高考文科数学专题训练 专题一 第3讲

第3讲 不等式高考定位 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z ＝x ＋y 经过A (3，0)时取得最大值，故z max ＝3＋0＝3.答案 D2.(2016·山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A.4B.9C.10D.12解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示：x 2＋y 2表示区域内点到原点距离的平方，由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1).由图形知，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10. 答案 C3.(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________.解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 答案 44.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________.解析 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋32>1，解得－14<x ≤0，当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1原不等式化为2x ＋x ＋12>1，该式恒成立，当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12，又x >12时，2x ＋2x －12>212＋20＝1＋2>1恒成立，综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞考 点 整 合1.不等式的解法(1)一元二次不等式的解法.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间. (2)简单分式不等式的解法. ①f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0). ②f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解. 2.几个不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (取等号的条件是当且仅当a ＝b ). (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ). (3)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0). (4)2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 3.利用基本不等式求最值(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值).(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值).4.简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.热点一 不等式的性质及解法【例1】 (1)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A.{x |x >2或x <－2}B.{x |－2<x <2}C.{x |x <0或x >4}D.{x |0<x <4}(2)(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)∵f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，∴(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，则(2a －b )x ＝0恒成立. 因此2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2). 又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0. f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4. (2)f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数.又f (－x )＝－x 3＋2x ＋e －x－e x ＝－(x 3－2x ＋e x－1e x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，由f (a －1)＋f (2a 2)≤0，得f (2a 2)≤f (1－a )， ∴2a 2≤1－a ，解之得－1≤a ≤12， 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 探究提高 1.解一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集. 2.(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化. (2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.【训练1】 (1)若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2，2]恒成立，则x 的取值范围是________.(2)已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2，6]恒成立，则a 的取值范围是________.解析 (1)因为a ∈[－2，2]，可把原式看作关于a 的一次函数，即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知⎩⎨⎧g （－2）＝x 2＋2x ＋1≥0，g （2）＝x 2－2x ＋1≥0，解之得x ∈R .(2)设y ＝2x －1，y ′＝－2（x －1）2<0， 故y ＝2x －1在x ∈[2，6]上单调递减，则y min ＝26－1＝25，故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2，6]恒成立等价于15|a 2－a |≤25恒成立， 化简得⎩⎨⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0，解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1，2]. 答案 (1)R (2)[－1，2] 热点二 基本不等式及其应用【例2】 (1)(2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.(2)(2016·江苏卷改编)已知函数f (x )＝2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，则实数m 的最大值为________. 解析 (1)∵直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)， ∴1a ＋2b ＝1(a >0，且b >0)，则2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4a b ＝8.当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时上式等号成立. 因此2a ＋b 的最小值为8.(2)由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2. ∵f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， ∴m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立.又（f （x ））2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0）＝4，∴m ≤4，故实数m 的最大值为4. 答案 (1)8 (2)4探究提高 1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错. 【训练2】 (1)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( ) A.53 B.83 C.8D.24(2)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B.2 C.2 2D.4解析 (1)∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0， 即2x ＋3y ＝3.∵x ＞0，y ＞0， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋6＋9y x ＋4x y ≥13(12＋2×6)＝8. 当且仅当3y ＝2x 时取等号. (2)依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b≥22ab ＝22ab ， 当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立. ∵1a ＋2b ＝ab ， ∴ab ≥22ab，即ab ≥22，∴ab的最小值为2 2.答案(1)C(2)C热点三简单的线性规划问题命题角度1已知线性约束条件，求线性目标函数最值【例3－1】(1)(2017·天津卷)设变量x，y满足约束条件⎩⎨⎧2x＋y≥0，x＋2y－2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z＝x＋y的最大值为()A.23 B.1C.32 D.3(2)(2017·全国Ⅲ卷)若x，y满足约束条件⎩⎨⎧x－y≥0，x＋y－2≤0，y≥0，则z＝3x－4y的最小值为________.解析(1)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出直线y＝－x，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B(0，3)处取得，故z max＝0＋3＝3，选项D符合.