精品解析：【全国市级联考】广东省东莞市2016-2017高二下学期期末教学质量检查数学(理)试题(解析版)
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2016-2017学年度第二学期教学质量检查高二理科数学一、选择题1. 已在为虚数单位，则复数的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，应选答案A。
2. 函数的导函数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。
3. 已知随机变量服从正态分布即，且，若随机变量，则（）A. 0.3413B. 0.3174C. 0.1587D. 0.1586【答案】C【解析】由题设，所以由正态分布的对称性可得，应选答案C。
4. 若离散型随机变量的取值分别为，且，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。
5. 是的导函数，的图象如下图所示，则的大致图象只可能是（）A.【答案】D【解析】试题分析：在上，原函数始终单调递增，导数值先增大后减小，因此原函数曲线在各点处的切线斜率先增大后减小，只有D符合考点：1.导数的几何意义；2.函数图像6. 将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少一名，则不同分法的种数为（）A. 18B. 24C. 36D. 72【答案】C【解析】先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C42＝6(种)方法，再将三组同学分配到三个班级有A 33＝6(种)分配方法，依据分步计数原理可得不同分配方法有种，应选答案C。
7. 为直观判断两个分类变量和之间是否有关系，若它们的取值分别为和，通过抽样得到频数表为：则下列哪两个比值相差越大，可判断两个分类变量之间的关系应该越强（）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】A【解析】因为，所以当的值越小说明两个分类变量之间的有关系的把握程度越小，反之，当的值越小说明两个分类变量之间的有关系的把握程度越大，即两个分类变量之间的关系应该越强，与的关系等价，则值相差越大，可判断两个分类变量之间的关系应该越强，应选答案A。
学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...8. 用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在的基础上加上（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为当时，等式的左边是，所以当时，等式的左边是，多增加了，应选答案B。
点睛：解答本题的关键是搞清楚当时，等式的左边的结构形式，当时，等式的左边的结构形式是，最终确定添加的项是什么，使得问题获解。
9. 五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自已的硬币，若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意没有相邻的两个人站起来包括两种情况：5人都不站起来，或由2人中间隔一人站起来，故没有相邻的两个人站起来的概率为，选C点睛：本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．10. 由曲线与直线，围成封闭图形的面积为（）A. B. 4 C. D. 6【答案】A【解析】试题分析：试题解析：联立方程得到两曲线的交点(4,2)，因此曲线，直线y=x−2及y轴所围成的图形的面积为：S= ==.故选C.点睛：将不规则图形的的边界线用曲线方程表示出来,定积分的上下限就是曲线的端点.用上边界曲线的定积分减去下边界曲线的定积分就是面积!11. 已知数列满足，（），则使成立的最大正整数的值为（）A. 198B. 199C. 200D. 201【答案】C【解析】因为，所以，即该数列是周期为的周期数列，且每个周期内的三个数的和定值为，所以当时，，当时，，当时，，当时，，应选答案A。
点睛：解答本题的方法是借助题设中提供的四个选择支，运用筛选验证的方法进行分析验证，最终选出适合问题题设条件的答案。
12. 已知函数，若对任意恒成立，则的最小值为（）A. B. 0 C. 1 D.【答案】B【解析】因为，所以当时函数取最大值，由题设只需，即，故，令函数，则，则当时取最小值，即，应选答案B。
二、填空题13. 已知函数，则曲线在点处切线的倾斜角为__________．【答案】【解析】因为，所以切线斜率，即，应填答案。
14. 若的展开式中所有项的系数和为32，则含项的系数是__________．（用数字作答）【答案】【解析】由题设，通项公式，令，则含项的系数是，应填答案。
15. 若随机变量，且，，则当__________．（用数字作答）【答案】【解析】由题意，所以，应填答案。
16. 已知为上的连续可导函数，且，则函数在上的零点个数为__________．【答案】【解析】令函数，因为，所以函数在上单调递增，则函数在上上也单调递增，且，故该函数在上无零点，应填答案。
点评：解答本题的关键是构造函数，然后借助导数的有关知识判定函数的单调性，从而确定函数与轴没有一个交点，即函数的零点的个数是0.点睛：本题的求解是先借助题设条件构设函数，然后求导借助导数值域函数单调性之间的关系判断出其单调递增函数，进而确定函数是单调递增函数，最后依据，确点函数的零点个数使得问题获解。
三、解答题17. 已知复数，（，为虚数单位）（1）若是纯虚数，求实数的值；（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）。
【解析】试题分析：（1）先运用复数乘法计算，再依据虚数的定义建立方程求解；（2）借助（1）的计算结果，依据题设条件“复数在复平面上对应的点在第二象限”建立不等式组，再结合条件“”，求参数的取值范围。
