数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)

1 二 极坐标系

1．极坐标系的概念

(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)就叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．

2．极坐标和直角坐标的互化

(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．

(2)互化公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yxx≠0.

求点的极坐标

已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．

(1)点P是点Q关于极点O的对称点；

(2)点P是点Q关于直线θ＝π2的对称点．

确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．

(1)由于P，Q关于极点对称，得极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．

(2)由P，Q关于直线θ＝π2对称，

得它们的极径|OP|＝|OQ|，

点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，

所以点P的坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)

或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．

2 设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．

另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．

第1页 共4页 高中数学选修4-4坐标系与参数方程

一、【课程目标】

本专题的内容包括：坐标系、曲线的极坐标方程、平面坐标系中几种变换、参数方程。

通过本专题的教学，使学生简单了解柱坐标系、球坐标系，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式；通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，使学生体会数学在实际中的应用价值；培养学生探究数学问题的能力和应用意识。

二、【知识结构网络】

坐标系与参数方程坐标系极坐标系球坐标系与柱坐标系平面坐标系中的变换参数方程曲线的极坐标方程意义直线、圆、圆锥曲线意义、互化、应用、欣赏平移变换、伸缩变换直角坐标系 第一章 坐标系

【课标要求】

1．坐标系：了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化。了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法（本节内容不作要求）。

2．曲线的极坐标方程：了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程。

3．平面坐标系中几种常见变换（本节内容不作要求）了解在平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换。

第一课时直角坐标系

一、教学目的：

第2页 共4页 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法

能力与与方法：体会坐标系的作用

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：体会直角坐标系的作用

教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题

三、教学方法：启发、诱导发现教学.

四、教学过程：

（一）、平面直角坐标系与曲线方程

1、教师设问：问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？问题3：(1).如何把平面内的点与有序实数对(x,y)建立联系？(2).平面直角坐标系中点和有序实数对(x,y)是怎样的关系？问题4：如何研究曲线与方程间的关系？结合课本例子说明曲线与方程的关系？

1 极坐标系

一填空题

1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得 ．

2．点M的极坐标为35，，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是 ．

3．点3,1P，则它的极坐标是 ．

4．极坐标方程4cos表示的曲线是 ．

5．圆)sin(cos2的圆心坐标是 ．

6．在极坐标系中，与圆sin4相切的一条直线方程为 ．

7．极坐标方程 cos＝sin2( ≥0)表示的曲线是 ．

8．极坐标方程cos＋12＝ 化为普通方程是 ．

9．点P在曲线  cos＋2 sin＝3上，0≤≤4π，＞0，则点P的轨迹是 ．

10．P在曲线 sin ＝2上，Q在曲线 ＝－2cos 上,|PQ|的最小值为 ．

11．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程222sin4＋ cos312＝经过直角坐标系下的伸缩变换y＝yx＝ x3321后，得到的曲线是 ．

12．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(，被圆 ＝3截得的弦长为

13．＝2(cos －sin )(＞0)的圆心极坐标为 ．

14．极坐标方程为lg ＝1＋lg cos ，则曲线上的点(，)的轨迹是 ．

15．方程sin ＋ cos 11＝ －表示的曲线是 。 2 16．点22，的极坐标为 。

17．若A33，，B64，，则|AB|=________，SAOB________。（其中O是极点）18．极点到直线cossin3的距离是________ _____。

高中数学选修4-4教案3

直线的极坐标方程

教学目标：某些特殊位置的直线的极坐标方程

教学重点：直线、圆的极坐标方程的求法

教学难点：对不同位置的直线、圆的极坐标方程的理解

教学过程：

一、问题情景

极坐标系与直角坐标系，虽然是两种不同的描述点位置的方法，但它们的基本观念是一致的，即坐标的观念，即把坐标看成有序实数对，进而使方程与曲线对应．

极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．因此，曲线的极坐标方程也是不惟一的．

二、数学构建

1．直线的极坐标方程：

根据以上的图形，容易推导出直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： 00xOM图1（ ， ）cosaaOM图2cosaaOM图3sinaOM图4asinaOM图5a),(a)cos(aOMpN图6（ ， ）a⑴0 ⑵cosa ⑶cosa

⑷sina ⑸sina ⑹)cos(a

2．圆的极坐标方程

根据以上的图形，容易推导出圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(a：

⑴a ⑵cos2a ⑶cos2a

⑷sin2a ⑸ sin2a ⑹)cos(2a

三、知识运用

【例1】．判断下列曲线是否相同．

①3与cos21)(R（不相同）

②sin21与cos=23)(R（相同） cos2aaxOM图2sin2aaxOM图4sin2aaxOM图5cos2aaxOM图3aaxOM图1),(a)cos(2aaxOM图6此例目的是使学生理解曲线的极坐标方程的意义和在极坐标系下曲线方程的不惟一性．