(2)由题设，画出可行域如图阴影部分所示：由z＝3x－4y，得y ＝34x －z 4，作出直线y ＝34x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1，1)时，z 有最小值.故z min ＝3×1－4×1＝－1. 答案 (1)D (2)－1命题角度2 求非线性目标函数的最值【例3－2】 (2017·汉中模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y －4≥0，x －2y －2≤0，y ≤6，则z ＝y ＋1x ＋2的取值范围是________. 解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，联立⎩⎨⎧2x －y －4＝0，x －2y －2＝0，得A (2，0).联立⎩⎨⎧y ＝6，2x －y －4＝0，得点B (5，6).z ＝y ＋1x ＋2的几何意义为可行域内的动点与定点P (－2，－1)连线的斜率， ∵k P A ＝14，k PB ＝1，∴z ＝y ＋1x ＋2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1命题角度3 线性规划中参数问题【例3－3】 (2017·池州模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －2≤0，ax ＋y ≥4，x －2y ＋3≥0，目标函数z ＝2x －3y 的最大值是2，则实数a ＝( )A.12B.1C.32D.4解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵目标函数z ＝2x －3y 的最大值是2，由图象知z ＝2x －3y 经过平面区域的A 时目标函数取得最大值2. 由⎩⎨⎧x －y －2＝0，2x －3y ＝2，解得A (4，2)， 同时A (4，2)也在直线ax ＋y －4＝0上， ∴4a ＝2，则a ＝12. 答案 A探究提高 1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 2.对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.【训练3】(1)(2017·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ＋5≤0，x ＋3≥0，y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最大值是( ) A.－3 B.－1 C.1D.3(2)(2017·新乡模拟)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m 等于( ) A.54 B.－56 C.1D.13解析 (1)已知约束条件可行域如图中阴影部分所示，z ＝x ＋2y 经过B (－1，2)时有最大值，∴z max ＝－1＋2×2＝3.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，可知目标函数的最优解过点A ，由⎩⎨⎧y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.∴－52＝m2－3，解得m ＝1. 答案 (1)D (2)C1.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法. 2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、选择题1.(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b <a <c B.a <b <c C.b <c <aD.c <a <b解析 a ＝243＝316，b ＝323＝39，c ＝2513＝325，所以b <a <c .答案 A2.(2017·南昌模拟)若正数x ，y 满足1y ＋3x ＝1，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.24 B.28 C.25D.26解析 ∵正数x ，y 满足1y ＋3x ＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝13＋3x y ＋12y x ≥13＋3×2x y ×4yx ＝25，当且仅当x＝2y ＝5时取等号. ∴3x ＋4y 的最小值是25.答案 C3.(2017·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( ) A.[－3，0] B.[－3，2] C.[0，2]D.[0，3]解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示).结合目标函数的几何意义，函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2. 答案 B4.已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为( ) A.[22，＋∞) B.(－∞，22] C.(－22，＋∞)D.(－∞，－22)解析 由2x 2－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2＋1， 因为x ＜0，所以m ＞2x 2＋1x ＝2x ＋1x .又2x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋1（－x ） ≤－2（－2x ）×1（－x ）＝－2 2.当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号， 所以m ＞－2 2. 答案 C5.(2017·济南十校二模)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( ) A.3 B.2 C.－2D.－3解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A (2，0)，由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1). 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D ；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值，∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B. 答案 B 二、填空题6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________.解析 当x ＞0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥1可得x ≤0，∴不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞). 答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)7.(2017·北京卷)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________. 解析 法一 ∵x ≥0，y ≥0且x ＋y ＝1. ∴2xy ≤x ＋y ＝1，当且仅当x ＝y ＝12取等号， 从而0≤xy ≤14，因此x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝1－2xy ， 所以12≤x 2＋y 2≤1.法二 可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围，AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，18.(2017·长郡中学二模)曲线x ＝|y －1|与y ＝2x －5围成封闭区域(含边界)为Ω，直线y ＝3x ＋b 与区域Ω有公共点，则b 的最小值为________. 解析 作x ＝|y －1|与y ＝2x －5围成的平面区域如图，由⎩⎨⎧x ＝y －1，y ＝2x －5，解得A (6，7)， 平移直线y ＝3x ＋b ，则由图象可知当直线经过点A 时，直线y ＝3x ＋b 在y 轴上的截距最小，此时b 最小.∴b ＝－3x ＋y 的最小值为－18＋7＝－11. 答案 －11 三、解答题9.(2017·郴州二模改编)设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求实数m 的取值范围.解先根据约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0画出可行域(图略)要使可行域存在，必有m <－2m ＋1，要求可行域包含直线y ＝12x －1上的点，只要边界点(－m ，1－2m )在直线y ＝12x －1的上方，且(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方，故得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m <－2m ＋1，1－2m >－12m －1，m <－12m －1，解之得m <－23. 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.10.已知函数f (x )＝2xx 2＋6.(1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围. 解 (1)f (x )＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0.由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25. (2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号. 由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立， 故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.11.(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大. 又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大.解方程组⎩⎨⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.。