解：（1）依据根据题意是纯虚数，故，且，故；（2）依，根据题意在复平面上对应的点在第二象限，可得综上，实数的取值范围为18. 东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限（单位：年，）和所支出的维护费用（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用关于的线性回归方程；（2）若规定当维护费用超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论预测该批空调使用年限的最大值.参考公式：最小二乘估计线性回归方程中系数计算公式：，，其中表示样本均值.【答案】（1）；（2）11。
【解析】试题分析：（1）先求使用年限与维护费用的平均数，借助公式计算回归系数，再求出，求线性回归方程；（2）依据题设建立不等式。
解：（1），故线性回归方程为（2）当维护费用超过13.1万元时，即从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年.答：该批空调使用年限的最大值为11年.19. 甲、乙两人想参加《中国诗词大会》比赛，筹办方要从10首诗司中分别抽出3首让甲、乙背诵，规定至少背出其中2首才算合格；在这10首诗词中，甲只能背出其中的7首，乙只能背出其中的8首（1）求抽到甲能背诵的诗词的数量的分布列及数学期望；（2）求甲、乙两人中至少且有一人能合格的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先确定答对试题数ξ的可能取值为，然后再求其概率及发布，最后求其数学期望；（2）先计算甲、乙两人考试合格事件的概率，再借助独立事件与对立事件的概率公式进行求解。
解：（1）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为其概率分别如下：ξ的概率分布如下：......6分甲答对试题数ξ的数学期望（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为，则因为事件相互独立，故甲、乙两人考试均不合格的概率为所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.20. 已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）求证：，【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先对函数进行求导，再依据导函数值与函数单调性的关系解不等式；（2）先将不等式进行等价转化，再构造函数运用导数知识进行求解推证.解：（Ⅰ）∴（Ⅱ）显然时有，只需证时，由于.所以当时，.综上，21. 已知函数（）（1）若在处取得极大值，求实数的取值范围；（2）若，且过点有且只有两条直线与曲线相切，求实数的值.【答案】（1）；（2）。
【解析】试题分析：（1）依据题设条件极值点即为到函数的零点建立方程，再借助有极值点建立不等式；（2）先设切点坐标，借助导数的几何意义求切线的斜率，进而求出曲线的切线方程，再将其转化为，最后构造函数转化为函数有两个零点问题求解。
解：（Ⅰ）∴∵∴由题由①②得（Ⅱ）所以因为过点且与曲线相切的直线有且仅有两条，令切点是，则切线方程为由切线过点，所以有∴整理得所以,即为所求请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知函数（），（）.（1）讨论的单调性；（2）设，，若（）是的两个零点，且，试问曲线在点处的切线能否与轴平行？请说明理由.【答案】（1）当时，，在单调递增，；（2）在处的切线不能平行于轴. 。
【解析】试题分析：（1）先对函数求导，再依据到函数值与函数单调性之间的关系分类探求单调区间；（2）先假设曲线在点处的切线能否与轴平行，然后依据假设建立方程组，最后再构造函数运用导数的知识断定假设不成立。
解：（Ⅰ）(1)当时，，在单调递增，（2）当时，有(Ⅱ)假设在处的切线能平行于轴.∵由假设及题意得：.................①................②.................③.............④由①-②得，即.................⑤由④⑤得，令，.则上式可化为，设函数，则,所以函数在上单调递增.于是，当时，有，即与⑥矛盾.所以在处的切线不能平行于轴.点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两个问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。
求解第一问时，先函数的解析式进行求导，再对参数进行分类讨论研究导函数的值的符号，从而求出函数的单调区间；求解第二问时，先假设存在处的切线平行于轴，然后在假设的前提下进行分析推证，从而得出与已知和假设矛盾的结论，使得问题获解。
2016—2017学年度第二学期教学质量检查高二理科数学参考答案选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 14． 15． 16．三、解答题：本大题共6小题，共80分．17（1）依据根据题意是纯虚数，故，且故；（2）依，根据题意在复平面上对应的点在第二象限，可得综上，实数的取值范围为18. 【解析】（1），故线性回归方程为.（2）当维护费用超过13.1万元时，即从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年. 答：该批空调使用年限的最大值为11年.19.解：（1）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为其概率分别如下：ξ的概率分布如下：甲答对试题数ξ的数学期望（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为，则因为事件相互独立，故甲、乙两人考试均不合格的概率为所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.20.解：（Ⅰ）∴（Ⅱ）显然时有，只需证时，由于所以当时，.综上，21.解：（Ⅰ）∴①∵∴由题②由①②得（Ⅱ）所以因为过点且与曲线相切的直线有且仅有两条，令切点是，则切线方程为由切线过点，所以有∴整理得所以,即为所求22.解：（Ⅰ）(1)当时，，在单调递增，当时，有(Ⅱ)假设在处的切线能平行于轴.∵由假设及题意得：①②③④由①-②得，即由④⑤得，令，.则上式可化为，设函数，则, 所以函数在上单调递增.于是，当时，有，即与⑥矛盾. 所以在处的切线不能平行于轴.。
