随机信号分析题目及答案
- 格式:docx
- 大小:183.85 KB
- 文档页数:9
1. (10分)随机变量12,X X 彼此独立,且特征函数分别为12(),()v v φφ,求下列随机变量的特征函数:
(1) 122X X X =+ (2)
12536X X X =++
解:(1)
()121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(2)
()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++⎡⎤⎡⎤==⋅⋅⎣⎦⎣⎦
2. (10分)取值()1,1-+,概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ,时隙长度为T ,问:
(1) 信号的均值函数()E X t ⎡⎤⎣⎦;
(2) 信号的自相关函数(),X R t t τ+;
(3) 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解:(1)()10.410.60.2E X t =-⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦
(2) 当,t t τ+在同一个时隙时:
当,t t τ+不在同一个时隙时:
(3)()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++
3. (10分)随机信号0()sin()X t t ω=+Θ,()()0cos Y t t ω=+Θ,其中0
ω为常数,Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 (1) 试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性;
(2) 试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。 解:
(1) 由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量θ,因
此非独立。 根据题意有12f ()θπ=。
[]001sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d π
πωθθπ
-=+Θ=
+=⎰,
由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==,X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性无关。
除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻
12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠,所以1X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。
(2) 由于0E[X(t )]E[Y(t )]==,X (t )和Y(t )均
值平稳。
同理可得1212Y X R (t ,t )R (t ,t )=,因此X (t )和Y(t )均广义平稳。 由于
121201201122
XY XY R (t ,t )C (t ,t )sin[w (t t )]sin(w )τ==-=,因此X (t )和Y(t )联合广义平稳。
4. (10分)判断下列函数是否能作为实广义平稳随机过程的自相关函数(其中c ω均为常数)?如果不能,请写出理由。
(1)cos() ||4() 0 c c R πωττωτ⎧≤⎪=⎨⎪⎩
其它
(2)cos() ||2() 0 c c R πωττωτ⎧≤⎪=⎨⎪⎩
其它 (3)10cos() ||() 0 c c R πωττωτ⎧≤⎪=⎨⎪⎩其它 (4)()=cos() ||c R τωττ≤∞ 解:(1)不能,因为零点连续,而4/π点不
连续。
(2)能。
(3)不能,因为20c R()R()π
ω=,而R()τ又不
是2c /πω的周期函数。
(4)能。
5. (10分)线性时不变系统的框图如下图所示。若输入白噪声的双边功率谱密度0 1 W/Hz 2N =,求系统输出噪声的功率谱密度函数和自相关函数,以及输出噪声总功率。
解:系统的传递函数为
()11R H j R j L j ωωω==++,
则系统输出功率谱密度为
()()()222112121Y X S S H j ωωωωω=⨯==⋅++。
输出噪声的自相关函数为()12
Y R e ττ-= 输出噪声总功率为102N Y P R ()(W )==
6. (10分)设随机信号
()()()()()sin Z t X t t Y t t ωω=-00cos ,其中ω0为常
数,()()X t Y t 和均为零均值的平稳随机过程,并且相互正交。问:
(1) ()()X t Y t 和是否联合广义平稳?
(2) 假如()()X Y R R ττ=,()Z t 是否为广义平稳的随机信号?
证明:
(1) 由于()()X t Y t 和相互正交,所以(,)(,)0XY YX R t t R t t ττ+=+≡,与t 无关 ,又因为()()X t Y t 和均为零均值的平稳随机过程,所以()()X t Y t 和是联合广义平稳随机信号。
(2) 假如()()X Y R R ττ=,
由于()()X t Y t 和相互正交,所以
()()X Y R R τωττωτ==00cos cos ,与t 无关
所以()Z t 是广义平稳的随机信号。
7. (10分)下列函数中哪些是实广义平稳随机信号功率谱密度的正确表达式?若是,求该信号的平均功率;若不是,请说明原因。
(1) 229()69S ωωωω+++= (2)
2424()109S ωωωω+++=
(3) 210()010S ωωω⎧≤⎪=⎨>⎪⎩
(4)()()2S ωπδω= 解:
(1) 不可以。不是偶函数。
(2) 可以。
()()42224111()109219S ωωωωω⎡⎤⎢⎥=-++++⎢⎥⎣⎦
=,所以 3()R e e τττ--+11=412,所以1(0)3
P R =+=11=412 (3) 可以。10
101120()222P S d d ωωωπππ∞-∞-===⎰⎰
(4) 可以。
11()2()122P S d d ωωπδωωππ∞∞
-∞-∞===⎰⎰
8. (10分)某语音随机信号()X t 满足广义各态历经性,现将该信号经过无线信道进行传输,假设信道噪声为广义各态历经的加性高斯白噪声()N t 。讨论:
(1) 收到的信号()()()Y t X t N t =+的均值各态历经性;
(2) ()Y t 满足广义各态历经性的条件。 解: