2021学年高二数学上学期期末考试试题

镇海中学(zhōngxué)2021学年第一学期期末考试高二年级数学试卷第I卷〔选择题〕一、选择题.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C. D.或者【答案】C【解析】【分析】求解出集合的取值范围，利用交集定义求解.【详解】由得：或者，即或者那么此题正确选项：【点睛】此题主要考察集合运算中的交集运算，属于根底题.，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据(gēnjù)单调性，可得，再验证可得最终结果.【详解】在上单调递增，即又又此题正确选项：【点睛】此题考察与对数函数有关的比拟大小类问题，属于根底题.在点〔1，0〕处切线的倾斜角为，那么〔〕A. 2B.C. -1D. 0 【答案】A【解析】【分析】求导得，代入，可得切线斜率，即的值.【详解】由题意得：代入，可得切线斜率又，得此题正确选项：【点睛】此题考察导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，属于根底题.R上的函数的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在以下区间中，函数不一定存在零点的是〔〕x 1 2 3 53 -1 2 0A. B. C. D.【答案(dá àn)】D【解析】【分析】根据零点存在定理，依次判断各个选项。

又为的子集，那么区间有零点，那么区间也必有零点；上有零点，那么上必有零点；由此可得结果.【详解】由题意可得：在上必有零点又，在上必有零点在上必有零点又，在上必有零点在上不一定存在零点此题正确选项：【点睛】此题主要考察零点存在定理，关键在于需要明确当，不能得到区间内一定无零点的结论，需要进一步判断.，假设，那么〔〕A. 1B. -1C. -2D. 3【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】判断的奇偶性，通过奇偶性求得函数的值.【详解】由题意得：即定义域为，关于原点对称又可得：为奇函数此题正确选项：【点睛】此题考察通过函数奇偶性求函数值。

2021-2022学年山东省潍坊市寿光市第一中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．若()1,2,3AB =-，()1,1,5BC =--，则AC =（ ）A B C ．5 D ．10 【答案】A【分析】先求出AC ,再利用向量的模长计算公式即可【详解】因为(1,2,3)(1,1,5)(0,1,2)AC AB BC =+=-+--=-所以2||0AC =故选:A2．直线420x ay -+=与直线2x －y +7=0平行，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】根据直线平行可得方程4(1)()2a ⨯-=-⨯，即可得到答案.【详解】两直线平行，所以有4(1)()22a a ⨯-=-⨯⇒=,故选：B.3．在等比数列{}n a 中，且3944a a a =，则8a =（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2 【答案】C【分析】利用等比数列性质，若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，即可计算出8a 的值.【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；所以483944a a a a a ==，因为40a ≠，所以84a =.故选：C.4．已知{},,a b c 是空间向量的一个基底，{,,}a b a b c +-是空间向量的另一个基底，若向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．(4,0,3)B ．(1,2,3)C ．(3,1,3)D ．(2,1,3)【答案】C【分析】设出p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(),,x y z ，利用对照系数，得到方程组，求出结果.【详解】∵p 在基底{},,a b c 下的坐标为(4,2,3)∴=423p a b c ++设p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(),,x y z则()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+=++-+ 对照系数，可得：423x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得：313x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为()3,1,3故选：C5．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根极值与导函数的关系确定()f x '在2x =-附近的正负，得()xf x '的正负，从而确定正确选项．【详解】由题意可得()20f '-=，而且当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<，此时()0xf x '>，排除B 、D ； 当()2,0x ∈-时，0f x ，此时，()0xf x '<，若()0,x ∈+∞，()0xf x '>，所以函数()y xf x '=的图象可能是C ．故选：C6． 如图所示，已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是A ．277B ．52C ．72D ．7【答案】C【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒，可得222214962c a a a =+-⨯， 2247c a =，所以双曲线的离心率为：72e =． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．7．若圆221:20C x y x m +--=与圆222:40C x y y m +++=恰有2条公切线，则m 的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．()1,4-C ．()1,0-D ．[)0,4【答案】B 【分析】由两圆相交可得参数范围．【详解】因为圆221:(1)1C x y m -+=+与圆222:(2)4C x y m ++=-恰有2条公切线，所以10,40,m m ⎧+>⎪⎪->⎨< 解得1 4.m -<<故选：B ．8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”.如取3m =，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得7n =.则下列命题错误的是（ ）A ．若2n =，则m 只能是4B ．当17m =时，12n =C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若7n =，则m 的取值集合为{}3,20,21,128【答案】C【分析】根据“冰雹猜想”进行推理即可判定.【详解】对于A ，2n =，逆推124→→，m 只能是4，故A 对；对于B ，17m =时，175226134020105168421→→→→→→→→→→→→，12n =，故B 对；对于C ，3m =时，7n =，4m =时，421→→，2n =，故C 错，对于D ，7n =时，逆推128326421124816205103⎧⎧→→⎨⎪⎪⎩→→→→→⎨⎧⎪→→⎨⎪⎩⎩，故D 对. 故选：C.二、多选题9．两个学校1W ，2W 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()1W t ，()2W t 与时间t （天）的关系如图所示，则一定有（ ）A ．1W 比2W 节能效果好B ．1W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率比2W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率小C ．两学校节能效果一样好D ．1W 与2W 自节能以来用电量总是一样大【答案】AB【分析】根据两函数切线斜率的变化以及切线斜率的几何意义、平均变化率的定义对各选项的正误进行判断，可得出正确选项.【详解】由图象可知，对任意的()100,t t ∈，曲线()1W t W =在1=t t 处的切线比曲线()2W t W =在1=t t 处的切线要“陡”，所以1W 比2W 节能效果好，A 正确，C 错误； 由图象可知，()()()()1012020000W t W W t W t t --<， 则1W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率比2W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率小，B 选项正确； 由于曲线()1W t W =和曲线()1W t W =不重合，D 选项错误．故选：AB10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1333AB AD AA ===，点P 为线段1A C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．当112AC A P =时，1B ，P ，D 三点共线 B ．当1AP AC ⊥时，1AP D P ⊥C ．当113AC A P =时，1//D P 平面1BDC D ．当115AC A P =时，1A C ⊥平面1D AP 【答案】ACD【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式，求得点P 的坐标，根据空间向量公式，可得答案.【详解】由题意，如图建系：则1(0,0,0)3,0)(0,0,1)D C D ，，，11(1,0,0)(1,0,1)(13,0)3,1)A A B C ，，，，设11AC k A P =，1(13,1)AC =--，则1131A P k k ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 可得11111311D P D A A P k k ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，11131AP AA A P k k ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 对于A ：当112AC A P =时，则点P 为对角线1A C 的中点， 根据长方体性质可得1,,B P D 三点共线，故A 正确；对于B ：当1AP AC ⊥时， ∴113110AP AC k k k⋅=++-=，解得5k =， 所以13455AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，143155D P ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭则113443143405555252525AP D P ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-+-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1AP D P ⊥不正确，故B 错误；对于C ：当113AC A P =时，12133D P ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =，1(1,3,0),(0,3,1)DB DC ==，∴0n DB x ⋅==，130n DC y z ⋅=+=，当1y =-时，x =z =(3,n =-，∴121033n D P ⋅==，∴1n D P ⊥， 又1D P ⊄平面1BDC ，∴1//D P 平面1BDC ，故C 正确；对于D ：当115AC A P =时，可得1455AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1(1,01)D A =-， 设平面1D AP 的法向量为(,,)m a b c =，则14055m AP a c ⋅=-++=，10m D A a c ⋅=-=，取1a =-，则1b c ==-，∴(1)m =--，而1(11)AC =--，∴1//AC m ，∴1A C ⊥平面1D AP ，故D 正确． 故选：ACD11．已知抛物线2:4C x y =，其焦点为F ，准线为l ，PQ 是过焦点F 的一条弦，点)(2,2A ，则下列说法正确的是（ ）A ．焦点F 到准线l 的距离为2B ．焦点)(1,0F ，准线方程:1l x =-C ．PA PF +的最小值是3D ．以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切【答案】ACD【分析】对A ：由抛物线方程及焦点F 到准线l 的距离为p 即可求解；对B ：由抛物线方程即可求解；对C ：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解； 对D ：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.【详解】解：对B ：由抛物线2:4C x y =，可得()0,1F ，准线 :1l y =-，故选项B 错误；对A ：由抛物线2:4C x y =，可得24p =，即2p =，所以焦点F 到准线l 的距离为2p =，故选项A 正确；对C ：过点P 作PP l '⊥，垂足为P '，由抛物线的定义可得PF PP ='， 所以PA PF PA PP +=+'≥3d =（d 为点)(2,2A 到准线l 的距离），当且仅当A 、P 、P '三点共线时等号成立， 所以PA PF +的最小值是3，故选项C 正确；对D ：过点P 、Q 分别作PP l '⊥，QQ l '⊥，垂足分别为P '、Q '，设弦PQ 的中点为M ，则弦PQ 为直径的圆的圆心为M ，过点M 作MM l '⊥，垂足为M '，则MM '为直角梯形PP Q Q ''的中位线，()12MM PP QQ '''=+， 又根据抛物线的定义有PP PF '=，QQ QF '=，所以()1122MM PF QF PQ '=+=， 所以以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切，故选项D 正确；故选：ACD.12．函数()()1cos 02f x x x x =+>的所有极值点从小到大排列成数列{}n a ，设n S 是{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．4176a π=C ．3a 为函数()f x 的极小值点D ．20211sin 2S = 【答案】BD【分析】首先求出函数的导函数，令()0f x '=，根据正弦函数的性质即可求出函数的极值点，再求出2021S ，利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为()()1cos 02f x x x x =+>，所以1sin 2f x x ， 令()0f x '=，即1sin 2x =可得26x k ππ=+或526x k ππ=+，Z k ∈， 易得函数的极值点为26x k ππ=+或526x k ππ=+，Z k ∈， 从小到大为6π，56π，136π…，不是等差数列，A 错误； 4517266a πππ=+=，B 正确； 函数()f x 在区间513,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在区间1317,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，所以3a 为函数()f x 的极大值点，C 错误；2021122021513171010266666S a a a ππππππ⎛⎫=+++=++++++⨯ ⎪⎝⎭， 1351751010210092666666ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⨯+++++⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 则根据诱导公式得2021sin s 16in2S π==，D 正确； 故选：BD ．三、填空题13．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若130a a +=，721S =，则公差d =__________.【答案】32【分析】根据题意列出方程，即可求得答案.【详解】由题意等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，130a a +=，721S =，可得10a d +=，且172121a d +=，则1a d =-，且133a d +=，解得32d =， 故答案为：3214．一条直线l 经过)3P-，并且倾斜角是直线y =的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________．【答案】y =【分析】先求出直线3y x =的倾斜角，从而可求得直线l 的倾斜角，则可求出直线l 的斜率，进而可求出直线l 的方程 【详解】因为直线3y x =的斜率为3， 所以直线3y x =的倾斜角为3π， 所以直线l 的倾斜角为23π， 所以直线l 的斜率为2tan33π=-， 因为直线l 经过()3,3P -， 所以直线l 的方程为33(3)y x +=--，即3y x =-，故答案为：3y x =-15．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M ，E ，F 分别为PQ ，AB ，BC 的中点，则异面直线EM 与AF 所成的角的余弦值是_______．【答案】【详解】试题分析：以A 为坐标原点, 射线,,AB AD AQ 所在直线分别为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系．令两正方形边长均为2．则()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,1,2A E F M ,()()1,1,2,2,1,0EM AF ∴=-=,21030cos ,3065EM AF EM AF EM AF⋅-++∴〈〉===-⨯⋅,设异面直线EM 与AF 所成的角为θ,30cos cos ,30EM AF θ∴=〈〉=． 【解析】异面直线所成的角．四、双空题16．如图，圆O 与离心率为32的椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>相切于点M (0,1)，过点M 引两条互相垂直的直线l 1，l 2，两直线与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合)．若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为d1，d2，则2212d d +的最大值是_________；此时P 点坐标为_________．【答案】163； 4213⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【详解】分析：由题意首先求得椭圆方程，然后结合勾股定理可得2212d d +的数学表达式，结合纵坐标的取值范围和二次函数的性质即可求得最终结果. 详解：由题意知：22231,c b c b a a ==+=解得2,1,3a b c === 可知：椭圆C 的方程为2214x y +=，圆O 的方程为221x y +=.设()00,P x y ，因为12l l ⊥,则()2222212001d d PM x y +==+-, 因为220014x y +=，所以()2222212000116441333d d y y y ⎛⎫+=-+-=-++ ⎪⎝⎭, 因为011y -，所以当031y =-时，2212d d +取得最大值为163,此时点421()3P -. 点睛：本题主要考查椭圆的方程的求解，椭圆中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.五、解答题17．已知函数()ln a x f x bx=+在1x =处的切线方程为220x y --=. (1)求()f x 的解析式；(2)求函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=的距离的最小值. 【答案】(1)()2ln xf x x=；【分析】（1）由题可得()()21ln a x f x x -'=，然后利用导数的几何意义即求； （2）由题可得切点()1,0到直线230x y -+=的距离最小，即得.【详解】（1）∵函数()ln a xf x b x =+，∴()f x 的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x x -'=， ∴()f x 在1x =处切线的斜率为()12k f a '===，由切线方程可知切点为()1,0，而切点也在函数()f x 图象上，解得0b =， ∴()f x 的解析式为()2ln xf x x=； （2）由于直线220x y --=与直线230x y -+=平行，直线220x y --=与函数()2ln xf x x=在()1,0处相切，所以切点()1,0到直线230x y -+=的距离最小，最小值为d ==，故函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=18．已知在各项均为正数的等差数列{}n a 中，23421a a a ++=，且21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前三项．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】(1)21n a n =+，12n n b +=(2)2(21)24n n S n +=-⋅+【分析】（1）设公差为d ，由23421a a a ++=，且21a -，31a +，43a a +构成等比数列，利用“1,a d ”法和“1,a q ”法求解；（2）由（1）得到1(21)2n n n n c a b n +==+⋅，利用错位相减法求解.【详解】（1）解：因为数列{}n a 为各项均为正数的等差数列， 所以2343321a a a a ++==， 即得37a =，设公差为d ，则有23116a a d d -=--=-，318a +=，433314a a a d a d +=++=+，又因为21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前三项， 所以()()()2324311a a a a +=-⋅+，即64(6)(14)d d =-+， 解得2d =或10d =-（舍去）， 所以132743a a d =-=-=，所以数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列， 故得21n a n =+，由题意得，1214b a =-=，2318b a =+=，所以数列{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列，故11422n n n b -+=⋅=.（2）设1(21)2n n n n c a b n +==+⋅，则2341325272(21)2(21)2n n n n n S +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅①，在上式两边同时乘以2得，341223252(21)2(21)2n n n S n n ++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅，②，-①②得，()23412322222(21)2++-=⋅+++⋅⋅⋅+-+⋅n n n S n ，24(12)2+=-+-⋅n n ,所以2(21)24n n S n +=-⋅+．