高考数学新版一轮复习教程学案：第48课__双曲线的标准方程和几何性质

高考数学新版一轮复习教程学案第48课 双曲线的标准方程和几何性质1. 了解双曲线的定义和几何图形.2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题.3. 了解双曲线的简单几何性质.1. 阅读：选修11第37～41页(理科阅读选修21相应内容).2. 解悟：①双曲线的几何性质(对称性、取值范围、顶点、渐近线、离心率)；②双曲线的离心率是反映了双曲线形状的一个重要量，它与ba 之间满足一个什么关系？③求离心率关键要寻找何种等式？3. 践习：在教材空白处，完成选修11第39页练习第3题，第45页习题第1，6题(理科完成选修21相应任务).基础诊断1. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 x 24－y 23＝1 .解析：由题意得双曲线的半焦距为c ＝7，椭圆的离心率为74，则双曲线的离心率为72，可得a ＝2，b ＝3，所以双曲线方程为x 24－y 23＝1.2. 若双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为 y ＝±2x .解析：双曲线x 2＋my 2＝1中a ＝1，b ＝－1m.因为双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，所以2－1m ＝4，所以m ＝－14，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x.3. 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的解析：因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于2a ，即点F(c ，0)到直线bx±ay ＝0的距离等于2a ，即|bc|a 2＋b2＝2a ，即b ＝2a ，所以e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，即双曲线的离心率为e ＝ 5.4. 经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 x 28－y 28＝1 .解析：当焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a>0)，将点A(3，－1)代入方程得9a 2－1a 2＝1，得a 2＝8，所以双曲线的标准方程为x 28－y 28＝1；当焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程为y 2b 2－x 2b 2＝1(b>0)，将点A(3，－1)代入方程得1b 2－9b 2＝1，得b 2＝－8(舍).综上，该双曲线的方程为x 28－y 28＝1.范例导航考向❶ 求双曲线的标准方程 例1 (1) 双曲线过P ⎝⎛⎭⎫3，262，Q ⎝⎛⎭⎫1，－102两点，求双曲线的标准方程； (2) 与双曲线x 29－y 24＝1有共同渐近线，且过点A(3，4)，求双曲线的标准方程.解析：(1) 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn<0).因为经过点P ⎝⎛⎭⎫3，262，Q ⎝⎛⎭⎫1，－102， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧32m ＋⎝⎛⎭⎫2622n ＝1，12m ＋⎝⎛⎭⎫－1022n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝2.故所求双曲线方程为y 22－x 24＝1.(2) 因为所求双曲线与双曲线x 29－y 24＝1有共同的渐近线，所以设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)，将点A(3，4)代入得329－424＝λ，则λ＝－3，故所求双曲线方程为y 212－x 227＝1.双曲线有一条渐近线l ：y ＝12x ，有一条准线l ：y ＝105，求双曲线的标准方程.解析：由题意知双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线方程为y 2a 2－x2b 2＝1，则⎩⎨⎧a b ＝12，a 2c ＝105.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝22，所以双曲线的标准方程为y 22－x 28＝1.考向❷ 求双曲线的离心率例2 已知过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，求双曲线的离心率.解析：如图.因为FB →＝2FA →，所以A 为线段BF 的中点， 所以∠2＝∠3. 因为∠1＝∠2，所以∠2＝60°， 所以ba ＝tan 60°＝3，所以e 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝4，所以e ＝2.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)交于点O ，A ，B.若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 32Ｗ.解析：双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，与抛物线C 2：x 2＝2py联立，可得x ＝0或x ＝±2pb a ，取A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为P ⎝⎛⎭⎫0，p 2，则k AP ＝4b 2－a 24ab .因为△OAB 的垂心为C 2的焦点，所以4b 2－a 24ab ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，化简得5a 2＝4b 2，所以5a 2＝4(c 2－a 2)，所以e ＝c a ＝32.考向❸ 双曲线性质的简单应用例3 已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10).(1) 求双曲线的标准方程；(2) 若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3) 在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积.解析：(1) 因为e ＝2，所以ca＝2，所以c 2＝2a 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2＝2a 2，所以a ＝b ， 所以设双曲线方程为x 2－y 2＝k(k ≠0). 因为双曲线经过点(4，－10)， 所以k ＝16－10＝6，故所求双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2) 由(1)知，双曲线的焦点坐标为F 1(－23，0)，F 2(23，0). 因为点M(3，m)在双曲线上，所以m 2＝3.又MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m)·(23－3，－m)＝m 2－3＝0， 所以MF 1→⊥MF 2→，所以点M 在以F 1F 2为直径的圆上. (3) 由(2)知，F 1F 2＝43，m 2＝3， 所以|m|＝3，S △F 1MF 2＝12F 1F 2·|m|＝12×43×3＝6.自测反馈1. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为 x 216－y 29＝1 .解析：由题意得c a ＝54，c ＝5，所以a ＝4，b ＝52－42＝3，所以双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1. 2. 已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1·PF 2＝32，则∠F 1PF 2＝ 90° .解析：由x 29－y 216＝1得c 2＝25.因为PF 1－PF 2＝2a ＝6，PF 1·PF 2＝32，所以PF 21＋PF 22＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2＝36＋64＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝0.又因为0°<∠F 1PF 2<180°，所以∠F 1PF 2＝90°.3. 已知F ，A 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为 2.解析：由题意得F(－c ，0)，A(a ，0)，则FB →·AB →＝(c ，b)·(－a ，b)＝0，即b 2＝ac ，c 2－a 2－ac ＝0，所以e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52(负值舍去).4. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为33，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3. 解析：由题意，对于椭圆有a 2－b 2＝c 21，e ＝c 1a ＝33，则c 1＝33a ，把c 1＝33a 代入a 2－b 2＝c 21，得b 2＝23a 2.在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，a 2＋b 2＝c 22，b 2＝23a 2，所以53a 2＝c 22，所以e ＝c 2a＝153.1. 方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线需要满足的条件为mn<0.2. 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，等轴双曲线的方程可设x 2－y 2＝λ(λ≠0).3. 你还有哪些体悟，写下来：。