，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得c 的值，把椭圆上的点到直线的最大距离转化为与椭圆的相切的的直线和其平行线间的距离.【详解】设直线20x y c ++=与椭圆221164x y +=相切． 由2220,1,164x y c x y ì++=ïíï+=ïî消去x 整理得2284160y cy c ++-=. 由()216320c D=-=得c =?.当c =(c =-)． 即x+2y+与椭圆221164x y +=相切,椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +-=的最大距离即为两条平行线之间的距离:d【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆的关系，体现了数学转化思想方法，解答本题的关键是理解椭圆上的点到直线的最大距离，与这条直线和它平行且与椭圆的相切的直线间的距离的关系.16.在极坐标中，已知圆C 经过点)4P p ，，圆心为直线sin 3p r q 骣琪-=-琪桫与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【答案】解：∵圆C 圆心为直线sin 3p r q 骣琪-=-琪桫∴在sin 3p r q 骣琪-=-琪桫中令=0q ，得1r =。