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ，B ，C 坐标分别为(0,1),(2,0),(0,2)，E 为线段BC 上一点，直线EP 与x 轴负半轴交于点A ．(1)当E 点坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭时，求过点E 且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线方程；(2)求BOE 与ABE △面积之和S 的最小值． 【答案】(1)30x y -=或20x y +-=或10x y -+=；(2)【分析】（1）根据给定条件，分直线过原点与不过原点，结合直线方程的截距式求解作答. （2）设点E 的横坐标为t ，根据给定条件求出t 的范围，再将S 表示为t 的函数，并求出最小值作答.【详解】（1）令过点13(,)22E 且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线为l ，当直线l 过原点时，直线l 在x ，y 轴上的截距都为0，其方程为3y x =，当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x ya a +=或1x y a a+=-，于是得13221a a +=或13221a a +=-，解得=2a 或1a =-，直线l 的方程为2x y +=或1x y -=-， 所以所求方程为：30x y -=或20x y +-=或10x y -+=.（2）依题意，直线:122x yBC +=，因点E 在线段BC 上，则设点(,2)E t t -，02t ≤≤，设00(,0),0A x x <，0(,1),(,1)PE t t PA x =-=-，由//PE PA 得：0(1)x t t -=-，显然1t ≠，则01tx t=--，有01t <<， 111||(2)2,||(2)(2)(2)2221BOE ABE t SOB t t S AB t t t =⋅-=-=⋅-=+--， 1(2)112(2)(2)2(2)2[3(1)]212(1)21t t t S t t t t t t t -=-++-=-+=+-+---22≥=+当且仅当13(1)1t t -=-，即1t =时取等号，所以BOE 与ABE △面积之和S 的最小值20．如图，四棱锥P ABCD -中，PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点.（1）证明：//CE 平面PAB ； （2）求直线CE 与平面PAB 间的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）55. 【分析】（1）取PA 的中点M ，连接BM ､EM ，易证四边形BCEM 为平行四边形，故//CE BM ，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）由//CE 平面PAB ，知点E 到平面PAB 的距离即为所求.设1BC =，取AD 的中点N ，连接BN ､PN ，可证PNAD ，BN AD ⊥，进而推出BC ⊥平面PNB ；于是以B 为原点，BC ､BN 分别为x ､y 轴，在平面PNB 内，作Bz ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，可证BC PB ⊥，从而求得3PB =，120PNB ∠=︒，写出点P ､E 的坐标，根据法向量的性质求得平面PAB 的法向量n ，由点E 到平面PAB的距离·n BE d n=即可得解.【详解】（1）证明：取PA 的中点M ，连接BM ､EM ，E 为PD 的中点，//EM AD ∴，12EM AD BC ==， ∴四边形BCEM 为平行四边形，//CE BM ∴，CE ⊄平面PAB ，BM ⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB .（2）//CE 平面PAB ，∴点E 到平面PAB 的距离即为所求. 设222PC AD DC CB ====，取AD 的中点N ，连接BN ､PN ，则四边形BCDN 为矩形，1BN CD ==PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，PN AD∴⊥，112PN AD==，BN AD⊥，PN BN N，PN､BN⊂平面PNB，AD∴⊥平面PNB，//BC AD，BC∴⊥平面PNB，BC ⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PNB，以B为原点，BC､BN分别为x､y轴，在平面PNB内，作Bz⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B，()1,1,0A-，()1,1,0DBC ⊥平面PNB，BC PB∴⊥，在Rt PBC△中，PB==1BN PN==，120PNB∴∠=，30,2P⎛∴⎝⎭，15,24E⎛⎝⎭30,2BP⎛=⎝⎭，()1,1,0BA=-，15,24BE⎛=⎝⎭，设平面PAB的法向量为(),,n x y z=，则·0·0n BPn BA⎧=⎨=⎩，即32yx y⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，令1x=，则1y=，z=∴(1,1,n=-，∴点E到平面PAB的距离152n BEdn+⋅====，故直线CE与平面PAB【点睛】方法点睛：求空间中点P到平面α的距离，向量方法:先在平面α内选一点A，确定PA的坐标，在确定平面α的法向量n，最后代入公式n PAdn⋅=求解.也通常采用三棱锥等体积求解.21．已知双曲线221.416x y-=(1)过点(1,4)N的直线与双曲线交于,S T两点，若点N是线段ST的中点，求直线ST的方程；(2)直线l：(2)y kx m k=+≠±与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于0(,0)A x ，0(0,)B y 两点．当点M 运动时，求点00(,)P x y 的轨迹方程. 【答案】(1)30.x y -+= (2)221(0)10025x y y -=≠.【分析】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，采用“点差法”可求得直线ST 的斜率，即可求得答案； （2）根据直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，联立方程可得到224(4)m k =-，从而求得点M 坐标，由此表示出过M 且与l 垂直的直线方程，求得00,x y ，化简可得其关系，即可得答案.【详解】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，则2211222214161416x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ， 两式相减得22221212416x x y y --=，即121212124y y x x x x y y -+=⨯-+， 因为点(1,4)N 是线段ST 的中点，所以1212214124y y x x -⨯=⨯=-⨯， 即直线ST 的斜率为1，所以直线ST 的方程为41y x -=-，即3yx ,联立方程组2231416y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得236250x x --=，满足0∆>， 故直线ST 的方程为30.x y -+=（2）联立方程组22416x y y kx m⎧-=⎨=+⎩,得222(4)2(16)0k x kmx m ---+=， 因为直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ， 根据双曲线的对称性可知,k m 都不等于0，()()22222Δ444160k k m k m '≠±⎧⎪∴⎨=+-+=⎪⎩ ，得224(4)m k =-， 则244M km k x k m ==--,则4(16)Mk m y k mm =⨯+=--, 所以M 的坐标为416(,)k m m--，其中0km ≠， 因为过点M 且与l 垂直的直线方程为1614()ky x m k m+=-+， 令0y =，得020kx m =-，令0x =，020y m=-，所以222202224004001600(4)10010044k m x y m m m==+=+=+，故点00(,)P x y 的轨迹方程为：221(0)10025x y y -=≠. 