第4章多元线性回归分析

1 第4章 违背基本假设的情况

思考与练习参考答案

4.1 试举例说明产生异方差的原因。

答：例4.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为

Yi=0+1Xi+εi

其中：Yi表示第i个家庭的储蓄额，Xi表示第i个家庭的可支配收入。

由于高收入家庭储蓄额的差异较大，低收入家庭的储蓄额则更有规律性，差异较小，所以εi的方差呈现单调递增型变化。

例4.2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型

Yi=Ai1 Ki2 Li3eεi

被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项ε的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。

4.2 异方差带来的后果有哪些？

答：回归模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：

1、参数估计量非有效

2、变量的显著性检验失去意义

3、回归方程的应用效果极不理想

总的来说，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。

4.3 简述用加权最小二乘法消除一元线性回归中异方差性的思想与方法。

答：普通最小二乘估计就是寻找参数的估计值使离差平方和达极小。其中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。在误差项等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。然而在异方差 2 的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在残差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。由OLS求出的仍然是的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。所以就是：对较大的残差平方赋予较小的权数，对较小的残差平方赋予较大的权数。这样对残差所提供信息的重要程度作一番校正，以提高参数估计的精度。

线性回归分析的SPSS操作

本节内容主要介绍如何确定并建立线性回归方程。包括只有一个自变

量的一元线性回归和和含有多个自变量的多元线性回归。为了确保所建

立的回归方程符合线性标准，在进行回归分析之前，我们往往需要对因

变量与自变量进行线性检验。也就是类似于相关分析一章中讲过的借助

于散点图对变量间的关系进行粗略的线性检验，这里不再重复。另外，

通过散点图还可以发现数据中的奇异值，对散点图中表示的可能的奇异

值需要认真检查这一数据的合理性。

1、 一元线性回归分析

1．数据

以本章第三节例3的数据为例，简单介绍利用SPSS如何进行一元线

性回归分析。数据编辑窗口显示数据输入格式如下图7-8（文件7-6-

1.sav）：

图7-8：回归分析数据输入

2．用SPSS进行回归分析，实例操作如下：

2.1.回归方程的建立与检验

（1）操作

①单击主菜单Analyze / Regression / Linear…，进入设置对话框如图

7-9所示。从左边变量表列中把因变量y选入到因变量（Dependent）框

中，把自变量x选入到自变量（Independent）框中。在方法即Method一

项上请注意保持系统默认的选项Enter，选择该项表示要求系统在建立回

归方程时把所选中的全部自变量都保留在方程中。所以该方法可命名为

强制进入法（在多元回归分析中再具体介绍这一选项的应用）。具体如

下图所示：

图7-9 线性回归分析主对话框

②请单击Statistics…按钮，可以选择需要输出的一些统计量。如Regression Coefficients(回归系数)中的Estimates，可以输出回归系数及相

关统计量，包括回归系数B、标准误、标准化回归系数BETA、T值及显

著性水平等。Model fit 项可输出相关系数R，测定系数R2 ，调整系数、

估计标准误及方差分析表。上述两项为默认选项，请注意保持选中。设

置如图7-10所示。设置完成后点击Continue返回主对话框。

思考题

4.1 为了考察城镇商品房市场的特征，有人建立了如下的模型：

iiiiiZPXY3210lnln

其中：iY为第i个城镇的商品房销售面积，iX为该城镇居民的人均可支配收入，iP为商品

房均价，iZ为常住人口数量。

（1）分别解释系数1和2的经济含义。

（2）有人认为，中国商品房市场存在严重的炒房现象，导致价格越高，商品房的销

售量越火爆，你如何检验这种观点？写出你的原假设、备选假设、检验统计量和判定规则。

（3）有人认为，商品房市场存在严重泡沫，商品房的销售量已经与居民收入、人口规

模严重脱节，你如何检验这种观点？写出你的原假设、备选假设、检验统计量和判定规则。

（4）如果样本中既有大城市，也有小城镇，你如何检验大小城市的商品房市场是否

具有相同的特征。

4.2. 在分析变量Y的影响因素时，学生甲建立了如下的多元回归方程：

ttttXXY22110。

学生乙也在研究同样的经济问题，她只学习了一元回归模型。为了考察在X2不变时，X1对Y

的影响，学生乙进行了如下的三步回归分析：

tttXY1210 （a）

tttXX22101 （b）

ttt3211ˆˆ （c）

其中：tt21ˆ,ˆ分别是回归方程（a）、（b）的残差项。

（1）参数1和参数1有什么样的关系？解释你的理由。

（2）参数2和参数1是同一个参数吗？解释你的理由。 （3）回归方程（c）为什么没有截距项？

4.3. 在基于受约束和无约束回归方程的估计结果检验规线性约束时，需要建立F检验统计

量。有同学在相关文献中看到了如下的F检验统计量： )1,(~)1/(/)(

222KNqFKNRqRRFurrur。

（1）说明该F统计量的形式是如何得到的。

（2）在使用该统计量形式时需要注意什么条件？

（3）在分析生产函数时，如果无约束和受约束方程分别为：

ttttLKQlnlnln210

1

第三章的小结:

一、假设及分析对象

2~(0,)N/(,)0,()ijCovij/X是确定性的变量，而非随机变量。

单向随机因果关系。表达式：01iiiYXu

一元线性回归模型的计量过程：

1. 根据经济理论或散点图来设定模型。

2. 运用最小二乘法对总体参数进行估计，得到样本回归方程（01iiYX）。

3. 对回归方程对样本数据的吻合程度进行评价。

4. 对总体参数的显著性进行检验。（可以为总体参数构筑置信区间）

5. 预测。（可以为预测值构筑置信区间）

二、参数01,的普通最小二乘估计

()iiieYY

202100iiiiee

可得：

01YX

122iiiiiXYnXYXnX

高斯——马尔可夫定理说明：在古典模型的诸多假定满足的前提下，最小二乘估计量是线性，无偏，有效的估计量。运用切比雪夫不等式可以证明，最小二乘估计量也满足一致性的要求。

0,1iiikY

0,10,1()E

0,10,1()()VarVar 2 0,10,1limnP

三、回归拟合度评价、01,的显著性检验及置信区间

回归拟合度是衡量回归直线对样本数据的吻合程度。

22211()iiiieSSESSRRSSTSSTYY

参数0的置信度为1的置信区间是

000022(2)(),(2)()tnSetnSe

参数1的置信度为1的置信区间是

111122(2)(),(2)()tnSetnSe

参数01,进行显著性检验时：

当t统计量的绝对值大于2(2)tn或概率值小于显著性水平时，拒绝原假设，即认为参数是显著的；反之则是不是显著的。