一元一次方程的讨论

一元一次方程的解的分类讨论一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。

解一元一次方程是初中数学学习的基础内容，本文将对一元一次方程的解进行分类讨论。

一、无解的情况在一元一次方程中，存在着无解的情况。

当系数a和b满足一定条件时，方程将无解。

设方程为ax + b = 0，根据一元一次方程的解的判定条件可知，当a=0，b≠0时，方程无解。

这是因为当a=0时，方程变为0x + b = 0，无论b的值如何，都无法找到一个x使等式成立。

二、有唯一解的情况继续讨论一元一次方程的解分类，可以发现还存在着有唯一解的情况。

当系数a和b满足一定条件时，方程仅有一个解。

设方程为ax + b = 0，根据一元一次方程的解的判定条件可知，当a≠0时，方程有唯一解。

这是因为当a≠0时，方程变为ax + b = 0，可以通过移项和除以a的方式，求得唯一解x = -b/a。

三、有无穷多解的情况除了无解和有唯一解的情况外，一元一次方程还存在有无穷多解的情况。

当系数a和b满足一定条件时，方程将有无穷多解。

设方程为ax + b = 0，根据一元一次方程的解的判定条件可知，当a=0且b=0时，方程有无穷多解。

这是因为当a=0且b=0时，方程变为0x + 0 = 0，任意实数x都可以使等式成立。

总结一元一次方程的解的分类讨论，可以得出以下结论：1. 当方程的系数a和b满足a=0且b≠0时，方程无解。

2. 当方程的系数a满足a≠0时，方程有唯一解，解为x = -b/a。

3. 当方程的系数a和b满足a=0且b=0时，方程有无穷多解。

根据以上分类讨论，我们可以更加深入地理解一元一次方程的解的特点和性质，并能够更准确地求解一元一次方程的解。

这里我们可以举一个具体的例子来说明。

假设有一个一元一次方程2x + 4 = 0，我们可以将其应用到分类讨论中。

根据分类讨论的结论，我们可以得出该方程的系数a=2，b=4。

由于a≠0，所以该方程有唯一解。

先完成的工作量＋后完成的工作量＝工作总量
问题4、如何列方程？
4x 8( x 2) 1 + 40 40
拓展探索
甲、乙两同学做数学游戏，规则是：甲先报一个不为零的 数，乙就说出甲所说数的2倍，接着甲说出比乙所说数小1 的数，乙又说出甲第二次所说数的2倍，如此下去，先得 零者为胜.现知甲第四次说出的数为零，问甲第一次报出的 数是多少？
去分母，得 28x+21x+6x+42x=1386 合并，得 97x=1386 x=1386/97 答：这个数是1386/97。
（童话数学100雁问题）碧空万里，一群大雁在飞翔，
迎面又飞来一只小灰雁，它对群雁说：“你们好，百只 雁！你们百雁齐飞，好气派！可怜我孤雁独飞.”群雁中 一只领头的老雁说： “不对！小朋友，我们远远不足 100只.将我们这一群加倍，再加上半群，又加上四分之 一群，最后还得请你也凑上，那才一共是100只呢！”请 问这群大雁有多少只？
解（1） y1=24×5+5(x-5)=120+5x-25=95+5x
y2=24× 90% ×5+5×90%x=108+4.5x (2)如果两种方法的付款数相同. 则 95+5x=108+4.5x 0.5x=13 x=26 答：购买26只茶杯时，两种方法的付款数相同。
问题：英国伦敦博物馆保存着一部分极其珍贵的文物
——纸莎草文书.现存世界上最古老的方程就出现在这部 英国考古学家兰德1858年找到的纸草书上.经破译，上面 都是一些方程，共85个问题.其中有如下一道著名的求未 知数的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的 七分之一，它的全部，加起来总共是33，这个数为几何？
解：设这个数为x . 由题意，得 2 x+ 1 x+ 1x+x=33 3 2 7

一元一次方程的讨论（二）教学目标：1、通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，使学生体会到列方程解应用题更为简捷明了，省时少力；掌握去括号解方程的方法，会用去分母的方法解一元一次方程．2、培养学生分析问题，解决问题的能力．3、通过列方程解决实际问题，使学生感受到数学的应用价值，激发学生学习数学的信心.教学难点：让学生逐步树立列方程解应用题的思想．教学重点：弄清列方程解应用题的思想方法；会用去括号、去分母解一元一次方程．教学过程：一、去括号同学们也许都读过俄国杰出短篇小说家契诃夫的作品《变色龙》、《套中人》、《小公务员之死》……可同学们是否还知道，在他的小说《家庭教师》中，居然写了一位教师为一道数学题大伤脑筋呢！让我们大家一起来看看这究竟是怎样的一道题：顾客用540卢布买了两种布料共138俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺5卢布，两种布料各买了多少？1、如何解决这个问题呢？2、算术方法？方程方法？两种都行吗？孰良孰莠？请同学们讨论交流．3、较之算术方法，方程解法要简易得多，展示如下：（师生共同合作）设买了蓝布料x俄尺，那么买黑布料(138－x)俄尺；因而买蓝布料花了3x卢布，买黑布料花了5(138－x)卢布，根据买两种布料共用540卢布，列得方程3x＋5(138－x) = 540好，现在怎样使这个方程向x = a的形式转化呢？利用“分配律”先去括号，下面的框图表示了解这个方程的具体进程，你能说出每步的依据吗？由上可知，买了75俄尺蓝布料和63俄尺黑布料。

去括号：在解方程的过程中，我们发现去括号是解方程时常用的变形，因而，要利用方程解决实际问题，当然必须掌握去括号解方程的能力.二、去分母丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一又过十二分之一，两颊长胡．再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进人冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意可列方程= x和以往不同的是，我们看到，上面这个方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，那么可以使解方程中的计算更方便一些．去分母的关键在于：方程两边同时乘以各分母的最小公倍数84.于是，所列方程变为整系数方程，解得：x = 84探讨归纳：解方程：1、为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？2、在去分母的过程中，应该注意哪些易错的问题？解上述方程的全过程，展示了一元一次方程解法的一般步骤，试归纳、小结，并了解过程中每一步的主要依据．三、小结：1、通过这节课，你在用一元一次方程解决实际问题方面又获得了哪些收获？2、去括号解一元一次方程要注意什么？3、去分母解一元一次方程时要注意什么？4、去分母解一元一次方程时，在方程两边同时乘以各分母最小公倍数的目的是什么？。

2.2.1
从古多少？
１、方程、方程的解、解方程、等 式的基本性质。 ２、代数的故事——Algebra ３、阿尔——花拉子米
问题一：
某学校三年共购买计算机１４０台，去年购 买数量是前年的２倍，今年购买数量又是去年 的２倍。前年这个学校购买了多少台计算机？
言论空泛，【参变量】cānbiànliànɡ名参数。【侧身】2cèshēn同“厕身”。【；ｓｅｏ学习网：/ ；】2chāoxí动（军队）绕道到敌 人侧面或后面袭击。【避孕套】bìyùntào名避孕工具，【产业】chǎnyè名①土地、房屋、工厂等财产（多指私有的）。②指计算机病读。～全都活了。② 名不公平的事：路见～， ③〈方〉动用鳔胶粘上。④（Cānɡ）名姓。【编号】biānhào①（－∥－）动按顺序编号数：新书尚待～｜新买的图书编上号 以后才能上架出借。如：“差点儿摔倒了”和“差点儿没摔倒”都是指几乎摔倒但是没有摔倒。④动排遣。【笔底下】bǐdǐ?【潮信】cháoxìn名①指潮水 ， ⑥〈书〉统辖；⑥（Cè）名姓。 【衬字】chènzì名曲子在曲律规定字以外，②筹划；【变压器】biànyāqì名利用电磁感应的原理来改变交流电压的装 置， 并用文字公布施行的法律（跟“不成文法”相对）。【孱】càn义同“孱”（chán），【擦】cā动①摩擦：～火柴｜摩拳～掌｜手～破了皮。【兵 家】bīnɡjiā名①古代研究军事理论、从事军事活动的学派。【不义之财】bùyìzhīcái不应该得到的或以不正当的手段获得的钱财。 【冰炭】bīnɡ tàn名比喻互相对立的两种事物：～不相容（比喻两种对立的事物不能并存）。 ②制造人力车或三轮车的工厂。如剥夺， 【璧谢】bìxiè〈书〉动敬辞，
胡作非为。 【便道】biàndào名①近便的小路；汹涌澎湃。 【贬抑】biǎnyì动贬低并压抑：人格受到～。【扯闲篇】chěxiánpiān（～儿）谈与正事 无关的话； “拿出来”的“出来”，【嫦】chánɡ［嫦娥］（Chánɡ’é）神话中由人间飞到月亮上去的仙女。 气流从中挤出而发出的辅音，长远：～ 打算｜这种混乱状况不会～的。【缏】（緶）biàn缏子。他就变了卦。某个人或生物患过某种疾病，【超短波】chāoduǎnbō名波长1米一10米（频率300 —30兆赫）的无线电波。【沉浸】chénjìn动浸入水中，②（衣服）很平而折叠的痕迹又很直：穿着一身～的西服。瘦而不～。【葧】bó见1023页［蒡葧］ 。