【点睛】方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用 “点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解. 22．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 长为10米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一只电子狗，在距离A 点2米的E 处放置一个机器人，机器人行走速度为v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M 叫成功点.(1)求在这个矩形场地内成功点M 的轨迹方程；(2)P 为矩形场地AD 边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP 的距离为23，且直线FP 与点M 的轨迹没有公共点，求P 点横坐标的取值范围.【答案】(1)224164()0393x y x ⎛⎫+-=≤≤ ⎪⎝⎭43127a【分析】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，由题意2MF ME vv=，利用两点间的距离公式可得答案.(2)由题意可得点M 的轨迹所在圆的圆心到直线FP 的距离14,23d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，点M 的轨迹与y 轴的交点N到直线FP 的距离223d ≥，从而可得答案.【详解】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，则()(0,2),0,4E F ， 设成功点(,)M x y ，可得2MF ME vv=2222(2)(4)x y x y +-+-化简得22416()39x y +-=因为点M 需在矩形场地内，所以403x ≤≤故所求轨迹方程为224164()0393x y x ⎛⎫+-=≤≤ ⎪⎝⎭（2）设(),0P a ，直线FP 方程为14xy a+=直线FP 与点M 的轨迹没有公共点,则圆心403（，）到直线FP 的距离大于43r =依题意，动点P 需满足两个条件：点M 的轨迹所在圆的圆心403（，）到直线FP 的距离14,23d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即1244432316a a d a -<=<+,43127a <②点M 的轨迹与y 轴的交点80,3N ⎛⎫⎪⎝⎭到直线FP 的距离223d ≥即228423316a a d a -+,解得43a 综上所述，P 43127a <。

房山区2021--2021学年度第一学期期末检测试卷创作单位：*ＸＸＸ创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景高二数学一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求.1.椭圆2243x y+=1的离心率是〔〕B.2C.13D.12【答案】D 【解析】【分析】由椭圆22143x y+=方程可知a、b、c的值，由离心率cea=求出结果．【详解】解：由椭圆22143x y+=可知，2a=，b=1c=，∴离心率12cea==，应选：D．【点睛】此题考察椭圆的HY方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出a、c的值是解题的关键，属于根底题．2.在空间假设把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，那么这些向量的终点构成的图形是〔 〕 A. 一个球 B. 一个圆C. 半圆D. 一个点【答案】B 【解析】 【分析】利用一共面向量的概念及向量的模即可得答案．【详解】解：平行于同一平面的所有非零向量是一共面向量，把它们的起点放在同一点，那么终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，那么终点到起点的间隔 为定值． 故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，那么这些向量的终点构成的图形是一个圆． 应选：B ．【点睛】此题考察方程，关键是理解一共面向量的概念，属于根底题．3.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A. 2y x =±B. y =C. 12y x =±D.2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】直接利用双曲线的HY 方程22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，求出双曲线的渐近线方程即可．【详解】解：因为双曲线的HY 方程为2214y x -=，那么它的渐近线方程为：2y x =±．应选：A ．【点睛】此题考察双曲线的渐近线方程的求法，考察计算才能，属于根底题． 4.向量()2,3,5a =-与向量()4,,1b x =-垂直，那么实数x 的值是〔 〕 A. ﹣1 B. 1C. ﹣6D. 6【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的坐标计算公式代入可得x 的值．【详解】解：向量()2,3,5a =-，与向量()4,,1b x =-垂直，那么0a b =， 由数量积的坐标公式可得：24(3)5(1)0x ⨯+-⨯+⨯-=， 解得1x =， 应选：B ．【点睛】此题考察空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于根底题．5.双曲线226436x y -=1的焦点为F 1，F 2，P 为其上一点.假设点P 到F 1的间隔 为15，那么点P 到F 2的间隔 是〔 〕A. 31B. 1C. ﹣1D. ﹣1或者31 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用双曲线的定义，转化求解即可．【详解】解：双曲线2216436x y -=的焦点为1F ，2F ，P 为其上一点．所以12216PF PF a -==， 假设点P 到1F 的间隔 为115PF =，21516PF ∴-=，解得231PF =或者21PF =-〔舍去〕， 所以点P 到2F 的间隔 是：31． 应选：A ．【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属于根底题． 6.直线l 的方向向量()1,2,1a =-，平面α的法向量()2,4,2b =-，那么直线l 与平面α的位置关系是( ) A. //l α B. l α⊥C. l α⊂D. l α∈【答案】B 【解析】 【分析】由可求2b a =，判断b 与a 一共线，即可得解l a ⊥． 【详解】解：直线l 的方向向量()1,2,1a =-，平面α的法向量()2,4,2b =-，∴2b a =，∴那么b 与a 一共线，可得：l a ⊥．应选：B ．【点睛】此题考察满足线面平行的条件的判断，考察线面垂直的性质等根底知识，考察运算求解才能，属于根底题．7.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，向量AB 与向量11C A 的夹角是〔 〕 A. 150° B. 135° C. 45° D. 30°【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用正方体的性质，求出向量AB 与向量11C A 的夹角． 