拉格朗日中值定理

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拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法
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拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法
定理条件的是______
1)f(x)=ln(1+x)
2)f(x)=|x|
3)f (x) 3 x
4)f(x)=arctanx
下一页
二.函数单调性的判定法
y
B
yA
y=f(x)
y=f(x)
A
B
0a
bx
几何特征：
f '(x)>0
0a
bx
f '(x)<0
定理：设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在（a、b)内可导.
解：
y
PB
K AB

yB yA xB xA

1 e 1
设P(x0、y0 ) 又 K切 KAB
则K切

y'|x x0

1 x0
0A
x
1 1 x0 e 1
x0 e 1
y0 ln(e 1) 点Pe 1、ln(e 1)
注：这个例题反映了一个一般事实，可以写成下面的定理。
y’
+
0
-
-
0
+
y
4） 由表可知函数的单调增区间为(-∞、-2)∪(0、+∞) 单调减区间为（-2、-1）∪（-1、0）。
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结
三.小结与作业
与
作 1.拉格朗日中值定理及推论。
业
2.函数单调性的判定方法与步骤。
3.作业：<教与学>
P40 : (A)1.(1) (B)3.(3) (4) (C)3.(6)
例题
(A)例1.判定y=x3的单调性
解： y'=3x2 当x=0时 y'=0 当x≠0时 y'>0 ∴x∈(-∞,+∞) y单调增加
y
(A) 例2.判断下列函数的单调性
(1)f (x) x3 1 x
(2)f (x) x2
0
x
下一页
(B)例3.确定函数f (x) 2x3 9x2 12x 3
1）若在(a、b)内f’(x)>0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。 2）若在(a、b)内f’(x)<0，则y=f(x)在[a、b]上单调减少。
证明
证明
在(a、b)内任取两点x1,x2且x1<x2.则在[x1、x2]上 函数y=f(x)满足拉格朗日中值定理的条件。
∴f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1)
ξ∈(x1、x2)
若f’(x)>0,则f’(ξ)>0 又x2-x1>0
∴f(x2)>f(x1) ∴y=f(x)在[a、b]上单调增加
同理可证：若f'(x)<0 ,则函数f(x)在[a、b]上单调减少
注：1）上述定理中间区间[a、b]若改为(a、b)或无限区间 结论同样成立。
2）若f(x)在(a、b)内的个别点的导数为零，其余的点 都有f '(x)>0(或 f '(x)<0)，则f(x)在(a、b)内满足单调 增加(单调减少).
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一.拉格朗日中值定理
课
讲 授
定理：如果函数y=(x)满足， 10.在（a、b)上连续
20.在（a、b)内可导，则至少存在一点 (a、b)
使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立。
推论：如果y=(x)在区间（a、b)内有f'(x)≡0
则在此区间内f(x)≡c(常数）。
注：这个推论是常数的导数是零的逆定理。
例题与练习
(A)例1.求函数f(x)=x2+2x在区间[0、1]内满足拉
格朗日中值定理的ξ值。
解：
f ' ( ) (2x
f(1)-f(0)=3
2) |x 2 2 f '()
f (1) f (0)
3
(B)练习1：∴2下ξ列+2函=3数中在区间∴ξ[-1、121]上满1足0拉格朗日中值
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引
入
导数ຫໍສະໝຸດ Baidu几何意义：
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课
y
y=f(x)
α
0
x0
x
f '(x0 ) k切 tan
例题
引例.(A) 已知曲线y ln x上点A(1，0)、B(e，1), 在AB
上求一点P，使过点P的切线平行于直线AB。
的单调区间。
解： 1） 定义域为(-∞、+∞)
2) f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)
令 f'(x)=0 得x1=1 x2=2 3)列表：
x (-∞、1) 1 （1、2） 2 (2、+∞)
y'
+
0
-
0
+
y 4）由表可知：函数的单调增区间为（-∞、1]∪[2、+∞）
单调减区间为（1、2）。
(B)练习2：确定函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间。
下一页
(C)例4：求函数f (x) x2 的单调区间 1 x
解： 1）定义域为(-∞、-1)∪（-1、+∞).
2） f '(x)

x(x 2) (1 x)2
令f '(x) 0
3)列表:
得x1 2、x2 0
x (-∞、-2) -2 （-2、-1） （-1、0） 0 (0、+∞)