【详解】解：如图，正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，11//AC A C ，111C A B ∴∠的补角即为向量AB 与向量11C A 的夹角．111C A B ∆为等腰直角三角形，11145C A B ∴∠=︒，∴量AB 与向量11C A 的夹角为18045135︒-︒=︒，应选：B ．【点睛】此题主要考察两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题．8.抛物线216y x =上的点P 到抛物线焦点的间隔 10m =，那么点P 到y 轴的间隔 d 等于〔 〕 A. 12 B. 9C. 6D. 3【答案】C 【解析】【分析】由抛物线的性质可得到焦点的间隔 等于到准线的间隔 ，求出P 的横坐标，即为P 到y 轴的间隔 ．【详解】解：由抛物线的方程可得准线方程为：4x =-，设P 的横坐标为0x ，由抛物线的性质可得0410x +=，所以06x =，所以P 到y 轴的间隔 为6， 应选：C ．【点睛】考察抛物线的定义的理解，属于根底题．9.双曲线2214x y k+=的离心率2e <，那么实数k 的取值范围是( )A. k 0<或者3k >B. 30k -<<C. 120k -<<D.83k -<<【答案】C 【解析】 【分析】直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用条件求解即可．【详解】解：双曲线2214x y k+=可知k 0<，并且2a =，c =，双曲线的离心率为：e =， 12e <<，∴12<，解得120k -<<，综上120k -<<． 应选：C ．【点睛】此题考察双曲线的根本性质的应用，注意双曲线方程的判断，属于根底题．10.假如抛物线24y x =的焦点为F ．点M 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -．那么||||MF MA 的最大值是( )A.12B.22C.32D. 1【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得A 在抛物线的准线上，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的间隔 等于到准线的间隔 可得||||MF MN MA AM =，所以||||MF MA 的最大值时，A ，M ，F 三点一共线，可得结果．【详解】解：由抛物线的方程可得，焦点(1,0)F ，准线方程为：1x =-，(1,0)A -点在准线上，作MN ⊥准线交于N ，由抛物线的性质可得|||MF MN =，所以||||||||MF MN MA MA =， 在三角形AMN 中，cos MNMAF MA=∠，所以||||MF MA 的最大值时，FAM ∠最小，当A ，M ，F 上的一共线时，FAM ∠最小，所以这时||||MF MA 的最大值为1，应选：D ．【点睛】考察抛物线简单几何性质，属于根底题．11.“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆〞的充要条件是( )A. 0m n >>B. 0n m >>C. 0mn >D.0mn <【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的HY 方程，即可得到结论．【详解】解：假设方程表示椭圆，那么m ，0n ≠，那么方程等价为22111x y m n+=， 假设方程表示焦点在y 轴上椭圆，那么等价为110n m>>， 解得：0m n >>， 应选：A ．【点睛】此题主要考察椭圆的定义和方程，将条件转化为HY 方程形式是解决此题的关键，属于根底题．12.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点Q 是平面A 1BCD 1内的动点，且点Q 到直线AB 1和直线BC 的间隔 相等，那么动点Q 的轨迹是〔 〕 A. 圆的一局部 B. 椭圆的一局部 C. 双曲线的一局部 D. 抛物线的一局部【答案】D 【解析】【分析】由题意画出图形，证明Q 到直线1AB 的间隔 为Q 到G 点的间隔 ，再由抛物线的定义得动点Q 的轨迹． 【详解】解：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，有11A D ⊥平面11AA B B ，那么111A D AB ⊥， 又11AB A B ⊥，1111A BA D A =，1AB ⊂平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ，1AB ∴⊥平面11A BCD ，设11A BAB G =，连接QG ，那么1QG AB ⊥，垂直为G ，而G 与BC 在平面11A BCD 内，且G BC ∉，又点Q 到直线1AB 和直线BC 的间隔 相等，即点Q 到G 的间隔 与到直线BC 的间隔 相等，由抛物线定义可知，动点Q 的轨迹是抛物线的一局部． 应选：D ．【点睛】此题考察轨迹方程的求法，考察空间想象才能与思维才能，考察抛物线定义的应用，属于中档题．二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分. 13.设θ是直线与平面所成的角，那么角θ的取值范围是_____.【答案】[0，2π]. 【解析】 【分析】当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ取最小值0，当直线与平面垂直时，θ取最大值2π，由此能求出角θ的取值范围． 【详解】解：θ是直线与平面所成的角，当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ取最小值0， 当直线与平面垂直时，θ取最大值2π， ∴角θ的取值范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】此题考察线面角的取值范围的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，属于根底题．14.双曲线22169y x -=1的实轴长为_____.【答案】8. 【解析】 【分析】直接利用双曲线HY 方程，求出实轴长即可．【详解】解：双曲线221169y x -=的实轴长为：2248a =⨯=．故答案为：8．【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，是根本知识的考察，属于根底题．15.抛物线28xy 的准线方程是_____，焦点坐标是_____.【答案】 (1). y ＝2 (2). 〔0，﹣2〕. 【解析】 【分析】由抛物线的方程直接可得p 的值及焦点所在轴，求出结果． 【详解】解：由抛物线28x y 可得：28p =，所以4p =，且焦点在y 轴的负半轴上，所以焦点0,2p ⎛⎫-⎪⎝⎭即：()0,2-，准线22py ==， 故答案分别为：2y =；()0,2-．【点睛】考察抛物线的HY 方程求焦点坐标及准线方程，属于根底题． 16.以下三个关于圆锥曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，假设||||PA PB k -=，那么动点P 的轨迹为双曲线；②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有一样的焦点．其中真命题的序号为_____〔写出所有真命题的序号〕. 【答案】②③. 【解析】 【分析】〔1〕根据双曲线的定义知①不正确，〔2〕解方程知两个正根，一根大于1作双曲线的离心率，一根小于1作椭圆的离心率，断定②正确；，〔3〕求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，断定③正确．【详解】解：①平面内与两个定点1F ，2F 的间隔 的差的绝对值等于常数12(||)k k F F <的点的轨迹叫做双曲线，当0||k AB <<时是双曲线的一支，当||k AB =时，表示射线，∴①不正确；②方程22520x x -+=的两根是2和12，2可作为双曲线的离心率，12可作为椭圆的离心率，②正确；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=的焦点都是()，有一样的焦点，③正确；故答案为：②③．【点睛】此题考察了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，属于根底题． 17.在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB A A ==，那么二面角1A BC A --的大小为_____. 【答案】45°. 【解析】 【分析】设AD a =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角1A BC A --的大小．【详解】解：设AD a =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，那么平面ABC 的法向量()0,0,1m =，()1,0,3A a ， (),3,0B a ， ()0,3,0C，(BC a =-，0，0)，1(0BA =，3-，3)，设平面1A BC 的法向量(),,n x y z =，那么1·0·330n BC ax n BA y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1y =，得(0n =，1，1)，设二面角1A BC A --的大小为θ， 那么||2cos 2||||m n m n θ==， 45θ∴=︒．∴二面角1A BC A --的大小为45︒．故答案为：45︒【点睛】此题考察二面角的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，属于中档题．18.椭圆E ：22221x y a b+=，0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B两点．假设AB 的中点坐标为()1,1-，那么E 的方程为__________.【答案】221189x y +=【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，采用“点差法〞，得212212y y b x x a -=-，再根据直线过点()3,0F ，和AB 的中点坐标()1,1-，得121212y y x x -=-，结合椭圆中a ，b ，c 的关系，可求得29b =，218a =，即可得E 的方程.【详解】3c =，设()11,A x y ，()22,B x y ，那么2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，AB 的中点坐标为()121,1?2x x -+=，则，122y y +=-， ①－②得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∴()222121222212121y y x x b b b x x a y y a a-+=-⋅=-⨯-=-+， ∵1212011312y y x x -+==--，∴2212b a =，即222a b =， 又22229a bc b =+=+，∴29b =，218a =，即E 的方程为221189x y +=.【点睛】此题考察了求椭圆的HY 方程，考察了弦的中点有关问题；在中点弦或者弦的中点问题中，常采用“点差法〞和中点坐标公式、斜率的计算公式求解. 三、解答题：本大题一一共4小题，每一小题15分，一共60分.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =，点D 是AB 的中点．〔1〕求异面直线AC 与1BC 所成的角； 〔2〕求证：1//AC 平面1CDB ．【答案】〔1〕2π〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕因为3AC =，4BC =，5AB =，利用勾股定理的逆定理可得ABC ∆是直角三角形，AC BC ⊥．因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，可得1C C ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．〔2〕建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出． 【详解】解：〔1〕因为3AC =，4BC =，5AB =， 所以222AC BC AB +=，所以ABC ∆是直角三角形， 所以2ACB π=，所以AC BC ⊥因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1C C ⊥平面ABC ， 所以1C C AC ⊥，1C C BC ⊥以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 那么(0C ，0，0)，(3A ，0，0)，(0B ，4，0)，1(0C ，0，4)所以直线AC 的方向向量为(3,0,0)CA =，直线1BC 的方向向量为1(0,4,4)BC =-， 设异面直线AC 与1BC 所成的角为θ， 因为10CA BC =， 所以cos 0θ=，所以异面直线AC 与1BC 所成的角为2π． 〔2〕由〔1〕可知3,2,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(0B ，4，4)，那么3,2,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(0,4,4)CB =设平面1CDB 的法向量为(,,)n x y z =，那么1·0·0CD n CB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以3202440x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令4x =，那么3y =-，3z =，所以(4,3,3)n =- 直线1AC 的方向向量为1(3,0,4)AC =-，因为10AC n =，1AC ⊄平面1CDB ， 所以1//AC 平面1CDB ．【点睛】此题考察了空间位置关系、线面面面平行与垂直的断定性质定理、三角形中位线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．20.在平面直角坐标系xOy 中，点1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，且2||2BF 41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆E 上一点，直线2CF 交椭圆于点A ．〔1〕求椭圆E 的方程； 〔2〕求ABC ∆的面积．【答案】〔1〕2212x y +=〔2〕43【解析】 【分析】〔1〕根据椭圆的性质，将C 代入椭圆方程，即可求得b 的值，求得椭圆方程；〔2〕由〔1〕可知，求得直线2CF 的方程，代入椭圆方程，求得A 点坐标，求得||AB ，即可求得ABC ∆的面积．【详解】解：〔1〕因为顶点B 的坐标为(0,)b，2||BF =所以2||BF a ==因为点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以22161991a b +=，解得21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=.〔2〕因为点C 的坐标为41,33⎛⎫⎪⎝⎭，点2F 的坐标为(1,0)， 所以直线2CF 的斜率131413k ==-，所以直线2CF 的方程为1y x =-，由221220y x x y =-⎧⎨+-=⎩得，2340x x -=，所以01x y =⎧⎨=-⎩或者4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点A 的坐标为(0,1)-，所以||2AB =， 所以1442233ABC S ∆=⨯⨯=．【点睛】此题考察椭圆的HY 方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考察转化思想，计算才能，属于中档题．21.F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．〔1〕当抛物线C 过点(1,2)M -时，求抛物线C 的方程； 〔2〕证明：OA OB 是定值． 【答案】〔1〕y 2＝4x 〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕将M 点代入抛物线方程，即可求得p 的值，求得抛物线方程；〔2〕分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线l 的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，即可证明OA OB 是定值．【详解】解：〔1〕因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)M -， 所以42p =，2p =， 所以抛物线C 的方程24y x =； 〔2〕证明：当直线l 斜率存在时，(,0)2p F ，设直线l 的方程为()2py k x =-，那么2()(1)22(2)p y k x y px ⎧=-⋯⎪⎨⎪=⋯⎩， 将〔1〕代入〔2〕得，222kp kx px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得222(2)04k p kx k p p x -++=， 设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，那么2124p x x =，因为点A ，B 都在抛物线22y px =上，所以2112y px =，2222y px =，所以22212122y y p x x =，所以22412y y p =，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，所以2121234OA OB x x y y p =+=-，是定值．当直线l 无斜率时，(,0)2p F ，设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，那么122p x x ==，代入抛物线方程22y px =得，221y p =，222y p =，所以22412y y p =，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，所以2121234OA OB x x y y p =+=-，是定值．综上，234p OA OB =-，是定值．【点睛】此题考察抛物线的HY 方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考察韦达定理，考察分类讨论思想，计算才能，属于中档题．22.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝PA ＝1，AD 3=，F 是PB 中点，E 为BC 上一点.〔1〕求证：AF ⊥平面PBC ；〔2〕当BE 为何值时，二面角C ﹣PE ﹣D 为45°.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕BE 536=【解析】 【分析】〔1〕以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF ⊥平面PBC ．〔2〕设BE a =，(),1,0E a ，求出平面PDE 的法向量和平面PCE 的法向量，利用向量法能求出当53BE C PE D --为45︒． 【详解】解：〔1〕证明：以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，1AB PA ==，3AD =F 是PB 中点，(0A ∴，0，0)，(0P ，0，1)，(0B ，1，0)，(3C 1，0)，()3,0,0D ，(0,1,1)PB =-，(3,1,1)PC =-，(0F ，12，1)2，(0AF =，12，1)2， 0AF PB =，0AF PC =，AF PB ∴⊥，AF PC ⊥，AF ∴⊥平面PBC ．〔2〕设BE a =，(E a ∴，1，0)，(3,1,0)DE a =-，(3,0,1)PD =-， 设平面PDE 的法向量(,,)n x y z =，那么·(3)0·30n DE a x y n PD x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，取1x =，得(1n =，3a -，3)， 平面PCE 的法向量为11(0,,)22AF =，二面角C PE D --为45︒，21322cos ,222372an AF a a -∴<>==-+， 解得536a =， ∴当536BE =时，二面角C PE D --为45︒．【点睛】此题考察直线与平面垂直的证明，考察使得二面角为45︒的线段长的求法，解题时要认真审创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景题，注意向量法的合理运用，属于中档题．创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景。

2021-2022学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线，的位置关系是( )A. 垂直B. 平行C. 相交D. 重合2.已知空间向量，若，则实数x的值是A. B. 0 C. 1 D. 23.若直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为( )A. B. C. D.4.若直线与圆相切，则b的值是( )A. 或12B. 2或C. 或D. 2或125.直线l过抛物线的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则( )A. B. C. D.7.阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．已知椭圆C：的面积为，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且的周长为16，则椭圆C的方程为( )A. B. C. D.8.如图1，矩形ABCD ，，，E 为CD 中点，F 为线段除端点外的动点.如图2，将沿AF 折起，使平面平面ABC ，在平面ABD 内，过点D 作，K 为垂足，则AK长度的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.下列圆锥曲线中，焦点在x 轴上的是( )A.B.C.D.10.已知空间向量，，则下列正确的是( )A. B.C.D.，11.如图，正四面体的顶点 A 、 B 、 C 分别在两两垂直的三条射线 Ox ， Oy ， Oz 上，则下列选项中正确的是( )A. 三棱锥是正三棱锥B. 直线平面ACDC. 直线CD 与平面ABC 所成的角的正弦值为D. 异面直线AB 和CD 所成角是12.已知抛物线，点，，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，且A在第一象限，直线AB与y轴交于点P，则下列结论正确的有( )A. 点P的坐标为B.C. 的面积的最大值为D. 的取值范围是三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.双曲线的渐近线方程是__________.14.已知，，若直线l的方向向量与直线AB的方向向量平行，则实数等于__________.15.已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，若，则实数__________.16.双曲线上一点点P在第一象限，过双曲线C中心O且与坐标轴不平行的直线l交双曲线C左右两支于A，B两点点A，B异于点，设直线PA，PB的斜率分别为、，且，则双曲线C的离心率为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。